計算不定積分的幾種技巧(共17頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上編號 學士學位論文計算不定積分的幾種技巧學生姓名： 艾孜熱提力.吾守爾 學 號： 系 部： 數(shù) 學 系 專 業(yè)： 信息與計算科學 年 級： 06-7班 指導教師：姑麗巴哈爾.穆罕默德艾力 完成日期： 2011 年 05 月 4 日專心-專注-專業(yè)摘要這篇論文詳細介紹10種不定積分方法，深刻總結各種積分法細微特征，從各種積分法所針對的被積函數(shù)特點這個角度進行突破，希望將不同積分法所解決的積分進行對比歸類，提出了一些解不定積分的技巧關鍵詞：不定積分；積分法則；湊微分法；計算不定積分的技巧；待定系數(shù)法 目錄引言不定積分是導數(shù)運算的逆運算導數(shù)運算一般是有導數(shù)的運算法則和導數(shù)公

2、式或導數(shù)定義來進行計算相應的由倒豎運算可以導出不定積分的運算法則和基本計算公式但是，根據(jù)不定積分運算法則和基本積分公式只能計算出很少一部分比較簡單的函數(shù)的不定積分，而對于更多函數(shù)的不定積分要因函數(shù)不同形式或不同類型選用不同的方法因此，下面介紹對于具體問題計算不定積分的幾種技巧1. 直接積分法對一些簡單函數(shù)的求積問題，我們利用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式，跟快就可以得出結果這就是直接積分法例1 求解 = = = =2. 湊微分法被積函數(shù)的形式是各種各樣的，而能用直接積分法求出結果的積分并不多見，湊微分法是與復雜函數(shù)相對應的即對于復雜函數(shù)的積分時，就要被積表達式變形符合基本公式的形式如果被積表達式

3、具有原函數(shù)，可導，則有湊微分法的關鍵是如何把被積函數(shù)湊成和兩部分例2 求解 令，則，于是有類似有下面的湊微分公式： 例3 求 解： （把當做一個變量）3. 加減法如果被積表達式是復雜分式，那么分子上加減某一適當?shù)臄?shù)字或式子來分成若干個簡單分式的和這樣更便于計算例4 求 解： 在本題中，由于被積函數(shù)的分母只有單一因式，因此分子上加減某一相當?shù)氖阶觼砗喕?，? 先分別計算個個分式的不定積分：令則=于是得到=4. 提取公因式法如果被積表達式是分子等于1的分子，則從被積表達式的分母提取適當?shù)墓蚴?，通過提取的公因式進行變量代換例1 求解 令則積分化為=5. 三角代換法如果被積表達式含有則采用適當?shù)娜?/p>

4、代換，即三角代換的是去掉根式，其一般規(guī)律如下： 可令 ； 可令 ； 可令 例6 求解 令 （同理可考慮的情況），于是有=求出故得=6. 取倒變換法計算有些分析的不定積分時，采用來代換自變量，使得變換后的不定積分容易求出例7 求 解 令=7. 萬能代換法由于以及三角函數(shù)的位角，乘方等全屬于的有理式，因此事實上就是純?nèi)呛瘮?shù)在有理運算下所得的函數(shù)均屬于似類此類積分使由“萬能變換”來可計算令則于是=即，轉化為有理函數(shù)積分例8 求解：令，則=8. 觀察法對一些特殊的三角函數(shù)有理式，可以用“萬能變換”更簡便的變換，使積分變換成有理函數(shù)積分，例舉如下： 例9 求 解 由于故令就有=9. 待定系數(shù)法一般形如

5、的不積分用分部積分法來計算可是的次數(shù)比較大時，計算此類積分有點麻煩，所以下介紹計算此類積分的另一種方法待定系數(shù)法時，原積分變?yōu)椋?（ 為n次多項式）則結果還是和一個n次多項式的乘積加一個常數(shù)即 = （其中是n次多項式）求公式的一階導數(shù)，然后約掉等式兩邊的，以后比較等式兩邊對應元素的系數(shù)，就能得出的系數(shù).例10 求解 由公式得到=（其中A,B,C,D不為零的常數(shù)）等式兩邊求導在整理得約掉得比較兩邊得當，如果我們假設把被積表達式中的次數(shù)高的是n,即則積分存在原函數(shù)，且形式與被積函數(shù)相同原函數(shù)當中多項式的次數(shù)是n即= 將式子求導以后約掉，比較兩邊的就可以確認和例10 求解 由公式=兩邊求導得比較兩邊

6、得解得所以得=10. 混合法有時計算不定積分需要多種方法混合使用例11 求解 令則=總結本文主要介紹 10 種計算不定積分最基本，最常用的方法符合計算大多數(shù)不定積分可是某種方法不一定是計算此類問題唯一的，最有效的方法，在實際計算中要注意的，最有效的方法合理選擇，正確使用每一種方法，就可以達到考慮的問題轉化為簡單問題，即化繁為簡，最終歸結為公式中的情形所以對于具體問題采用適當?shù)姆椒ǎ@樣就可以避免“選擇不當，積分更難進行”的問題·參考文獻1數(shù)學分析高等教育出版社2001（2006重印），華東師范大學數(shù)學系 （上冊）176-195頁2數(shù)學分析簡明教程北京大學數(shù)學力學系與函數(shù)論教研室譯上冊

7、185-195頁3高等數(shù)學高等教育出版社，2001年，四川大學數(shù)學系高等數(shù)學教研室編，210-218頁4數(shù)學分析新講第一冊，北京大學出版社1990年217-231頁5數(shù)學分析講義高等教育出版社，第3版，王昆揚譯131-137頁6數(shù)學分析北京大學出版社，北極大學出版社，伍勝健編者2009年，241-270頁7數(shù)學分析講義高等教育出版社，2003年，北京大學數(shù)學系高等數(shù)學教研室編，151-156頁致謝在喀什師范學院的教育下經(jīng)過五年的學習，使我做人做事各方面得到了很大的提高 在古麗巴哈爾老師的指導下我的畢業(yè)論文順利通過，她幫我批閱了好多次，提供了這方面的資料和非常好的意見，非常感謝他的幫助，在老師耐心的指導下，我