圓各節(jié)知識點及典型例題

1、圓的基本性質(zhì)一. 圓 二. 圓的軸對稱性 三 .圓心角 四. 圓周角 五. 弧長及扇形的面積 六. 側(cè)面積及全面積六大知識點：1、圓的概念及點與圓的位置關(guān)系7、圓周角定理8、圓周角定理的推論9、圓錐的側(cè)面積與全面積2、三角形的外接圓3、垂徑定理4、垂徑定理的逆定理及其應(yīng)用5、圓心角的概念及其性質(zhì)6、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系【課本相關(guān)知識點】1、圓的定義：在同一平面內(nèi)，線段OP繞它固定的一個端點O ，另一端點P所經(jīng)過的 叫做圓，定點O叫做 ，線段OP叫做圓的 ，以點O為圓心的圓記作 ，讀作圓O。2、弦和直徑：連接圓上任意 叫做弦，其中經(jīng)過圓心的弦叫做 ， 是圓中最長的弦。3、?。簣A上任意

2、 叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成的兩條弧，每一條弧都叫做 。小于半圓的弧叫做 ，用弧兩端的字母上加上“”就可表示出來，大于半圓的弧叫做 ，用弧兩端的字母和中間的字母，再加上“”就可表示出來。4、等圓：半徑相等的兩個圓叫做等圓；也可以說能夠完全重合的兩個圓叫做等圓5、點與圓的三種位置關(guān)系：若點P到圓心O的距離為d，O的半徑為R，則：點P在O外 ；點P在O上 ；點P在O內(nèi) 。6、線段垂直平分線上的點 距離相等；到線段兩端點距離相等的點在 上7、過一點可作 個圓。過兩點可作 個圓，以這兩點之間的線段的 上任意一點為圓心即可。8、過 的三點確定一個圓。9、經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫

3、做三角形的 ，外接圓的圓心叫做三角形的 ，這個三角形叫做圓的 。三角形的外心是三角形三條邊的 【典型例題】【題型一】證明多點共圓例1、已知矩形ABCD，如圖所示，試說明：矩形ABCD的四個頂點A、B、C、D在同一個圓上【題型二】相關(guān)概念說法的正誤判斷例1、（甘肅蘭州中考數(shù)學）有下列四個命題： 直徑是弦； 經(jīng)過三個點一定可以作圓； 三角形的外心到三角形各頂點的距離都相等； 半徑相等的兩個半圓是等弧。其中正確的有（ ）A.4個 B.3個 C.3個 D.2個例2、下列說法中，錯誤的是（ ）A.直徑是弦 B.半圓是弧 C.圓內(nèi)最長的弦是直徑 D.弧小于半圓例3、下列命題中，正確的是（ ）A三角形的三個

4、頂點在同一個圓上 B過圓心的線段叫做圓的直徑C大于劣弧的弧叫優(yōu)弧 D圓內(nèi)任一點到圓上任一點的距離都小于半徑例4、下列四個命題： 經(jīng)過任意三點可以作一個圓； 三角形的外心在三角形的內(nèi)部； 等腰三角形的外心必在底邊的中線上； 菱形一定有外接圓，圓心是對角線的交點。其中真命題的個數(shù)（ ）A.4個 B.3個 C.3個 D.2個【題型三】點和圓的位置關(guān)系的判斷例1、O的半徑為5，圓心O在坐標原點上，點P的坐標為（4，2），則點P與O的位置關(guān)系是（ ）A點P在O內(nèi) B點P在O上 C點P在O外例2、已知矩形ABCD的邊AB=3cm，AD=4cm，若以A點為圓心作A，使B、C、D三點中至少有一個點在圓內(nèi)且至少

5、有一個點在圓外，則A的半徑r的取值范圍是 【題型四】“不在同一條直線上的三點確定一個圓”的應(yīng)用如“把破圓復原成完整的圓”；如“找一點，使它到三點的距離相等”：方法就是找垂直平分線的交點例1、平面上不共線的四點，可以確定圓的個數(shù)為 【題型五】圓中角的求解如圖，AB為O的直徑，CD為O的弦，AB、CD的延長線交于點E，已知AB=2DE，E=18°，求AOC的度數(shù)溫馨提醒：（1）在同圓或等圓中，直徑為半徑的2倍；（2）圓中常用半徑相等來構(gòu)造等腰三角形，這些看似十分簡單的性質(zhì)和方法，卻最容易被遺忘。鞏 固 練 習1、如圖，一根5m長的繩子，一端拴在柱子上，另一端拴著一只羊（羊只能在草地上活動

