電動力學(xué)第二章

1、第二章靜靜 電電 場場主要內(nèi)容主要內(nèi)容v2.1 2.1 靜電場的標(biāo)勢及微分方程靜電場的標(biāo)勢及微分方程v2.2 2.2 唯一性定理唯一性定理v2.3 2.3 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 分離變量法分離變量法v2.4 2.4 鏡像法鏡像法v2.5 2.5 格林函數(shù)法格林函數(shù)法v2.6 2.6 電多極矩電多極矩本章研究問題：給定靜電荷和周圍空間介質(zhì)和導(dǎo)體分布的情況下怎樣求解靜電場本章重點：本章重點：靜電勢及其特性、分離變量法、鏡象法靜電勢及其特性、分離變量法、鏡象法本章難點：本章難點：分離變量法（柱坐標(biāo)）、電多極子分離變量法（柱坐標(biāo)）、電多極子2.1 靜電勢及其微分方程靜電勢及其微分方程一、靜電場的標(biāo)

2、勢二、靜電勢的微分方程和邊值關(guān)系 本節(jié)主要內(nèi)容本節(jié)主要內(nèi)容三靜電場的能量靜電場的基本特點靜電場的基本特點：0E D 基本方程基本方程：0J , , ,E BP 0M 0BH0,0HB0HB 等均與時間無關(guān)等均與時間無關(guān)（， 為唯一解）為唯一解） 不考慮永久磁體（不考慮永久磁體（） 0)(12EEn)(12DDn 邊值關(guān)系邊值關(guān)系：一一. 靜電場的標(biāo)矢靜電場的標(biāo)矢（1） 靜電勢的引入 靜電場的電場與磁場無關(guān) 靜電場的無旋性是它的一個重要特征，由此可以引入一個標(biāo)勢來描述靜電場。 E 基本方程基本方程：0ED 取負(fù)號是為了與電磁學(xué)討論一致取負(fù)號是為了與電磁學(xué)討論一致滿足迭加原理滿足迭加原理 E 的選

3、擇不唯一，相差一個常數(shù)，只要的選擇不唯一，相差一個常數(shù)，只要即可確定即可確定知道知道)(2121221121EEEEE 和重力勢能相同，通常選擇某個參考點規(guī)定其電勢為零，這樣空間各點的電勢就唯一的確定了，一般選擇無窮遠(yuǎn)處為參考點。無旋性的積分形式是0E dl（2）電勢差120ccE dlE dl空間某點電勢無物空間某點電勢無物理意義，兩點間理意義，兩點間電電勢差才有意義勢差才有意義電勢差為電場力將電勢差為電場力將單位正電荷從單位正電荷從P1移移到到P2點所作功負(fù)值點所作功負(fù)值2121()()ppppE dl 21(pP）21(pP） 電場力作正功，電勢下降電場力作正功，電勢下降 電場力作負(fù)功，

4、電勢上升電場力作負(fù)功，電勢上升 兩點電勢差與作功的路徑無關(guān)兩點電勢差與作功的路徑無關(guān)因為 dE dl ddxdydzdlxyz 所以 E 等勢面：電勢處處相等的曲面等勢面：電勢處處相等的曲面En電場與電場與等勢面垂直，即等勢面垂直，即均勻場電場線與等勢面均勻場電場線與等勢面+電偶極子的電場線與等勢面電偶極子的電場線與等勢面點電荷電場點電荷電場線與等勢面線與等勢面( )( ( )0)ppE dl (1.4a)(1)點電荷 30( )44rQQpr drrr(1.6) （2）電荷組：由場的疊加性知0( )4iiiQpr（3）連續(xù)分布電荷（密度是）0( )( )4xpdVr(1.7) 電荷分布在有限

5、區(qū)幾種情況的電勢電荷分布在有限區(qū)幾種情況的電勢 由此知：給定電荷分布可以求出電勢然后求出場強(qiáng)，但實際往往電荷分布不是完全知道的，所以很難用（ 1.7 ）求出電勢：電荷激發(fā)場，場作用在自由電荷上使其運(yùn)動并在導(dǎo)體上從新分布，最后在總電場作用下靜止平衡。也就是說一方面在電場作用下產(chǎn)生感應(yīng)電荷，一方面電場又受感應(yīng)電荷的影響。實際問題中我們要同時解出電場和電荷分布，而導(dǎo)體表面電荷分布和場的關(guān)系是由邊值條件反映的，所以我們要求解給定邊界條件的電場方程，這就是所謂的定解問題。二二. 靜電勢的微分方程和邊值關(guān)系靜電勢的微分方程和邊值關(guān)系 介質(zhì)情況介質(zhì)情況DE2 在兩介質(zhì)面上 21()0nEE(1.9) 21(

6、)nDD(1.10) n為由介質(zhì)為由介質(zhì)1指向介質(zhì)指向介質(zhì)2的法線，的法線，為界面上的自由電荷為界面上的自由電荷面密度，將其化為勢的邊值關(guān)系面密度，將其化為勢的邊值關(guān)系適用于均適用于均勻勻介質(zhì)介質(zhì)拉普拉斯方程20適用于無自由電荷適用于無自由電荷分布的均勻分布的均勻介質(zhì)介質(zhì)E D靜電勢滿足的基本方程靜電勢滿足的基本方程泊松泊松（Poisson）方程）方程 考慮兩介質(zhì)分界面兩側(cè)相鄰點p1 p2 0，有限電場把電荷從p1移至p2做的功亦趨于零，因此界面兩側(cè)的電勢相等12同理另外兩點 12介質(zhì)分界面兩側(cè)介質(zhì)分界面兩側(cè)12221 1=nnEE=nEn？2121SSnn )(12DDnnnDD12DE 導(dǎo)

