第9章波動(dòng)和聲(2)

1、P360（習(xí)題）：（習(xí)題）：9.2.3，9.2.5, 9.2.6，9.2.10第九章部分習(xí)題第九章部分習(xí)題第九章第九章 波動(dòng)和聲波動(dòng)和聲 (9-10(9-10學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)) )9.1 9.1 波的基本概念波的基本概念9.2 9.2 平面簡(jiǎn)諧波方程平面簡(jiǎn)諧波方程9.3 9.3 波動(dòng)方程波動(dòng)方程和波速和波速9.4 9.4 平均能流密度平均能流密度聲強(qiáng)與聲壓聲強(qiáng)與聲壓9.5 9.5 波的疊加和干涉波的疊加和干涉駐波駐波9.6 9.6 多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng) 8.1 彈性體的彈性體的 拉伸和壓縮拉伸和壓縮 8.2 彈性體的彈性體的剪切形變剪切形變 *8.3 彎曲和扭轉(zhuǎn)彎曲和扭轉(zhuǎn) （了解）（了解） 彈性形變彈

2、性形變當(dāng)物體所受外力撤除后，在外當(dāng)物體所受外力撤除后，在外力作用下所發(fā)生的形狀和體積的變化完全消力作用下所發(fā)生的形狀和體積的變化完全消失，而恢復(fù)原狀的形變失，而恢復(fù)原狀的形變. .彈性體彈性體只發(fā)生彈性形變的物體，是一種理只發(fā)生彈性形變的物體，是一種理想模型想模型. . 彈性的形變有彈性的形變有拉伸壓縮、剪切拉伸壓縮、剪切、扭轉(zhuǎn)和彎、扭轉(zhuǎn)和彎曲曲. .拉伸壓縮和剪切形變是最基本的形變拉伸壓縮和剪切形變是最基本的形變. .（一）（一） 外力外力內(nèi)力與應(yīng)力內(nèi)力與應(yīng)力 F FABFFFF F FABFFF F FneFne外力外力 F F FF 內(nèi)力內(nèi)力 F不計(jì)桿自身重量不計(jì)桿自身重量 FFF 應(yīng)力

3、應(yīng)力 n0,0,FS：拉力；壓力Fn是內(nèi)力在是內(nèi)力在外法線方向外法線方向的投影的投影, S是假象橫截面積是假象橫截面積 8.1 彈性體的彈性體的 拉伸和壓縮拉伸和壓縮 P265 例題例題1本段標(biāo)題為桿的拉伸壓縮，但并非僅直桿內(nèi)本段標(biāo)題為桿的拉伸壓縮，但并非僅直桿內(nèi)存在拉伸壓縮應(yīng)力存在拉伸壓縮應(yīng)力.如圖表示裝高壓氣體的薄壁圓柱形容如圖表示裝高壓氣體的薄壁圓柱形容器的橫斷面。壁厚為器的橫斷面。壁厚為d 且圓柱的半徑為且圓柱的半徑為R. 氣體壓強(qiáng)為氣體壓強(qiáng)為p ，求壁內(nèi)沿圓周切向的應(yīng)力求壁內(nèi)沿圓周切向的應(yīng)力.不計(jì)容器自重且不計(jì)大氣壓不計(jì)容器自重且不計(jì)大氣壓.Rd2pR d d解解 受力如圖所示。按受

4、力如圖所示。按受力平衡條件受力平衡條件得得即器壁沿圓周切向受拉應(yīng)力即器壁沿圓周切向受拉應(yīng)力.022 dpR dRp/ 河北趙州橋河北趙州橋 拱形建筑內(nèi)壁受壓應(yīng)力拱形建筑內(nèi)壁受壓應(yīng)力二、直桿的二、直桿的線應(yīng)變線應(yīng)變 bb0ll00lll 直桿原長(zhǎng)與形變后長(zhǎng)度之差直桿原長(zhǎng)與形變后長(zhǎng)度之差 0 l絕對(duì)伸長(zhǎng)絕對(duì)伸長(zhǎng) 0 l絕對(duì)壓縮絕對(duì)壓縮 線應(yīng)變線應(yīng)變 0ll 橫向應(yīng)變橫向應(yīng)變 0001bbbbb 泊松系數(shù)泊松系數(shù) 1 反映物質(zhì)形變程度，反映物質(zhì)形變程度， 反映物質(zhì)彈性特征反映物質(zhì)彈性特征. 三、胡克定律三、胡克定律 （僅形變較小時(shí)成立）（僅形變較小時(shí)成立）胡克定律：胡克定律： E n0FlEESl，

