微積分同步輔導(dǎo)與考研指南3

1、第五章 不定積分一 內(nèi)容提要：1. 不定積分的概念、性質(zhì)：l 原函數(shù)的定義：若定義在區(qū)間I上的函數(shù)以及可導(dǎo)函數(shù)滿足關(guān)系：對(duì)于任意，都有，則稱為在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù).l 原函數(shù)存在定理：如果在區(qū)間I上連續(xù)，則在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)，使任意，都有.簡(jiǎn)單地說就是：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).l 不定積分的定義：在區(qū)間I上，函數(shù)的全體原函數(shù)稱為在區(qū)間I上的不定積分，記作： ，則l 不定積分的幾何意義：不定積分在幾何上表示積分曲線族l 不定積分的性質(zhì)：2. 不定積分的求法：l 換元積分法：第一類換元積分法（又叫湊微分法）： 設(shè)具有原函數(shù)，即看和沒有湊之前相等不相等，如果不相等也僅差一個(gè)符號(hào)或者常數(shù).第二類換

2、元積分法：設(shè)是單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，并且，又設(shè)具有原函數(shù)，則有換元法： 其中是的反函數(shù).也就是說，給出的不定積分不會(huì)求，這時(shí)我們引入變量代換，化成就可以求出了，求出的原函數(shù)用的反函數(shù)代換即可.在第二換元積分法中最簡(jiǎn)單、最常見的是三角代換和倒代換，我們?cè)诘湫屠}中說明這兩種情形.l 分部積分法：降次法：也就是被積函數(shù)由多項(xiàng)式與三角函數(shù)或者指數(shù)函數(shù)的積的形式出現(xiàn)，設(shè)多項(xiàng)式為u.轉(zhuǎn)換法：也就是被積函數(shù)是多項(xiàng)式與對(duì)數(shù)函數(shù)或者反三角函數(shù)的積的形式，設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或者反三角函數(shù)為u.循環(huán)法：也就是被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與正弦(或余弦)函數(shù)的積時(shí)，兩個(gè)函數(shù)任選一個(gè)作為u，積分一次再積分一次，第一次選哪種類型數(shù)作為u,第二

3、次用分部積分法時(shí)還選那類函數(shù)作為u，積分后移項(xiàng)即可.遞推法：被積函數(shù)是某一簡(jiǎn)單函數(shù)的高次冪，利用一次分部積分法，使冪降一次，連續(xù)積分即可，這種方法叫遞推法.l 有理函數(shù)的積分：被積函數(shù)是有理函數(shù)的形式，將被積函數(shù)分解成部分分式的形式，再積分.l 不定積分積分公式：二 典型例子解析：例1. 求下列不定積分：例2. 求下列不定積分：例3. 求下列不定積分：例4. 求下列不定積分：例5. 利用到代換求：例6.例7. 求下列不定積分：三 本章習(xí)題全解習(xí)題5-11. 求下列不定積分：2. 一曲線通過點(diǎn),且在任意一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的倒數(shù)，求曲線的方程。解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：.將曲線的方程為3

4、. 已知某產(chǎn)品產(chǎn)量的變化率是時(shí)間t的函數(shù)(a,b為常數(shù))，設(shè)此產(chǎn)品的產(chǎn)量為函數(shù)，且，求.解:根據(jù)題意：習(xí)題5-21. 求下列不定積分：利用輔助三角形利用輔助三角形2. 用指定的換元法求下列不定積分：習(xí)題5-31. 求下列不定積分：2. 利用指定的變量代換求下列不定積分：習(xí)題5-41. 計(jì)算下列積分：總復(fù)習(xí)五1. 求下列不定積分（其中a、b是常數(shù)）：.2. 設(shè)某商品的需求函數(shù)Q是單價(jià)p的函數(shù)，該商品的最大需求量為1000（即p=0時(shí)Q=1000）,已知需求量的變化率為，求需求量關(guān)于價(jià)格的彈性.四 考研真題精選：1. （89.數(shù)四，3分）下列等式中正確的結(jié)果是：（A）2. （89.數(shù)四，5分）求不

5、定積分3. （90.5分）求下列不定積分解：被積函數(shù)是冪函數(shù)與三角函數(shù)的乘積，因此在求不定積分時(shí)考慮用分部積分法.4. （91.5分）求不定積分.解：本題和90年的題目類似，求不定積分時(shí)考慮用分部積分法.5. （92.8分） 解:被積函數(shù)含有反三角函數(shù)，考慮用分部積分法.6. （93年，3分）.7. （94年,6分）.8. （95年，6分）求不定積分.解:連續(xù)兩次運(yùn)用分部積分法：9. （96年，3分）設(shè)10. （98年，3分）.11.12. （00年，3分）13. （02年，6分）設(shè)14. (02年，3分)已知函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)為，則.綜上，考生在復(fù)習(xí)中要熟練掌握以下幾點(diǎn)：熟練掌握不定積分的基本

6、積分公式。熟練掌握不定積分的換元積分法，特別是第一類換元積分法（又叫湊微分法）湊微分比較靈活，需做大量的習(xí)題才行。特別是 各種類型題目做夠做好，總結(jié)到位。分部積分法在考研中經(jīng)常用到，這種方法要熟練掌握，在利用分部積分法時(shí)，那個(gè)函數(shù)作為u是關(guān)鍵。第六章 定積分及其應(yīng)用一 內(nèi)容提要1. 定積分的概念：l 定積分的定義：設(shè)函數(shù)在a,b上有界，在a,b中任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)：把區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度是，在每一個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，做乘積（做近似值l 可積的條件：在區(qū)間a,b上連續(xù)一定可積；在區(qū)間a,b上有界，且有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則在區(qū)間a,b上一定可積.l 定積分的幾點(diǎn)說明：定積分的值與區(qū)間

