圓的有關(guān)性質(zhì)練習(xí)及答案

1、圓的有關(guān)性質(zhì)【知識要點】1圓的定義：（1）動態(tài)定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓。（2）靜態(tài)定義：在平面內(nèi)到定點（圓心O）的距離等于定長（半徑r）所有點的集合叫做圓：2.圓的相關(guān)概念弦：直徑：弧：半圓?。簝?yōu)弧：劣?。旱然。和膱A：3.垂徑定理及推論：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。由此得到推論：（1） 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。（2）弦的垂直平分線,經(jīng)過圓心, 并且平分弦所對的兩條弧。4.圓的軸對稱性：(1)圓是軸對稱圖形；(2)經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸；(3)圓的對稱軸有無數(shù)條。5.

2、圓的旋轉(zhuǎn)不變性圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形6圓心角、弧、弦關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對弦的弦心距相等。7弧的度數(shù)等于它所對的圓心角的度數(shù)。8.圓周角定理及推論:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,并等于這條弧所對的圓心角的一半.推論:（1）半圓(或直徑)所對的圓周角是直角.90°的圓周角所對的弦是直徑.（2）三角形的一邊上的中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形9：三角形：圓內(nèi)接三角形；圓：三角形的外接圓四邊形：圓內(nèi)接四邊形圓：四邊形的外接圓定理：圓內(nèi)接四邊形的對角互補【基礎(chǔ)和能力訓(xùn)練】一、選擇題1平行四邊形的四個頂點在同

3、一圓上，則該平行四邊形一定是（ ）A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰2.（2014畢節(jié)地區(qū)）如圖，已知O的半徑為13，弦AB長為24，則點O到AB的距離是（ ）A 6 B 5 C 4 D 33. （ 2014珠海）如圖，線段AB是O的直徑，弦CD丄AB，CAB=20°，則AOD等于（） A 160° B 150° C 140° D 120°4.（2015湖南常德）如圖，四邊形ABCD為O的內(nèi)接四邊形，已知BOD100°，則BCD的度數(shù)為（ ）A、50°B、80°C、100°D、130°5.

4、（2015上海）如圖，已知在O中，AB是弦，半徑OCAB，垂足為點D，要使四邊形OACB為菱形，還需要添加一個條件，這個條件可以是（ ）A、ADBD；B、ODCD；C、CADCBD；DOCAOCB6 如圖：是小明完成的.作法是：取O的直徑AB，在O上任取一點C引弦CDAB.當(dāng)C點在半圓上移動時(C點不與A、B重合)，OCD的平分線與O的交點P必（ ）A。 平分弧AB B。到點D和直徑AB的距離相等C三等分弧ABD.到點B和點C的距離相等°°O7如圖，量角器外沿上有A、B兩點，它們的讀數(shù)分別是70°、40°，則1的度數(shù)為（ ）度 A 10 B 15 C 2

5、5 D 308下列語句中正確的有（ ）相等的圓心角所對的弧相等 平分弦的直徑垂直于弦 圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸 長度相等的兩條弧是等弧；等弧所對的圓心角相等A.3個 B.2個 C.1個 D.以上都不對9（2015湖北荊州）如圖，A，B，C是O上三點，ACB=25°，則BAO的度數(shù)是（）A55° B60° C65° D70°10（2015甘肅蘭州,）如圖，經(jīng)過原點O的P與、軸分別交于A、B兩點，點C是劣弧上一點，則ACB=A. 80° B. 90° C. 100° D. 無法確定#11（2015威海

6、）如圖，已知AB=AC=ADCBD=2BDC，BAC=44°，則CAD的度數(shù)為（）A68° B88° C90° D112°#12. 如圖，兩正方形彼此相鄰且內(nèi)接于半圓，若小正方形的面積為16，則該半圓的半徑為（ ）A B9 C D二填空13 一個點與定圓上最近點的距離為4cm,與最遠點的距離為9cm,則圓的半徑是_.14(2015江蘇南昌,)如圖，點A, B, C在O上，CO的延長線交AB于點D,A=50°,B=30°則ADC的度數(shù)為 .15(2015江蘇南京)如圖，在O的內(nèi)接五邊形ABCDE中，CAD=35°，則