5、 彈性模量，楊氏模量即即 開(kāi)始開(kāi)始“頸縮頸縮”F l O CDB O AB P P 是是塑性應(yīng)變塑性應(yīng)變. 斷裂點(diǎn)斷裂點(diǎn) 屈服極限屈服極限 骨骨馬馬牛牛豬豬人人拉伸彈性模量拉伸彈性模量股骨股骨25.525.014.917.6脛骨脛骨23.824.517.218.4肱骨肱骨17.818.314.617.5橈骨橈骨22.825.915.818.9壓縮彈性模量壓縮彈性模量股骨股骨9.40.478.74.9脛骨脛骨8.55.1肱骨肱骨9.05.0橈骨橈骨8.45.3表表8.3 密質(zhì)骨的彈性模量密質(zhì)骨的彈性模量/GPa 四、拉伸和壓縮的四、拉伸和壓縮的形變勢(shì)能形變勢(shì)能 設(shè)形變量設(shè)形變量 ，直桿形變前，直

6、桿形變前 =0；發(fā)生形變；發(fā)生形變 l , = l 彈性力是彈性力是保守力保守力.彈性力所做的功等于彈性體彈性勢(shì)能的減少?gòu)椥粤λ龅墓Φ扔趶椥泽w彈性勢(shì)能的減少. 0nlSEF 胡克定律胡克定律 外力做功外力做功 d0n lFA llES00d 020)(21SlllE 彈性力所做的功與外力的功大小相等，符號(hào)相反彈性力所做的功與外力的功大小相等，符號(hào)相反.彈性勢(shì)能等于自勢(shì)能零點(diǎn)開(kāi)始外力做功的正值。彈性勢(shì)能等于自勢(shì)能零點(diǎn)開(kāi)始外力做功的正值。設(shè)未形變時(shí)勢(shì)能為零，設(shè)未形變時(shí)勢(shì)能為零， 則則 VEE2p21 直桿直桿拉伸壓縮彈性勢(shì)能拉伸壓縮彈性勢(shì)能： 對(duì)于均勻形變，對(duì)于均勻形變，彈性勢(shì)能密度彈性勢(shì)能密度

7、： 02p12pEEEV220011()22lAESlEVl外力做功外力做功: 8.2 彈性體的剪切形變彈性體的剪切形變 一、剪切形變一、剪切形變 剪切形變剪切形變物體受到物體受到力偶力偶作用使物體兩個(gè)平行截面作用使物體兩個(gè)平行截面間發(fā)生相對(duì)平行移動(dòng)間發(fā)生相對(duì)平行移動(dòng).FFABCD切應(yīng)力切應(yīng)力 SF S是截面是截面ABCD的面積，的面積，切應(yīng)力具有與正應(yīng)力相同的量綱和單位切應(yīng)力具有與正應(yīng)力相同的量綱和單位. 1.切應(yīng)力切應(yīng)力 剪切應(yīng)力互等定律：剪切應(yīng)力互等定律：作用于互相垂直的假想截面上并作用于互相垂直的假想截面上并垂直于該兩平面交線的切應(yīng)力相等垂直于該兩平面交線的切應(yīng)力相等. abcF FF

