微分中值定理及其應(yīng)用

1、第五章微分中值定理及其應(yīng)用§ 1微分中值定理引言在前一章中，我們引進了導(dǎo)數(shù)的概念，詳細地討論了計算導(dǎo)數(shù)的方法。這樣一來，類似于求已知曲線 上點的切線問題已獲完美解決。但如果想用導(dǎo)數(shù)這一工具去分析、解決復(fù)雜一些的問題，那么，只知道怎樣 計算導(dǎo)數(shù)是遠遠不夠的，而要以此為基礎(chǔ)，發(fā)展更多的工具。另一方面，我們注意到：（1 ）函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)是兩個不同的的函數(shù)；（2 ）導(dǎo)數(shù)只是反映函數(shù)在一點的局部特征；（3）我們往往要了解函數(shù)在其定義域上的整體性態(tài)，因此如何解決這個矛盾？需要在導(dǎo)數(shù)及函數(shù)間 建立起一一聯(lián)系一一搭起一座橋，這個“橋”就是微分中值定理。本章以中值定理為中心，來討論導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性態(tài)（單

2、調(diào)性、極值、凹凸性質(zhì)）方面的應(yīng)用。一 費馬定理定義1 （極值）若函數(shù)f在區(qū)間X上有定義，X。，X。若存在X。的鄰域O（x0,.），使得對于任意的x O（Xo,、），有f X d -f X），則稱f在點Xo取得極大值，稱點X。為極大值點。若存在X。的鄰域O（x。，、）， 使得對于任意的xU（x。），有f（X。）空f（X），則稱f在點X。取得極小值，稱點X。為極小值點。極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點。極值存在的必要條件一一費馬定理費馬定理 若函數(shù)在點X。的鄰域內(nèi)有定義，且在點 X。可導(dǎo)。若X。為f的極值點，則比有f （x°）=0。幾何意義：可導(dǎo)極值點的切線平行于

3、X軸。由費馬定理可知，可導(dǎo)極值點是穩(wěn)定點，反之不然。如f（x）=x3,點x=0是穩(wěn)定點，但不是極值點。二中值定理Lagrange定理 若函數(shù)f滿足以下條件：（1）f在la, b】上連續(xù)；（2）f在a, b ）內(nèi)可導(dǎo)。則在 a, b內(nèi) 至少存在一點，使得f （ J = f （b） 一 f （a）。b-a特別地，當f（a）=f（b）時，有如下Rolle定理：Rolle定理 若f滿足如下條件：（1）f x在la,b】上連續(xù)；（2） g x在a, b ）內(nèi)可導(dǎo)；（3）f（a）二f （b）， 則存在三ia, b，使得f （）二。如把曲線弧 AB用參數(shù)方程函數(shù)，則可得出以下中值定理：Cauchy定理 若函

4、數(shù)f x，g x滿足如下條件：（1）（ 1） f x在a, b 1上連續(xù)；（2）g x在a, b內(nèi)可導(dǎo)；(3) g x -0。 在存在© e ( 1) f(x)在a,b上連續(xù)；(2) g(x)在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)。使得f ( ) f (b)- f (a)=og ( ) g(b)-g(a)說明(1) 幾何意義：Rolle :在每一點都可導(dǎo)的連續(xù)曲線，如果曲線兩端點高度相同，則至少存在一水平切線(在具有水平弦的可微曲線上有水平曲線)；Lagrang :可微曲線上存在一點，使其切線平行于端點的連線；Cauchy :視為曲線的參數(shù)；u=f(x)，v=g(x)，x a,b，則以v為橫坐標，u為

5、縱坐標可得曲線上有一點，該處 切線與曲線端點連線平行。(2) 三個定理關(guān)系如下：Rolle«±匕W Lagrang 竺Cauchy(3) 三個定理中的條件都是充分但非必要。以Rolle定理為例，三個條件缺一不可。1)不可導(dǎo)，不一定存在；2)不連續(xù)，不一定存在；3) f(a) =f(b)，不一定存在。“不一定存在”意味著一般情況如下：Rolle定理不再成立。但仍可知有f ( J = 0的情形發(fā)生。如y=sgnx，x：=-1,1不滿足Rolle定理的任何條件，但存在無限多個：八=(-1,1)，使得f)=0。( 4) Lagra ng定理中涉及的公式：f ()二f (b) - f

