第17章外匯和分形美式期權(quán)定價(jià)

1、第第17章章 外匯和分形美式期權(quán)定價(jià)外匯和分形美式期權(quán)定價(jià)n17.1 美式外匯期權(quán)定價(jià)模型美式外匯期權(quán)定價(jià)模型n17.2 分形美式期權(quán)定價(jià)分形美式期權(quán)定價(jià)n我們在前面為歐式期權(quán)和美式期權(quán)定價(jià)時(shí)，都我們在前面為歐式期權(quán)和美式期權(quán)定價(jià)時(shí)，都假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的對數(shù)收益率服從正態(tài)分布，事假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的對數(shù)收益率服從正態(tài)分布，事實(shí)上這個(gè)假設(shè)在現(xiàn)實(shí)中很難成立，分形期權(quán)定實(shí)上這個(gè)假設(shè)在現(xiàn)實(shí)中很難成立，分形期權(quán)定價(jià)模型可以解決該問題。的本章主要介紹美式價(jià)模型可以解決該問題。的本章主要介紹美式外匯期權(quán)定價(jià)模型、分形期權(quán)定價(jià)模型和案例外匯期權(quán)定價(jià)模型、分形期權(quán)定價(jià)模型和案例研究。這些美式期權(quán)定價(jià)模型的理論基礎(chǔ)是連研究

2、。這些美式期權(quán)定價(jià)模型的理論基礎(chǔ)是連續(xù)時(shí)間美式期權(quán)定價(jià)模型。續(xù)時(shí)間美式期權(quán)定價(jià)模型。 17.1 美式外匯期權(quán)定價(jià)模型美式外匯期權(quán)定價(jià)模型n外匯期權(quán)又稱貨幣期權(quán)。在美國國際貨外匯期權(quán)又稱貨幣期權(quán)。在美國國際貨幣市場幣市場（IMMIMM），），有美元兌主要貨幣期權(quán)。有美元兌主要貨幣期權(quán)。例如，有歐元兌美元、英鎊兌美元、日例如，有歐元兌美元、英鎊兌美元、日元兌美元、人民幣兌美元期權(quán)。貨幣期元兌美元、人民幣兌美元期權(quán)。貨幣期權(quán)和約為購買者提供了在一定期限內(nèi)以權(quán)和約為購買者提供了在一定期限內(nèi)以指定的價(jià)格買賣某種貨幣的權(quán)利（而非指定的價(jià)格買賣某種貨幣的權(quán)利（而非義務(wù)）。貨幣期權(quán)有看漲期權(quán)和看跌期義務(wù)）。貨

3、幣期權(quán)有看漲期權(quán)和看跌期權(quán)。權(quán)。 n17.1.1 17.1.1 現(xiàn)金模型現(xiàn)金模型n假設(shè)銀行存款利率按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，而且是零利率，假設(shè)銀行存款利率按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，而且是零利率，中間不支付利息。如果人民幣的年利率為中間不支付利息。如果人民幣的年利率為 ，零時(shí)刻，零時(shí)刻1 1元人民幣國債在元人民幣國債在t t時(shí)刻的價(jià)值為：時(shí)刻的價(jià)值為： n （17-117-1）n同理，如果美元的年利率為同理，如果美元的年利率為 ，零時(shí)刻，零時(shí)刻1 1美元國債在美元國債在 時(shí)刻的價(jià)值為：時(shí)刻的價(jià)值為：n （17-217-2）trtdeB trtfeD drfrtn事實(shí)上，美元兌換人民幣的數(shù)量每時(shí)每刻都在變化。事實(shí)上，

4、美元兌換人民幣的數(shù)量每時(shí)每刻都在變化。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，兩者之間服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)。假根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，兩者之間服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)。假設(shè)零時(shí)刻設(shè)零時(shí)刻1 1美元兌換美元兌換 人民幣，則人民幣，則 時(shí)刻時(shí)刻1 1美元可兌美元可兌換的人民幣數(shù)量為一個(gè)隨機(jī)變量，可表示為：換的人民幣數(shù)量為一個(gè)隨機(jī)變量，可表示為：n （17-317-3）n其中：匯率波動(dòng)其中：匯率波動(dòng) 是由隨機(jī)因素決定的；是由隨機(jī)因素決定的； 而匯率漂而匯率漂移移 是由兩國的銀行存款利率和綜合國力所決定的；是由兩國的銀行存款利率和綜合國力所決定的； 為為 測度下的布朗運(yùn)動(dòng)。測度下的布朗運(yùn)動(dòng)。 、 、 和和 為常數(shù)。為常數(shù)。)exp(0tWC

5、Ctt0CttWPfrdrn17.1.2 匯率波動(dòng)過程匯率波動(dòng)過程n從現(xiàn)金模型中我們可以看出，人民幣債券從現(xiàn)金模型中我們可以看出，人民幣債券 、美元債、美元債券券 和匯率和匯率 都是不可交易的。而且都是不可交易的。而且 和和 的乘的乘積積 是可交易的。計(jì)量單位是人民幣。是可交易的。計(jì)量單位是人民幣。n （17-417-4）n公式（公式（17-417-4）表示）表示 時(shí)刻美元投資者持有時(shí)刻美元投資者持有 美元現(xiàn)金，美元現(xiàn)金，匯率按匯率按 所表示的布朗運(yùn)動(dòng)進(jìn)行波動(dòng)，所表示的布朗運(yùn)動(dòng)進(jìn)行波動(dòng)， 時(shí)刻能兌換時(shí)刻能兌換 元人民幣元人民幣。tttDCS tBtDtCtCtDtStStDttCtn用用 時(shí)刻