7、體情況導(dǎo)體情況 由于導(dǎo)體的特殊性質(zhì)，導(dǎo)體在靜電場中達(dá)到靜電平衡，靜電平衡條件為：1)、導(dǎo)體內(nèi)部電場為零（否則場使導(dǎo)體內(nèi)電子運(yùn)動，不滿足 靜電平衡）；2)、導(dǎo)體內(nèi)部不帶電，電荷只能分布在導(dǎo)體表面上（在導(dǎo)體 內(nèi)部取任何閉曲面用高斯定理可證）；3)、導(dǎo)體表面電場垂直表面，切向電場為零（否則電子沿表 面運(yùn)動），所以導(dǎo)體表面是等勢面，整個導(dǎo)體的電勢相等。=常量n nESSQdSdSn 三三. 靜電場能量靜電場能量僅討論均勻介質(zhì)僅討論均勻介質(zhì)12WE DdV 總能量為(2) 已知12WdV, /2不是能量密度(1)一般方程一般方程1()2wE DH B 能量密度面積分遍及無窮界面，因為 ， ，所以積分在r

8、時趨于零，因此E D1211()2212WDdVdVD dVdVD dS 1r21Dr推導(dǎo)1( ) ( )8xxWdV dVr(1.15) 注意：注意：a 是普遍成立的，但(1.14) 和(1.15)只在 靜電場情況成立。 b 靜電場決定于電荷分布，電場能量能用電荷分布來 表示，但在非恒定時，電磁場互相激發(fā)，場的總能 量則不能用電荷或電流分布表示出來。 將電荷連續(xù)分布的電勢公式(1.7)代入得電荷分布所激發(fā)的電場總能量1()2wE DH B 12若真空中有兩組電荷分布組成的體系12120112212210( )( )( )( )1811( )( )( )( )( )( )( )( )8xxxx

9、WdV dVrdV dVxxxxxxxxr1212()WWWW相互日常生活中12mmm（牛頓零定律）按照關(guān)系W=mc2理解上式，牛頓零定律不在成立越到微觀，越到微觀，W相互相互起的作用越大！起的作用越大！相互作用在微觀領(lǐng)域起核心作用相互作用在微觀領(lǐng)域起核心作用！第二章第二節(jié)第二章第二節(jié)唯一性定理唯一性定理2.2 2.2 唯一性定理唯一性定理一一、泊松方程和邊界條件、泊松方程和邊界條件二、唯一性定理的內(nèi)容二、唯一性定理的內(nèi)容三、唯一性定理的意義三、唯一性定理的意義主要內(nèi)容主要內(nèi)容機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 sv1232(1,2,)iiim 一、泊松方程和邊界條件 假定所研究的區(qū)域為假定所

10、研究的區(qū)域為V V，在一般情況下，在一般情況下V V內(nèi)可以內(nèi)可以有多種介質(zhì)或?qū)w，對于每一種介質(zhì)自身是均勻有多種介質(zhì)或?qū)w，對于每一種介質(zhì)自身是均勻線性各向同性。線性各向同性。 設(shè)設(shè)V V內(nèi)所求電勢為內(nèi)所求電勢為 ，它們滿足泊松方程，它們滿足泊松方程iSSnSndSnQSSS兩類邊界條件：兩類邊界條件： 邊界邊界S S上，上，為已知，若為為已知，若為導(dǎo)體導(dǎo)體= =常數(shù)。常數(shù)。 邊界邊界S S上，上，為已知，為已知，給定（給定（）定總電荷定總電荷Q Q。它相當(dāng)于。它相當(dāng)于若是導(dǎo)體要給若是導(dǎo)體要給ijijSiiSjjnn內(nèi)邊界條件內(nèi)邊界條件為為邊值關(guān)系邊值關(guān)系注：注：在實際問題在實際問題中，因為導(dǎo)

11、體內(nèi)中，因為導(dǎo)體內(nèi)場強(qiáng)為零，可以場強(qiáng)為零，可以不包含在所求區(qū)不包含在所求區(qū)域域V內(nèi)。導(dǎo)體內(nèi)。導(dǎo)體面面上上的的邊界條件邊界條件可可視為視為外邊界條件。外邊界條件。ijijSjSiijijSiiSjjnnnji ：V內(nèi)兩介質(zhì)分內(nèi)兩介質(zhì)分界 面 上界 面 上 自 由自 由電荷為零電荷為零二、唯一性定理二、唯一性定理1均勻單一介質(zhì)均勻單一介質(zhì)2電場）唯一確定。電場）唯一確定。S分布已知，分布已知，滿足滿足若若V邊界上邊界上已知，或已知，或V V邊界上邊界上已知，則已知，則 V V 內(nèi)場（內(nèi)場（ 靜靜區(qū)域內(nèi)區(qū)域內(nèi)Sn證明：證明： 211222假定泊松方程有兩個解假定泊松方程有兩個解，有有 S1S2SSn

12、1Sn2在邊界上在邊界上Sn21令令022122SnSn102Sn由格林第一公式由格林第一公式 VSSddV)(2021SSS令令 則則VSSddV)(2202VdV0)(20SSSd0由于由于0)(2積分為零必然有積分為零必然有021常數(shù)常數(shù)0S21（1）若給定的是第一類邊值關(guān)系）若給定的是第一類邊值關(guān)系 即即常數(shù)為零常數(shù)為零。電場唯一確定且電場唯一確定且電勢也是唯一確定的。電勢也是唯一確定的。雖雖不唯一，但電場不唯一，但電場0Sn2121,E（2）若給定的是第二類邊值關(guān)系）若給定的是第二類邊值關(guān)系 常數(shù)，常數(shù)，相差一個常數(shù)，相差一個常數(shù)，是唯一確定的。是唯一確定的。2. 介質(zhì)分區(qū)均勻（不包

