浙江師范大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》第七章 微分方程

1、高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院蔣蔣 敏敏 蘭蘭 (699259)20幢連廊幢連廊307浙江師范大學(xué)信息學(xué)院浙江師范大學(xué)信息學(xué)院高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院第七章第七章 微分方程微分方程 yxfy求已知, )( 積分問(wèn)題積分問(wèn)題 yy求及其若干階導(dǎo)數(shù)的方程已知含, 微分方程問(wèn)題微分方程問(wèn)題 推廣 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 引例引例 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程

2、學(xué)院例例1. 一曲線通過(guò)點(diǎn)一曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2) ,在該曲線上任意點(diǎn)處的在該曲線上任意點(diǎn)處的解解: 設(shè)所求曲線方程為設(shè)所求曲線方程為 y = y(x) , 則有如下關(guān)系式則有如下關(guān)系式:xxy2ddxxyd2Cx 2(C為任意常數(shù))由 得 C = 1,12 xy因此所求曲線方程為因此所求曲線方程為:21xy由 得切線斜率為切線斜率為 2x , 求該曲線的方程求該曲線的方程 . 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院例例2. 列車在平直路上以列車在平直路上以sm20的速度行駛的速度行駛, 制動(dòng)時(shí)制動(dòng)時(shí)獲得加速度獲得加速度,sm4 . 02a求制動(dòng)后列車的運(yùn)動(dòng)

3、規(guī)律求制動(dòng)后列車的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解解: 設(shè)列車在制動(dòng)后設(shè)列車在制動(dòng)后 t 秒行駛了秒行駛了s 米米 ,由題意知由題意知:4 . 0dd22ts00ts200ddtts即求即求 s = s (t) . 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院由由式積分一次式積分一次, 可得可得2122 . 0CtCts利用利用 兩式可得：兩式可得：0,2021CC因此所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為：因此所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為：tts202 . 02說(shuō)明說(shuō)明: 利用這一規(guī)律可求出制動(dòng)后多少時(shí)間列車才利用這一規(guī)律可求出制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停住能停住 , 以及制動(dòng)后行駛了多少路程。以及制動(dòng)后行駛了多少路程。

4、由由式積分兩次式積分兩次, 可得：可得：14 . 0ddCttsv高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院一般，凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之一般，凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程，叫做間的關(guān)系的方程，叫做微分方程微分方程 ，有時(shí)也簡(jiǎn)稱方程。，有時(shí)也簡(jiǎn)稱方程。方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，叫方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，叫做微分方程的做微分方程的階。階。0),()(nyyyxF),() 1()(nnyyyxfy( n 階階顯式顯式微分方程微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地一般地 , n

5、 階常微分方程的形式是：階常微分方程的形式是：或或 是必須出現(xiàn)是必須出現(xiàn)的，其它變量的，其它變量可以不出現(xiàn)。可以不出現(xiàn)。)(ny以后討論的微分方程都是已以后討論的微分方程都是已解出最高階導(dǎo)數(shù)的方程或者解出最高階導(dǎo)數(shù)的方程或者能解出最高階導(dǎo)數(shù)的方程。能解出最高階導(dǎo)數(shù)的方程。高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院,00ts200ddtts例例24 . 022ddxy 使方程成為恒等式的函數(shù)。使方程成為恒等式的函數(shù)。通解通解 解中含有獨(dú)立的任意常數(shù)，且任意常數(shù)解中含有獨(dú)立的任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同。的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同。) 1(00) 1(0

6、000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 確定通解中任意常數(shù)的條件。n 階方程的初始條件初始條件( (或初值條件或初值條件) ):特解特解xxy2dd21xy例例1 Cxy22122 . 0CtCts通解通解:tts202 . 0212 xy特解特解:微分方程的解微分方程的解 不含任意常數(shù)的解不含任意常數(shù)的解, 定解條件定解條件 其圖形稱為積分曲線積分曲線. .高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院例例3. 驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù)是微分方程是微分方程tkCtkCxsincos2122ddtx的解的解,0Axt00ddttx的特解的特解 . 解解: 22ddt