6、的人民幣時(shí)刻的人民幣 對對 進(jìn)行貼現(xiàn)，得到貼現(xiàn)后的進(jìn)行貼現(xiàn)，得到貼現(xiàn)后的美元兌人民幣的匯率美元兌人民幣的匯率n n （17-517-5）n根據(jù)伊滕定理，我們可以求出隨機(jī)過程（根據(jù)伊滕定理，我們可以求出隨機(jī)過程（17-517-5）的隨）的隨機(jī)微分方程：機(jī)微分方程：n （17-617-6）n如果外匯市場沒有套利機(jī)會，式（如果外匯市場沒有套利機(jī)會，式（17-617-6）所表示的隨）所表示的隨機(jī)過程必須是鞅過程。機(jī)過程必須是鞅過程。1ttttBDCZ)(exp0trrWCZdft)21(2dtrrdWZdZdfttttBtSn如果如果 是是 測度下的布朗運(yùn)動(dòng)，利用測度下的布朗運(yùn)動(dòng)，利用CMGCMG測度

7、變換定測度變換定理理, ,讓讓n （17-717-7）n則式（則式（17-617-6）變成）變成 測度下的鞅過程測度下的鞅過程n （17-817-8）n鞅過程（鞅過程（17-817-8）的均值為零，根據(jù)）的均值為零，根據(jù)ItoIto定理，我們可以定理，我們可以求出它的解：求出它的解：n （17-917-9）WWdZdZtt)21exp(20tWCZttrrWWdftt)21(12QQn因?yàn)橐驗(yàn)閚即即n （17-1017-10）n用隨機(jī)過程（用隨機(jī)過程（17-1017-10）表示的匯率過程沒有套利機(jī)會。）表示的匯率過程沒有套利機(jī)會。ttttZDBC1)21(exp20trrWCCfdtn17.1

8、.3 遠(yuǎn)期匯率遠(yuǎn)期匯率n下面介紹遠(yuǎn)期匯率。如果沒有套利機(jī)會，下面介紹遠(yuǎn)期匯率。如果沒有套利機(jī)會， 年后，一年后，一美元能兌換多少人民幣呢？也就是說，美元能兌換多少人民幣呢？也就是說， 年后，投資年后，投資者愿意出什么樣的價(jià)格買入人民幣。者愿意出什么樣的價(jià)格買入人民幣。n假設(shè)今天遠(yuǎn)期匯率價(jià)格為假設(shè)今天遠(yuǎn)期匯率價(jià)格為 （CNY/USDCNY/USD） ，而，而 年后，年后，一美元實(shí)際能買一美元實(shí)際能買 元人民幣。則遠(yuǎn)期匯率的價(jià)值為：元人民幣。則遠(yuǎn)期匯率的價(jià)值為：n如果外匯市場沒有套利機(jī)會，則遠(yuǎn)期匯率的價(jià)值應(yīng)該如果外匯市場沒有套利機(jī)會，則遠(yuǎn)期匯率的價(jià)值應(yīng)該等于零，也就是說，遠(yuǎn)期匯率的價(jià)格應(yīng)該等于匯率

9、過等于零，也就是說，遠(yuǎn)期匯率的價(jià)格應(yīng)該等于匯率過程程 在在 時(shí)刻的價(jià)格的期望值。時(shí)刻的價(jià)格的期望值。FCTTTFTTCTCTn遠(yuǎn)期匯率的期望值為：遠(yuǎn)期匯率的期望值為：n （17-1117-11）)21(exp20TrrWCEFfdQdeeeCTTTrrfd2221)21()(021deeCTTrrfd2)(21)(021deeCTrrfd221)(021TrrfdeCF)(0n用模型（用模型（17-1117-11）計(jì)算出的遠(yuǎn)期匯率沒有套利機(jī)會。把）計(jì)算出的遠(yuǎn)期匯率沒有套利機(jī)會。把式（式（17-1117-11）代入式（）代入式（17-1017-10），得到），得到n （17-1217-12）n模

10、型模型(17-12)(17-12)為美式外匯期權(quán)定價(jià)的基礎(chǔ)。為美式外匯期權(quán)定價(jià)的基礎(chǔ)。)21exp(2TWFCTn17.1.4 美式外匯期權(quán)定價(jià)模型美式外匯期權(quán)定價(jià)模型n假設(shè)我們手里有一張外匯期權(quán)和約（我們暫時(shí)不考慮假設(shè)我們手里有一張外匯期權(quán)和約（我們暫時(shí)不考慮和約的名義本金數(shù)量），期權(quán)和約的期限為和約的名義本金數(shù)量），期權(quán)和約的期限為 年，執(zhí)年，執(zhí)行價(jià)格為行價(jià)格為 。假設(shè)是歐式看漲期權(quán)，歐式外匯期權(quán)和。假設(shè)是歐式看漲期權(quán)，歐式外匯期權(quán)和約在到期執(zhí)行期權(quán)。在簽約日，單位美元?dú)W式看漲期約在到期執(zhí)行期權(quán)。在簽約日，單位美元?dú)W式看漲期權(quán)的價(jià)值為：權(quán)的價(jià)值為：n表示歐式期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值。表示歐式期權(quán)的當(dāng)