13、含導(dǎo)體）介質(zhì)分區(qū)均勻（不包含導(dǎo)體）i2SSnijijSjSiijijSiiSjjnn已知，已知， 成立，給定區(qū)域成立，給定區(qū)域或或。在分界面上，在分界面上，或或V 內(nèi)內(nèi)（證明見書（證明見書P60）sv123區(qū)域區(qū)域V V內(nèi)電場唯一確定內(nèi)電場唯一確定證明：設(shè)有兩組解 和 都滿足唯一性定理的條件，令由 2/i 2/i ， 得 20（在每個均勻區(qū)內(nèi)） (2.3) (2.4) 由 ijijijnn ijijijnn 在界面上得 ijijijnn(2.5a) (2.5b) 在整個區(qū)域的邊界上有0SSS0sssnnn (2.6a) (2.6b) 考慮在第i個區(qū)域的界面Si上的積分22()()iiiiiiS

14、ViiVVd SdVdVdV 由(2.4)知2iiVdV對所有分區(qū)求和2iiiiSViidSdV 在兩區(qū)域Vi和Vj的分界面上，由(2.5)知 和 的法向分量分別相等，但 ，所以左邊內(nèi)部分界面的積分為零，只剩下整個區(qū)域界面S上的積分，但由 (2.6)知這個積分也為零，因此ijdSdS 2()0iiVidV上式成立的條件是在V內(nèi)各點有 0=常數(shù) 即 和 至多差一個常數(shù)，但勢的附加常數(shù)對場沒有影響，這就證明了唯一性定理。意義：場在V內(nèi)的每個均勻區(qū)域內(nèi)滿足泊松方程，在兩均勻區(qū)域的分界面上滿足邊值關(guān)系，在V的邊界S上滿足給定的 和 值，則V內(nèi)的電場解唯一確定。n3. 均勻單一介質(zhì)中有導(dǎo)體（證明見均勻單

15、一介質(zhì)中有導(dǎo)體（證明見教材教材）Q2Q1SS1S2V（或（或 Q1、Q2 ）為已知，則為已知，則區(qū)域區(qū)域 VSSn1Sn2Sn已知已知，或或、內(nèi)電場唯一確定。內(nèi)電場唯一確定。當(dāng)當(dāng)0E，求求 內(nèi)的內(nèi)的電勢電勢。導(dǎo)體中導(dǎo)體中VdSnQs第一類條件的證明：第一類條件的證明： 為簡便，我們考慮區(qū)域含一種均勻介質(zhì)的情況，如圖2-3設(shè)在區(qū)域內(nèi)有些導(dǎo)體，把除去導(dǎo)體內(nèi)部以后的區(qū)域稱為V（V的界面包括區(qū)域界面S和導(dǎo)體表面Si）。 設(shè)V內(nèi)有給定的電荷分布，S上給定 或 的值，對于一類條件每個導(dǎo)體上的勢給定，也就是給出了V內(nèi)所有邊界上的 或 ，由唯一性定理可知，場是唯一確定的。/ n/ n第二類條件的證明可參照一般

16、情況的證明得到第二類條件的證明可參照一般情況的證明得到三、唯一性定理的意義2. 更重要的是它具有十分重要的實用價值。更重要的是它具有十分重要的實用價值。無論無論采用什么方法得到解，只要該解滿足泊松方程采用什么方法得到解，只要該解滿足泊松方程和給定邊界條件，則該解就是唯一的正確解和給定邊界條件，則該解就是唯一的正確解。因此對于許多具有對稱性的問題，可以不必用因此對于許多具有對稱性的問題，可以不必用繁雜的數(shù)學(xué)去求解泊松方程，而是通過提出嘗繁雜的數(shù)學(xué)去求解泊松方程，而是通過提出嘗試解，然后驗證是否滿足方程和邊界條件。滿試解，然后驗證是否滿足方程和邊界條件。滿足即為唯一解，若不滿足，可以加以修改。足即

17、為唯一解，若不滿足，可以加以修改。 1. 唯一性定理給出了確定靜電場的條件，為求電唯一性定理給出了確定靜電場的條件，為求電 場強(qiáng)度場強(qiáng)度指明了方向。指明了方向。四、應(yīng)用舉例1. 半徑為半徑為a的導(dǎo)體球殼接地的導(dǎo)體球殼接地 殼內(nèi)中心放置一個點電荷殼內(nèi)中心放置一個點電荷 Q，求殼內(nèi)場強(qiáng)。求殼內(nèi)場強(qiáng)。0S解：點電荷解：點電荷 Q 放在球心處，殼接地放在球心處，殼接地02)0(R因而腔內(nèi)場唯一確定。因而腔內(nèi)場唯一確定。Q0S不滿足不滿足已知已知點電荷產(chǎn)生的電勢為點電荷產(chǎn)生的電勢為 RQ014aQS014但但它在邊界上它在邊界上要使邊界上任何一點電勢為要使邊界上任何一點電勢為0 ，0044QQRa設(shè)設(shè)2