6、 (a)稱之為“中值公 b-a式”。這個定理也稱為微分基本定理。中值公式有不同形式：(i) f(b)-f(a)= f ( ) (b-a) ,(a,b) ； (ii)f(b)-f(a)= f (a (b-a)"(b-a), 0< 二 <1 ； (iii) f(a+h)-f(a)= f (a h)h , 0<二<1.此處，中值公式對 a<b, a>b均成立。此時 在a, b之間；(ii)、(iii)的好處在于無論 a, b如何變化，二(0,1)易于控制。三中值定理的一些推論1、 Rolle定理的推論：若f在捲，X2上連續(xù)，在(論，X2)內(nèi)可導(dǎo)，f (x

7、j = f(X2)= 0，則存在：(捲出), 使得f)=0 (簡言之：可導(dǎo)函數(shù)的兩個之間必有導(dǎo)數(shù)的零點)。2、Lagrang定理的推論：推論若函數(shù)f在區(qū)間I上可導(dǎo)，且f (x) = 0, x I，則f為I上的一個常量函數(shù)。幾何意義：斜率處處為 0的曲線一定是平行于 x軸的直線。推論 若函數(shù)f和g均在I上可導(dǎo)，且f (x) =g (x) , x I，則在區(qū)間I上f(x)與g(x)只差一個常數(shù)，即存在常數(shù)C,使得f(x) =g(x) V。例:設(shè) f 引a,b,在a b 連續(xù)可微，在(a,b)二階可微，且 f (a) = f (b)= f"(a)=0 ,證明：f"(x)=0 在(

8、a,b)中至少有一個根。例：設(shè)f (x) = x4 -2x2 x，證明f (x)于(0, 2)中至少有一根。例：證明：當a>b>0時，LlB ：|門2 :色辿。a b b例：證明：| sinx_sin y 兇 x_y|, -x, y R。§ 2.泰勒公式一利用導(dǎo)數(shù)作近似計算1 近似計算前已描述，如果y =f(x)在x0點可微，則當x很小時，有f(x0 ：x) ： f (x0) f (x0). x，亦即，當x Xo時有f(x) ： f(xo) f (Xo)(X-X。)(用導(dǎo)數(shù)作近似計算公式)。注：導(dǎo)數(shù)作近似計算公式常用于：直接計算f x比較困難，而在x點附近一點X。處的函數(shù)

9、值f(x0)的導(dǎo)數(shù)f(X。)卻都比較容易求得。60例：求sin Z二的近似值。例：計算.4.01的近似值。把 f (x) ：“ f (x0) f(x()(x-x0)用于具體函數(shù)，可得：sinx：“x，tanx、x，ln(1xpx，ex: V x。2 誤差估計實際測量或計算所得的數(shù)據(jù)，一般都是近似值。要知道這些數(shù)據(jù)的準確程度，就必須估計這些數(shù)據(jù)的近 似程度，即估計它與準確值的差，這就是誤差估計。一般地，如果一個量 A的近似值為a,那么:. =|A-a|叫作絕對誤差，而/a叫作相對誤差。一般地，對函數(shù) y二f x，若x是由測量得到的，如果由 x計算y時，x有誤差x，則y有絕對誤差f (x) x和相

10、對誤差例：測得一球體的直徑為 42cm，測量工具的精度為 0.01cm，試求此直徑計算球體積時所起的誤差。 二泰勒公式不論在近似計算或理論分析中，我們希望能用一個簡單的函數(shù)來近似一個比較復(fù)雜的函數(shù)，這將會帶來 很大的方便。一般來說，最簡單的是多項式，因為多項式是關(guān)于變量加、減、乘的運算，但是，怎樣從一個 函數(shù)本身得出我們所需要的多項式呢？前面討論過“微分在近似計算中的應(yīng)用”從中我們知道，如果函數(shù)f在點x0可導(dǎo)，則有有限存在公式;f(X)二 f(X°) f (X°)(X -X0)O(X -X。)即在Xo附近，用一次多項式 Pi(X)二f(X。) f(X°)(XX。)