6、），請畫出羊的活動區(qū)域。3m2、如果O所在平面內(nèi)一點P到O上的點的最大距離為7，最小距離為1，那么此圓的半徑為 3、如圖，點A、D、G、M在半圓上，四邊形ABOC，DEOF、HMNO均為矩形，設(shè)BC=a，EF=b，NH=c，則a，b，c的大小關(guān)系是 第5題第3題4、已知O的半徑為1，點P與圓心O的距離為d，且方程x2-2x+d=0有實數(shù)根，則點P在O的 5、如圖，MN所在的直線垂直平分線段AB，利用這樣的工具，最少使用 次就可以找到圓形工件的圓心6、若線段AB=6，則經(jīng)過A、B兩點的圓的半徑r的取值范圍是 7、在RtABC中，C=90°，兩直角邊a、b是方程x2-7x+12=0的兩根

7、，則ABC的外接圓面積為 8、如圖，平面直角坐標系中一第圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A、B、C，其中B點坐標為（4，4），那么該圓弧所在圓的圓心坐標為 9、已知圓上有3個點，以其中兩個點為端點的弧共有 條【課本相關(guān)知識點】1、軸對稱圖形：如果一個圖形沿著某一條直線直線 ，直線兩旁的部分能夠 ，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸。2、圓是軸對稱圖形， 都是它的對稱軸3、垂徑定理：垂直于弦的直徑 ，并且平分 4、分一條弧成 的點，叫做這條弧的中點。5、 的距離叫做弦心距。6、垂徑定理的逆定理1：平分弦（ ）的直徑垂直于弦，并且平分 垂徑定理的逆定理2：平分弧的直徑 【典型例題】【題型一】應(yīng)用垂徑定

8、理計算與證明例1、如圖所示，直徑CE垂直于弦AB，CD=1，且AB+CD=CE，求圓的半徑。例2、如圖所示，已知線段AB交O于C、D兩點，OA、OB分別交O于E、F兩點，且OA=OB，求證：AC=BD60cm10cm溫馨提醒：在垂徑定理中，“垂直于弦的直徑”可以是直徑，可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段?！绢}型二】垂徑定理的實際應(yīng)用例1、某居民區(qū)內(nèi)一處圓形下水道破裂，修理人員準備更換一段新管道，如圖所示，污水的水面寬為60cm，水面至管道頂部距離為10cm，問：修理人員應(yīng)準備內(nèi)徑多大的管道？溫馨提醒：要學會自己多畫圖，這樣有助于書寫解題過程。例2、工程上常用鋼珠來測量零件上小孔的直徑，假設(shè)

9、鋼珠的直徑是10mm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，如圖所示，則這個小孔的直徑AB是 【題型三】垂徑定理與逆定理的實際應(yīng)用例1、如圖，已知M是的中點，過點M的弦MN交AB于點C，設(shè)O的半徑為4cm，MN=4cm。（1）求圓心O到弦MN的距離（2）求ACM的度數(shù)【題型四】應(yīng)用垂徑定理把弧2等份，4等份等鞏 固 練 習1、下列說法正確的是（ ）A.每一條直徑都是圓的對稱軸 B.圓的對稱軸是唯一的 C.圓的對稱軸一定經(jīng)過圓心 D.圓的對稱軸與對稱中心重合2、下列命題： 垂直于弦的直徑平分這條弦； 平分弦的直徑垂直于弦；垂直且平分弦的直線必定經(jīng)過圓心。其中正確的有（ ）A.0個 B.1個 C.

10、2個 D.3個3、如圖，O的直徑為10cm，弦AB為8cm，P是弦AB上一點，若OP的長是整數(shù)，則滿足條件的點P有（ ）個A.2 B.3 C.4 D.54、半徑為5cm的圓內(nèi)有兩條互相平行的弦，長度分別為6cm和8cm，則這兩弦之間的距離為 cm5、圓的半徑等于2cm，圓內(nèi)一條弦長2cm，則弦的中點與弦所對弧的中點的距離等于 6、如圖，矩形ABCD與O相交于M、N、F、E，如果AM=2，DE=1，EF=8，那么MN的長為 ACOMNBOPMAN第8題第6題第7題第9題圖 7、如圖，AB是O的直徑，CD是弦。若AB=10cm，CD=6cm，那么A、B兩點到直線CD的距離之和為 8、如圖，半徑為5

11、的P與y軸交于點M（0，-4）、N（0，-10），函數(shù)y=（x<0）的圖象過點P，則k= 9、如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，則折痕AB的長為 10、如圖，已知AB、AC為弦，OMAB于點M， ONAC于點N ，BC=4，則MN= 第10題11、已知圓內(nèi)接ABC中，AB=AC，圓心O到BC的距離為3cm，圓的半徑為7cm，求腰AB的長12、如圖，已知O的半徑為10cm，弦ABCD，垂足為E，AE=4cm，BE=8cm，求弦CD的長13、如圖，某菜農(nóng)在生態(tài)園基地搭建了一個橫截面為圓弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度（弦AB的長）為米，大棚頂點C離地面的高度為2.3米.求該

