提高例題：相交線與平行線培優(yōu)

1、七年級數(shù)學(xué)：相交線與平行線一、知識要點(diǎn)：1.平面上兩條不重合的直線，位置關(guān)系只有兩種：相交和平行。2兩條不同的直線，若它們只有一個(gè)公共點(diǎn)，就說它們相交。即，兩條直線相交有且只有一個(gè)交點(diǎn)。3垂直是相交的特殊情況。有關(guān)兩直線垂直，有兩個(gè)重要的結(jié)論：（1 ）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；（2 ）直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短。4 兩條直線被第三條直線所截，構(gòu)成八個(gè)角，在那些沒有公共頂點(diǎn)的角中，如果兩個(gè)角分別在兩條直線的同一方，并且都在第三條直線的同側(cè)，具有這種關(guān)系的一對角叫做:如果兩個(gè)角都在兩直線之間，并且分別在第三條直線的兩側(cè)，具有這種關(guān)系的一對角叫做 ;如果兩個(gè)角都在兩直線

2、之間，但它們在第三條直線的同一旁，具有這種關(guān)系的一對角叫做 5.平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線 .推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么 .6 平行線的判定：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行簡單說成： 兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成： 兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行.簡單說成：.7 在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線.8 平行線的性質(zhì)：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成： .兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等 .簡單說成：

3、 兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ) 簡單說成： .方法指導(dǎo)：平行線中要理解平行公理， 能熟練地找出“三線八角”圖形中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、 同旁內(nèi)角，并會(huì)運(yùn)用與“三線八角” 有關(guān)的平行線的判定定理和性質(zhì)定理， 利用平行公理及 其推論證明或求解。、例題精講 例1 .如圖，直線a與b平行，/ 1 = (3x+70) °/2=(5x+22)a求/3的度數(shù)。解： a /b ,Z3 = Z4 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）/ Z1+ Z3 =/2+ Z4 = 180。（平角的定義） Z1 =/2（等式性質(zhì)）則 3x+70 = 5x+22 解得 x=24即/1 = 142 °Z3 =

4、 180 ° Z1 = 38評注：建立角度之間的關(guān)系，即建立方程(組)，是幾何計(jì)算常用的方法。例 2 .已知：如圖（2） , AB /EF/CD , EG 平分/ BEF,/B+ /BED+ ZD =192 ° ,ZB- ZD=24 °，求zGEF 的度數(shù)。解：TAB /EF/CDZB= ZBEF,ZDEF= ZD (兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)vzB+ /BED+ ZD =192。（已知）即 ZB+ ZBEF+ ZDEF+ /D=192 °2 （ZB+ ZD） =192 ° （等量代換）則ZB+ ZD=96 ° （等式性質(zhì)）圖/zB-

5、ZD=24。（已知）zB=60 ° （等式性質(zhì)）即ZBEF=60 ° （等量代換）EG平分Z BEF （已知）1zGEF= ZBEF=30。（角平分線定義）2例 3 .如圖（3）,已知 AB /CD，且Z B=40 °,Z=70。，求 ZDEB 的度數(shù)。eF，則應(yīng)添出輔助線。解：過E作EF/ABAB /CD （已知）EF/CD （平行公理）ZBEF= /B=40 ° ZDEF= ZD=70 ° （兩直線平行，內(nèi) 錯(cuò)角相等）ZDEB= /DEF- ZBEFZDEB = ZD- ZB=30評注：證明或解有關(guān)直線平行的問題時(shí)，如果不構(gòu)成“三線八角 圖

6、（3）例4 .已知銳角三角形 ABC的三邊長為a , b , c,而ha, hb, hc分別為對應(yīng)邊上的高線長,求證：ha+h b+h eV a+b+c分析：對應(yīng)邊上的高看作垂線段，而鄰邊看作斜線段 證明：由垂線段最短知，haV e ， hb v a， hev b以上三式相加得 h a+h b+h eV a+b+e研究垂直關(guān)系應(yīng)掌握好垂線的性質(zhì)。1 .以過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線。2 .垂線段最短。例5 .如圖（4）,直線AB與CD相交于 0, EF AB于F, GHCD 于 H ,求證EF與GH必相交。分析:欲證EF與GH相交，直接證很困難，可考慮用反證人/D法。F .H證明:假設(shè)