11、逼近函數(shù)f(X)時，其誤差為0(X-Xo)。然而，在很多場合，取一次多項式逼近是不夠的，往往需要用二次或高于二次的多項式去逼近，并要求 誤差為o(x-Xo)n)，其中n為多項式次數(shù)。為此，有如下的n次多項式：Pn(x) =a° ai(x -Xo) III an(x Xo)n易見：Xo的取ao二Pn(xo) , ai二, a2二日皿，a Pn (Xo)(多項式的系數(shù)由其各階導(dǎo)數(shù)在 1!2!n!值唯一確定)。定理 若f(x)在x =Xo點有直到n 1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么：Xo)+川+(X-Xo)n+1l(X-Xo：T， 1!n!(n +1)!其中在Xo與X之間。這就是泰勒公式。余項稱為拉格朗

12、日余項。注：帶有皮亞諾余項的泰勒公式f x0)f (n)(x)nnf(X)=f(X°)丄(X-Xo)丄(X-Xo)O(X-X。)1!n!o(x -Xo)n)的余項稱為皮亞諾余項。常見的麥克勞林公式2nxX Xne = 1 xo( x )2!n!sin x35X X=x3!5!IN (-1)mJ2m4X(2m -1)!o(x2m)242mXXm x2m 1cosx =1(T)o(x )2!4!(2m)!23nln(1 x) =x -1)n4 o(xn)23n(1 X)'iX 寧 *.川.：(T)川(：- n 1) n!o(xn)h x X2Xn o(xn)(2)帶Lagrang

13、e型余項的麥克勞林公式2n71Z x；川:話Xn1x R - (0,1)52mxm 1 xm COS T1 X 2m -1sin x 二 x(-1)(一1)x5!(2m-1)!(2m+1)!3!x R,二（0,1）2,xcosx =1 一2!4!4-(-1)m_m1 COX 嚴(2m)!(2m 2)! (0,1)2xln(1 x) = x -233n二(_1)池(_1)3nxn1n(n 1)(1 rx)n 1"(0,1)(1 八，x i川"n!x-1，八(0,1)1n卅rr1 x x2 川 xn 亠x：1，/(0,1)例:例:例:寫出 f (x)二 e 2 的 Maclau

14、rin 公式， 求In x在x = 3處的Taylor公式。x_2, cosx -e2limx_0并求 f(98)(0)與 f (100)(0)。例:（1）計算e的值，使其誤差不超過10;（2）證明e為無理數(shù)。§ 3函數(shù)的升降、凸性與極值一函數(shù)的上升與下降定理1設(shè)f（x）在區(qū)間la, b 1上可導(dǎo)，則f（x）在la, b 上遞增（減）二f （x） _ 0（空0）.注（1）這個定理的主要用途在于用它研究函數(shù)的單調(diào)性，確定單調(diào)區(qū)間。例： 設(shè)f （x） =X3 x，試討論函數(shù)f的單調(diào)區(qū)間。（2） 從實現(xiàn)充分性的證明中發(fā)現(xiàn)，若f（X） 0（ :： 0）= f（X2） f （X1）（f（X2）

15、： f（X1），即f嚴格遞 增（減），從而有如下推論：推論 設(shè)函數(shù)f在區(qū)間la,b 1連續(xù)，在a,b可微，若（x） 0（： 0）且不變號，則f在I a, b上嚴格遞 增（減）。（3）上述推論是嚴格遞增（減）的一個充分非必要條件。例：證明等式：當x = 0時，ex 1 x3X例：證明：當x 0時，sinxx 例：已知f(x)f(x)=O，證明：f(x)=O至多只有一個根。sin x例：證明方程：x0只有一個根x = 0。2二函數(shù)的極大值和極小值函數(shù)的極值不僅在實際問題中占有重要的地位，而且也是函數(shù)性態(tài)的一個重要特征。Fermat定理告訴我們：若函數(shù) f在點X。可導(dǎo)，且X。為f的極值點，貝U f