12、圓弧形所在圓的半徑；若該菜農(nóng)身高1.70米，則他在不彎腰的情況下，橫向活動的范圍有多大？14、O的半徑為2，弦BD=2，A為的中點，E為弦AC的中點，且在BD上。求四邊形ABCD的面積。【課本相關(guān)知識點】1、中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一點 ，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形 ，那么，這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點是它的 2、過中心對稱圖形的 的任意一條直線可以平分其面積。3、圓的旋轉(zhuǎn)不變性：將圓周繞圓心O旋轉(zhuǎn) ，都能與自身重合，這個性質(zhì)叫做圓的旋轉(zhuǎn)不變性。4、圓心角： 叫做圓心角。5、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的 ，所對的 （這就是圓心角定理）6、n°的圓心角所對的弧就是

13、 ，圓心角和 的度數(shù)相等。注意：在題目中，若讓你求，那么所求的是弧長7、在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一對量相等，那么 都相等。（姑且稱之為圓心角定理的逆定理）注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”時，這里的“弧相等”是指對應(yīng)的劣弧與劣弧相等，優(yōu)弧與優(yōu)弧相等?！镜湫屠}】【題型一】與圓心角定理的逆定理的相關(guān)說法的正確與否例1、下列說法： 等弦所對的弧相等； 等弧所對的弦相等； 圓心角相等，所對的弦相等； 弦相等，所對的圓心角相等； 在同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等。正確的個數(shù)為（ ）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【題型二】運用

14、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系證明線段、角度、弧相等例1、如圖，O的弦AB、CD相交于點P，PO平分APD。求證：AB=CD例2、如圖A與B是兩個等圓,直線CFAB,分別交A于點C、D，交B于點E、F。求證：CAD=EBF例3、如圖所示，AB、CD是O的直徑，CEAB交O于點E，那么與相等嗎？說明理由。【題型三】計算弧的度數(shù)例1、如圖所示，C是O的直徑AB上一點，過點C作弦DE，使CD=CO，若的度數(shù)為40°，求的度數(shù)【題型四】運用用圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系解決實際問題例1、已知張莊、李莊分別位于直徑為300米的半圓弧上的三等分點M、N的位置，現(xiàn)在要在河邊（直徑所在的位置）

15、修建水泵站，分別向兩個村莊供水，求最小需要多少米的水管？（提示：將半圓補全，將軍飲馬問題）鞏 固 練 習1、如果兩個圓心角相等，那么（ ）A.這兩個圓心角所對的弦相等 B.這兩個圓心角所對的弧相等C.這兩個圓心角所對的弦的弦心距相等 D.以上說法都不對2、下列命題中，正確的是（ ）A.相等的圓心角所對弦的弦心距相等 B.相等的圓心角所對的弦相等C.同圓或等圓中，兩弦相等，所對的弧相等 D.同圓或等圓中，相等的弦所對的弦心距也相等3、在半徑為1的圓中，長為的弦所對的圓心角的度數(shù)是（ ）A.30° B.45° C.60° D.90°4、在O中，AD是直徑，A

16、B、AC是它的兩條弦，且AD平分BAC，那么： AB=AC；=； =； ADBC。以上結(jié)論中正確的有（ ）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個5、如圖所示，在ABC中，A=70°，O截ABC的三邊所得的弦長相等，則BOC等于（ ）第6題第5題A.140° B.135° C.130° D.125°第7題第8題6、如圖，在O中，=2，則弦AB和弦CD的關(guān)系是（ ）A. AB>2CD B. AB<2CD C. AB=2CD D. 無法確定7、如圖，在條件：COA=AOD=60°；AC=AD=OA；點E分別是AO、CD的中點；O

17、ACD且ACO=60°中，能推出四邊形OCAD是菱形的條件有 4個。8、如圖所示，在O中，弦AB>CD，OMAB，ONCD，M、N為垂足，那么OM、ON的關(guān)系是（ ）A. OM>ON B. OM=ON C. OM<ON D. 無法確定9、如圖所示，已知AB為O的弦，從圓上任一點引弦CDAB，作OCD的平分線交O于點P，連續(xù)PA、PB。求證：PA=PB10、如圖所示，M、N為AB、CD的中點，且AB=CD。求證：AMNCNM11、如圖，MONO，過MN的中點A作ABON，交于點B，試求的度數(shù)【課本相關(guān)知識點】1、頂點在 上，且兩邊 的角叫圓周角。2、圓周角定理：一條弧