11、前價(jià)值。)0 ,max(XCEecTQTrEdTXn對于美式外匯期權(quán)，可以在購買外匯期權(quán)的當(dāng)天執(zhí)行對于美式外匯期權(quán)，可以在購買外匯期權(quán)的當(dāng)天執(zhí)行期權(quán)，也可以在期權(quán)到期前任何時(shí)刻執(zhí)行期權(quán)。執(zhí)行期權(quán)，也可以在期權(quán)到期前任何時(shí)刻執(zhí)行期權(quán)。執(zhí)行美式期權(quán)后，投資者可以把資金投資到利率為美式期權(quán)后，投資者可以把資金投資到利率為 、期、期限為限為 年的無風(fēng)險(xiǎn)人民幣債券。因此，美式外匯看漲年的無風(fēng)險(xiǎn)人民幣債券。因此，美式外匯看漲期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值是歐式外匯看漲期權(quán)的期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值是歐式外匯看漲期權(quán)的 倍。倍。n （17-1317-13）n把式（把式（17-1217-12）中的）中的 代入式（代入式（17-1317

12、-13），得到美式外），得到美式外匯看漲期權(quán)的價(jià)值：匯看漲期權(quán)的價(jià)值：n （17-1417-14）)0 ,max(XCEcTQA0 ,)21exp(max2XTTFEcQATrdeTdrTCn在期權(quán)執(zhí)行日，如果外匯的實(shí)際價(jià)格小于等于執(zhí)行價(jià)在期權(quán)執(zhí)行日，如果外匯的實(shí)際價(jià)格小于等于執(zhí)行價(jià)格時(shí)，持有者有權(quán)不執(zhí)行期權(quán)，因此，期權(quán)的價(jià)值始格時(shí)，持有者有權(quán)不執(zhí)行期權(quán)，因此，期權(quán)的價(jià)值始終大于零，也就是說，下列不等式成立：終大于零，也就是說，下列不等式成立：n （17-1517-15）n不等式（不等式（17-1517-15）兩邊取自然對數(shù)，得到隨機(jī)變量的?。﹥蛇吶∽匀粚?shù)，得到隨機(jī)變量的取值范圍：值范圍：n

13、因此，美式美元兌換人民幣的匯率看漲期權(quán)的期望值因此，美式美元兌換人民幣的匯率看漲期權(quán)的期望值為：為：n （17-1617-16）0)21exp(2XTTFaTTXF221lndeXTTFcaA2212)21exp(21n把式（把式（17-1617-16）分解成兩項(xiàng)。）分解成兩項(xiàng)。n （17-1717-17）n在第一項(xiàng)中，令在第一項(xiàng)中，令 ，并代入式（，并代入式（17-1717-17）中，）中，得到：得到：n （17-1817-18）n交換積分的上下限，并改變上下限的符號，得到：交換積分的上下限，并改變上下限的符號，得到：n （17-1917-19）deXdeFcaaTA2221)(2122de

14、XdeFcaTaA22212122deXdeFcaTaA2221)(2122Tn令令 ， ?？梢园咽剑??？梢园咽剑?7-1917-19）簡寫成）簡寫成下列形式：下列形式：n （17-2017-20）n其中：其中：)(1Tadad2)()(21dXNdFNcAdedNd22121)(TTXFd2121lnTdTTXFd12221lnn同理可以得到美式匯率看跌期權(quán)的定價(jià)模型：同理可以得到美式匯率看跌期權(quán)的定價(jià)模型：n （17-2117-21）n當(dāng)為現(xiàn)貨外匯期權(quán)定價(jià)時(shí)，當(dāng)為現(xiàn)貨外匯期權(quán)定價(jià)時(shí)，F(xiàn) F用式（用式（17-1117-11）計(jì)算；）計(jì)算；n當(dāng)為外匯期貨期權(quán)定價(jià)時(shí)，為外匯期貨的當(dāng)前匯率。當(dāng)為外

15、匯期貨期權(quán)定價(jià)時(shí)，為外匯期貨的當(dāng)前匯率。)()(12dFNdXNpA17.2 分形美式期權(quán)定價(jià)分形美式期權(quán)定價(jià)nHurstHurst是一個(gè)水文工作者，為了決定預(yù)測是一個(gè)水文工作者，為了決定預(yù)測尼羅河尼羅河的排水的排水量，對尼羅河的流量進(jìn)行了大量的觀測。經(jīng)過多年的量，對尼羅河的流量進(jìn)行了大量的觀測。經(jīng)過多年的研究研究HurstHurst發(fā)現(xiàn)，流量不服從正態(tài)分布，是一個(gè)有偏的發(fā)現(xiàn)，流量不服從正態(tài)分布，是一個(gè)有偏的隨機(jī)游走過程。也就是說，流量之間存在長期相關(guān)性隨機(jī)游走過程。也就是說，流量之間存在長期相關(guān)性（或長記憶性）。（或長記憶性）。19511951年，年，HurstHurst提出重標(biāo)極差分析法提

