同濟(jì)六版高數(shù)練習(xí)冊(cè)答案第十章曲線積分與曲面積分

1、第十章 曲線積分與曲面積分1 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分計(jì)算公式：無論是對(duì)弧長(zhǎng)還是對(duì)坐標(biāo)的曲線積分重要的是寫出曲線的參數(shù)方程若，則若，則注意：上限一定要大于下限1 計(jì)算下列對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分（1），其中為圓周；解：法一：法二：，（2），其中為圓周，直線及軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個(gè)邊界；AB解：，其中，（或）故（3），其中為拋物線上介于與之間的一段??；解：由，得（4），其中為擺線的一拱；解：（令）（5），其中為圓周；解：利用對(duì)稱性，其中（6），其中為曲線，上相應(yīng)于從0變到2的弧段；解：（7），其中為空間圓周： .解：由，得，令故。故2 螺旋形彈簧一圈的方程為：，設(shè)它的線密度為，求：（1） 它關(guān)于軸的轉(zhuǎn)

2、動(dòng)慣量；（2）它的重心坐標(biāo).（1）（2）（分子采用分部積分法）=2 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分無論是對(duì)弧長(zhǎng)還是對(duì)坐標(biāo)的曲線積分重要的是寫出曲線的參數(shù)方程1計(jì)算公式：若，（其中分別始點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)），則若，（其中分別始點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)），則注意：（1）對(duì)定向曲線才能說對(duì)坐標(biāo)的曲線積；定向曲線的參數(shù)方程與未定向曲線的參數(shù)方程的不同： 定向曲線的參數(shù)表示為始點(diǎn)的參數(shù)到終點(diǎn)的參數(shù)而不管誰大誰?。?未定向曲線的參數(shù)方程的參數(shù)表示為不等式：（2）弧長(zhǎng)的積分轉(zhuǎn)化為定積分時(shí)定積分的上限一定要大于下限對(duì)坐標(biāo)的曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分時(shí)定積分的上限一定是終點(diǎn)的參數(shù)，下限是始點(diǎn)的參數(shù)，而不管上限是否一定要大于下限2：兩類曲

3、線積分的關(guān)系（1） 定向曲線的切向量及其方向余弦若當(dāng)時(shí)切向量為：；方向余弦為當(dāng)時(shí)切向量為：；方向余弦為類似可以推廣到空間曲線。（2） 兩類曲線積分的關(guān)系其中為定向曲線切向量的方向余弦注意：把第二類曲線積分轉(zhuǎn)化為第一類曲線積分其關(guān)鍵是求出切向量。特別要注意始點(diǎn)參數(shù)與終點(diǎn)參數(shù)大小關(guān)系對(duì)切向量符號(hào)的影響。1 把對(duì)坐標(biāo)的曲線積分化為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，其中為：（1）從點(diǎn)（0，0）沿拋物線到點(diǎn)（1，1）；解：，由，故在處切向量為，所以，所以（2）從點(diǎn)（0，0）沿上半圓周到點(diǎn)（1，1）.解：，由，故在處切向量為，所以，所以（或）法二，由，故切向量為，即所以，所以2 計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲線積分：（1），其中為拋

4、物線上從點(diǎn)（0，0）到（2，4）的一段弧；解：由，得OAa（2），其中為圓周及軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個(gè)邊界曲線?。ò茨鏁r(shí)針方向）；解：，其中，（注意此方程不是的極坐標(biāo)方程，故不能說在極坐標(biāo)系下的范圍，事實(shí)上極坐標(biāo)方程為，故在極坐標(biāo)系下的范圍為）故（3），為從點(diǎn)（1，0）到點(diǎn)（-1，0）的上半橢圓周；解：由，得（4），其中為圓周（按逆時(shí)針方向）；解：由，得（5），其中為橢圓周：，且從軸正方向看去，取順時(shí)針方向；解：由得，故（注意：易知，所以（6），其中是曲線：上由0到的一段弧.解：3計(jì)算，其中：（1）拋物線上從點(diǎn)（1，1）到點(diǎn)（4，2）的一段?。唬?）從點(diǎn)（1，1）到點(diǎn)（4，2）的直線