18、所對的圓周角等于它所對的 3、圓周角定理推論1：半圓（或直徑）所對的圓周角是 ；90°的圓周角所對的弦是 4、拓展一下：圓內(nèi)接四邊形的對角 5、圓周角定理推論2：在同圓或等圓中， 所對的圓周角相等；相等的圓周角所對 的也相等【典型例題】【題型一】圓周角定理的應(yīng)用例1、ABC為O的內(nèi)接三角形，BOC=100°，求BAC的度數(shù)。【題型二】圓周角定理推論的應(yīng)用例1、如圖所示，點A、B、C、D在圓上，AB=8，BC=6，AC=10，CD=4，求AD的長。例2、如圖所示，A、B、C三點在O上，CE是O的直徑，CDAB于點D。（1）求證：ACD=BCE；（2）延長CD交O于點F，連接A

19、E、BF，求證：AE=BF【題型三】應(yīng)用圓周角知識解決實際生活問題例1、將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點C在半圓上，點A、B的讀數(shù)分別為86°，30°，則ACB的大小為 例2、現(xiàn)需測量一井蓋（圓形）的直徑，但只有一把角尺（尺的兩邊互相垂直，一邊有刻度，且兩邊長度都長于井蓋半徑）請配合圖形、文字說明測量方案，寫出測量的步驟（要求寫出兩種測量方案）圖形1圖形2答案：解法一：如圖（1），把角尺頂點A放在井蓋邊緣，記角尺一邊與井蓋邊緣交于點B，另一邊交于點C（若角尺另一邊無法達到井蓋的邊上，把角尺當直尺用，延長另一邊與井蓋邊緣交于點C），度量BC長即為直徑；解法二：

20、如圖（2），把角尺當直尺用，量出AB的長度，取AB中點C，然后把角尺頂點與C點重合，有一邊與CB重合，讓另一邊與井蓋邊緣交于D點，延長DC交井蓋邊于E，度量DE長度即為直徑；鞏 固 練 習1、圖中圓周角有（ ）第1題第3題第4題第5題第2題A.1個 B.2個 C.3個 D.4個2、如圖，正方形ABCD內(nèi)接于O，點P在AB上，則DPC = .3、如圖，已知EF是O的直徑，把A為60°的直角三角板ABC的一條直角邊BC放在直線EF上，斜邊AB與O交于點P，點B與點O重合，將三角板ABC沿OE方向平移，使得點B與點E重合為止設(shè)POF=x°，則x的取值范圍是（）A30°x

21、60° B30°x90° C30°x120° D60°x120°4、如圖，PB交O于點A、B，PD交O于點C、D，已知的度數(shù)為42°，度數(shù)為38°，則P+Q= 5、如圖，AB是O的直徑，C, D, E都是O上的點，則12 = .6、如圖，AB是O的直徑，AD=DE，AE與BD交于點C，則圖中與BCE相等的角有（ ）第6題A.2個 B.3個 C.4個 D.5個第8題第7題7、已知，如圖，AB為O的直徑，AB=AC，BC交O于點D，AC交O于點E，BAC=45°。給出下列四個結(jié)論： EBC=22.5

22、°； BD=DC； 是的2倍； AE=BC。其中正確結(jié)論的序號是 8、如圖，O的半徑為1cm，弦AB、CD的長度分別為cm，1cm，則弦AC、BD所夾的銳角為 9、如圖，AB, AC 是O的兩條弦，且AB=AC延長CA到點D使AD=AC， 連結(jié)DB并延長,交O于點E求證：CE是O的直徑10、如圖，在O中AB是直徑， CD是弦，ABCD.(1)P是上一點（不與C, D重合）求證：CPD=COB； (2)點P在劣弧CD上（不與C , D重合）時，CP/D與COD有什么數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論11、（1）如圖（1）已知，已知ABC是等邊三角形，以BC為直徑的O交AB、AC于D、E求證：OD

23、E是等邊三角形；（2）如圖（2）若A=60°，ABAC，則（1）的結(jié)論是否成立？如果成立，請給出證明，如果不成立，請說明理由12、如圖所示，直徑AB、CD互相垂直，P是OC的中點，過點P的弦MNAB，試判斷MBC與MBA的大小關(guān)系。13、如圖，AB為O的直徑，弦DA、BC的延長線相交于點P，且BC=PC，求證：（1）AB=AP （2）【課本相關(guān)知識點】1、弧長公式：在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長的計算公式為= 2、在弧長公式中，有3個變量： ，已知其中的任意兩個，都可以求出第3個變量。我們只需要記住一個公式即可。（有些老師要求它的另外兩個變形公式都要記住，其實完全