16、出重標(biāo)極差分析法（Rescaled Range AnalysisRescaled Range Analysis，或，或R/SR/S分析法）。分析法）。2020世世紀(jì)紀(jì)7070年代，美國數(shù)學(xué)家曼德波羅年代，美國數(shù)學(xué)家曼德波羅(B.Mandebrot)(B.Mandebrot)等提出等提出分形幾何（又稱分?jǐn)?shù)幾何），在金融工程中得到廣泛分形幾何（又稱分?jǐn)?shù)幾何），在金融工程中得到廣泛應(yīng)用。應(yīng)用。nDecreusefond and UstunelDecreusefond and Ustunel（19991999）運(yùn)用路徑依賴積）運(yùn)用路徑依賴積分（分（StratonovichStratonovich型積分

17、）發(fā)展了基于分形布朗運(yùn)動(dòng)型積分）發(fā)展了基于分形布朗運(yùn)動(dòng)的歐式期權(quán)定價(jià)公式。本節(jié)的案例引用了中信證券股的歐式期權(quán)定價(jià)公式。本節(jié)的案例引用了中信證券股份有限公司嚴(yán)高劍和胡浩的研究成果。份有限公司嚴(yán)高劍和胡浩的研究成果。n17.2.1 重標(biāo)極差分析重標(biāo)極差分析n重標(biāo)極差分析法（重標(biāo)極差分析法（Rescaled Range AnalysisRescaled Range Analysis）是一種）是一種對自然現(xiàn)象觀測數(shù)據(jù)的分析方法。假設(shè)有對自然現(xiàn)象觀測數(shù)據(jù)的分析方法。假設(shè)有 個(gè)觀測個(gè)觀測值值 ，第，第 個(gè)觀測值為個(gè)觀測值為 。 可以是股票價(jià)可以是股票價(jià)格，也可以是股票價(jià)格指數(shù)，或者兩種貨幣的兌換價(jià)格，也

18、可以是股票價(jià)格指數(shù)，或者兩種貨幣的兌換價(jià)格。假設(shè)前格。假設(shè)前 個(gè)觀測值的和為：個(gè)觀測值的和為：n則前則前 個(gè)觀測值和的最佳估計(jì)量為個(gè)觀測值和的最佳估計(jì)量為 ，誤差為：，誤差為：n其中：其中： 為為 個(gè)觀測值的和。個(gè)觀測值的和。ntxXtiit, 2 , 1,1ntXntX nnxxx,21ttxtxttnXnt)/(nXnn前前t t個(gè)觀測值和的最大誤差和最小誤差分別為：個(gè)觀測值和的最大誤差和最小誤差分別為：n其中花括號內(nèi)是一個(gè)集合。其中花括號內(nèi)是一個(gè)集合。n最大誤差和最小誤差之間的極差為：最大誤差和最小誤差之間的極差為：n假設(shè)假設(shè) 個(gè)觀測值的標(biāo)準(zhǔn)差為：個(gè)觀測值的標(biāo)準(zhǔn)差為：maxntXntX

19、minntXntX minmaxntnttXntXXntXR2112)1(1tiitiitxtxtStn重標(biāo)極差、估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差和重標(biāo)極差、估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差和HurstHurst指數(shù)指數(shù)H H之間的關(guān)系為：之間的關(guān)系為：n兩邊取對數(shù)得：兩邊取對數(shù)得：n利用回歸分析可以得到利用回歸分析可以得到HurstHurst指數(shù)指數(shù) 的估計(jì)值。時(shí)間序的估計(jì)值。時(shí)間序列分形維數(shù)列分形維數(shù) 為：為：HtttSRtHSRttln)ln(HD 2HDn（1 1）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，稱為均值回復(fù)時(shí)間序列，它比時(shí)，稱為均值回復(fù)時(shí)間序列，它比隨機(jī)時(shí)間序列更具有突變性。時(shí)間序列在前一段時(shí)間隨機(jī)時(shí)間序列更具有突變性。時(shí)間序列在前一段時(shí)間遞增，

20、在后一段時(shí)間遞減。時(shí)間序列表現(xiàn)為多噪聲，遞增，在后一段時(shí)間遞減。時(shí)間序列表現(xiàn)為多噪聲，時(shí)間序列具有很強(qiáng)的不規(guī)則性。時(shí)間序列的維時(shí)間序列具有很強(qiáng)的不規(guī)則性。時(shí)間序列的維數(shù)數(shù) 。n（2 2）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)的隨機(jī)過程，時(shí)間序列時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)的隨機(jī)過程，時(shí)間序列下一時(shí)刻的值不受前一時(shí)刻的影響。時(shí)間序列的維下一時(shí)刻的值不受前一時(shí)刻的影響。時(shí)間序列的維數(shù)數(shù) 。n（3 3）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，稱為均值持久時(shí)間序列，他比時(shí)，稱為均值持久時(shí)間序列，他比隨機(jī)時(shí)間序列更具有持久性。時(shí)間序列在前一段時(shí)間隨機(jī)時(shí)間序列更具有持久性。時(shí)間序列在前一段時(shí)間遞增，在后一段時(shí)間也遞增。時(shí)間序列具有很強(qiáng)的規(guī)遞增，在后一段時(shí)間也遞增。時(shí)