18、00S它滿足它滿足根據(jù)唯一性定理，它是腔內(nèi)的唯一解。根據(jù)唯一性定理，它是腔內(nèi)的唯一解。30()4QRERaR 可見腔內(nèi)場與腔外電荷可見腔內(nèi)場與腔外電荷無關(guān)，只與腔內(nèi)電荷無關(guān)，只與腔內(nèi)電荷Q有關(guān)。有關(guān)。Q其它方法解解：導(dǎo)體球具有球?qū)ΨQ性，電荷只分布在外表面上。導(dǎo)體球具有球?qū)ΨQ性，電荷只分布在外表面上。假定電場也具有球?qū)ΨQ性，則電勢與坐標(biāo)假定電場也具有球?qū)ΨQ性，則電勢與坐標(biāo), 無無關(guān)關(guān)。0因電荷分布在有限區(qū)，外邊界條件因電荷分布在有限區(qū)，外邊界條件20R 0R0B 滿足滿足，2. 帶電荷帶電荷Q 的半徑為的半徑為a a 的導(dǎo)體球放在均勻無限大的導(dǎo)體球放在均勻無限大介介 質(zhì)中，求空間電勢分布和極化電

19、荷。質(zhì)中，求空間電勢分布和極化電荷。在導(dǎo)體邊界上在導(dǎo)體邊界上導(dǎo)體表面電荷導(dǎo)體表面電荷Q已知，電場唯一確定已知，電場唯一確定。設(shè)設(shè)ABR3ARARR 30()RARaR 22244SSR aAAaQdSdSARaa 3兩種均勻介質(zhì)兩種均勻介質(zhì)（ 和和 ） 充滿空間，一充滿空間，一半半 徑徑 a 的帶電的帶電Q導(dǎo)體球放導(dǎo)體球放 在介質(zhì)分界面上（球心在介質(zhì)分界面上（球心 在界面上），求空間電在界面上），求空間電 勢分布。勢分布。1212aQ()44QQARaR3()4QRERaR 210(),Pn EEE 利用利用0(1)PQQ12QP2E1ES2S1124QR場球?qū)ΨQ場球?qū)ΨQ 對稱性分析：對稱性分

20、析：12場仍球?qū)ΨQ！場仍球?qū)ΨQ！束縛電荷只分布在導(dǎo)體與束縛電荷只分布在導(dǎo)體與介質(zhì)分界面上。對于上半介質(zhì)分界面上。對于上半個空間，介質(zhì)均勻極化，個空間，介質(zhì)均勻極化，場具有對稱性，同樣下半場具有對稱性，同樣下半空間也具有對稱性?？臻g也具有對稱性。而在介質(zhì)分界面而在介質(zhì)分界面所以可考慮球外所以可考慮球外電場仍具電場仍具有球?qū)ΨQ性。有球?qū)ΨQ性。12EE試試探探解解211112222200cdrcdr給定，所以球外場唯一確定。給定，所以球外場唯一確定。0解：解：外邊界為無窮遠(yuǎn)，電荷分布在有限區(qū)外邊界為無窮遠(yuǎn)，電荷分布在有限區(qū)導(dǎo)體上導(dǎo)體上Q在兩介質(zhì)分界面上：在兩介質(zhì)分界面上：120nnEE210pnnE

21、E0p12ttEE212211SarSardSrdSrQ121222SSccdSdSaa22122222ccaaaa122 ()c 確定常數(shù)確定常數(shù)0021ddrSS21ccc21在介質(zhì)分界面上在介質(zhì)分界面上 )(221QcrQ)(2211rQ)(2212下半空間下半空間上半空間上半空間)()(421arrQ3122 ()QrEr 導(dǎo)體球面上面電荷分布：導(dǎo)體球面上面電荷分布：11112122 ()r aQra 22222122 ()r aQra 下半球面上均勻分布下半球面上均勻分布上半球面上均勻分布上半球面上均勻分布0111(1)P0222(1)P束縛電荷分布束縛電荷分布：其他實例：其他實例：

22、Q右半空右半空間電勢？間電勢？Q球殼外球殼外空間電空間電勢？勢？例4（書p62例題）： 如圖兩同心導(dǎo)體球殼之間充以兩種介質(zhì)，左右部分的電容率分別為1和2，設(shè)內(nèi)球殼帶總電荷Q，外球殼接地，求電場和球殼上的電荷分布 。解：解： 設(shè)兩介質(zhì)內(nèi)的電勢和電場分別為1，E1 和 ，E2 2在介質(zhì)分界面上 21ttEE21nnDD(2.16) (2.17) 假設(shè)電場仍保持球?qū)ΨQ性，其嘗試解（左右半部均）為E1E21,23AErr(2.18) 121212SSD dSEdSEdSQ (2.19) (2.18)代入上式得 122 ()AQ 122 ()QA 所以 13122 ()QrEr （左半球） (2.20a

23、) 這個嘗試解滿足邊界條件保證了導(dǎo)體為等勢面。由高斯定理21ttEE12( 0)nnDD23122 ()QrEr （右半球） (2.20b) 雖然電場具有球?qū)ΨQ性，但D和電荷密度不具有對稱性，在兩半部分導(dǎo)體表面做一小體元，由高斯定理得111112122 ()rQDEa 222222122 ()rQDEa （左半部分） （右半部分） 由于介質(zhì)不同，所以束縛電荷也不同造成了自由電荷分布也不同，但由總電荷形成的場是對稱的。20ffr 在線性均勻介質(zhì)中，電勢滿足1r在均勻線性介質(zhì)中，極化電荷出現(xiàn)在自由電荷處，且滿足上述關(guān)系。在無自由電荷處也無極化電荷，極化使自由電荷處的總電荷量變?yōu)樵瓉淼?，這就是屏蔽