7、EF與GH不相交。CB EF、GH是兩條不同的直線 EF/GH/ EF AB GH AB又因GH CD 故AB /CD （垂直于同一直線的兩直線平行 ）圖（4）這與已知AB和CD相交矛盾。所以EF與GH不平行，即EF與GH必相交評注：本題應(yīng)用結(jié)論：（1）垂直于同一條直線的兩直線平行。(2)兩條平行線中的一條直線垂直于第三條直線，那么另一條直線也平行于第三條直線；例6 .平面上n條直線兩兩相交且無 3條或3條以上直線共點(diǎn)，有多少個(gè)不同交點(diǎn)？ 解：2條直線產(chǎn)生1個(gè)交點(diǎn)，第3條直線與前面2條均相交，增加 2個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)平面上 3條直線共有1+2=3 個(gè) 交點(diǎn)；第4條直線與前面3條均相交，增加 3個(gè)交

8、點(diǎn)，這時(shí)平面上 4條直線共有1+2+3=6 個(gè)交點(diǎn)；1貝U n條直線共有交點(diǎn)個(gè)數(shù)：1+2+3+ + (n-1)=n(n-1)2評注：此題是平面上 n條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多的情形，需要仔細(xì)觀察，由簡及繁，深入思考， 從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。例7 . 6個(gè)不同的點(diǎn)，其中只有 3點(diǎn)在同一條直線上，2點(diǎn)確定一條直線，問能確定多少條 直線？解：6條不同的直線最多確定：5+4+3+2+仁15條直線，除去共線的 3點(diǎn)中重合多算的2條直線，即能確定的直線為15-2=13 條。另法：3點(diǎn)所在的直線外的3點(diǎn)間最多能確定3條直線，這3點(diǎn)與直線上的3點(diǎn)最多有3 X 3=9條直線，加上3點(diǎn)所在的直線共有：3+9+1=13 條1評注：

9、一般地，平面上 n個(gè)點(diǎn)最多可確定直線的條數(shù)為：1+2+3+(n-1)=n(n-1)例8 . 10條直線兩兩相交，最多將平面分成多少塊不同的區(qū)域？3條直線中的第3條直線與另兩條直線相交，最多有兩個(gè)交點(diǎn)，此直線被這兩點(diǎn)分成3段，每一段將它所在的區(qū)域一分為二，則區(qū)域增加3個(gè)，即最多分成2+2+3=7 個(gè)不同區(qū)域;同理：4條直線最多分成 2+2+3+4=11 個(gè)不同區(qū)域; 10條直線最多分成 2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56個(gè)不同區(qū)域11推廣：n條直線兩兩相交，最多將平面分成2+2+3+4+n=1+n(n+1)=(n 2+n+2)22塊不同的區(qū)域思考：平面內(nèi)n個(gè)圓兩兩相交，最多將平面分成

10、多少塊不同的區(qū)域?例9.平面上n條直線兩兩相交，求證所成得的角中至少有一個(gè)角不大于1800證明：平面上n條直線兩兩相交最多得對頂角嚀1個(gè)角即 2n(n-1)平面上任取一點(diǎn) O ,將這n條直線均平行移動(dòng)過點(diǎn)成為交于一點(diǎn)O的n條直線,這n條直線將以O(shè)為頂點(diǎn)的圓周角分為 2n個(gè)(共X2 = n(n-1)對,n對)互不重疊的角：1、2、3、2n由平行線的性質(zhì)知，這2n個(gè)角中每一個(gè)都和原來 n條直線中的某兩條直線的交角中的 一個(gè)角相等，即這 2n個(gè)角均是原2n(n-1)個(gè)角中的角。卄、18001800右這 2n 個(gè)角均大于，貝U 1+ 2+ 3+ + 2n >2n x =360 ,而 1+ 2+

11、3+ 2n =360。，產(chǎn)生矛盾故 1、2、3、2n中至少有一個(gè)小于1800n即原來的2n(n-1)中至少有一個(gè)角不小于1800n評注：通過平移，可以把原來分散的直線集中交于同一點(diǎn)，從而解決問題。例10 . (a)請你在平面上畫出 6條直線(沒有三條共點(diǎn))，使得它們中的每條直線都恰與另3條直線相交，并簡單說明畫法。(b )能否在平面上畫出 7條直線(任意3條都不共點(diǎn))，使得它們中的每條直線都恰與另3條直線相交，如果能請畫出一例，如果不能請簡述理由。過 D 作 n2 n1，過 G 作 n3n1, 這時(shí) m2、m3、n2、n3交得E、F、H、丨四點(diǎn)，如圖所示。由于彼此平行的直線不相交，所以，圖中每