24、沒有必要）3、扇形面積公式1：半徑為R，圓心角為n°的扇形面積為 。這里面涉及3個變量： ，已知其中任意兩個，都可以求出第3個變量。我們中需要記住一個公式即可。4、扇形面積公式2：半徑為R，弧長為的扇形面積為 5、求陰影部分面積一般遵循“四步曲”，即：一套，二分，三補，四換一套：直接套用基本幾何圖形面積公式計算；二分：將其分割成規(guī)則圖形面積的和或差；三補：用補形法拼湊成規(guī)則圖形計算；四換：將圖形等積變換后計算?！镜湫屠}】【題型一】靜止圖形的弧長計算與運動圖形的弧長計算【例1】、如圖所示，在ABC中，ACB=90°，B=15°，以C為圓心，CA的長為半徑的圓交AB

25、于點D。若AC=6，求的長【例2】、如圖，菱形ABCD中，AB=2，C=60°，菱形ABCD在直線l上向右作無滑動的翻滾，每繞著一個頂點旋轉(zhuǎn)60°叫一次操作，則經(jīng)過36次這樣的操作菱形中心O所經(jīng)過的路徑總長為 【題型二】求陰影部分的面積問題【例1】、如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB=2，以B為圓心，以BA為半徑作圓弧，交CB的延長線于點E，連接DE。求圖中陰影部分的面積。AHBOC【例2】、如圖所示，分別以n邊形的頂點為圓心，以單位1為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積之和為 例3例2【例3】、如上圖，RtABC中，ACB=90°，CAB=30°，BC=

26、2，O、H分別為邊AB、AC的中點，將ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)120°到A1B1C1的位置，則整個旋轉(zhuǎn)過程中線段OH所掃過部分的面積（即陰影部分面積）為（ ）ABCD【例4】、如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面積。0BA【題型三】用弧長及扇形面積公式解決實際問題【例1】、當汽車在雨天行駛時，為了看清楚道路，司機要啟動前方擋風玻璃上的雨刷器。如圖是某汽車的一個雨刷器的示意圖，雨刷器桿AB與雨刷CD在B處固定連接（不能轉(zhuǎn)動），當桿AB繞A點轉(zhuǎn)動90°時，雨刷CD掃過的面積是多少呢？小明仔細觀察了雨刷器的轉(zhuǎn)動情況，量得C

27、D=80cm、DBA=20°，端點C、D與點A的距離分別為115cm、35cm他經(jīng)過認真思考只選用了其中的部分數(shù)據(jù)就求得了結(jié)果。也請你算一算雨刷CD掃過的面積為 cm2（取3.14） 【例2】、如圖是一個滑輪起重裝置如圖所示，滑輪的半徑是10cm，當重物上升10cm時，滑輪的一條半徑OA繞軸心O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的角度約為 57度（假設(shè)繩索與滑輪之間沒有滑動，取3.14，結(jié)果精確到1°）鞏 固 練 習1、如果一條弧長等于r，它的半徑是r，那么這條弧所對的圓心角度數(shù)為 2、如果一條弧長為，它的半徑為R，這條弧所對的圓心角增加1°，則它的弧長增加 3、扇形的弧

28、長為20cm，半徑為5cm，則其面積為 cm24、一個扇形的弧長是20cm，面積是240cm2，那么扇形的圓心角是 5、圖中4個正方形的邊長都相等，其中陰影部分面積相等的圖形個數(shù)是（ ）A.0 B.2 C.3 D.46、如圖所示，扇形AOB的圓心角為90°，分別以O(shè)A、OB為直徑在扇形內(nèi)作半圓，P和Q分別表示兩個陰影部分的面積，那么P和Q的大小關(guān)系是 第8題第7題第6題7、如圖，AB=12，C、D是以AB為直徑的半圓上的三等分點，則圖中陰影部分面積為 8、如圖，在RtABC中，C=90°，AC=4，BC=2，分別以AC、BC為直徑畫半圓，則圖中陰影部分的面積為 （結(jié)果保留）

29、（到了初中階段，其實即使不說，結(jié)果也要保留，這是一個基本常識）9、如圖，在RtABC中，C=90°，A=30°，AB=2將ABC繞頂點A順時針方向旋轉(zhuǎn)至ABC的位置，B，A，C三點共線，則線段BC掃過的區(qū)域面積為 第10題第9題10、（2013年溫州中考題）在ABC中，C為銳角，分別以AB，AC為直徑作半圓，過點B，A，C作，如圖所示，若AB=4，AC=2，則的值是（ ）A. B. C. D. 11、如圖，O的半徑為R，AB與CD是O的兩條互相垂直的直徑，以B為圓心，BC為半徑為,交AB于點E，求圓中陰影部分的面積。12、如圖，已知矩形ABCD中，BC=2AB，以B為圓心，