24、效應(yīng)。對第一章作業(yè)對第一章作業(yè)9的討論的討論與真空中電勢分布滿足的方程相比20f ffpr01(1)(1)pfrf 第二章第三節(jié)第二章第三節(jié)分離變量法分離變量法2. 3 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 分離變量法分離變量法一一、分離變量法的適用條件、分離變量法的適用條件二、拉普拉斯方程的解在坐標(biāo)系中的形式二、拉普拉斯方程的解在坐標(biāo)系中的形式三、解題步驟三、解題步驟四、應(yīng)用實例（習(xí)題課）四、應(yīng)用實例（習(xí)題課）2.3 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 分離變量法分離變量法 實際中許多情況：帶電體系是導(dǎo)體，特點是電荷只出現(xiàn)在導(dǎo)體表面上，空間中沒有電荷分布。020 產(chǎn)生這種電場的電荷分布在區(qū)域V的邊界上，其作用通過

25、邊界條件反映出來，所以這類問題實際是求拉普拉斯方程的滿足邊界條件的解。滿足一定條件的泊松方程滿足一定條件的泊松方程靜電場問題2|ssAorBn 一、拉普拉斯方程的適用條件一、拉普拉斯方程的適用條件1. 空間空間 自由電荷只分布在某些介質(zhì)（或?qū)w）表面上，自由電荷只分布在某些介質(zhì)（或?qū)w）表面上，這些表面視為區(qū)域邊界。這些表面視為區(qū)域邊界。02. 2. 在所求區(qū)域的介質(zhì)中若有自由電荷分布，則要求自由在所求區(qū)域的介質(zhì)中若有自由電荷分布，則要求自由電荷分布在真空中產(chǎn)生的勢為已知。電荷分布在真空中產(chǎn)生的勢為已知。一般所求區(qū)域為分區(qū)均勻介質(zhì)，則不同介質(zhì)分界面上有束縛面一般所求區(qū)域為分區(qū)均勻介質(zhì)，則不同介

26、質(zhì)分界面上有束縛面電荷。區(qū)域電荷。區(qū)域V中電勢可表示為兩部分的和，即中電勢可表示為兩部分的和，即 不不滿足滿足 , 為已知自由電荷產(chǎn)生的電勢，為已知自由電荷產(chǎn)生的電勢， 為束縛電荷為束縛電荷產(chǎn)生的電勢，其滿足拉普拉斯方程產(chǎn)生的電勢，其滿足拉普拉斯方程020020但注意，邊值關(guān)系還要用但注意，邊值關(guān)系還要用 而不能用而不能用|SS二、拉普拉斯方程在幾種坐標(biāo)系中解的形式二、拉普拉斯方程在幾種坐標(biāo)系中解的形式1、直角坐標(biāo)、直角坐標(biāo) 22222220 xyz( , , )( ) ( ) ( )x y zX x Y y Z z（1）令令 222222000d XXdxd YYdyd ZZdz00XYZX

27、YZ1122( )( )( )sincosk xk xX xAeBek yk yY yCeDeZ zEkzFkz令令222221212,kkkkk ),(yx（2 2）若若 ( )( )sincoskxkxX xAeBeY yCkyDky )(xzy,（3 3）若）若 ，與與 無關(guān)。無關(guān)。 BAxdxd022002222YdyYdXdxXd注意注意：在：在（1 1）、（、（2）兩種情況中）兩種情況中若考慮了某些邊若考慮了某些邊界條件，界條件， 將與某些正整數(shù)有關(guān)，它們可取將與某些正整數(shù)有關(guān)，它們可取1，2，3， ，只有對它們?nèi)『秃蟛诺玫酵ń?。，只有對它們?nèi)『秃蟛诺玫酵ń?。kkk,21022,k

28、k01)(1222222zrrrrr2. 柱坐標(biāo)柱坐標(biāo) ),(r討論討論 )()(),(grfr，令令 0)()(10)()(22222rfrdrdfrdrdrgdgd12( )sincosgaa )(rfrr 有兩個線性無關(guān)解有兩個線性無關(guān)解 、)2()0(n單值性要求單值性要求 ， 只能取整數(shù)，令只能取整數(shù)，令1( , )(sincos)(sincos)nnnnnnnrrAnBnrCnDnrBACrrln0)(1rrrr若若 )(r，11,( , , )(cos )cos(cos )sinnmnmnmnmnmnnmnnnn mn mbdRa Rpmc RpmRR anm，bnm，cnm，d

29、nm為常數(shù)，由邊界條件定出， 是締合勒讓德（Legendre）函數(shù)。 (cos )mnp3球坐標(biāo)球坐標(biāo) 拉氏方程在球坐標(biāo)系中的通解是22222222111()sinsinsinrrrrrr討論（1）軸對稱情況(m=0) 實際問題中都具有對稱軸，取該軸為極軸，則勢不依賴方位角，(3.2)簡化為(cos )np為勒讓德函數(shù)。 （2）球?qū)ΨQ情況(m,n=0) 在球?qū)ΨQ情況，勢僅和矢徑有關(guān)，因此1(cos )nnnnnnba RpRbaR) 1cos3(21)(cos22Pcos)(cos110PP三解題步驟三解題步驟1.選擇坐標(biāo)系和電勢參考點選擇坐標(biāo)系和電勢參考點 坐標(biāo)系選擇主要根據(jù)區(qū)域中分界面形狀