21、間序列具有很強(qiáng)的規(guī)則性。時(shí)間序列的維數(shù)則性。時(shí)間序列的維數(shù) 。5 . 00 H25 . 1 D5 . 0H5 . 1D15 . 0 H5 . 11 Dn表表17-117-1是上海證券交易所綜合指數(shù)是上海證券交易所綜合指數(shù)HurstHurst指數(shù)計(jì)算過程，指數(shù)計(jì)算過程，其中年收益率采用對數(shù)收益率。其中年收益率采用對數(shù)收益率。n以極差除以標(biāo)準(zhǔn)差的對數(shù)以極差除以標(biāo)準(zhǔn)差的對數(shù) 為因變量，以時(shí)間為因變量，以時(shí)間對數(shù)對數(shù) 為自變量，對為自變量，對19931993年至年至20102010年的數(shù)據(jù)進(jìn)行線年的數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸，得到性回歸，得到HurstHurst指數(shù)為指數(shù)為 , ,相關(guān)系數(shù)為相關(guān)系數(shù)為0.876

22、0.876。上證綜指年收益率為均值持久時(shí)間序列，它比。上證綜指年收益率為均值持久時(shí)間序列，它比隨機(jī)時(shí)間序列更具有持久性。采樣區(qū)段不同，隨機(jī)時(shí)間序列更具有持久性。采樣區(qū)段不同，HurstHurst指指數(shù)也不同。如果采樣區(qū)段處在上升階段（或者下降階數(shù)也不同。如果采樣區(qū)段處在上升階段（或者下降階段），段），HurstHurst指數(shù)指數(shù) ；如果采樣區(qū)段處在上升和；如果采樣區(qū)段處在上升和下降交替階段，下降交替階段，HurstHurst指數(shù)指數(shù) 。)ln(1tttPPx)/ln(ttSRtln582. 0H5 . 0H5 . 0H表表17-1 上證綜指上證綜指Hurst指數(shù)計(jì)算過程指數(shù)計(jì)算過程采樣時(shí)間采樣

23、時(shí)間年年/月月/日日收盤價(jià)收盤價(jià)Pt收益率收益率xt收益率求和收益率求和估計(jì)值估計(jì)值(t/n)Xt誤差誤差極差極差Rt標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差StR/S對數(shù)對數(shù)時(shí)間時(shí)間t時(shí)間時(shí)間對數(shù)對數(shù)1990/12/311990/12/31127.61127.611991/12/311991/12/31292.72292.720.830.830.830.830.160.160.670.670.000.001 10.000.001992/12/311992/12/31780.39780.390.980.981.811.810.310.311.501.500.830.832 20.690.691993/12/311993/

24、12/31833.80 833.80 0.070.071.881.880.470.471.411.410.830.830.490.490.530.533 31.101.101994/12/311994/12/31647.86647.86-0.25-0.251.631.630.620.621.011.010.830.830.590.590.330.334 41.391.391995/12/311995/12/31555.28555.28-0.15-0.151.481.480.780.780.700.700.830.830.570.570.370.375 51.611.611996/12/3119

25、96/12/31917.01917.010.500.501.981.980.930.931.051.050.830.830.520.520.470.476 61.791.791997/12/311997/12/311194.101194.100.260.262.242.241.091.091.151.150.830.830.470.470.560.567 71.951.951998/12/311998/12/311146.701146.70-0.04-0.042.202.201.241.240.960.960.830.830.460.460.600.608 82.082.081999/12/3

26、11999/12/311366.581366.580.180.182.382.381.401.400.980.980.830.830.430.430.660.669 92.202.202000/12/312000/12/312073.472073.470.420.422.802.801.561.561.241.240.830.830.410.410.710.7110102.302.302001/12/312001/12/311645.971645.97-0.23-0.232.572.571.711.710.860.860.830.830.420.420.690.6911112.402.4020

27、02/12/312002/12/311357.651357.65-0.19-0.192.382.381.871.870.510.510.990.990.420.420.870.8712122.482.482003/12/302003/12/301497.041497.040.100.102.482.482.022.020.460.461.041.040.400.400.960.9613132.562.562004/12/312004/12/311266.501266.50-0.17-0.172.312.312.182.180.130.131.371.370.390.391.251.251414

28、2.642.642005/12/302005/12/301161.061161.06-0.09-0.092.222.222.332.33-0.11-0.111.611.610.390.391.431.4315152.712.712006/12/292006/12/292675.472675.470.830.833.053.052.492.490.560.561.611.610.410.411.371.3716162.712.712007/12/282007/12/285261.565261.560.680.683.733.732.642.641.091.091.611.610.410.411.