7、xt kkCsin22)sincos(212t kCt kCkxk2這說(shuō)明這說(shuō)明tkCtkCxsincos21是方程的解是方程的解 . 是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù),21,CC),(21為常數(shù)CCt kkCcos2102xk利用初始條件易得利用初始條件易得: ,1AC 故所求特解為故所求特解為:tkAxcos,02C故它是方程的通解故它是方程的通解.并求滿足初始條件并求滿足初始條件 txddt kkCcos2t kkC sin1高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院 P301 (習(xí)題習(xí)題7-1)2: (3),(4); 3: (2); 4:(2)

8、,(3) ; 5: (1)6 練習(xí)練習(xí)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院求所滿足的微分方程求所滿足的微分方程 .例例2. 已知曲線上點(diǎn)已知曲線上點(diǎn) P(x, y) 處的法線與處的法線與 x 軸交點(diǎn)為軸交點(diǎn)為 QPQxyox解解: 如圖所示如圖所示, yYy1)(xX 令令 Y = 0 , 得得 Q 點(diǎn)的橫坐標(biāo)點(diǎn)的橫坐標(biāo)yyxX,xyyx即02 xyy點(diǎn)點(diǎn) P(x, y) 處的法線方程為處的法線方程為且線段且線段 PQ 被被 y 軸平分軸平分, 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院第二節(jié)第二節(jié) 可分離變量的微分方程

9、可分離變量的微分方程 討論一階微分方程的一些解法：討論一階微分方程的一些解法： ),(yxfy xxy2ddxxyd2d 第一節(jié)例第一節(jié)例1 1中，一階微分方程：中，一階微分方程： 把上式兩端積分就得到這個(gè)方程的通解：把上式兩端積分就得到這個(gè)方程的通解： Cxy2高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院22ddxyxyxxyyd2d2又一階微分方程：又一階微分方程： 不能對(duì)上式兩端直接積分來(lái)求這個(gè)方程的通解。不能對(duì)上式兩端直接積分來(lái)求這個(gè)方程的通解。xxfyygd)(d)(如果一階微分方程能寫成：如果一階微分方程能寫成： 微分方程一端只含有微分方程一端只含有

10、y的函數(shù)和的函數(shù)和dy，另一端只含有，另一端只含有x的的函數(shù)和函數(shù)和dx，那么原方程就稱為，那么原方程就稱為可分離變量的微分可分離變量的微分方程。方程。高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院分離變量方程的解法分離變量方程的解法:xxfyygd)(d)(設(shè)設(shè) y (x) 是方程是方程的解的解, xxfxxxgd)(d)()(兩邊積分, 得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(則有恒等式則有恒等式 )(yG)(xF當(dāng)G(y) 與F(x) 可微且 G(y) g(y)0 時(shí), 說(shuō)明由確定的隱函數(shù) y(x) 是的解. 則有稱為方程的隱式通解隱式通解, 或通積分

11、.同樣,當(dāng)F(x)= f (x)0 時(shí),上述過(guò)程可逆,由確定的隱函數(shù) x(y) 也是的解. 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院例例1. 求微分方程求微分方程xyxy2dd的通解的通解.解解: 分離變量得xxyyd2d兩邊積分xxyyd2d得12lnCxy即12Cxey21xCee2xeCy 1CeC令( C 為任意常數(shù) )( 此式含分離變量時(shí)丟失的解此式含分離變量時(shí)丟失的解 y = 0 )說(shuō)明說(shuō)明: 在求解過(guò)程中在求解過(guò)程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解變形變形,因此可能增、因此可能增、減解。減解。高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙

12、江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院練習(xí)練習(xí)1. 求微分方程求微分方程yxxy23dd的通解的通解.解解: 分離變量得xxyyd3d2兩邊積分xxyyd3d2得13lnCxy即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令( C 為任意常數(shù) )( 此式含分離變量時(shí)丟失的解 y = 0 )高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院例例2. 子的含量子的含量 M 成正比成正比,0M求在求在衰變過(guò)程中鈾含量衰變過(guò)程中鈾含量 M(t) 隨時(shí)間隨時(shí)間 t 的變化規(guī)律的變化規(guī)律. 解解: 根據(jù)題意, 鈾的衰變速度就是M（t）對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，則有：)0(ddMtM00MMt(初始條

13、件)對(duì)方程分離變量, MMd,lnlnCtM得即teCM利用初始條件, 得0MC 故所求鈾的變化規(guī)律為.0teMMM0Mto然后積分:td)(已知已知 t = 0 時(shí)鈾的含量為時(shí)鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變?cè)阎派湫栽剽櫟乃プ兯俣扰c當(dāng)時(shí)未衰變?cè)叩葦?shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院例例3.kvmgF成正比成正比,求求解解: 設(shè)降落傘下落速度為設(shè)降落傘下落速度為v(t)并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)( t = 0 ) 速度為速度為0,設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度 降落傘

14、下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系. 降落傘在空中下落時(shí)，同時(shí)受到重力降落傘在空中下落時(shí)，同時(shí)受到重力P和阻力和阻力R的的作用。作用。重力大小為重力大小為mg，方向與，方向與v一致；一致；阻力大小為阻力大小為kv（k為比例系數(shù)），方向與為比例系數(shù)），方向與v相反，從相反，從而有：而有：maF 根據(jù)牛頓第二定律：根據(jù)牛頓第二定律：高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院則有：tvmdd00tv初始條件為對(duì)方程分離變量,mtvkmgvdd然后積分 :得Cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此處利用初始條件, 得)(ln1gmkC代入上式后

15、化簡(jiǎn), 得特解)1 (tmkekgmvmgvkkmgv t 足夠大時(shí)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院例例4. 有高有高 1m 的半球形容器的半球形容器, 水從它的底部小孔流出水從它的底部小孔流出,.cm12S開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水,從小孔流出過(guò)程中從小孔流出過(guò)程中, 容器里水面的高度容器里水面的高度 h 隨時(shí)間隨時(shí)間 t 的變的變解解: 由水力學(xué)知, 水從孔口流出的流量為tVQddhgS262. 0即thgVd262. 0d求水求水小孔橫截面積小孔橫截面積化規(guī)律化規(guī)律.設(shè)在d,ttt內(nèi)水面高度由 h 降到 ),0d(dhhhhgSk

16、2流量系數(shù)流量系數(shù)孔口截面孔口截面面積面積重力加速度重力加速度cm100hhdhohr高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院對(duì)應(yīng)下降體積hrVdd222)100(100hr2200hhhhhVd)200(d2因此得微分方程定解問(wèn)題:hhhthgd)200(d262. 021000th將方程分離變量:hhhgtd)200(262. 0d2321cm100hhdhohr高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院gt262. 0兩端積分, 得g262. 0hhhd)200(2321233400(h)5225Ch 利用初始條件,

17、得5101514262. 0gC因此容器內(nèi)水面高度 h 與時(shí)間 t 有下列關(guān)系:)310107(265. 4252335hhgt1000thcm100hhdhohr高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分方程的概念微分方程的概念微分方程;定解條件;2. 可分離變量方程的求解方法可分離變量方程的求解方法:說(shuō)明說(shuō)明: 通解不一定是方程的全部解 .0)(yyx有解后者是通解 , 但不包含前一個(gè)解 .例如, 方程分離變量后積分; 根據(jù)定解條件定常數(shù) .解; 階;通解; 特解 y = x 及 y = C 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息

18、工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院 找出事物的共性及可貫穿于全過(guò)程的規(guī)律列方程.常用的方法常用的方法:1) 根據(jù)幾何關(guān)系列方程；2) 根據(jù)物理規(guī)律列方程 ( 如: 例2 , 例 3 )；3) 根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程 ( 如: 例4 )。(2) 利用反映事物個(gè)性的特殊狀態(tài)確定定解條件.(3) 求通解, 并根據(jù)定解條件確定特解. 3. 解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院 P308 (習(xí)題習(xí)題7-2)1: (2),(3),(5),(8) , (10) ; 2: (3),(5); 5 ; 7 練習(xí)