30、，參坐標(biāo)系選擇主要根據(jù)區(qū)域中分界面形狀，參考點主要根據(jù)電荷分布是有限還是無限考點主要根據(jù)電荷分布是有限還是無限；2.分析對稱性、分區(qū)寫出拉普拉斯方程在所選分析對稱性、分區(qū)寫出拉普拉斯方程在所選 坐標(biāo)系中的通解；坐標(biāo)系中的通解；3. 根據(jù)根據(jù)具體條件確定常數(shù)具體條件確定常數(shù)（1）外邊界條件：）外邊界條件： 電荷分布電荷分布有限有限 0注意：注意：邊界條件和邊值關(guān)系是相對的。導(dǎo)體邊界邊界條件和邊值關(guān)系是相對的。導(dǎo)體邊界可視為外邊界可視為外邊界，給定給定 （接地（接地 ），或給，或給定總電荷定總電荷 Q，或給定，或給定 。S0SzeEE0zErE00cos電荷分布無限，電荷分布無限，電勢參考點一般選

31、在有限區(qū)。如電勢參考點一般選在有限區(qū)。如 （直角坐標(biāo)或柱坐標(biāo)）（直角坐標(biāo)或柱坐標(biāo)），電勢可選在坐標(biāo)原點。，電勢可選在坐標(biāo)原點。均勻場中，均勻場中，（2）內(nèi)部邊值關(guān)系：介質(zhì)分界面上）內(nèi)部邊值關(guān)系：介質(zhì)分界面上SSSSnn221121一般討論分一般討論分界面無自由界面無自由電荷的情況電荷的情況四應(yīng)用舉例四應(yīng)用舉例1、兩無限大平行導(dǎo)體板，相距為兩無限大平行導(dǎo)體板，相距為 ，兩板間，兩板間電勢電勢 差為差為V (與與 無關(guān)無關(guān))，一板接地，求，一板接地，求兩板間的兩板間的 電勢電勢 和和 。lzyx,ExyOVZ Zl解：（解：（1）邊界為平面，故）邊界為平面，故應(yīng)選直角坐標(biāo)系應(yīng)選直角坐標(biāo)系下板下板

32、01S，設(shè)為設(shè)為參考點參考點lz Vyx,（2）定性分析：）定性分析：因因在在（常數(shù)常數(shù)），可考慮，可考慮與與無關(guān)。無關(guān)。(4) 定常數(shù)：定常數(shù)： 00)0(BzlVAVAlVlz )()0(lzzlV(5) 電場為均勻場電場為均勻場lVEelVedzdEzz常數(shù)常數(shù)電勢：電勢：(3) 列出方程并給出解：列出方程并給出解：BAz 方程的解：方程的解：)0(lz02220dd z2130()RR22120()RRR例例2（書（書1) 一個內(nèi)徑和外徑分別為R2和R3的導(dǎo)體球殼，帶電荷Q，同心的包圍著一個半徑為R1的導(dǎo)體球（R1R3） (R1RR3） 1201114QRR(R2RR1) 做包圍R1的

33、閉合曲面，用高斯定理得導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷1220R RR dQR 得1QQ12300/0/4acd RQcd Rb Rbd3 3如圖所示的導(dǎo)體球（帶電如圖所示的導(dǎo)體球（帶電Q Q）和不帶電荷的導(dǎo)體球殼，用分）和不帶電荷的導(dǎo)體球殼，用分離變量法求空間各點的電勢及球殼內(nèi)、外面上的感應(yīng)電荷。離變量法求空間各點的電勢及球殼內(nèi)、外面上的感應(yīng)電荷。解：解：(1)(1)邊界為球形，選球坐標(biāo)系，邊界為球形，選球坐標(biāo)系，電荷分布在有限區(qū)，選電荷分布在有限區(qū)，選0r2R3R1RQOI IIIII（2 2）設(shè)球殼內(nèi)為）設(shè)球殼內(nèi)為I I區(qū)區(qū)，殼外為，殼外為IIII區(qū)區(qū)。 球殼內(nèi)球殼內(nèi): :220 210 球殼外球殼外

34、 電荷在球上均勻分布，場有球?qū)ΨQ電荷在球上均勻分布，場有球?qū)ΨQ性，性，, 與與無關(guān)無關(guān))()(21132RRRRbaRRRdC若將若將Q Q移到殼上，移到殼上，球接地為書中球接地為書中P64P64例題例題（3 3）確定常數(shù)）確定常數(shù)2200dRCR RRR101,1121001214SR RbQdSRRR 04Qb 導(dǎo)體殼為等勢體導(dǎo)體殼為等勢體3221SS30214dQaRRnnR 在導(dǎo)體殼上在導(dǎo)體殼上 23230SSQdSdS23120230SSnn 2312000SSdSdSnn231200SSdSdSRR04404Qbddb23220SSdSdSbdRR（4） 1304QRRR 2123

35、002)11(44RRRRRQRQ（5）球殼上的感應(yīng)電荷）球殼上的感應(yīng)電荷3322014SSQdSRQdSnQ殼外面殼外面 22110SSQdSRdSnQ殼內(nèi)面殼內(nèi)面 0 QQ以上結(jié)果均與高斯定理求解一致。以上結(jié)果均與高斯定理求解一致。例例4（書書2） 電容率為的介質(zhì)球置于均勻外電場E0中， 求電勢。 解：介質(zhì)球在外場中極化，解：介質(zhì)球在外場中極化，在它表面產(chǎn)生束縛電荷，束在它表面產(chǎn)生束縛電荷，束縛電荷激發(fā)的場與外場疊加縛電荷激發(fā)的場與外場疊加成總電場，束縛電荷分布和成總電場，束縛電荷分布和總電場互相制約，這種制約總電場互相制約，這種制約通過邊界條件反映。通過邊界條件反映。Z0E求解空間分為球