8、 F 力偶矩力偶矩 ),(),(FFMFFM 2.剪切應(yīng)力互等剪切應(yīng)力互等 和和 分別表示上下底面和左右側(cè)面的切應(yīng)力分別表示上下底面和左右側(cè)面的切應(yīng)力 acbbca )()( 3.剪切應(yīng)變描述剪切應(yīng)變描述 abcdb c 剪切形變特征剪切形變特征: ccbb 切應(yīng)變切應(yīng)變 : 平行截面間相對(duì)滑移與截平行截面間相對(duì)滑移與截面垂直距離之比面垂直距離之比. abbb tan即即 形變小時(shí)，形變小時(shí)， tanabbb 又稱又稱切變角切變角, 一純數(shù)一純數(shù) 二、剪切形變的胡克定律二、剪切形變的胡克定律 G G稱切變模量稱切變模量，由材料彈性決定，由材料彈性決定. G反映材料抵抗剪反映材料抵抗剪切形變的能

9、力，切形變的能力， 單位與彈性模量相同單位與彈性模量相同.剪切形變的胡克定律剪切形變的胡克定律若形變?cè)谝欢ㄏ薅葍?nèi)，切若形變?cè)谝欢ㄏ薅葍?nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比應(yīng)力與切應(yīng)變成正比.1. 剪切形變的胡克定律剪切形變的胡克定律 單位體積剪切形變的彈性勢(shì)能為單位體積剪切形變的彈性勢(shì)能為 20p21 GE 波動(dòng)波動(dòng)是振動(dòng)是振動(dòng)( (相位相位) )狀態(tài)的傳播狀態(tài)的傳播，簡(jiǎn)稱波，簡(jiǎn)稱波. .機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng) 電磁振動(dòng)電磁振動(dòng) 振動(dòng)振動(dòng) 波波 機(jī)械波機(jī)械波 電磁波電磁波 10.1 波的基本概念波的基本概念 一、一、 波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播 機(jī)械波產(chǎn)生的條件：機(jī)械波產(chǎn)生的條件： 振源振源和和彈性介質(zhì)

10、彈性介質(zhì). . 彈性介質(zhì)彈性介質(zhì)由彈性力組合的連續(xù)介質(zhì)由彈性力組合的連續(xù)介質(zhì). .正彈性力正彈性力( (拉伸、壓縮拉伸、壓縮):):固體、液體、氣體、固體、液體、氣體、彈性力彈性力剪切彈性力：剪切彈性力： 固體固體二、二、 多種多樣的波多種多樣的波 橫波橫波1.1.橫波與縱波橫波與縱波x縱波縱波u縱波縱波振動(dòng)方向與傳播方向振動(dòng)方向與傳播方向相同相同, 如聲波如聲波.動(dòng)畫演示動(dòng)畫演示橫波橫波各振動(dòng)方向與傳播方向各振動(dòng)方向與傳播方向垂直垂直.質(zhì)點(diǎn)完成一次振動(dòng)，波剛好傳播了一個(gè)波形質(zhì)點(diǎn)完成一次振動(dòng)，波剛好傳播了一個(gè)波形. 動(dòng)畫演示動(dòng)畫演示質(zhì)點(diǎn)只在平衡位置附近做振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)只在平衡位置附近做振動(dòng)，并未隨著

11、波的傳播方并未隨著波的傳播方向進(jìn)行遷移。向進(jìn)行遷移。2. 表面波水面波表面波水面波 水面波是由于表面張力和重力作用的結(jié)果，為水面波是由于表面張力和重力作用的結(jié)果，為非彈性波非彈性波. Oy水面平衡位置水面平衡位置 水面波即不是縱波也不是橫波水面波即不是縱波也不是橫波 3. 地震波地震波* 地震波包含：地震波包含：縱波（縱波（ P波）波）橫波（橫波（S波）波）以及表面波以及表面波 三、三、 平面波與球面波平面波與球面波 波線波線（波射線（波射線)表明表明波的傳播方向的波的傳播方向的線線波面波面（相面、波陣面）（相面、波陣面）振動(dòng)振動(dòng)相位相同相位相同點(diǎn)組成的平面點(diǎn)組成的平面波前波前某時(shí)刻處在某時(shí)刻