19、練習(xí)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院一、齊次方程一、齊次方程如果一階微分方程可化成)(ddxyxy的形式，叫做齊次方程齊次方程 .令,xyu ,xuy 則代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d兩邊積分, 得xxuuud)(d積分后再用xy代替 u, 便得原方程的通解.解法解法:分離變量: 第三節(jié)第三節(jié) 齊次方程齊次方程 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院例例1. 解微分方程解微分方程1)(222xyxyxxyydxdy,xyu 令.22dxdyxydxdyxy解解: 原方程可寫

20、成：則：dxduxudxdyxuy,于是原方程變?yōu)椋?2uudxduxu即：1uudxdux分離變量得：xdxduu)11 (兩端積分得：xCuulnln1把u=y/x代入上式，方程通解：)(,ln11CxyeCCeyCxyy或或1lnCuux高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院練習(xí)練習(xí)1. 解微分方程解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy則代入原方程得uuuxutan分離變量xxuuuddsincos兩邊積分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解為xCxysin( 當(dāng) C = 0 時(shí), y

21、 = 0 也是方程的解)( C 為任意常數(shù) )高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院根據(jù)光學(xué)中反射定律（入射角等于反射角）有：又設(shè)過(guò)點(diǎn)M的切線AT與x軸的夾角為則有：例例2. 探照燈的聚光鏡的鏡面是一張旋轉(zhuǎn)曲面探照燈的聚光鏡的鏡面是一張旋轉(zhuǎn)曲面,它的形狀由它的形狀由xoy坐坐標(biāo)面上的一條曲線標(biāo)面上的一條曲線L繞繞x軸旋轉(zhuǎn)而成軸旋轉(zhuǎn)而成.按聚光鏡性能的要求，在其按聚光鏡性能的要求，在其旋轉(zhuǎn)軸（旋轉(zhuǎn)軸（x軸）上一點(diǎn)軸）上一點(diǎn)O處發(fā)出的一切光線，經(jīng)它反射后都與旋處發(fā)出的一切光線，經(jīng)它反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行轉(zhuǎn)軸平行.求曲線求曲線L的方程的方程.解解: 將光源所在O點(diǎn)

22、取作坐標(biāo)原點(diǎn),且曲線L位于y0范圍內(nèi).設(shè)M（x,y）為L(zhǎng)上任意一點(diǎn)，點(diǎn)O發(fā)出的某條光線經(jīng)M反射后是一條與x軸平行的直線MS.SMToyxTMAPyAONSLSMTOMAOMAO 從而有：xyyOPPMOPAPAOcot而：高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院22yxOM而于是得微分方程于是得微分方程 : xyy22yx oyxTMAPyAONSL把x看做因變量，y看作自變量，當(dāng) y 0,上式即為：21ddyxyxyx, vyx 則,yxv 令21ddvyvyyvyvyxdddd(齊次方程) ydyvdv12分離變量得：高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信

23、息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院Cyvvlnln)1(ln2積分得得：1222CvyCy, xvy代入得)2(22CxCy221)(vvCyCyvv21這是以x軸為軸、焦點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線.或：由高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院 P314 (習(xí)題習(xí)題7-3)1: (2),(4),(6) ; 2: (1); 3練習(xí)練習(xí)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院一、一階線性微分方程一、一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x) 0, 0)(ddyxPxy若 Q(x) 0, 稱為

24、非齊次方程非齊次方程 .1. 解齊次方程解齊次方程分離變量xxPyyd)(d兩邊積分得CxxPylnd)(ln故通解為xxPeCyd)(稱為齊次方程齊次方程 ;第四節(jié)第四節(jié) 一階線性微分方程一階線性微分方程 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院對(duì)應(yīng)齊次方程通解xxPeCyd)(2. 解非齊次方程解非齊次方程)()(ddxQyxPxy用常數(shù)變易法常數(shù)變易法:,)()(d)(xxPexuxy則于是：即把通解中的C換成x的未知函數(shù)u(x),即作變換xxPxxPexuPeuxyd)(d)()(dd將上述兩個(gè)式子代入到一階線性微分方程中：)()(ddxQyxPxy