7、有關(guān)；定積分與積分變量無關(guān). 即l 定積分的幾何意義： 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)在a,b上既有正值又有負(fù)值時(shí)：2. 定積分的性質(zhì)：性質(zhì)1：性質(zhì)2：性質(zhì)3：（定積分對(duì)區(qū)間具有可加性）設(shè)性質(zhì)4：性質(zhì)5：性質(zhì)6： 推論：性質(zhì)7：設(shè)M、m分別是在區(qū)間a,b上的最大值和最小值，則這個(gè)式子叫定積分的估計(jì)式.性質(zhì)8：（定積分中值定理）存在一個(gè)使得.3. 微積分基本公式：l 積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)：設(shè)上也連續(xù)，從而可積，這時(shí)變化時(shí)，在a,b上確定一個(gè)新的函數(shù)，稱這個(gè)函數(shù)叫做積分上限的函數(shù)（或叫變上限的積分）記作，即并且函數(shù)在a,b上可導(dǎo)，并有l(wèi) 牛頓萊布尼茨公式：設(shè)在a,b上連續(xù)，是在a,b上的一個(gè)原函數(shù)，則4. 定積

8、分的換元積分法：設(shè)在a,b上連續(xù)，函數(shù)滿足： 在利用定積分的換元法時(shí)，應(yīng)注意兩點(diǎn)：在引入新的積分變量時(shí)，積分區(qū)間要跟著變，變成新的積分變量的變化區(qū)間；在求出的一個(gè)原函數(shù)后，只用將代入相減就可以，即.5. 定積分的分步積分法：l 定積分的分部積分法公式：設(shè)在a,b上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則：l 定積分遞推公式：這個(gè)公式很重要，在計(jì)算定積分時(shí)，有時(shí)很簡(jiǎn)便.6. 廣義積分：l 無窮限的廣義積分：積分區(qū)間是無窮區(qū)間；l 瑕積分：被積函數(shù)具有無窮間斷點(diǎn)，也叫具有無窮間斷的廣義積分.7. 定積分的幾何應(yīng)用：l 平面圖形的面積：所圍成的圖形的面積A為如果是下圖所示的情形先解方程組求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，、，則平面圖形的

9、面積A為:l 立體的體積： 旋轉(zhuǎn)體的體積：由平面圖形S繞軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的立體的體積(圖1)由平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的立體的體積(圖2) 平行截面面積為已知的立體的體積： 夾在兩個(gè)平面截立體的截面面積為已知的，則該立體的體積為8. 定積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用：l 已知邊際函數(shù)求總函數(shù)：、；,則;l 收益流的現(xiàn)值和將來值：設(shè)一筆收益流的收益量為（每年元）其中r為連續(xù)復(fù)利的利率.二 典型例子解析：例1. 求下列極限：例2. 求下列變限積分的導(dǎo)數(shù)，其中連續(xù).例3. 設(shè)，求證：在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.例4. 設(shè)求證：例5. 用牛頓萊布尼茨公式計(jì)算下列積分：例6. 用換元積分法計(jì)算下面各題：例7. 用

10、分部積分法計(jì)算下列各題：例8. 判斷下列廣義積分的斂散性，如果收斂，計(jì)算其值：例9. 求由下列各曲線所圍成的圖形的面積：例10. 計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積：圖4（如圖）例11. 已知某農(nóng)藥廠生產(chǎn)某種農(nóng)藥的邊際成本(其中為產(chǎn)量，單位噸)，若固定成本為1萬元。解：本題應(yīng)先求總成本函數(shù)，即由求，應(yīng)用定積分可求總成本函數(shù).例12. 已知某商品的邊際需求為價(jià)格，該商品的最大需求量為80，試求需求與價(jià)格的函數(shù)關(guān)系和收入函數(shù).例13. 某商品加工廠每周生產(chǎn)件某商品，其總費(fèi)用變化率是（單位：元/件）初始費(fèi)用為零。該商品的銷售單價(jià)是20元，求每一周生產(chǎn)多少件時(shí)才能獲得最大利潤(rùn)，其最大利潤(rùn)是多少？解：總費(fèi)用函數(shù)的初始條件

11、為，故得總費(fèi)用函數(shù)：例14. 某企業(yè)新建一個(gè)項(xiàng)目投資800萬元，年利率為5，設(shè)在20年中的均勻收入率為200（萬元/年），求投資回收期.解：所謂投資回收期就是使總收入的現(xiàn)值等于投資額的期限數(shù)，設(shè)為T年，則T年的總收入現(xiàn)值為所以投資回報(bào)期為近4年半.三 本章習(xí)題全解習(xí)題611. 利用定積分的定義計(jì)算下列定積分：2. 利用定積分的幾何意義說明下列等式：3. 討論狄里克雷函數(shù)解:函數(shù)在0,1上，當(dāng)取有理數(shù)時(shí)函數(shù)值為1，當(dāng)取無理數(shù)時(shí)函數(shù)值為0，所以函數(shù)在0,1上處于跳動(dòng)狀態(tài)，不連續(xù)，因此函數(shù)在該區(qū)間上不可積，在其它區(qū)間上也不可積。4. 用定積分表示下列極限：習(xí)題621. 估計(jì)下列積分的值：2. 比較下列各題中兩個(gè)積分的大?。?.習(xí)題631. 計(jì)算下列導(dǎo)數(shù)：2. 計(jì)算下列各積分：3. 求下列極限：4. 設(shè)5. 求由方程6.7. 設(shè)在證明：由于由積分中值定理，習(xí)題641. 計(jì)算下列定積分:2. 利用函