36、外和球內(nèi)兩個區(qū)域，兩個區(qū)域都沒有自由電求解空間分為球外和球內(nèi)兩個區(qū)域，兩個區(qū)域都沒有自由電荷，滿足拉普拉斯方程荷，滿足拉普拉斯方程20(1,2)ii選擇球坐標(biāo)，此問題具有沿外場方向的軸線對稱性，所以11(cos )nnnnnnba RpR21(cos )nnnnnndc RpR球外 球內(nèi)(1)無窮遠(yuǎn)處，EE0，由 得dE dr 10001cos(cos )ExE RE RP (3.13) 比較球外電勢知： 10aE 0na （n1） (3.14) zr(2) R=0處， 應(yīng)為有限值，因此20nd (3) 在介質(zhì)球面上（R=R0）12120RR得001010(cos )(cos )(cos )n

37、nnnnnnnbE R PPc R PR1010200(1)(cos )(cos )(cos )nnnnnnnnnbE PPnc RPR(3.17a) (3.17b) 101cos(cos )nnnnbE RpR 2(cos )nnnnc Rp比較P1系數(shù)可得1001020bE Rc RR1013002bEcR(3.18a) (3.18b) 解出 3010002bE R010032cE （3.19） Pn系數(shù)比較010nnnnbc RR10200(1)nnnnnbnc RR解出 0nnbc（n1） （3.20） 球外300010200200coscos23cos2E RE RRE R 討論：

38、（1）因為 比1小，所以現(xiàn)在球內(nèi)電場 比原來外場E0 要小，這是因為在球內(nèi)束縛電荷激發(fā)的場與外場方向相反；003200032E球內(nèi)極化電球內(nèi)極化電偶極矩產(chǎn)生偶極矩產(chǎn)生的總電場的總電場球內(nèi)020032EE利用關(guān)系E r (2) 球內(nèi)介質(zhì)的極化強(qiáng)度 0000000(1)()32erPEEEE （3.22） 總電偶極矩 330000004432pR PR E （3.23） 總電偶極矩產(chǎn)生的勢 300032001cos42E Rp RRR （3.24） (3) 如果介質(zhì)球換為導(dǎo)體球同理且利用 可算得 ， ， （n1) 00R R10aE 3100bE R0nnab30002coscosE RE RR

39、00003cosR RER （3.25） （3.26） 30001020coscos2E RE RR 極化電極化電偶極矩偶極矩產(chǎn)生的產(chǎn)生的總電場總電場5.5.半徑半徑 a a，帶有均勻電荷分布，帶有均勻電荷分布的無限長圓柱導(dǎo)體，的無限長圓柱導(dǎo)體，求導(dǎo)體柱外空間的電勢和電場。求導(dǎo)體柱外空間的電勢和電場。解：電荷分布在無限遠(yuǎn)，電勢零點可選在有限區(qū)，為簡單可解：電荷分布在無限遠(yuǎn)，電勢零點可選在有限區(qū)，為簡單可選在導(dǎo)體面選在導(dǎo)體面 r = a r = a 處，即處，即 選柱坐標(biāo)系。選柱坐標(biāo)系。)0)( arxyzor 導(dǎo)體為圓柱，柱上電荷均勻?qū)w為圓柱，柱上電荷均勻分布，分布，一定與一定與無關(guān)。無關(guān)。

40、對稱性分析：對稱性分析： 柱外無電荷，電場線從面上柱外無電荷，電場線從面上發(fā)出后，不會終止到面上，只發(fā)出后，不會終止到面上，只能終止到無窮遠(yuǎn)，且在導(dǎo)體面能終止到無窮遠(yuǎn)，且在導(dǎo)體面上電場只沿上電場只沿 方向，可認(rèn)為方向，可認(rèn)為re)(r與與z無關(guān)，無關(guān)，Cdrdrdrdrdrdr0)(102drrCdDrCrln)(0)(aaCDln當(dāng)當(dāng) r = a 時，時，arCrCaCrlnlnln)(aCarCadndarar00010aCararln)(00rredaEedrr 在導(dǎo)體面上在導(dǎo)體面上 reaE0)(本節(jié)作業(yè)：本節(jié)作業(yè)： 2 2、3 3 例題要很好復(fù)習(xí)例題要很好復(fù)習(xí)選作：選作：6 6 *

41、*、鏡鏡 象象 法法第二章第四節(jié)第二章第四節(jié)2.4 鏡 象 法重點掌握：重點掌握：1、鏡象法的基本概念、鏡象法的基本概念2、求解電勢的基本方法、求解電勢的基本方法一、(鏡）電象法的概念和適用條件1. 求解泊松方程的難度求解泊松方程的難度 一般靜電問題可以通過求一般靜電問題可以通過求解泊松方程或拉普拉斯方程解泊松方程或拉普拉斯方程得到電場。但是，在許多情得到電場。但是，在許多情況下非常困難。例如，對于況下非常困難。例如，對于介質(zhì)中、導(dǎo)體外存在點電荷介質(zhì)中、導(dǎo)體外存在點電荷的情的情況況,雖雖然可以采用疊加法然可以采用疊加法求解，但是求解比較困難。求解，但是求解比較困難。求解的主要困難是介質(zhì)分界求解