5、段；（3）曲線上從點(diǎn)（1，1）到點(diǎn)（4，2）的一段弧.解：（1）由，得（2）由，得（3）由，得4證明：其中為平面上光滑曲線的長(zhǎng)度.（提示：轉(zhuǎn)化為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分）證明：其中是切向量的方向余弦，故滿足。法二：證明：其中是切向量的方向余弦，故滿足。設(shè)向量，則，故3 Green公式1 用曲線積分計(jì)算下列曲線所圍平面圖形的面積：（1）橢圓：；解：若：，則（2）星形線：，.解：若：，則2用格林公式計(jì)算下列曲線積分（1），其中為圓周，取逆時(shí)針方向；（2），其中為閉區(qū)域的正向邊界.解：（1），又逆時(shí)針方向，設(shè)，所以（注意，為什么？）（2）所以（其中所以）3計(jì)算積分，其中為圓周（按逆時(shí)針方向）；解（1）故當(dāng)時(shí)

6、，在所圍的區(qū)域內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)，滿足格林公式條件。（2）故當(dāng)時(shí)，所圍的區(qū)域含有點(diǎn)，故在區(qū)域有點(diǎn)沒有連續(xù)偏導(dǎo)，不滿足格林公式條件。不能直接用格林公式條件。做曲線（取得足夠小保證含在所圍區(qū)域）方向?yàn)槟鏁r(shí)針，即。則曲線圍成復(fù)連通區(qū)域且為的正向邊界。故在復(fù)連通區(qū)域滿足格林公式條件，故即（注之所以取曲線是方便計(jì)算，若取則計(jì)算麻煩）4證明下列曲線積分在面上與路徑無關(guān)，并計(jì)算積分.（1）解：，所以單連通區(qū)域面有連續(xù)偏導(dǎo)，且A（1，2）C（3，4），所以曲線積分在面上與路徑無關(guān)。B（3，2）法一：其中法二設(shè)：則得0，故（2）解：，所以單連通區(qū)域面有連續(xù)偏導(dǎo)，且A（1，0）C（2，1）B（2，0），所以曲線積分在面

7、上與路徑無關(guān)。法一：其中法二設(shè)：，得0，所以，故=5用適當(dāng)?shù)姆椒ㄓ?jì)算下列曲線積分OBADA（1），其中為圓周上從點(diǎn)依逆時(shí)針方向到點(diǎn)的弧段；解：由，有其中，B（1，2）A（2，1）C（1，1）（2），其中為從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段.解：由，有積分與路徑無關(guān)，則其中，（注意：若應(yīng)用積分與路徑無關(guān)，則必須保證在添加的曲線與原曲線所圍的區(qū)域是單連通的，和在區(qū)域有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，如該題中區(qū)域就不能含原點(diǎn)）6解下列全微分方程（1）；解：，在面有，得方程為全微分方程。法一，故O（0，0）B（x，y）A（x，0），得，即所以方程通解為法二，令其中所以方程通解為（2）.解：，在面有，得方程為全微分方程。法一，故O（0，0）

8、B（x，y）A（x，0），得，即所以方程通解為法二，令其中所以方程通解為7計(jì)算曲線積分，其中：（1）閉區(qū)域的正向邊界；，則顯然在內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，滿足格林公式條件，故（2）圓周按逆時(shí)針方向；解：圓周所圍區(qū)域含原點(diǎn)，故在其內(nèi)沒有連續(xù)偏導(dǎo)，數(shù)，不能用格林公式。直接計(jì)算，故(0, p)E(p,-p),B(-p,-p)A(- p, p),C(p, p),D（3）從點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)的弧段.解：由，則積分路徑無關(guān)，故：，其中，故：8利用曲線積分與路徑無關(guān)的條件，求待定參數(shù)或函數(shù).（1）確定的值，使曲線積分與路徑無關(guān)；解：，欲使曲線積分與路徑無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)，即，即得（2）求可微函數(shù)，使曲線積分 在的開區(qū)域內(nèi)與積分路