30、BC為半徑的圓交AD于E，交BA的延長線于F ，設(shè)AB=1，求陰影部分的面積.13、如圖，在ABC中，已知AB=4cm，B=30°，C=45°，若以A為圓心，AC長為半徑作弧，交AB于點E，交BC于點F。（1）求的長 （2）求CF的長【課本相關(guān)知識點】1、圓錐可以看做是直角三角形繞 旋轉(zhuǎn)一周所成的圖形。 旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面。另一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做 。圓錐的 和 的和叫做圓錐的全面積（或表面積）。2、沿圓錐的母線把圓錐剪開并展平，可得圓錐的側(cè)面展開圖是一個 ，圓錐的側(cè)面積等于這個扇形的面積，其半徑等于圓錐的 ，弧長等于圓錐的 3、圓錐的側(cè)面積： ；圓錐的全面積

31、： 4、圓錐的母線長，高h，底面圓半徑r滿足關(guān)系式 5、已知圓錐的底面圓半徑r和母線長，那么圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為 6、圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角x的取值范圍為 【典型例題】【題型一】與圓錐有關(guān)的計算（主要是算面積）【例1】如圖所示，在ABC中，BAC=30°，AC=2a，BC=b，以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，則這個幾何體的全面積是（ ）A. 2a B. ab C. 3a2+ab D. a（2a+b）【例2】如圖，有一圓心角為120°，半徑長為6cm的扇形，若將OA、OB重合后圍成一圓錐側(cè)面，那么圓錐的高是（ ）A. 4cm B. C. D. 【例3】如圖，

32、在紙上剪下一個圓形和一個扇形紙片，使之恰好能夠圍成一個圓錐模型，若圓的半徑為r，扇形的半徑為R，扇形的圓心角等于120°（如圖），則r與R之間的關(guān)系是 例3例2例1【題型二】與圓錐有關(guān)的方案設(shè)計題【例1】在一個邊長為a的正方形材料上截取一扇形，圍成母線長為a的圓錐（1）試設(shè)計兩種不同的截法（要求每一種截法盡量減少浪費的材料），并把截法在圖上表示出來（2）分別求出（1）中兩種不同截法所得的圓錐底面的半徑和高（3）（1）中哪一種截法所得的圓錐側(cè)面積較大？ 【題型三】與圓錐有關(guān)的最短距離問題【例1】如圖,圓錐底面半徑為r,母線長為3r，底面圓周上有一螞蟻位于A點，它從A點出發(fā)沿圓錐面爬行一

33、周后又回到原出發(fā)點，請你給它指出一條爬行最短的路徑，并求出最短路徑。鞏 固 練 習1、一個圓錐形零件的底面半徑為4，母線長為12，那么這個零件側(cè)面展開圖的圓心角為 2、一個圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則該圓錐的側(cè)面展開圖的扇形的圓心角等于 3、如圖，扇形OAB是圓錐的側(cè)面展開圖，若小正方形方格的邊長為1cm，則這個圓錐的底面半徑為 第3題第4題第5題4、如圖所示是小芳學習時使用的圓錐形臺燈燈罩的示意圖，那么圍成這個燈罩的鐵皮的面積為 5、如圖是一個用來盛爆米花的圓錐形紙杯，紙杯開口圓的直徑EF長為10cm，母線OE（OF）長為10cm在母線OF上的點A處有一塊爆米花殘渣，且FA=2cm，一只螞

34、蟻從杯口的點E處沿圓錐表面爬行到A點，則此螞蟻爬行的最短距離  cm6、如圖所示，有一直徑為1m的圓形鐵皮，要從中剪出一個圓心角為90°的最大扇形ABC（1）求被剪后陰影部分的面積（2）用所得的扇形鐵皮圍成一個小圓錐，則該圓錐的底面半徑是多少？7、卷一個底面半徑為2，高為2的圓錐側(cè)面，有以下4個扇形紙片可供選擇。如果要使材料浪費最少，你認為選哪一個最合理？請說明理由。8、在一次科學探究實驗中，小明將半徑為5cm的圓形濾紙片按圖1所示的步驟進行折疊，并圍成圓錐形。（1）取一漏斗，上部的圓錐形內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）的母線OB長為6cm，開口圓的直徑為6cm。當濾紙片重疊部分為三

35、層，且每層為圓時，濾紙圍成的圓錐形放入該漏斗中，能否緊貼此漏斗的內(nèi)壁（忽略漏斗管口處），請你用所學的數(shù)學知識說明；（2）假設(shè)有一特殊規(guī)格的漏斗，其母線長為6cm，開口圓的直徑為7.2cm，現(xiàn)將同樣大小的濾紙圍成重疊部分為三層的圓錐形，放入此漏斗中，且能緊貼漏斗內(nèi)壁問重疊部分每層的面積為多少？第三章 圓的基本性質(zhì)的知識點及典型例題知識框圖三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等圓心角定理及逆定理都是根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)不變性推出來的求不規(guī)則陰影部分的面積圓的相關(guān)證明求圓心角、圓周角、弧長、扇形的面積、圓錐的側(cè)面積及表面積求半徑、弦長、弦心距圓的中心對稱性和旋轉(zhuǎn)不變性圓心角定理及逆定理圓的軸對稱性垂徑定理及