12、條直線都恰 與另3條直線相交。(b)在平面上不能畫出沒有 3線共點(diǎn)的7條直線，使得其中每條直線都恰與另外 3條直線 相交。理由如下：假設(shè)平面上可以畫出 7條直線，其中每一條都恰與其它3條相交，因兩直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)，又沒有 3條直線共點(diǎn)，所以每條直線上恰有與另3條直線交得的3個(gè)不同的交點(diǎn)。根據(jù)直線去計(jì)數(shù)這些交點(diǎn)，共有3 X7 = 21個(gè)交點(diǎn)，但每個(gè)交點(diǎn)分屬兩條直線，被重復(fù)21計(jì)數(shù)一次，所以這 7條直線交點(diǎn)總數(shù)為 =10.5個(gè)，因?yàn)榻稽c(diǎn)個(gè)數(shù)應(yīng)為整數(shù)，矛盾。2所以，滿足題設(shè)條件的 7條直線是畫不出來的。三、鞏固練習(xí)1 .平面上有5個(gè)點(diǎn)，其中僅有3點(diǎn)在同一直線上，過每2點(diǎn)作一條直線，一共可以作直線

13、（ ）條A. 6 B.7 C. 8 D. 92 平面上三條直線相互間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A . 3 B . 1 或 3 C. 1 或 2 或 3D .不一定是 1 , 2, 33.平面上6條直線兩兩相交，其中僅有3條直線過一點(diǎn)，則截得不重疊線段共有（）A . 36 條 B. 33 條 C. 24 條 D . 21 條4 .已知平面中有n個(gè)點(diǎn)A, B,C三個(gè)點(diǎn)在一條直線上，代D,F,E四個(gè)點(diǎn)也在一條直線上，除些之外，再?zèng)]有三點(diǎn)共線或四點(diǎn)共線，以這n個(gè)點(diǎn)作一條直線，那么一共可以畫出38條不同的直線，這時(shí) n等于（）(A) 9(B) 10(C) 11(D) 125 .若平行直線AB、CD與相交直線EF、

14、GH相交成如圖示的圖形,則共得同旁內(nèi)角（如圖,90B . 8 對 C. 12 對16對已知FD /BE，則 Z1+ Z2- 73=(1351501807 .如圖，已知 AB /CD, 7仁 7，則/E與7F的大小關(guān)系 GAPBCQDE*SlF5點(diǎn)之外這些直線最多還R第10題H8 平面上有5個(gè)點(diǎn)，每兩點(diǎn)都連一條直線，問除了原有的有交點(diǎn)9.平面上3條直線最多可分平面為個(gè)部分。10 .如圖，已知 AB /CD /EF, PS GH 于 P,/FRG=110則/PSQ =。11 .已知A、B是直線L外的兩點(diǎn)，則線段 AB的垂直平分線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是12 .平面內(nèi)有4條直線，無論其關(guān)系如何，它們的交點(diǎn)

15、個(gè)數(shù)不會(huì)超過 個(gè)。13 .已知：如圖， DE /CB，求證：/ AED= 4+ ZB14 .已知：如圖， AB /CD，求證：Z B+ ZD+ ZF= ZE+ ZGF第14題第13題15 .如圖，已知 CB AB , CE平分/ BCD , DE平分/CDA ,/EDC+ ZECD =90 ° ,求證：DA AB16.平面上兩個(gè)圓三條直線，最多有多少不同的交點(diǎn)?17 .平面上5個(gè)圓兩兩相交，最多有多少個(gè)不同的交點(diǎn)？最多將平面分成多少塊區(qū)域？18 .一直線上5點(diǎn)與直線外3點(diǎn)，每兩點(diǎn)確定一條直線，最多確定多少條不同直線？19 .平面上有8條直線兩兩相交，試證明在所有的交角中至少有一個(gè)角小

16、于23 °。20 .平面上有10條直線，無任何三條交于一點(diǎn)，欲使它們出現(xiàn)31個(gè)交點(diǎn)，怎樣安排才能辦到？畫出圖形。答案1 .5個(gè)點(diǎn)中任取2點(diǎn)，可以作4+3+2+1= 10條直線，在一直線上的3個(gè)點(diǎn)中任取2點(diǎn),可作2+1 = 3條，共可作10-3+1 = 8 （條）故選 C2平面上3條直線可能平行或重合。故選D3 .對于3條共點(diǎn)的直線，每條直線上有4個(gè)交點(diǎn)，截得3條不重疊的線段，3條直線共有9條不重疊的線段對于3條不共點(diǎn)的直線，每條直線上有5個(gè)交點(diǎn)，截得4條不重疊的線段，3條直線共有12條不重疊的線段。故共有21條不重疊的線段。故選 D4 .由n個(gè)點(diǎn)中每次選取兩個(gè)點(diǎn)連直線，可以畫出-n（