29、361.3617172.832.832008/12/312008/12/311820.811820.81-1.06-1.062.672.672.802.80-0.13-0.131.631.630.500.501.181.1818182.892.892009/12/312009/12/313277.143277.140.590.593.263.262.952.950.310.311.631.630.500.501.181.1819192.942.94n重標(biāo)極差分析法在樣本多時(shí)才有效，由重標(biāo)極差分析法在樣本多時(shí)才有效，由于上證綜指的樣本較少，結(jié)果可靠性不于上證綜指的樣本較少，結(jié)果可靠性不高。由于高

30、。由于HurstHurst指數(shù)不等于指數(shù)不等于1/21/2，用，用Black-Scholes-Merton歐式期權(quán)定價(jià)歐式期權(quán)定價(jià)模型和模型和美式期權(quán)定價(jià)模型為期權(quán)定價(jià)存美式期權(quán)定價(jià)模型為期權(quán)定價(jià)存在誤差。下面介紹分形美式期權(quán)定價(jià)模在誤差。下面介紹分形美式期權(quán)定價(jià)模型。型。n17.2.2 分形美式期權(quán)定價(jià)模型分形美式期權(quán)定價(jià)模型nBlack-Scholes-MertonBlack-Scholes-Merton歐式期權(quán)定價(jià)模型成立，金融歐式期權(quán)定價(jià)模型成立，金融市場應(yīng)該滿足下列條件：（市場應(yīng)該滿足下列條件：（1 1）金融市場沒有交易成本；）金融市場沒有交易成本；（2 2）允許無條件賣空標(biāo)的資產(chǎn)；

31、（）允許無條件賣空標(biāo)的資產(chǎn)；（3 3）金融市場不存）金融市場不存在套利機(jī)會；（在套利機(jī)會；（4 4）標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格可以無限分割；）標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格可以無限分割；（5 5）標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格滿足幾何布朗運(yùn)動(dòng)：）標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格滿足幾何布朗運(yùn)動(dòng)：n其中：其中： 為為 測度下的布朗運(yùn)動(dòng)。測度下的布朗運(yùn)動(dòng)。n沒有套利機(jī)會的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過程為：沒有套利機(jī)會的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過程為：n其中：其中： 為為 測度下的布朗運(yùn)動(dòng)。測度下的布朗運(yùn)動(dòng)。TtSdWSdtSdStttt0 , 0,)21(exp20trWSStWWPQn事實(shí)上，用幾何布朗運(yùn)動(dòng)描述金融資產(chǎn)的價(jià)格不夠準(zhǔn)事實(shí)上，用幾何布朗運(yùn)動(dòng)描述金融資產(chǎn)的價(jià)格不夠準(zhǔn)確，幾

32、何布朗運(yùn)動(dòng)僅僅是分形布朗運(yùn)動(dòng)的特例。幾何確，幾何布朗運(yùn)動(dòng)僅僅是分形布朗運(yùn)動(dòng)的特例。幾何布朗運(yùn)動(dòng)是布朗運(yùn)動(dòng)是HurstHurst指數(shù)指數(shù) 時(shí)的分形布朗運(yùn)動(dòng)。時(shí)的分形布朗運(yùn)動(dòng)。n假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格滿足分形布朗運(yùn)動(dòng)：假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格滿足分形布朗運(yùn)動(dòng)：n其中：其中： 為為HurstHurst指數(shù)；指數(shù)； 為為 測度下分形布朗運(yùn)動(dòng)。測度下分形布朗運(yùn)動(dòng)。 n假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率 、對數(shù)收益率的波動(dòng)率、對數(shù)收益率的波動(dòng)率 均為常數(shù)，均為常數(shù)，則沒有套利機(jī)會的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過程為：則沒有套利機(jī)會的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過程為：n其中：其中： 為為 測度下分形布朗運(yùn)動(dòng)。測度下分形布朗運(yùn)動(dòng)。TtSdWSdtSdSt

33、Httt0 , 0,)21exp(220HHttrtWSSHW2/1HHHWPrQn如果執(zhí)行價(jià)格為如果執(zhí)行價(jià)格為 ，到期日為，到期日為 ，在，在0 0時(shí)刻美式看漲期時(shí)刻美式看漲期權(quán)和美式看跌期權(quán)的價(jià)值分別為：權(quán)和美式看跌期權(quán)的價(jià)值分別為：n其中其中)()(210dXNdNeScrTA)()(102dNeSdXNprTAHHTTrTXSd22202, 121)ln(dxedNdx22121)(XTn概率函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為概率密度函數(shù)：概率函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為概率密度函數(shù)：n比較上述公式可以發(fā)現(xiàn)，在分形期權(quán)定價(jià)模型中，比較上述公式可以發(fā)現(xiàn)，在分形期權(quán)定價(jià)模型中， 用代替用代替BSMBSM定價(jià)模型中的定價(jià)模型中的

34、 。因此，當(dāng)期權(quán)的期限。因此，當(dāng)期權(quán)的期限 確確定時(shí)，定時(shí)，BSMBSM定價(jià)模型給出的期權(quán)價(jià)格相同，而分形定價(jià)定價(jià)模型給出的期權(quán)價(jià)格相同，而分形定價(jià)公式得到的期權(quán)價(jià)格是不同的。公式得到的期權(quán)價(jià)格是不同的。2221)(xexnTHT2Tn分形布朗運(yùn)動(dòng)不具備馬爾科夫性的特點(diǎn)，使期分形布朗運(yùn)動(dòng)不具備馬爾科夫性的特點(diǎn)，使期權(quán)價(jià)值依賴標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化路徑。在某種權(quán)價(jià)值依賴標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化路徑。在某種程度上體現(xiàn)了標(biāo)的資產(chǎn)收益率的長期記憶性。程度上體現(xiàn)了標(biāo)的資產(chǎn)收益率的長期記憶性。由于長期記憶性的存在，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)會由于長期記憶性的存在，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)會受到初始狀態(tài)的影響，進(jìn)而影響到期權(quán)的價(jià)值。受