9、徑無關(guān).解：，積分與路徑無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)，即，得，（這是以自變量為未知函數(shù)的一階線性微分方程）又得9證明的充分必要條件為： 其中是單連通開域內(nèi)的一條簡(jiǎn)單閉曲線，在內(nèi)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)證明：對(duì)曲線積分，故的充分必要條件為，又，故的充分必要條件為，即4 對(duì)面積的曲面積分1計(jì)算下列曲面積分（1），其中為拋物面在面上方的部分;解：則故（2），其中為錐面及平面所圍成閉區(qū)域的邊界曲面.解：如圖，其中，故=+=+（3），其中為錐面被柱面所截得的部分;解：則故（區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)，是關(guān)于奇函數(shù)）（4），其中為上半球面.解：，則故：3 計(jì)算曲面殼的質(zhì)量，面密度.解：質(zhì)量其中，則4 求密度為常數(shù)的均勻半球殼對(duì)于O

10、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解：在面上的投影區(qū)域：5對(duì)坐標(biāo)的曲面積分計(jì)算聯(lián)合形式法一：直接計(jì)算：則分別計(jì)算，（1） 計(jì)算時(shí)（）將曲面投影在面（且只能投影面，即使投影為曲線而非區(qū)域，此時(shí)）為區(qū)域，即根據(jù)方程解出：，并確定曲面是朝上還是朝下1計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲面積分（1），其中是柱面被平面及所截下的第一卦限內(nèi)部分的前側(cè);解：（1）計(jì)算在面投影為0，故（2） 計(jì)算曲面朝投影為故，前側(cè)故（令（3） 計(jì)算曲面朝投影為故，右側(cè)故故=（2），其中是拋物面介于平面及之間的部分的下側(cè);yzx解：法一（直接計(jì)算）：計(jì)算，將投影到面為，朝下，故yZ=2計(jì)算將投影到面為，如圖，其中，朝前，朝后，故（其中令）故法二（投影面轉(zhuǎn)換法）

11、因?yàn)?，：，朝下，所以（其中利用?duì)稱性：，由于：易知：，即）2把對(duì)坐標(biāo)的曲面積分化為對(duì)面積的曲面積分：（1）：平面被柱面所截部分的下側(cè);解：曲面在處的法向量為，故：，故（注意對(duì)于非定向曲面可為，或，但對(duì)于定向曲面朝下則第三個(gè)分量應(yīng)為負(fù)）（2）：拋物面被平面所截的部分的左側(cè).解：曲面在處的法向量為，故：，故（注意對(duì)于非定向曲面可為，或，但對(duì)于定向曲面朝做則第二個(gè)分量應(yīng)為負(fù)）3計(jì)算曲面積分其中為連續(xù)函數(shù)，是平面在第四卦限內(nèi)的上側(cè).解：由是平面在第四卦限內(nèi)的上側(cè)，故曲面在處的法向量為故，則（其中平面的面積為）5 計(jì)算，為錐面上滿足，的那部分曲面的下側(cè).解：（采用投影面轉(zhuǎn)換法計(jì)算較為簡(jiǎn)單）由，有又為錐面

12、：，朝下，6 Gauss公式與Stokes公式1利用高斯公式計(jì)算下列曲面積分.（1）其中是球面的外側(cè).解（本題中若寫成是錯(cuò)誤的，為什么？）2）其中為由曲面與所圍立體的表面的外側(cè).解：（若采用先二后一的方法計(jì)算三重積分），其中（若采用柱坐標(biāo)方法計(jì)算三重積分）2計(jì)算下列曲面積分：（1），是球面的上側(cè).解；作曲面，朝下。則其中（先二后一）由，朝下，有，故（2），為拋物面被平面所截下的部分的下側(cè).解；作曲面，朝上。則其中（用柱坐標(biāo)）由，朝上有故（其中利用定積分的幾何意義有）3：計(jì)算曲面積分其中為和所圍曲面外側(cè).解：4設(shè)是連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算曲面積分其中為錐面與兩球面及所圍立體表面的外側(cè).解：5利用斯托克斯公式計(jì)算下列曲線積分:（1），為圓周：，從z軸正向看去，取逆時(shí)針方向.解：原積分=（其中如圖它是在球內(nèi)的部分，朝上。）的法向量為，故（2），為橢圓，從z軸正向看去，取逆時(shí)針方向.解：原積分=（其中它是在圓柱內(nèi)的部分，朝上）的法向量為，故