16、(滄)=0，即可導(dǎo)函數(shù)f在點 Xo有極值的話，必有 f(X。)=0。進一步的問題是：如果 y二f x在點X。不可導(dǎo)，它有沒有可能在 X。點取 得極值呢？回答是肯定的，例如 y=x，在x=0不可導(dǎo)，但在x = 0有極小值。定理2若X。是f x的極值點，那么f(X。)=0或f x在點X。不可導(dǎo)。把這兩類點稱為“極值可疑點”或“可疑極值點”。如何來判定一個極值可疑點且又是真正的極值點呢？定理2 (極值判別法之一)設(shè)f(X)點X。連在續(xù)，在 X。- X。和X。，X。亠門內(nèi)可導(dǎo)，那么(1) 若當 x(X。-、,X。)時，f (x) : 0 ； 當 x(x°,x。、)時，f (x)0 ,則 X。

17、為極小點；(2) 若當 x (X。-X。)時，f (x)0 ；當 x (x°,x。r)時，f (x。)：:： 0，則 X。為極大點；(3) 若f (X)在(X。-X。)和(x°,x。，)內(nèi)不等號，則點X。不是極值點。若f是二階可導(dǎo)函數(shù)，則有如下判別極值的方法：定理3(極值判別法之二)設(shè)f(X。)=0 , (1)若(X。)：0，則fx0是極大值；(2)若f(X。)0 ,則f x0是極小值。例：求f (x) =(2x-5)3 x2的單調(diào)區(qū)間、極值點和極值。2 432例：求f(x) =x的極值點與極值。x例：試求函數(shù)y = f (x) = x4(x-1)3的極值。三函數(shù)的最大值與

18、最小值若f (x)在la,b 1連續(xù)，則f(x)在la,b 1上一定有最大、最小值。這為求連續(xù)函數(shù)的最大、小值提供了理論保證，問題是如何求出最大、小值呢？函數(shù)在La, b 1上最大(小)值可能在x = a或b取得，也可能在 a, b 內(nèi)取到，若在a, b內(nèi)取得，則最大(小)值點一定是極大(小)值點。于是，為求f在a,bl 上的最大(小) 值，可按以下步驟進行：(1)求出y、f (x) =0在a, b內(nèi)的點，和y = f x在a, b內(nèi)不可導(dǎo)的點，并求出相應(yīng)的函數(shù)值；(2)計算 fa , f b ；(3)把上述函數(shù)值作比較，其中最大者為最大值，最小者為最小值。321 5例：求函數(shù)f(x)彳2x

19、_9x 12x|在-,上的最大值與最小值。例：剪去正方形四角同樣大小的正方形后制成一個無蓋盒，問剪去小正方形的邊長為何值時，可使盒子的容 積最大？四函數(shù)的凸性引言上面已經(jīng)討論了函數(shù)的升降與極值，這對函數(shù)性狀的了解是有很大作用的。為了更深入和較精確地掌握 函數(shù)的性狀，我們在這里再講述一下有關(guān)函數(shù)凸性的概念及其與函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。什么叫函數(shù)的凸性呢？我們先以兩個具體函數(shù)為例，從直觀上看一看何謂函數(shù)的凸性。如函數(shù)y二、亍所表示的曲線是向上凸的，而 y =X2所表示的曲線是向下凸的，這與我們?nèi)粘Ａ?xí)慣上的稱呼是相類似的?；蚋?準確地說：從幾何上看，若 y= f(x)的圖形在區(qū)間I上是下凸的，那么連接曲

20、線上任意兩點所得的弦在曲線的 上方；若y= f(x)的圖形在區(qū)間I上是上凸的，那么連接曲線上任意兩點所得的弦在曲線的下方。從而有以下 定義：定義1 設(shè)函數(shù)f (x)在la, b 1連續(xù)，若對la, b 1上任意兩點x1、x2和任意實數(shù)-(0,1)總有 f ( X十(1 九)冷聲k f (x片(1九f x ,)則稱f為【a, b上的下凸函數(shù)。反之，如果總有 f ( * (1-%)x2) _ f (x1) ( ') f (x2)，則稱 f 為 l 上的上凸函數(shù)。定義2設(shè)曲線y二f x在點(xg, f(x。)的一邊為上凸，一邊為下凸，則稱(X。，f(x。)為曲線的拐點。注：右(X。，f (x