25、高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院齊次方程通解非齊次方程特解xxPCed)(故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即兩端積分得CxexQuxxPd)(d)(xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ即xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(dd得：高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院例例1. 求方程的通解：求方程的通解：.) 1(12dd25xxyxy解解: 先求對(duì)應(yīng)齊次方程的通解：,012ddxyxy即1d2dxxyy積分得,ln1l

26、n2lnCxy即2) 1( xCy用常數(shù)變易法常數(shù)變易法求特解. 令,) 1()(2xxuy則) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齊次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解為Cxxy232) 1(32) 1(高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院例例2. 有一電路如圖所示有一電路如圖所示, ,sintEEm電動(dòng)勢(shì)為電阻電阻 R 和電和電. )(tiLERK解解: 列方程列方程 .,0ddiRtiLE即LtEiLRtimsindd初始條件: 00ti由回路電壓定律有:其中電源其中電源求電流求電流感感 L 都是常量都是常量,高等數(shù)學(xué)高

27、等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院LERK解方程解方程:LtEiLRtimsindd00tiCxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(由初始條件: 00ti得222LRLECm)(ti dtLRetLEmsintLRmeCtLtRLRE)cossin(222tetLRddC利用一階線性方程解的公式可得:高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院tLRmeLRLEti222)()cossin(222tLtRLREmtLRmeLRLEti222)()sin(222tLREm暫態(tài)電流暫態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流則令,arctanRLLE

28、RK因此所求電流函數(shù)為因此所求電流函數(shù)為解的意義: 當(dāng)當(dāng)t增大時(shí)，增大時(shí)，逐漸趨于逐漸趨于0周期與電動(dòng)勢(shì)周期相同，相角落后周期與電動(dòng)勢(shì)周期相同，相角落后高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院例例3.解方程：解方程：.1ddyxxy解解: 若把所給方程變形為：.ddyxyx則為一階線性方程，可按一階線性方程的解法求得通解. 1dddxduxy也可用變量代換來(lái)解.令：x+y=u，則y=u-x，uxu11dd代入原方程，得：uuxu1dd即分離變量得：xuuudd1兩端積分得：Cxuu1ln以u(píng)=x+y代入上式，得：Cyxy1ln高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理

29、與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 一階線性方程)()(ddxQyxPxy方法1 先解齊次方程 , 再用常數(shù)變易法.方法2 用通解公式CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院思考與練習(xí)思考與練習(xí)判別下列方程類型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxy提示提示:xxyyydd1 可分離可分離 變量方程變量方程xyxyxylndd齊次方程齊次方程221dd2xyxxy線性方程線性方程221dd2yxyy

30、x線性方程線性方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院1 (3) , (6) , (9) ; 2 (5) ; 6 ;7 (3) , (5) 作業(yè)P320 7-4高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院),(yxfy 第五節(jié)第五節(jié) 可降階高階微分方程可降階高階微分方程 )()(xfyn),(yyfy 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院一、一、)()(xfyn令,) 1( nyz)(ddnyxz則因此1d)(Cxxfz即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)

31、(Cxxfxd xxfd)(依次通過(guò)依次通過(guò) n 次積分次積分, 可得含可得含 n 個(gè)任意常數(shù)的通解個(gè)任意常數(shù)的通解 ., )(xf21CxC型的微分方程型的微分方程 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院例例1. xeyxcos2 求解解: 12cosCxdxeyx 12sin21Cxexxey241xey2811121CC此處xsin21xC32CxCxcos21CxC的通解的通解.高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院,00tx例例2. 質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)受力的質(zhì)點(diǎn)受力F 的作用沿的作用沿 ox 軸作直線軸