17、n一1）條直線，若ABC三點(diǎn)不在一條直線上，可以畫出3條直線，若代D,E,F四點(diǎn)不在一條直線上，可以畫出6條直線，n(n 1)236 238.整理得n2n 900,(n 10)( n 90)0./ n+9 > 0n10,選 B。5 .直線EF、GH分別“截”平行直線 AB、CD，各得2對冋旁內(nèi)角，共4對；直線AB、CD分別“截”相交直線 EF、GH，各得6對同旁內(nèi)角，共12對。因此圖中共有同旁內(nèi)角4+6 = 16 對EB6 .FD /BE/2= ZAGF5GC= Z1- Z3Z1+ /2- Z3= ZAGC+ /AGF=180選 B7 .解：TAB /CD（已知）ZBAD= ZCDA （

18、兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）/Z1= Z2(已知)ZBAD+ /仁ZCDA+ 亠(等式性質(zhì))即ZEAD= /FDAAE /FDzE=ZF8 .解：每兩點(diǎn)可確定一條直線，這5點(diǎn)最多可組成10條直線，又每兩條直線只有一個(gè)交點(diǎn)，所以共有交點(diǎn)個(gè)數(shù)為9+8+7+6+5+4+3+2+1= 45 （個(gè)）又因平面上這 5個(gè)點(diǎn)與其余4個(gè)點(diǎn)均有4條連線，這四條直線共有3+2+1 = 6個(gè)交點(diǎn)與平面上這一點(diǎn)重合應(yīng)去掉，共應(yīng)去掉5X6=30個(gè)交點(diǎn)，所以有交點(diǎn)的個(gè) 數(shù)應(yīng)為45-30 = 15個(gè)CDSElF4第10題7HGAPB9 .可分7個(gè)部分10 .解AB /CD /EFZAPQ =ZDQG= /FRG=110 

19、6; 同理/ PSQ= ZAPSZPSQ= ZAPQ- ZSPQ= ZDQG- /SPQ=110 °-90 °=20 °11.0個(gè)、1個(gè)或無數(shù)個(gè) 1 ）若線段AB的垂直平分線就是 L,則公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)應(yīng)是無數(shù)個(gè);2 ）若AB L,但L不是AB的垂直平分線，則此時(shí)AB的垂直平分線與 L是平行的關(guān)系，所以它們沒有公共點(diǎn)，即公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為0 個(gè);3 ）若AB與L不垂直，那么AB的垂直平分線與直線L一定相交，所以此時(shí)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè)12 . 4條直線兩兩相交最多有 1+2+3 = 6個(gè)交點(diǎn)13 .證明：過E作EF/BAZ2= ZA （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）DE /CB,E

20、F/BAZ= ZB （兩個(gè)角的兩邊分別平行，這兩個(gè)角相等） Z+ Z2= ZB+ ZA （等式性質(zhì)）即 ZAED= ZA+ ZB14 .證明：分別過點(diǎn) E、F、G作AB的平行線EH、PF、GQ ,貝U AB /EH /PF/GQ （平行公理）/ AB /EH/ABE =ZBEH （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）同理：/ HEF =/EFPZPFG=/FGQ/QGD =/GDCZABE+ ZEFP+ ZPFG+ /GDC = /BEH+ ZHEF+ZFGQ+ /QGD (等式性質(zhì))即 ZB+ ZD+ ZEFG= ZBEF+ ZGFD15 .證明：VDE平分/CDACE 平分/ BCD zEDC= ZA

21、DE/ECD = /BCE （角平分線定義） /CDA + ZBCD= ZEDC+ ZADE+ ZECD+ /BCE=2 (/EDC+ /ECD )= 180DA /CB又 CB AB DA AB16.兩個(gè)圓最多有兩個(gè)交點(diǎn)，每條直線與兩個(gè)圓最多有同的交點(diǎn)，即最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)為：2+4 X3+3=174個(gè)交點(diǎn)，三條直線最多有3個(gè)不17 . （1 ） 2個(gè)圓相交有交點(diǎn) 2 X1 = 1個(gè)，第3個(gè)圓與前兩個(gè)圓相交最多增加2 X2= 4個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)共有交點(diǎn)2+2 X2 = 6個(gè)第4個(gè)圓與前3個(gè)圓相交最多增加 2 X3 = 6個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)共有交點(diǎn)2+2 X2+2 X3 = 12個(gè) 第5個(gè)圓與前4個(gè)圓相交最多增加 2 X4 = 8個(gè)交點(diǎn) 5個(gè)圓兩兩相交最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)為：2+2 X2+2 X3+2 X4 = 20(2 ) 2個(gè)圓相交將平面分成 2個(gè)區(qū)域3個(gè)圓相看作第3個(gè)圓與前2個(gè)圓相交，最多有 2X2 = 4個(gè)不同的交點(diǎn)，這4個(gè)點(diǎn)將 第3個(gè)圓分成4段弧