12、處在最前方最前方的波面的波面. 在在各向同性均勻介質(zhì)中，波線與波面垂直各向同性均勻介質(zhì)中，波線與波面垂直.波面波面波線波線球面波球面波平面波平面波波線波線波面波面10.2 平面簡(jiǎn)諧波方程平面簡(jiǎn)諧波方程 一、一、 平面簡(jiǎn)諧波方程平面簡(jiǎn)諧波方程 以橫波為例以橫波為例平面簡(jiǎn)諧波平面簡(jiǎn)諧波 平面平面波源振動(dòng)波源振動(dòng), 在波動(dòng)傳播的區(qū)域在波動(dòng)傳播的區(qū)域, 媒質(zhì)中的媒質(zhì)中的質(zhì)元均按余（正）弦規(guī)律運(yùn)動(dòng)。質(zhì)元均按余（正）弦規(guī)律運(yùn)動(dòng)。數(shù)學(xué)描述數(shù)學(xué)描述 y = f (x,t) 1. 平面簡(jiǎn)諧波的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程平面簡(jiǎn)諧波的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 設(shè)一列平面簡(jiǎn)諧波沿設(shè)一列平面簡(jiǎn)諧波沿正正 x 方向方向傳播傳播 , xypvOx設(shè)設(shè)

13、t 時(shí)刻時(shí)刻O點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式：點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式：tAy cos 求求t時(shí)刻任意點(diǎn)時(shí)刻任意點(diǎn)p的振動(dòng)的振動(dòng). 角頻率（圓頻率）角頻率（圓頻率）.其中其中 y 是是O點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)偏離其平衡位置的位移，點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)偏離其平衡位置的位移，A振幅振幅, O點(diǎn)振動(dòng)傳到點(diǎn)振動(dòng)傳到 p點(diǎn)需用時(shí)點(diǎn)需用時(shí) vxt 相位落后相位落后 vx t時(shí)刻時(shí)刻p點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)學(xué)方程方程： )(cos),(vxtAtxy xypvOx若波向若波向負(fù)負(fù)x方向方向傳播傳播 )(cos),(vxtAtxy xvP點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)傳到點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)傳到 O 點(diǎn)需用時(shí)：點(diǎn)需用時(shí)： xtvP點(diǎn)的相位超前于點(diǎn)的相位超前于O點(diǎn)相位：點(diǎn)相位：平面簡(jiǎn)諧波平面簡(jiǎn)諧

14、波的一般表達(dá)式的一般表達(dá)式cos()xyAtv負(fù)（正）號(hào)代表向負(fù)（正）號(hào)代表向 x 正（負(fù)）向傳播的簡(jiǎn)諧波正（負(fù)）向傳播的簡(jiǎn)諧波.xypvOx2. 討論討論 位移位移 y 既是既是 t 的函數(shù)，又是的函數(shù)，又是 x 的函數(shù)的函數(shù) (1)當(dāng)當(dāng) x 一定時(shí)，令一定時(shí)，令 x = x0 表達(dá)式變成表達(dá)式變成 y - t 關(guān)系，是關(guān)系，是 x0 點(diǎn)的振動(dòng)方程點(diǎn)的振動(dòng)方程. T tyA-AO0cos()xyAtvx0相位比相位比 x=0 點(diǎn)落后點(diǎn)落后 vx0 注意：介質(zhì)中各點(diǎn)在平衡位置附近的往復(fù)振動(dòng)并不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)注意：介質(zhì)中各點(diǎn)在平衡位置附近的往復(fù)振動(dòng)并不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)cos()xyAtv(2) t一定一定

15、（統(tǒng)觀波線上所有質(zhì)點(diǎn)）（統(tǒng)觀波線上所有質(zhì)點(diǎn)）這時(shí)這時(shí), y 僅為僅為 x 的周期函數(shù)的周期函數(shù).當(dāng)當(dāng) t = t0 時(shí)時(shí) 表達(dá)式變成表達(dá)式變成 y x 關(guān)系，表達(dá)了關(guān)系，表達(dá)了 t = t0 時(shí)刻空間各點(diǎn)的位移分時(shí)刻空間各點(diǎn)的位移分布布波形圖波形圖.y xOt 時(shí)刻的波形曲線時(shí)刻的波形曲線0cos()xyAtv(3) x、t 均變均變 具有波動(dòng)意義具有波動(dòng)意義 即即: 各質(zhì)點(diǎn)各自振動(dòng)各質(zhì)點(diǎn)各自振動(dòng) ; 波形向前傳播波形向前傳播. xyx1xy1t 時(shí)刻時(shí)刻 t + t 時(shí)刻時(shí)刻 xv tx2cos()xyAtv3. 簡(jiǎn)諧波的特征量簡(jiǎn)諧波的特征量cos()xyAtv（1）波速（波速（相速度）相速