32、作直線運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng),在開始時(shí)刻在開始時(shí)刻,)0(0FF隨著時(shí)間的增大隨著時(shí)間的增大 , 此力此力 F 均勻地減均勻地減直到直到 t = T 時(shí)時(shí) F(T) = 0 .如果開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)在原點(diǎn)如果開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)在原點(diǎn), 解解: 據(jù)題意有據(jù)題意有:)(dd22tFtxmtFoT0FF)1(0TtF0dd0ttx)1(0TtFt = 0 時(shí)時(shí)設(shè)力設(shè)力 F 僅是時(shí)間僅是時(shí)間 t 的函數(shù)的函數(shù): F = F (t) . 小,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 初速度為初速度為0, 且對(duì)方程兩邊除以對(duì)方程兩邊除以m，并積分，并積分, 得得 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院1

33、20)2(ddCTttmFtx利用初始條件利用初始條件, 01C得于是于是)2(dd20TttmFtx兩邊再積分得兩邊再積分得2320)62(CTttmFx再利用再利用00tx, 02C得故所求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為故所求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為)3(2320TttmFx0dd0ttx.0Tt 得高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 設(shè), )(xpy ,py 則原方程化為一階方程),(pxfp 設(shè)其通解為),(1Cxp則得),(1Cxy再一次積分, 得原方程的通解：21d),(CxCxy二、二、這是一個(gè)關(guān)于這是一個(gè)關(guān)于變量變量x和和

34、p的一的一階微分方程階微分方程.高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院例例3. 求微分方程求微分方程yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: ),(xpy 設(shè),py 則代入方程得代入方程得pxpx2)1(2分離變量分離變量)1(d2d2xxxpp積分得積分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用利用, 31C得于是有于是有)1(32xy兩端再積分得兩端再積分得233Cxxy利用利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解為因此所求特解為的特解的特解.高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理

35、與信息工程學(xué)院sgoyxTHAM例例4. 繩索僅受繩索僅受重力作用而下垂重力作用而下垂,解解: 設(shè)繩索的最低點(diǎn)為設(shè)繩索的最低點(diǎn)為A.設(shè)有一均勻設(shè)有一均勻, 柔軟的繩索柔軟的繩索, 兩端固定兩端固定, 問(wèn)該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線問(wèn)該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線 ? 取取y軸通過(guò)軸通過(guò)A鉛直向上，并取鉛直向上，并取x軸軸水平向右水平向右.且且|OA|等于某個(gè)定值等于某個(gè)定值. 設(shè)繩索曲線的方程為：設(shè)繩索曲線的方程為：).(xy考察最低點(diǎn)考察最低點(diǎn)A到任意點(diǎn)到任意點(diǎn)M（x,y）間弧段）間弧段AM（設(shè)其長(zhǎng)為（設(shè)其長(zhǎng)為s）的）的受力情況受力情況.假定繩索繩索的線密度為假定繩索繩索的線密度為，則，則弧弧

36、AM所受所受重力為重力為gsgs.由于繩索是柔軟的，因而在點(diǎn)由于繩索是柔軟的，因而在點(diǎn)A處的張力沿處的張力沿水平的切線方向，其大小設(shè)為水平的切線方向，其大小設(shè)為H；在點(diǎn)在點(diǎn)M處的張力沿該點(diǎn)處的切線方向，設(shè)其處的張力沿該點(diǎn)處的切線方向，設(shè)其傾角為傾角為，大小設(shè)為大小設(shè)為T.高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院sg( : 密度, s :弧長(zhǎng))弧段重力大小按靜力平衡條件, 有,cosHTsa1tan)(gHa其中sgTsinyxyxd102a1故有211yay 即有即有: A 點(diǎn)受水平張力 HM 點(diǎn)受切向張力T兩式相除得sgoyxTHAM高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師