7、B+E= _ 16（2015江蘇徐州）如圖，AB是O的直徑，弦CDAB，垂足為E，連接AC若CAB=22.5°，CD=8cm，則O的半徑為 cm17(浙江省紹興市）如圖，已知點A（0，1），B（0，1），以點A為圓心，AB為半徑作圓，交軸的正半軸于點C，則BAC等于 18（2015江蘇泰州,）如圖，O的內(nèi)接四邊形ABCD中，A=115°，則BOD等于_°. 19. 如圖，點A、B、C、D在O上，O點在D的內(nèi)部，四邊形OABC為平行四邊形，則OAD+OCD=_°.20(2015·貴州六盤水)趙洲橋是我國建筑史上的一大創(chuàng)舉，它距今約1400年，歷經(jīng)

8、無數(shù)次洪水沖擊和8次地震卻安然無恙。如圖10，若橋跨度AB約為40米，主拱高CD約10米，則橋弧AB所在圓的半徑R 米21（2015浙江衢州）一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑，水面寬，某天下雨后，水管水面上升了，則此時排水管水面寬等于 m22（2014菏澤）如圖，在ABC中A=25°，以點C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點D，交AC于點E，ADCPBO則的度數(shù)為 ADCPBO23如圖O中，弦的延長線相交于點，如果，那么三 解答題24AB為O的弦，P是AB上一點，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求O的半徑.25.如圖，AB為O的直徑，弦CDAB，垂足為點EK

9、為弧AC上一動點，AK，DC的延長線相交于點F，連接CK，KD求證：AKD=CKF；26 在半徑為1的O中，弦AB、AC分別是、，求BAC的度數(shù)的多少27如圖,有一座拱橋是圓弧形,它的跨度為（AB）60米,拱高18米, 當(dāng)洪水泛濫到跨度（ ）只有30米時,要采取緊急措施,若拱頂離水面只有4米時，是否要采取緊急措施?28如圖，O是ABC的外接圓，AB為直徑，ACCF，CDAB于D，且交O于G，AF交CD于E（1）求ACB的度數(shù)；（2）求證：AECE； 29（2015浙江濱州）如圖,O的直徑AB的長為10，弦AC的長為5，ACB的平分線交O于點D.（1）求弧BC的長；（2）求弦BD的長.

10、四、附加題30. (2014年天津市)已知O的直徑為10，點A，點B，點C在O上，CAB的平分線交O于點D（1）如圖，若BC為O的直徑，AB=6，求AC，BD，CD的長；（2）如圖，若CAB=60°，求BD的長30. 如圖，已知ABC是等邊三角形，以BC為直徑的O交AB、AC于D、E.(1) 求證：DOE是等邊三角形.(2)若A=60°，ABAC，則(1)中結(jié)論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由.解：（1）BAC是等邊三角形，B=C=60°OD=OB=OE=OC，OBD和OEC都是等邊三角形BOD=COE=60°DOE=60°

11、;ODE是等邊三角形（2）結(jié)論（1）仍成立證明：連接CD，BC是直徑，BDC=90°ADC=90°A=60°，ACD=30°DOE=2ACD=60°OD=OE，ODE是等邊三角形32.如圖,AB是圓O的直徑,C是弧BD的中點,垂直AB,垂足為E，BD交CE于點F,(1)求證：CF=BF (2) 若AD=2，圓O的半徑為3，求BC的長證明：(1)連接AC，則ACB=90°，易證BCF=BACC是弧BD的中點弧BC=弧CDBAC=CBFCBF=BCFBF=CF(2) 連接OC，交BD于點MC是弧BD的中點OCBD則OM=1/2AD =1C