16、度）:()xtvvxvt 某一給定相位的位置隨時(shí)間移動(dòng)的速度，即某一給定相位的位置隨時(shí)間移動(dòng)的速度，即相相速度速度( (相位傳播速度相位傳播速度) )。(dxvdt當(dāng)一定時(shí)）（2）波的波的頻率頻率 （波的時(shí)間周期性（波的時(shí)間周期性) ) 2T周期周期: :單位時(shí)間媒質(zhì)中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)完整振動(dòng)的次數(shù)單位時(shí)間媒質(zhì)中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)完整振動(dòng)的次數(shù)頻率頻率：21T媒質(zhì)中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)媒質(zhì)中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)( (固定固定x值值) )都在做周期性運(yùn)動(dòng)（都在做周期性運(yùn)動(dòng)（不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)）cos()xyAtv(3)(3)波長(zhǎng)波長(zhǎng) : : （波的空間周期性波的空間周期性) )cos()xxyAtvcos ()cos ()xxxx

17、xxyAtAtvvv相鄰?fù)帱c(diǎn)：相鄰?fù)帱c(diǎn)：2xv2vx2(1,2,3,.)xkkv同相同相:2vvTvTx同一時(shí)刻兩個(gè)同一時(shí)刻兩個(gè)相鄰?fù)帱c(diǎn)相鄰?fù)帱c(diǎn)間的距離間的距離31 2 vk令令 波數(shù)波數(shù) Tv 2 波長(zhǎng)波長(zhǎng)， 波速波速與與頻率頻率之間的關(guān)系為之間的關(guān)系為 波在空間的周期性波在空間的周期性 波在時(shí)間上的周期性波在時(shí)間上的周期性 通過(guò)波速通過(guò)波速v聯(lián)系起來(lái)聯(lián)系起來(lái) (1)(1) 不同時(shí)刻對(duì)應(yīng)不同的波形曲線不同時(shí)刻對(duì)應(yīng)不同的波形曲線 4.4.簡(jiǎn)諧波的簡(jiǎn)諧波的波形曲線波形曲線( (波形圖波形圖) ) xvtyo (2)(2) 橫波橫波的波形曲線直接反應(yīng)該時(shí)刻各質(zhì)元偏離各自平衡位的波形曲線直接

18、反應(yīng)該時(shí)刻各質(zhì)元偏離各自平衡位置的位移置的位移. .cos()xyAtv某一時(shí)刻各質(zhì)元偏離各自平衡位置的位移的某一時(shí)刻各質(zhì)元偏離各自平衡位置的位移的y-x曲線曲線(3). 縱波縱波波形曲線波形曲線y軸位移表示的是質(zhì)點(diǎn)在軸位移表示的是質(zhì)點(diǎn)在x軸上軸上偏離平衡位置位移偏離平衡位置位移:向右為正向右為正,向左為負(fù)向左為負(fù) xutyo二、平面簡(jiǎn)諧波方程的多種形式二、平面簡(jiǎn)諧波方程的多種形式 利用：利用： 22 T vvT 2 vk下述幾式等價(jià)：下述幾式等價(jià)：( , )cos ()xy x tAtv( , )cos2()xy x tAt( , )cosy x tAtkx( , )cos2()txy x