37、范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院211yya , aOA 設(shè)則得定解問(wèn)題: , 0ayx0 0 xy),(xpy 令,ddxpy 則原方程化為pdxad1兩端積分得,)1(ln12Cppax0 0 xy由, 01C得則有)(21axaxeey兩端積分得,)(22Ceeayaxax, 0ayx由02C得故所求繩索的形狀為：)(2axaxeeay懸懸 鏈鏈 線線a21psgTHAMoyx高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院三、三、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 則xyypddddyppdd故方程化為

38、),(ddpyfypp設(shè)其通解為),(1Cyp即得),(1Cyy分離變量后積分, 得原方程的通解21),(dCxCyy方程中不明顯地方程中不明顯地含自變量含自變量x.這是一個(gè)關(guān)于這是一個(gè)關(guān)于變量變量y和和p的一的一階微分方程階微分方程.高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院例例5. 求微分方程求微分方程02 yyy代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即兩端積分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一階線性齊次方程)xCeCy12解解:),(ypy 設(shè)xpydd 則xyypddddyppdd的通解的通解.再分離變量并兩端積分，所求通解為：2

39、1lnCxCy或者高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院例例6. 靜止開始落向地面靜止開始落向地面, 求它落到地面時(shí)的速度和所需時(shí)間求它落到地面時(shí)的速度和所需時(shí)間(不計(jì)空氣阻力不計(jì)空氣阻力). 解: 如圖取聯(lián)結(jié)地球中心與該物體的直線為y軸，方向鉛直向上，取地球中心為原點(diǎn)O.則有:22ddtym2yMmG,0lyt00ty,ddtyv 設(shè)yvvtyyvtvtydddddddddd22則代入方程得,dd2yyMGvv積分得122CyGMv一個(gè)離地面很高的物體一個(gè)離地面很高的物體, 受地球引力的作用由受地球引力的作用由 yoRlM : 地球質(zhì)量；m : 物體質(zhì)量

40、；R：地球半徑；l：物體開始下落時(shí)與地球中心的距離；t時(shí)刻物體所在位置y=（t）.G:引力常數(shù)引力常數(shù)由于由于GM=gR2122CygR高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院,11222lygRv,ddtyv )11(2lygRv即tdyylyglRd21兩端積分得glRt21,0lyt利用, 02C得因此有)arccos(212lylyylglRtlylyylarccos22C, 0000lyyvttt利用lMkC21得注意注意“”號(hào)號(hào)取負(fù)號(hào)是由于取負(fù)號(hào)是由于物體運(yùn)動(dòng)方向物體運(yùn)動(dòng)方向與與y軸正向相反軸正向相反.落到地面所需落到地面所需要的時(shí)間要的時(shí)間.高

41、等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院因此落到地面( y = R )時(shí)的速度為：lRlRgvRy)(222ddtym,2yMmG)arccos(212lylyylglRtyoRl)11(2lygRv高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法 降階法)(. 1)(xfyn逐次積分),(. 2yxfy 令, )(xpy xpydd 則),(. 3yyfy 令, )(ypy yppydd 則高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 方程

42、)(yfy 如何代換求解 ?答答: 令)(xpy 或)(ypy 一般說(shuō), 用前者方便些. 均可. 有時(shí)用后者方便 . 例如,2)(yey 2. 解二階可降階微分方程初值問(wèn)題需注意哪些問(wèn)題 ?答答: (1) 一般情況 , 邊解邊定常數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)便.(2) 遇到開平方時(shí), 要根據(jù)題意確定正負(fù)號(hào).高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院1 (1) , (3) , (5) , (7) , (9) ; 2 (2) , (4) , (6) ; 4 作業(yè)P328 7-5高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理

43、與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院第六節(jié)第六節(jié) 高階線性微分方程高階線性微分方程一、二階線性微分方程舉例一、二階線性微分方程舉例 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院一、二階線性微分方程舉例一、二階線性微分方程舉例 當(dāng)重力與彈性力抵消時(shí), 物體處于 平衡狀態(tài), 例例1. 質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復(fù)運(yùn)動(dòng),xxo解解:阻力的大小與運(yùn)動(dòng)速度下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向物體在彈性力與阻取平衡時(shí)物體的位置為坐標(biāo)原點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖. 設(shè)時(shí)刻 t 物位移為 x(t).(1) 自由振動(dòng)情況.彈性恢復(fù)力物體所受的力有:

44、(虎克定律)xcf成正比, 方向相反.建立位移滿足的微分方程.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院據(jù)牛頓第二定律得txxctxmdddd22,2mck,2mn令則得有阻尼自由振動(dòng)方程:0dd2dd222xktxntx阻力txRdd(2) 強(qiáng)迫振動(dòng)情況. 若物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中還受鉛直外力作用，t pHFsin，令mhH則得強(qiáng)迫振動(dòng)方程:t phxktxntxsindd2dd222機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院求電容器兩兩極板間電壓 0ddiR

45、CqtiLE例例2. 聯(lián)組成的電路, 其中R , L , C 為常數(shù) ,sintEEm所滿足的微分方程 .cu提示提示: 設(shè)電路中電流為 i(t),LERKCqqi上的電量為 q(t) , 自感電動(dòng)勢(shì)為,LE由電學(xué)知,ddtqi ,CquCtiLELdd根據(jù)回路電壓定律:設(shè)有一個(gè)電阻 R , 自感L ,電容 C 和電源 E 串極板機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 在閉合回路中, 所有支路上的電壓降為 0高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院LCLR1,20令tLCEututumCCCsindd2dd2022串聯(lián)電路的振蕩方程:如果電容器充電后撤去電源 (

46、 E = 0 ) , 則得0dd2dd2022CCCututuLERKCqqi22ddtuCLCtuCRCddCutEmsin機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 化為關(guān)于cu的方程:,ddtuCiC注意故有 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院n 階線性微分方程階線性微分方程的一般形式為方程的共性 為二階線性微分方程. , )()()(xfyxqyxpy 可歸結(jié)為同一形式:)()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn時(shí), 稱為非齊次方程 ; 0)(xf時(shí), 稱為齊次方程.復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): 一階線性方程)()(xQyxPy通解:xexQexx

47、PxxPd)(d)(d)(xxPeCyd)(非齊次方程特解齊次方程通解Yy0)(xf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院 )(11yCxP )(11yCxQ0證畢二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu))(),(21xyxy若函數(shù)是二階線性齊次方程0)()( yxQyxPy的兩個(gè)解,也是該方程的解.證證:)()(2211xyCxyCy將代入方程左邊, 得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC (疊加原理) )()(2211xyCxyCy則),(2

48、1為任意常數(shù)CC定理定理1.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院說(shuō)明說(shuō)明:不一定是所給二階方程的通解.例如,)(1xy是某二階齊次方程的解,)(2)(12xyxy也是齊次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解但是)()(2211xyCxyCy則為解決通解的判別問(wèn)題, 下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與 線性無(wú)關(guān)概念. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院定義定義:)(,),(),(21xyxyxyn設(shè)是定義在區(qū)間 I 上

49、的 n 個(gè)函數(shù),21nkkk使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211則稱這 n個(gè)函數(shù)在 I 上線性相關(guān)線性相關(guān), 否則稱為線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).例如， ,sin,cos,122xx在( , )上都有0sincos122xx故它們?cè)谌魏螀^(qū)間 I 上都線性相關(guān)線性相關(guān);又如，,12xx若在某區(qū)間 I 上,02321xkxkk則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn) ,321,kkk必需全為 0 ,可見(jiàn)2,1xx故在任何區(qū)間 I 上都 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).若存在不全為不全為 0 的常數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間 I 上線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的充要條件充要條件:)(),(21xyxy線性相關(guān)存在不全為 0 的21, kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 無(wú)妨設(shè))01k)(),(21xyxy線性無(wú)關(guān))()(21xyxy常數(shù)思考思考:)(),(21xyxy若中有一個(gè)恒為 0, 則)(),(21xyxy必線性相關(guān)相關(guān)0)()()()(2121xyxyxyxy(證明略)21, yy可微函數(shù)線性無(wú)關(guān)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