35、到初始狀態(tài)的影響，進(jìn)而影響到期權(quán)的價(jià)值。而而BSMBSM期權(quán)定價(jià)模型沒有反映時(shí)間序列的長記期權(quán)定價(jià)模型沒有反映時(shí)間序列的長記憶性，而分形期權(quán)定價(jià)模型充分體現(xiàn)出時(shí)間序憶性，而分形期權(quán)定價(jià)模型充分體現(xiàn)出時(shí)間序列的長記憶性。由此可見，分形布朗運(yùn)動(dòng)假設(shè)列的長記憶性。由此可見，分形布朗運(yùn)動(dòng)假設(shè)比幾何布朗運(yùn)動(dòng)假設(shè)更加合理。比幾何布朗運(yùn)動(dòng)假設(shè)更加合理。n17.2.3 17.2.3 滬深股票價(jià)格指數(shù)正態(tài)性檢驗(yàn)滬深股票價(jià)格指數(shù)正態(tài)性檢驗(yàn)n中信證券金融工程研究小組（中信證券金融工程研究小組（20062006）選擇上證綜指和）選擇上證綜指和深證成指深證成指20032003年年3 3月月2121日至日至2006200

36、6年年3 3月月2121日三年日收盤日三年日收盤價(jià)作為數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)。假設(shè)第價(jià)作為數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)。假設(shè)第t t日的對數(shù)收日的對數(shù)收益率為益率為: :n其中其中: : 為第為第 日指數(shù)收盤價(jià)格。日指數(shù)收盤價(jià)格。n相對于正態(tài)分布，日收益率直方圖明顯的表現(xiàn)出相對于正態(tài)分布，日收益率直方圖明顯的表現(xiàn)出“尖尖峰峰”和和“厚尾厚尾”態(tài)勢。在均值附近聚集了大量的樣本，態(tài)勢。在均值附近聚集了大量的樣本，而在兩側(cè)尾部仍散落著一些不可忽視的樣本。因此股而在兩側(cè)尾部仍散落著一些不可忽視的樣本。因此股票資產(chǎn)收益率的正態(tài)性受到質(zhì)疑。票資產(chǎn)收益率的正態(tài)性受到質(zhì)疑。 1lnlntttPPXtPtnJarqu

37、e-BeraJarque-Bera檢驗(yàn)方法可以用來檢驗(yàn)股票收益率正態(tài)性。檢驗(yàn)方法可以用來檢驗(yàn)股票收益率正態(tài)性。對不同采樣間隔、不同標(biāo)的資產(chǎn)收益率的對不同采樣間隔、不同標(biāo)的資產(chǎn)收益率的JBJB檢驗(yàn)公式檢驗(yàn)公式如下：如下：n其中：其中： 表示樣本數(shù)；表示樣本數(shù)； 表示偏度；表示偏度； 表示峰度；表示峰度； 表示卡方分布的自由度，在正態(tài)分布的假設(shè)下，表示卡方分布的自由度，在正態(tài)分布的假設(shè)下，JBJB統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量服從自由度為計(jì)量服從自由度為2 2的卡方分布。的卡方分布。n由表由表17-217-2可知，所有的樣本序列均無法通過可知，所有的樣本序列均無法通過JBJB檢驗(yàn)。檢驗(yàn)。從偏度來看，所有指數(shù)均呈右偏。從

38、峰度來看，均呈從偏度來看，所有指數(shù)均呈右偏。從峰度來看，均呈尖峰狀態(tài)。各個(gè)尖峰狀態(tài)。各個(gè)JBJB檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量均遠(yuǎn)大于檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量均遠(yuǎn)大于1%1%或或5%5%對應(yīng)的對應(yīng)的臨界點(diǎn)，伴隨概率接近零，拒絕收益率服從正態(tài)分布臨界點(diǎn)，伴隨概率接近零，拒絕收益率服從正態(tài)分布的零假設(shè)。的零假設(shè)。 )3(41622KSdnJBnSKdn表表17-2 收益率收益率JB檢驗(yàn)結(jié)果檢驗(yàn)結(jié)果 收益序列收益序列均值均值方差方差偏度偏度峰度峰度JBJB統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量伴隨概率伴隨概率分析時(shí)間段：分析時(shí)間段：20032003年年3 3月月2121日至日至20062006年年3 3月月2121日日上證綜指上證綜指-0.000213-0.

39、0002130.01410.01410.49980.49984.45924.459294.503294.50320.00000.0000深證成指深證成指0.0001720.0001720.01350.01350.55970.55975.14515.1451176.8590176.85900.00000.0000寶鋼寶鋼-0.000217-0.0002170.01770.0177-0.5971-0.597110.218710.21871617.2171617.2170.00000.0000鞍鋼鞍鋼0.0005430.0005430.02300.02300.08110.08115.27135.27

40、13156.6360156.63600.00000.0000鋼釩鋼釩-0.000555-0.0005550.02820.0282-11.115-11.115230.205230.2051574340.00001574340.00000.00000.0000分析時(shí)間段：分析時(shí)間段：20052005年年3 3月月2121日至日至20062006年年3 3月月2121日日上證綜指上證綜指0.0004920.0004920.01420.01420.52690.52695.79675.796790.433490.43340.00000.0000深證成指深證成指0.0001440.0001440.0143