36、其2個逆定理點和圓的位置關(guān)系不在同一直線上的三點確定一個圓弧可分為劣弧、半圓、優(yōu)弧在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧叫等弧圓概 念圓、圓心、半徑、直徑弧、弦、弦心距、等弧圓心角、圓周角三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形圓的基本性質(zhì)圓周角定理及2個推論圓的相關(guān)計算證明多邊形的形狀；證明兩線垂直證明弧度之間的數(shù)量關(guān)系；證明線段長度之間的數(shù)量關(guān)系；證明角度之間的數(shù)量關(guān)系1、過一點可作 個圓。過兩點可作 個圓，以這兩點之間的線段的 上任意一點為圓心即可。過三點可作 個圓。過四點可作 個圓。2、垂徑定理：垂直于弦的直徑 ，并且平分 垂徑定理的逆定理1：平分弦（ ）的直徑垂直于弦，并且平分 垂徑定

37、理的逆定理2：平分弧的直徑 3、圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的 ，所對的 圓心角定理的逆定理：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一對量相等，那么 都相等。注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”時，這里的“弧相等”是指對應(yīng)的劣弧與劣弧相等，優(yōu)弧與優(yōu)弧相等。在題目中，若讓你求，那么所求的是弧長4、圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的 圓周角定理推論1：半圓（或直徑）所對的圓周角是 ；90°的圓周角所對的弦是 圓周角定理推論2：在同圓或等圓中， 所對的圓周角相等；相等的圓周角所對 的也相等5、拓展一下：圓內(nèi)接四邊形的

38、對角之和為 6、弧長公式：在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長的計算公式為= 7、扇形面積公式1：半徑為R，圓心角為n°的扇形面積為 。這里面涉及3個變量： ，已知其中任意兩個，都可以求出第3個變量。我們中需要記住一個公式即可。扇形面積公式2：半徑為R，弧長為的扇形面積為 8、沿圓錐的母線把圓錐剪開并展平，可得圓錐的側(cè)面展開圖是一個 ，圓錐的側(cè)面積等于這個扇形的面積，其半徑等于圓錐的 ，弧長等于圓錐的 9、圓錐的側(cè)面積： ；圓錐的全面積： 10、圓錐的母線長，高h，底面圓半徑r滿足關(guān)系式 11、已知圓錐的底面圓半徑r和母線長，那么圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為 12、圓錐的

39、側(cè)面展開圖的圓心角x的取值范圍為 考點一、與圓相關(guān)的命題的說法正確的個數(shù)，絕大多數(shù)是選擇題，也有少部分是填空題（填序號）考點二、求旋轉(zhuǎn)圖形中某一點移動的距離，這就要利用弧長公式考點三、求半徑、弦長、弦心距，這就要利用勾股定理和垂徑定理及逆定理考點四、求圓心角、圓周角考點五、求陰影部分的面積考點六、證明線段、角度、弧度之間的數(shù)量關(guān)系；證明多邊形的具體形狀考點七、利用不在同一直線上的三點確定一個圓的作圖題考點八、方案設(shè)計題，求最大扇形面積考點九、將圓錐展開，求最近距離練習一、選擇題1、下列命題中： 任意三點確定一個圓；圓的兩條平行弦所夾的弧相等； 任意一個三角形有且僅有一個外接圓； 平分弦的直徑垂

40、直于弦； 直徑是圓中最長的弦，半徑不是弦。正確的個數(shù)是（ ）A.2個 B.3個 C.4個 D.5個2、如圖，AB是半圓O的直徑，點P從點O出發(fā)，沿 的路徑運動一周設(shè)為，運動時間為，則下列圖形能大致地刻畫與之間關(guān)系的是（ ）PAOBstOsOtOstOstABCD3、如圖所示，在ABC中，BAC=30°，AC=2a，BC=b，以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，則這個幾何體的全面積是（ ）A. 2a B. ab C. 3a2+ab D. a（2a+b）4、如圖，有一圓心角為120°，半徑長為6cm的扇形，若將OA、OB重合后圍成一圓錐側(cè)面，那么圓錐的高是（ ）第4題第3

41、題A. 4cm B. C. D. 5、如圖所示，長方形ABCD中，以A為圓心，AD長為半徑畫弧，交AB于E點。取BC的中點為F，過F作一直線與AB平行，且交于G點。求ÐAGF=（ ）第5題第7題第6題第8題 (A) 110° (B) 120° (C) 135° (D) 150° 。6、如圖，AB是O的直徑，AD=DE，AE與BD交于點C，則圖中與BCE相等的角有（ ）A.2個 B.3個 C.4個 D.5個7、如圖，弧BD是以等邊三角形ABC一邊AB為半徑的四分之一圓周， P為弧BD上任意一點，若AC=5，則四邊形ACBP周長的最大值是（ ） A

