計(jì)算不定積分的幾種技巧(共17頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上編號(hào) 學(xué)士學(xué)位論文計(jì)算不定積分的幾種技巧學(xué)生姓名： 艾孜熱提力.吾守爾 學(xué) 號(hào)： 系 部： 數(shù) 學(xué) 系 專 業(yè)： 信息與計(jì)算科學(xué) 年 級(jí)： 06-7班 指導(dǎo)教師：姑麗巴哈爾.穆罕默德艾力 完成日期： 2011 年 05 月 4 日專心-專注-專業(yè)摘要這篇論文詳細(xì)介紹10種不定積分方法，深刻總結(jié)各種積分法細(xì)微特征，從各種積分法所針對(duì)的被積函數(shù)特點(diǎn)這個(gè)角度進(jìn)行突破，希望將不同積分法所解決的積分進(jìn)行對(duì)比歸類，提出了一些解不定積分的技巧關(guān)鍵詞：不定積分；積分法則；湊微分法；計(jì)算不定積分的技巧；待定系數(shù)法 目錄引言不定積分是導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算導(dǎo)數(shù)運(yùn)算一般是有導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)公

2、式或?qū)?shù)定義來進(jìn)行計(jì)算相應(yīng)的由倒豎運(yùn)算可以導(dǎo)出不定積分的運(yùn)算法則和基本計(jì)算公式但是，根據(jù)不定積分運(yùn)算法則和基本積分公式只能計(jì)算出很少一部分比較簡(jiǎn)單的函數(shù)的不定積分，而對(duì)于更多函數(shù)的不定積分要因函數(shù)不同形式或不同類型選用不同的方法因此，下面介紹對(duì)于具體問題計(jì)算不定積分的幾種技巧1. 直接積分法對(duì)一些簡(jiǎn)單函數(shù)的求積問題，我們利用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式，跟快就可以得出結(jié)果這就是直接積分法例1 求解 = = = =2. 湊微分法被積函數(shù)的形式是各種各樣的，而能用直接積分法求出結(jié)果的積分并不多見，湊微分法是與復(fù)雜函數(shù)相對(duì)應(yīng)的即對(duì)于復(fù)雜函數(shù)的積分時(shí)，就要被積表達(dá)式變形符合基本公式的形式如果被積表達(dá)式

3、具有原函數(shù)，可導(dǎo)，則有湊微分法的關(guān)鍵是如何把被積函數(shù)湊成和兩部分例2 求解 令，則，于是有類似有下面的湊微分公式： 例3 求 解： （把當(dāng)做一個(gè)變量）3. 加減法如果被積表達(dá)式是復(fù)雜分式，那么分子上加減某一適當(dāng)?shù)臄?shù)字或式子來分成若干個(gè)簡(jiǎn)單分式的和這樣更便于計(jì)算例4 求 解： 在本題中，由于被積函數(shù)的分母只有單一因式，因此分子上加減某一相當(dāng)?shù)氖阶觼砗?jiǎn)化，即= 先分別計(jì)算個(gè)個(gè)分式的不定積分：令則=于是得到=4. 提取公因式法如果被積表達(dá)式是分子等于1的分子，則從被積表達(dá)式的分母提取適當(dāng)?shù)墓蚴剑ㄟ^提取的公因式進(jìn)行變量代換例1 求解 令則積分化為=5. 三角代換法如果被積表達(dá)式含有則采用適當(dāng)?shù)娜?/p>

4、代換，即三角代換的是去掉根式，其一般規(guī)律如下： 可令 ； 可令 ； 可令 例6 求解 令 （同理可考慮的情況），于是有=求出故得=6. 取倒變換法計(jì)算有些分析的不定積分時(shí)，采用來代換自變量，使得變換后的不定積分容易求出例7 求 解 令=7. 萬能代換法由于以及三角函數(shù)的位角，乘方等全屬于的有理式，因此事實(shí)上就是純?nèi)呛瘮?shù)在有理運(yùn)算下所得的函數(shù)均屬于似類此類積分使由“萬能變換”來可計(jì)算令則于是=即，轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)積分例8 求解：令，則=8. 觀察法對(duì)一些特殊的三角函數(shù)有理式，可以用“萬能變換”更簡(jiǎn)便的變換，使積分變換成有理函數(shù)積分，例舉如下： 例9 求 解 由于故令就有=9. 待定系數(shù)法一般形如

5、的不積分用分部積分法來計(jì)算可是的次數(shù)比較大時(shí)，計(jì)算此類積分有點(diǎn)麻煩，所以下介紹計(jì)算此類積分的另一種方法待定系數(shù)法時(shí)，原積分變?yōu)椋?（ 為n次多項(xiàng)式）則結(jié)果還是和一個(gè)n次多項(xiàng)式的乘積加一個(gè)常數(shù)即 = （其中是n次多項(xiàng)式）求公式的一階導(dǎo)數(shù)，然后約掉等式兩邊的，以后比較等式兩邊對(duì)應(yīng)元素的系數(shù)，就能得出的系數(shù).例10 求解 由公式得到=（其中A,B,C,D不為零的常數(shù)）等式兩邊求導(dǎo)在整理得約掉得比較兩邊得當(dāng)，如果我們假設(shè)把被積表達(dá)式中的次數(shù)高的是n,即則積分存在原函數(shù)，且形式與被積函數(shù)相同原函數(shù)當(dāng)中多項(xiàng)式的次數(shù)是n即= 將式子求導(dǎo)以后約掉，比較兩邊的就可以確認(rèn)和例10 求解 由公式=兩邊求導(dǎo)得比較兩邊

6、得解得所以得=10. 混合法有時(shí)計(jì)算不定積分需要多種方法混合使用例11 求解 令則=總結(jié)本文主要介紹 10 種計(jì)算不定積分最基本，最常用的方法符合計(jì)算大多數(shù)不定積分可是某種方法不一定是計(jì)算此類問題唯一的，最有效的方法，在實(shí)際計(jì)算中要注意的，最有效的方法合理選擇，正確使用每一種方法，就可以達(dá)到考慮的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題，即化繁為簡(jiǎn)，最終歸結(jié)為公式中的情形所以對(duì)于具體問題采用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ@樣就可以避免“選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行”的問題·參考文獻(xiàn)1數(shù)學(xué)分析高等教育出版社2001（2006重印），華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 （上冊(cè)）176-195頁2數(shù)學(xué)分析簡(jiǎn)明教程北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系與函數(shù)論教研室譯上冊(cè)

7、185-195頁3高等數(shù)學(xué)高等教育出版社，2001年，四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研室編，210-218頁4數(shù)學(xué)分析新講第一冊(cè)，北京大學(xué)出版社1990年217-231頁5數(shù)學(xué)分析講義高等教育出版社，第3版，王昆揚(yáng)譯131-137頁6數(shù)學(xué)分析北京大學(xué)出版社，北極大學(xué)出版社，伍勝健編者2009年，241-270頁7數(shù)學(xué)分析講義高等教育出版社，2003年，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研室編，151-156頁致謝在喀什師范學(xué)院的教育下經(jīng)過五年的學(xué)習(xí)，使我做人做事各方面得到了很大的提高 在古麗巴哈爾老師的指導(dǎo)下我的畢業(yè)論文順利通過，她幫我批閱了好多次，提供了這方面的資料和非常好的意見，非常感謝他的幫助，在老師耐心的指導(dǎo)下，我