41、0.01430.75770.75776.81886.8188170.9073170.90730.00000.0000寶鋼寶鋼-0.001493-0.0014930.01750.0175-2.1060-2.106019.151419.15142820.91602820.91600.00000.0000鞍鋼鞍鋼-0.000239-0.0002390.02450.02450.04080.04086.13766.137699.743199.74310.00000.0000鋼釩鋼釩-0.001253-0.0012530.04120.0412-10.6990-10.6990149.9270149.9270

42、223208.7000223208.70000.00000.0000n17.2.4 滬深股市分形結(jié)構(gòu)滬深股市分形結(jié)構(gòu)n20052005年年0303月月2121日至日至20062006年年0303月月2121日數(shù)據(jù)表明，日數(shù)據(jù)表明，滬市和深市的滬市和深市的HurstHurst指數(shù)分別為指數(shù)分別為0.6180.618，0.6910.691。n而從而從20032003年年3 3月月2121日至日至20062006年年3 3月月2121日三年數(shù)據(jù)日三年數(shù)據(jù)看，兩個(gè)市場的分形結(jié)構(gòu)分別為看，兩個(gè)市場的分形結(jié)構(gòu)分別為0.5860.586和和0.5410.541。這和國內(nèi)其他研究結(jié)果是一致的，中國證券市這和國

43、內(nèi)其他研究結(jié)果是一致的，中國證券市場具有場具有0.600.60附近的分形結(jié)構(gòu)，即具有長期記憶附近的分形結(jié)構(gòu)，即具有長期記憶性。雖然選擇不同的樣本數(shù)據(jù)段對市場指數(shù)的性。雖然選擇不同的樣本數(shù)據(jù)段對市場指數(shù)的R/SR/S分析得到的分析得到的HurstHurst指數(shù)可能存在一定的差異，指數(shù)可能存在一定的差異，但是對單支股票而言，不同數(shù)據(jù)段但是對單支股票而言，不同數(shù)據(jù)段R/SR/S分析結(jié)分析結(jié)果相對穩(wěn)定。果相對穩(wěn)定。 n表表17-3 Hurst 指數(shù)估計(jì)結(jié)果指數(shù)估計(jì)結(jié)果 分析時(shí)間段：分析時(shí)間段：20032003年年3 3月月2121日至日至20062006年年3 3月月2121日日H HStd.ErrS

44、td.ErrT TSig.Sig.R RF FSig.Sig.上證綜指上證綜指0.5860.5860.0040.004134.139134.1390.0000.0000.9900.99017993.16017993.1600.0000.000深證成指深證成指0.5510.5510.0060.00699.99299.9920.0000.0000.9830.9839998.3369998.3360.0000.000寶鋼寶鋼0.7120.7120.0040.004169.453169.4530.0000.0000.9900.99016757.96016757.9600.0000.000鞍鋼鞍鋼0.6

45、530.6530.0030.003205.193205.1930.0000.0000.9960.99642104.32042104.3200.0000.000鋼釩鋼釩0.5300.5300.0060.00690.42190.4210.0000.0000.9800.9808175.8998175.8990.0000.000分析時(shí)間段：分析時(shí)間段：20052005年年3 3月月2121日至日至20062006年年3 3月月2121日日上證綜指上證綜指0.6180.6180.0080.00874.05574.0550.0000.0000.9900.9905484.1355484.1350.0000.

46、000深證成指深證成指0.6910.6910.0080.00885.49885.4980.0000.0000.9930.9937309.8867309.8860.0000.000寶鋼寶鋼0.6880.6880.0110.01151.55051.5500.0000.0000.9820.9822657.4352657.4350.0000.000鞍鋼鞍鋼0.6450.6450.0130.01348.50748.5070.0000.0000.9800.9802352.8902352.8900.0000.000鋼釩鋼釩0.5610.5610.0090.00960.99160.9910.0000.0000

47、.9870.9873719.8953719.8950.0000.000n17.2.5 分形權(quán)證定價(jià)應(yīng)用分形權(quán)證定價(jià)應(yīng)用n寶鋼、鞍鋼、鋼釩的寶鋼、鞍鋼、鋼釩的HurstHurst指數(shù)估計(jì)值分別為指數(shù)估計(jì)值分別為0.70.7，0.650.65，0.550.55。運(yùn)用分形定價(jià)公式對三支權(quán)證發(fā)行日進(jìn)。運(yùn)用分形定價(jià)公式對三支權(quán)證發(fā)行日進(jìn)行定價(jià)分析，其結(jié)果見表行定價(jià)分析，其結(jié)果見表17-417-4。n表表17-417-4表明，在發(fā)行日寶鋼權(quán)證、鞍鋼權(quán)證市場價(jià)格表明，在發(fā)行日寶鋼權(quán)證、鞍鋼權(quán)證市場價(jià)格高于分形理論價(jià)格，而鋼釩權(quán)證市場價(jià)格低于分形理高于分形理論價(jià)格，而鋼釩權(quán)證市場價(jià)格低于分形理論價(jià)格。不過除了寶鋼權(quán)證外，其他兩支權(quán)證執(zhí)行價(jià)論價(jià)格。不過除了寶鋼權(quán)證外，其他兩支權(quán)證執(zhí)行價(jià)格與理論價(jià)格之間差異很小。因此權(quán)證