42、 15 B 20 C15+ D15+8、如圖，已知O的半徑為5，點到弦的距離為3，則O上到弦所在直線的距離為2的點有（ ）A1個B2個C3個D4個9、如圖，C為O直徑AB上一動點，過點C的直線交O于D、E兩點，且ACD=45°，DFAB于點F,EGAB于點G,當點C在AB上運動時，設(shè)AF=，DE=，下列中圖象中，能表示與的函數(shù)關(guān)系式的圖象大致是 A B C D10、如圖5，AB是O的直徑，且AB=10，弦MN的長為8，若弦MN的兩端在圓上滑動時，始終與AB相交，記點A、B到MN的距離分別為h1，h2，則|h1h2| 等于（ ）A、5 B、6 C、7 D、8AHBOC11、如上圖，Rt

43、ABC中，ACB=90°，CAB=30°，BC=2，O、H分別為邊AB、AC的中點，將ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)120°到A1B1C1的位置，則整個旋轉(zhuǎn)過程中線段OH所掃過部分的面積（即陰影部分面積）為（ ）ABCD12、（2013年溫州中考題）在ABC中，C為銳角，分別以AB，AC為直徑作半圓，過點B，A，C作，如圖所示，若AB=4，AC=2，則的值是（ ）A. B. C. D. 二、填空題1、如圖，O是等腰三角形的外接圓，為O的直徑，連結(jié)，則 ， 第1題第2題第3題第4題2、如圖，為O的直徑，點在O上，則 3、如圖，AB、AC分別是O的直徑和弦，ODAC于點D，連

44、結(jié)BD、BC。 AB=5，AC=4，則BD= 4、如圖，AB為O的直徑，弦CDAB，E為上一點，若CEA=，則ABD=°. 5、在半徑為5cm的圓中，兩條平行弦的長度分別為6cm和8cm，則這兩條弦之間的距離為 6、在半徑為1的O中，弦AB、AC分別是和，則BAC的度數(shù)為_7、如圖，扇形OAB是圓錐的側(cè)面展開圖，若小正方形方格的邊長為1cm，則這個圓錐的底面半徑為 第7題第8題第9題8、如圖所示是小芳學習時使用的圓錐形臺燈燈罩的示意圖，那么圍成這個燈罩的鐵皮的面積為 ABCDEO12第12題圖9、如圖是一個用來盛爆米花的圓錐形紙杯，紙杯開口圓的直徑EF長為10cm，母線OE（OF）長

45、為10cm在母線OF上的點A處有一塊爆米花殘渣，且FA=2cm，一只螞蟻從杯口的點E處沿圓錐表面爬行到A點，則此螞蟻爬行的最短距離  cm10、如圖，是的直徑，弦若，則 第11題OBACD（第10題）11、如圖, AB是O的直徑，點C在O上，BAC=30°，點P在線段OB上運動.設(shè)ACP=x，則x的取值范圍是 12、如圖，是的直徑，是上的點，則 13、以半圓O的一條弦BC（非直徑）為對稱軸將弧BC折疊后與直徑AB交于點D。若AD=4，DB=6，那么AC的長為 14、如圖，菱形ABCD中，AB=2，C=60°，菱形ABCD在直線l上向右作無滑動的翻滾，每繞著一個頂點

46、旋轉(zhuǎn)60°叫一次操作，則經(jīng)過36次這樣的操作菱形中心O所經(jīng)過的路徑總長為 第13題第14題第15題15、當汽車在雨天行駛時，為了看清楚道路，司機要啟動前方擋風玻璃上的雨刷器。如圖是某汽車的一個雨刷器的示意圖，雨刷器桿AB與雨刷CD在B處固定連接（不能轉(zhuǎn)動），當桿AB繞A點轉(zhuǎn)動90°時，雨刷CD掃過的面積是多少呢？小明仔細觀察了雨刷器的轉(zhuǎn)動情況，量得CD=80cm、DBA=20°，端點C、D與點A的距離分別為115cm、35cm他經(jīng)過認真思考只選用了其中的部分數(shù)據(jù)就求得了結(jié)果。也請你算一算雨刷CD掃過的面積為 cm2（取3.14）三、解答題1、如圖所示，AB是O的一條弦，ODAB，垂足為C，交O于點D，點E在O上。（1）若AOD=52°，求DEB的度數(shù)；（2）若OA=5，OC=3，求AB的長2、如圖，在一個橫截面為RtABC的物體中，ACB=90°，CAB=30°，BC=1米工人師傅先將AB邊放在地面（直線l）上。（1）請直接寫出AB，AC的長；（2）工人師傅要把此物體搬到墻邊（如圖），先按順時針方向