19、tATP332 例題例題1 平面簡(jiǎn)諧波方程為平面簡(jiǎn)諧波方程為如何將此方程化成為最簡(jiǎn)形式如何將此方程化成為最簡(jiǎn)形式.3/)/(2cos vxtAy 選擇計(jì)時(shí)起點(diǎn)瞬時(shí)相位為零的一個(gè)體元為新的坐標(biāo)選擇計(jì)時(shí)起點(diǎn)瞬時(shí)相位為零的一個(gè)體元為新的坐標(biāo)原點(diǎn)原點(diǎn).對(duì)新原點(diǎn)平衡位置為對(duì)新原點(diǎn)平衡位置為x 的某體元在的某體元在t時(shí)刻的相位為時(shí)刻的相位為 )(2vxt 3)(2 vxt 解解 移動(dòng)坐標(biāo)原點(diǎn)移動(dòng)坐標(biāo)原點(diǎn)或或改變計(jì)時(shí)起點(diǎn)改變計(jì)時(shí)起點(diǎn)都可使原點(diǎn)初始相位為零都可使原點(diǎn)初始相位為零.（1）移動(dòng)坐標(biāo)原點(diǎn)移動(dòng)坐標(biāo)原點(diǎn) 此體元對(duì)舊坐標(biāo)原點(diǎn)其平衡位置坐標(biāo)為此體元對(duì)舊坐標(biāo)原點(diǎn)其平衡位置坐標(biāo)為x，在，在t 時(shí)刻的相位為時(shí)刻的

20、相位為3)(2)(2 vxtvxt 61 xx 61表明坐標(biāo)原點(diǎn)應(yīng)沿表明坐標(biāo)原點(diǎn)應(yīng)沿x軸正向移動(dòng)軸正向移動(dòng)由此得由此得 所以所以 （2）改變計(jì)時(shí)起點(diǎn)改變計(jì)時(shí)起點(diǎn)3)(2)(2 vxtvxt 由此可得由此可得表明計(jì)時(shí)起點(diǎn)應(yīng)向前移六分之一周期表明計(jì)時(shí)起點(diǎn)應(yīng)向前移六分之一周期.6Ttt 例題例題2 有一列向有一列向 x 軸軸正方向正方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波，它傳播的平面簡(jiǎn)諧波，它在在t = 0時(shí)刻的波形如圖所示時(shí)刻的波形如圖所示,其波速為其波速為v =600 m/s.試寫試寫出波方程出波方程.x/my/m512.Ov= 5mA24m =2 解解原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為 波方程為波方程

21、為 )250cos(50 ty2)600(50cos5 xty11600s25s24v-1srad 502 ( , )cos ()xxy x tAtv波沿 正方向傳播，x/my/m512.Ov10.3 10.3 波動(dòng)方程與波速波動(dòng)方程與波速 一、一、 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 波動(dòng)方程波動(dòng)方程由由動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)規(guī)律得到的概括振動(dòng)傳播規(guī)律的方程規(guī)律得到的概括振動(dòng)傳播規(guī)律的方程.以以平面橫波平面橫波為例討論為例討論 Oxyx+ x yxxFxxF 設(shè)設(shè)橫波橫波沿沿x方向傳播，方向傳播， 體元橫截面積體元橫截面積S，密度，密度 .GxySFxxdd xydd切切應(yīng)應(yīng)變變x 處，處，由由胡克定律胡克定律 ( ,

22、 )yy x t( , )xxFy x tGSxOxyx+ x yxxFxxF xx同理：處GxtxySFxxxx),( ( , )( , )xxxxxxy x ty x tFFGSxxOxyx+ x yxxFxxF 在在忽略高級(jí)無(wú)窮小量忽略高級(jí)無(wú)窮小量時(shí)時(shí)，有，有 xxtxyxtxyxtxyxxxx),(),(),(22 xGSxtxyFFxxxx),(22 又由又由牛二定理牛二定理22),(ttxymFFxxx xSm 2222xyGty 橫波的波動(dòng)方程橫波的波動(dòng)方程 2222xyEty 固體中固體中彈性平面縱波彈性平面縱波的波動(dòng)方程：的波動(dòng)方程： 彈性介質(zhì)中橫波的波動(dòng)方程彈性介質(zhì)中橫波的波動(dòng)方程 2222xy