12、M =2根據(jù)勾股定理BD=42BM=22CM=2BC=2333已知：等邊內(nèi)接于O，點是劣弧BC上的一點（端點除外），延長至，使，連結(jié)（1）若過圓心，如左圖，請你判斷是什么三角形？并說明理由（2）若不過圓心，如右圖，又是什么三角形？為什么？解：（1）ABC為等腰三角形，AC=BC，BAC=60°，AP過圓心O，AP平分CAB，AP為直徑，CAP=30°，ACP=90°，CP=AP=×10=5（cm），在CAP和CBD中，CAPCBD，CP=CD，CPD=CAB=60°，PCD為等邊三角形，CD=PC=5cm；  (2)先證APCBDC(

13、過程同上) PC=DCBAP+PAC=60° BAP=BCPPAC=PBC CPD=BCP+PBC=BAP+PAC=60° PC=DC PDC為等邊三角形圓的有關(guān)性質(zhì)【知識要點】1圓的定義：（1）動態(tài)定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓。（2）靜態(tài)定義：在平面內(nèi)到定點（圓心O）的距離等于定長（半徑r）所有點的集合叫做圓：2.圓的相關(guān)概念弦：直徑：?。喊雸A弧：優(yōu)?。毫踊。旱然。和膱A：3.垂徑定理及推論：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。由此得到推論：（2） 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條

14、弧。（2）弦的垂直平分線,經(jīng)過圓心, 并且平分弦所對的兩條弧。4.圓的軸對稱性：(1)圓是軸對稱圖形；(2)經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸；(3)圓的對稱軸有無數(shù)條。5.圓的旋轉(zhuǎn)不變性圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形6圓心角、弧、弦關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對弦的弦心距相等。7弧的度數(shù)等于它所對的圓心角的度數(shù)。8.圓周角定理及推論:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,并等于這條弧所對的圓心角的一半.推論:（1）半圓(或直徑)所對的圓周角是直角.90°的圓周角所對的弦是直徑.（2）三角形的一邊上的中線等于這邊的一半，則這個三角形是

15、直角三角形9：三角形：圓內(nèi)接三角形；圓：三角形的外接圓四邊形：圓內(nèi)接四邊形圓：四邊形的外接圓定理：圓內(nèi)接四邊形的對角互補【基礎(chǔ)和能力訓(xùn)練】一、選擇題1平行四邊形的四個頂點在同一圓上，則該平行四邊形一定是（ C ）A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰2.（2014畢節(jié)地區(qū)）如圖，已知O的半徑為13，弦AB長為24，則點O到AB的距離是（ B ）A 6 B 5 C 4 D 34. （ 2014珠海）如圖，線段AB是O的直徑，弦CD丄AB，CAB=20°，則AOD等于（ C） A 160° B 150° C 140° D 120°4.（2015湖

16、南常德）如圖，四邊形ABCD為O的內(nèi)接四邊形，已知BOD100°，則BCD的度數(shù)為（ D ）A、50°B、80°C、100°D、130°5.（2015上海）如圖，已知在O中，AB是弦，半徑OCAB，垂足為點D，要使四邊形OACB為菱形，還需要添加一個條件，這個條件可以是（ B ）A、ADBD；B、ODCD；C、CADCBD；DOCAOCB6 如圖：是小明完成的.作法是：取O的直徑AB，在O上任取一點C引弦CDAB.當(dāng)C點在半圓上移動時(C點不與A、B重合)，OCD的平分線與O的交點P必（ A ）A。 平分弧AB B。到點D和直徑AB的距離相等C