21、。)是曲線y = f x的一個拐點，y = f x在點x。的導(dǎo)數(shù)不一定存在，如y 在x = 0的 情形。定理4 (凸函數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 )設(shè)f x在a,b二階可導(dǎo)，則(1) 若在a, b內(nèi)f” x ： 0 ,則f x在a, b為上凸；(2) 若在a, b內(nèi)f” x0,則f x在a, b為下凸。定理5 (拐點必要條件)若(x。，f(x。)為拐點，則要么(1) f (x0H0 ;要么(2) f在x0點不可導(dǎo)。3、應(yīng)用x2例：(1)討論函數(shù)f (x)2的下凸和上凸區(qū)間，并求拐點。1 +xa b c例：證明不等式(abc) 3- aabbcc，其中a, b, c均為正數(shù)。§ 4平面曲線的曲

22、率什么是曲線的曲率曲線的彎曲程度不僅與其切線方形的變化角度的大小有關(guān)，而且還與所考察的曲線的弧長s有關(guān)，并且-一 - A<P-_ 一曲率與成正比，與.is成反比。即一般曲線的彎曲程度可用k，其中k :曲線段AB的平均變化率;AS 曲線段AB上切線方向變化的角度； s:曲線段AB的弧長。定義1稱極限K = lim limB# As2 氐s為曲線在A點的曲率。1稱為曲線在A點的曲率半徑。K二、弧長的微分(1) 若弧的方程為y = fx a_x_b ， f'x 在 la, b 1 連續(xù)，則 ds=1 f '2(x)dx ；(2) 若弧的方程為x 二 t , yt小，則(3) 若

23、弧的方程為r -:- - -，則ds 二 ds 二 I2一 '2 d 丁。三曲率的計算設(shè)曲線的方程為y=f xjia_x_b ，y = y(x)二階可微，則在點x處的曲率rctgy，斤以譽晉二d J者dx，又因為婦科dx，所以1 y23/21 2 例：求yx2在任一點的曲率。2過點(x, f x 且與y =y(x)在該點有相同的一階及二階導(dǎo)數(shù)的圓(x-a)2 (y-b)2二R2稱為曲率圓。曲率圓的中心和半徑分別稱為曲率中心和曲率半徑。1 2例：求y x在點(o,o)的曲率和曲率半徑。2§ 5.待定型0一及 待定型0 :1什么是不定式極限在求極限時，若分子和分母的極限都趨于0，

24、則把這種類型的極限稱為“ -”型的不定式極限。00O0除了蘭型不等式極限外，還有許多類型的不等式極限，如：(i) 一型；(ii)型；(iii) 0 :型;0DO0qQ(iv) 0°型；(v) 1 :型；(Vi) 0型等，其中最基本的是型和二型，其它類型都可化成這兩種基0QO本類型來解決。2、0不定式極限的計算(洛必達法則)0定理1若函數(shù)fx和g x滿足：(i)limf (x) lim g(x) = 0 ； (2)在點x0的某空心鄰域內(nèi)兩者X內(nèi)都可導(dǎo)，且g (x)"；f (x)(3) limA ,則f g(x)limf(x)= lim f (X)=A。X Mg(x)x 此 g

25、 (x)注 (1 )將X； X0改為Xr Xo ；x。，=,-二，：時，上述結(jié)論都對；(2) lim f-(x)是分子，分母分別 f g"(x)求導(dǎo)時極限和lim( f (x) 不同，更不能認為是(lim f(X)。Xf g (x)Xf g(x)1 -cosx 例：lim2。X Q X3、二型極限(洛必達法則)QO定理2(1) lim f (x)lim g(x) - ：- ；(2)在點x0的某空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且X旳g (x) = 0 ； (3)lim f (x)二 A，則x X0 g (x)lim 血二 limx >x)g(x) x %f (x) g (x)注(1 )將X r x0改為X X。，X。1, ：,：，：時，上述結(jié)論都對;(2)如果，g , f , g”滿足條件，則可再次使用該法則。 例：lim ln。x廠：xxe例：lim 5。J和x50O0L'Hospital法則應(yīng)注意的一些問題(1)、不