17、三等分弧ABD. 到點B和點C的距離相等°°O7如圖，量角器外沿上有A、B兩點，它們的讀數(shù)分別是70°、40°，則1的度數(shù)為（ B）度 A 10 B 15 C 25 D 308下列語句中正確的有（ C ）相等的圓心角所對的弧相等 平分弦的直徑垂直于弦 圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸 長度相等的兩條弧是等弧；等弧所對的圓心角相等A.3個 B.2個 C.1個 D.以上都不對9（2015湖北荊州）如圖，A，B，C是O上三點，ACB=25°，則BAO的度數(shù)是（C）A55° B60° C65° D70°

18、10（2015蘭州,）如圖，經(jīng)過原點O的P與、軸分別交于A、B兩點，點C是劣弧上一點，則ACB=(B )A. 80° B. 90° C. 100° D. 無法確定#11（2015威海）如圖，已知AB=AC=ADCBD=2BDC，BAC=44°，則CAD的度數(shù)為（B）A68° B88° C90° D112°#12. 如圖，兩正方形彼此相鄰且內(nèi)接于半圓，若小正方形的面積為16，則該半圓的半徑為（ C ）A B9 C D二填空13 一個點與定圓上最近點的距離為4cm,與最遠點的距離為9cm,則圓的半徑是_2.5或6.5c

19、m_.14(2015江蘇南昌,)如圖，點A, B, C在O上，CO的延長線交AB于點D,A=50°,B=30°則ADC的度數(shù)為 110° .15(2015江蘇南京)如圖，在O的內(nèi)接五邊形ABCDE中，CAD=35°，則B+E= _215°16（2015江蘇徐州）如圖，AB是O的直徑，弦CDAB，垂足為E，連接AC若CAB=22.5°，CD=8cm，則O的半徑為4 cm17(浙江省紹興市）如圖，已知點A（0，1），B（0，1），以點A為圓心，AB為半徑作圓，交軸的正半軸于點C，則BAC等于 60°18（2015江蘇泰州,）如圖

20、，O的內(nèi)接四邊形ABCD中，A=115°，則BOD等于_130°_°. 19. 如圖，點A、B、C、D在O上，O點在D的內(nèi)部，四邊形OABC為平行四邊形，則OAD+OCD=_60°_°.20(2015·貴州六盤水)趙洲橋是我國建筑史上的一大創(chuàng)舉，它距今約1400年，歷經(jīng)無數(shù)次洪水沖擊和8次地震卻安然無恙。如圖10，若橋跨度AB約為40米，主拱高CD約10米，則橋弧AB所在圓的半徑R 25 米21（2015浙江衢州）一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑，水面寬，某天下雨后，水管水面上升了，則此時排水管水面寬等于 16 m22（20

21、14菏澤）如圖，在ABC中A=25°，以點C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點D，交AC于點E，ADCPBO則的度數(shù)為 50° ADCPBO23如圖O中，弦的延長線相交于點，如果，那么 35° 三 解答題24AB為O的弦，P是AB上一點，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求O的半徑.25.如圖，AB為O的直徑，弦CDAB，垂足為點EK為弧AC上一動點，AK，DC的延長線相交于點F，連接CK，KD求證：AKD=CKF；證明：連接AD、ACCKF是圓內(nèi)接四邊形ADCK的外角，CKF+AKC=180°，AKC+ADC=180°CKF=A

22、DC；AB為O的直徑，弦CDAB，= BCADC=AKD，AKD=CKF；26 在半徑為1的O中，弦AB、AC分別是、，求BAC的度數(shù)的多少27如圖,有一座拱橋是圓弧形,它的跨度為（AB）60米,拱高18米, 當(dāng)洪水泛濫到跨度（ ）只有30米時,要采取緊急措施,若拱頂離水面只有4米時，是否要采取緊急措施?28如圖，O是ABC的外接圓，AB為直徑，ACCF，CDAB于D，且交O于G，AF交CD于E（1）求ACB的度數(shù)；（2）求證：AECE； 解：（1）AB為O的直徑，ACB=90°（2）證明：連接AG，AB為直徑，且ABCG，AC=AG，又AC=CF，AG=CF，ACG=CA

23、F，AE=CE29（2015浙江濱州）如圖,O的直徑AB的長為10，弦AC的長為5，ACB的平分線交O于點D.（1）求弧BC的長；（2）求弦BD的長.（2）連接OD.CD平分ACB，ACD=BCD, AOD=BOD，AD=BD，BAD=ABD=45°在RtABD中，BD=.四、附加題29. (2014年天津市)已知O的直徑為10，點A，點B，點C在O上，CAB的平分線交O于點D（1）如圖，若BC為O的直徑，AB=6，求AC，BD，CD的長；（2）如圖，若CAB=60°，求BD的長27. 如圖，已知ABC是等邊三角形，以BC為直徑的O交AB、AC于D、E.(2) 求證：DOE

24、是等邊三角形.(2)若A=60°，ABAC，則(1)中結(jié)論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由.解：（1）BAC是等邊三角形，B=C=60°OD=OB=OE=OC，OBD和OEC都是等邊三角形BOD=COE=60°DOE=60°ODE是等邊三角形（2）結(jié)論（1）仍成立證明：連接CD，BC是直徑，BDC=90°ADC=90°A=60°，ACD=30°DOE=2ACD=60°OD=OE，ODE是等邊三角形28.如圖,AB是圓O的直徑,C是弧BD的中點,垂直AB,垂足為E，BD交CE于點F,(

25、1)求證：CF=BF (2)若CD=6，AC=8，求圓O的半徑和CE的長證明：連接AC，則ACB=90°，易證BCF=BACC是弧BD的中點弧BC=弧CDBAC=CBFCBF=BCFBF=CF連接OC，交BD于點MC是弧BD的中點OCBD則OM=1/2AD =1CM =2根據(jù)勾股定理BD=42BM=22CM=2BC=2330已知：等邊內(nèi)接于O，點是劣弧BC上的一點（端點除外），延長至，使，連結(jié)（1）若過圓心，如左圖，請你判斷是什么三角形？并說明理由（2）若不過圓心，如右圖，又是什么三角形？為什么？(1) ABC為等邊三角形 AC=BC， 又在O中PAC=DBCAP=BD APCBDC

26、  PC=DC 又AP過圓心O，AB=AC，BAC=60°BAP=1/2PAC=BAC=3O° BAP=BCP=30°，PBC=PAC=30° CPD=PBC+BCP=30°+30°=60° PDC為等邊三角形  (2)先證APCBDC(過程同上) PC=DCBAP+PAC=60° BAP=BCPPAC=PBC CPD=BCP+PBC=BAP+PAC=60° PC=DC PDC為等邊三角形31如圖，是O的內(nèi)接三角形，為O中弧AB上一點，延長至點，使（1）求證：；（2）若，求證：證明：（

27、1）CA=CB，弧CA=弧CB，CDE=CAB又CE=CD，CA=CB，ACB=ECD,ECA=DCB，又，CE=CD,CA=CB，CAECBD（SAS）AE=BD,(2)由（1）AE=BD,AD+BD=AD+AE=DEACB=ECD=90°，即為等腰RTCEDAD+BD=AD+AE=DE1.如圖，已知CA=CB=CD,過三點A,C,D的o交AB于點F.求證：CF平分角BCD證明：連接AD，CA=CD，D=CADD=CFA，CAD=CFACFA=B+FCB，CAF+FAD=B+FCBCA=CB，CAF=B，F(xiàn)AD=FCB，F(xiàn)AD=FCD，F(xiàn)CB=FCD，CF平分BCD 2.如圖，四邊

28、形ABCD內(nèi)接于圓，對角線AC與BD相交于點E、F在AC上，AB=AD，BFC=BAD=2DFC求證：（1）CDDF；（2）BC=2CD令CFD=x,則BAD=BFC=2x四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，BAD+BCD=180°，即BCD=180°-2x又AB=AD，有圖中1=2，即有1=2=90°-xCDF中，CFD+1=x+(90°-x)=90°CDF=90°，即CDDF(2)過F做FG垂直BC因為ACB=ADB又BFC=BAD所以FBC=ABD=ADB=ACB則FB=FC所以FG平分BC，G為BC中點，GFC=1/2BAD=D

29、FC證明三角形FGC全等于三角形DFC（GFC=DFC,FC=FC,ACB=ACD）所以CD=GC=1/2BCBC=2CD31、如圖，AB是O的直徑，AE是弦，C是劣弧AE的中點，過C作CDAB于點D，CD交AE于點F，過C作CGAE交BA的延長線于點G（1）求證：CG是O的切線（2）求證：AF=CF（3）若EAB=30°，CF=2，求GA的長23如圖，AB是O的直徑，C是O上的一點，CE平分DCO，交O于E，弧AE=弧EB求證： CDAB24如圖,有一座拱橋是圓弧形,它的跨度為（AB）60米,拱高18米, 當(dāng)洪水泛濫到跨度（ ）只有30米時,要采取緊急措施,若拱頂離水面只有4米時，

30、是否要采取緊急措施? 25如圖，O是ABC的外接圓，AB為直徑，ACCF，CDAB于D，且交O于G，AF交CD于E（1）求ACB的度數(shù)；（2）求證：AECE； (2014年天津市，第21題10分)已知O的直徑為10，點A，點B，點C在O上，CAB的平分線交O于點D（）如圖，若BC為O的直徑，AB=6，求AC，BD，CD的長；（）如圖，若CAB=60°，求BD的長解：（）如圖，BC是O的直徑，CAB=BDC=90°在直角CAB中，BC=10，AB=6，由勾股定理得到：AC=8AD平分CAB，=，CD=BD在直角BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，

31、易求BD=CD=5；（）如圖，連接OB，ODAD平分CAB，且CAB=60°，DAB=CAB=30°，DOB=2DAB=60°又OB=OD，OBD是等邊三角形，BD=OB=ODO的直徑為10，則OB=5，BD=526如圖，是O的內(nèi)接三角形，為O中弧AB上一點，延長至點，使（1）求證：；（2）若，求證：證明：（1）因為CA=CB，所以弧CA=弧CB，所以CDE=CAB又因為CE=CD，CA=CB，ACB=ECD,ECA=DCB，又因為，CE=CD,CA=CB，所以CAE全等于CBD（SAS）所以AE=BD,(2)由（1）AE=BD,所以AD+BD=AD+AE=DEA

32、CB=ECD=90°，即為等腰RTCEDAD+BD=AD+AE=DE=根號2CD27已知：等邊內(nèi)接于O，點是劣弧BC上的一點（端點除外），延長至，使，連結(jié)（1）若過圓心，如左圖，請你判斷是什么三角形？并說明理由（2）若不過圓心，如右圖，又是什么三角形？為什么？(2) ABC為等邊三角形 AC=BC， 又在O中PAC=DBCAP=BD APCBDC  PC=DC 又AP過圓心O，AB=AC，BAC=60°BAP=1/2PAC=BAC=3O° BAP=BCP=30°，PBC=PAC=30° CPD=PBC+BCP=30°+30°=60° PDC為等邊三角形  (2)先證APCBDC(過程同上) PC=DCBAP+PAC=60° BAP=BCPPAC=PBC CPD=BCP+PBC=BAP+PAC=60° PC=DC PDC為等邊三角形四、附加題28.如圖，已知P是O外一點，PO交圓O于點C，OC=CP=2，弦ABOC，劣弧AB的度數(shù)為120°，連接PB（1）求BC的長；（2）求證：PB是O的切線2如圖，以ABC的BC邊上一點O為圓心的圓，經(jīng)過A，B兩