42、的主要困難是介質(zhì)分界面或?qū)w表面上的電荷一般面或?qū)w表面上的電荷一般非均勻分布的，造成電場缺非均勻分布的，造成電場缺乏對稱性。乏對稱性。QQ2. 以唯一性定理為依據(jù)以唯一性定理為依據(jù) 在唯一性定理保證下，采在唯一性定理保證下，采用試探解，只要保證解滿足泊用試探解，只要保證解滿足泊松方程及邊界條件即是正確解。松方程及邊界條件即是正確解。 特別是對于只有幾個自由特別是對于只有幾個自由點電荷時，可以將導(dǎo)體面上感點電荷時，可以將導(dǎo)體面上感應(yīng)電荷分布等效地看作一個或應(yīng)電荷分布等效地看作一個或幾個點電荷來給出嘗試解。幾個點電荷來給出嘗試解。3. 電象法概念、適用情況電象法概念、適用情況適用情況適用情況：

43、a) 所求區(qū)域有少許幾個點電荷，它產(chǎn)生的感應(yīng)電荷一所求區(qū)域有少許幾個點電荷，它產(chǎn)生的感應(yīng)電荷一般可以用假想點電荷代替。般可以用假想點電荷代替。b)區(qū)域邊界是導(dǎo)體或介質(zhì)界面區(qū)域邊界是導(dǎo)體或介質(zhì)界面, 導(dǎo)體邊界面形狀比較規(guī)導(dǎo)體邊界面形狀比較規(guī)則，具有一定對稱性。則，具有一定對稱性。 c) 給定邊界條件給定邊界條件電象法思路電象法思路：用假想點電荷來等效地代替導(dǎo)體邊界面上的面電荷分用假想點電荷來等效地代替導(dǎo)體邊界面上的面電荷分布，然后用空間點電荷和等效點電荷迭加給出空間電布，然后用空間點電荷和等效點電荷迭加給出空間電勢分布。勢分布。注意注意：a a）做替代時，所研究空間的泊松方程不能被改變（即自由）

44、做替代時，所研究空間的泊松方程不能被改變（即自由 點電荷位置、點電荷位置、Q Q 大小不能變）。所以假想電荷必須放在大小不能變）。所以假想電荷必須放在 所求區(qū)域之外所求區(qū)域之外加在求解區(qū)域外加在求解區(qū)域外的電荷叫的電荷叫鏡像電荷鏡像電荷。b b）不能改變原有邊界條件（實際是通過邊界條件來確定假）不能改變原有邊界條件（實際是通過邊界條件來確定假 想電荷的大小和位置）。想電荷的大小和位置）。c c）一旦用了假想（等效）電荷，不再考慮原來的電荷分布。）一旦用了假想（等效）電荷，不再考慮原來的電荷分布。d d）坐標(biāo)系選擇仍然根據(jù)邊界形狀來定。）坐標(biāo)系選擇仍然根據(jù)邊界形狀來定。鏡像電荷法就是利用鏡像電荷

45、的電勢來構(gòu)造齊次拉普拉斯鏡像電荷法就是利用鏡像電荷的電勢來構(gòu)造齊次拉普拉斯方程的通解，然后利用邊界條件定出通解中的任意常數(shù)！方程的通解，然后利用邊界條件定出通解中的任意常數(shù)！QQ/Pzrra上半空間情況上半空間情況1、接地?zé)o限大平面導(dǎo)體附近有一點電荷Q，求空間中的電場。 設(shè)想在導(dǎo)體左方和Q對稱的位置有一假想電荷Q=-Q，這樣滿足（1）導(dǎo)體表面的電場線與表面處處正交; (2)邊界條件 常數(shù)。 空間場點的電勢為 二、用鏡像法求解電勢的基本方法舉例二、用鏡像法求解電勢的基本方法舉例由由感應(yīng)電荷的平衡條件感應(yīng)電荷的平衡條件知 常數(shù)（導(dǎo)體面上）常數(shù)（導(dǎo)體面上） 電場線垂直導(dǎo)體表面電場線垂直導(dǎo)體表面Q的鏡

46、的鏡像電荷像電荷014QQrr（4.1a） 如選Q在導(dǎo)體板的投影點為坐標(biāo)原點，Q到導(dǎo)體板的距離為a，則222222014()()QQxyzaxyza（4.1b） QQ/Pzrra討論：討論：（a）導(dǎo)體面上感應(yīng)電荷分布）導(dǎo)體面上感應(yīng)電荷分布2/322200)(2ayxQazz 02/322)(22QQarrdrQadSQ（b）電荷）電荷Q 產(chǎn)生的電場的電力線全部終止在導(dǎo)體面上產(chǎn)生的電場的電力線全部終止在導(dǎo)體面上：用球內(nèi)一個假想電荷用球內(nèi)一個假想電荷Q代替球面上感應(yīng)電荷對空間代替球面上感應(yīng)電荷對空間電電 場的作用，場的作用，(1) 要滿足軸線對稱，要滿足軸線對稱，Q應(yīng)在應(yīng)在OQ連線上；連線上；(2

47、) 假想電荷的大小和位置要滿足導(dǎo)體表面假想電荷的大小和位置要滿足導(dǎo)體表面0o2:真空有一半徑為真空有一半徑為R0的接地導(dǎo)體球，距球心的接地導(dǎo)體球，距球心a(R0)處有一點電處有一點電荷荷Q，求空間各點的電勢。，求空間各點的電勢。 導(dǎo)體球?qū)w球o球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系PROZaQQrr考慮球面上任一點考慮球面上任一點p（如圖（如圖27所示），邊界條件要求所示），邊界條件要求0011044QQrr即 QQrr (4.2) 由圖見，由圖見，Q的位置使的位置使OQP OPQ，則，則aRrr0常數(shù) (4.3) 并且由三角形的相似條件并且由三角形的相似條件知 aRRb00，即 aRb20(4.4)r roQQp

48、aQaRQ0 (4.5) 假想電荷滿足了邊界條件，因此是空間電場的正確解答，球外任一點p的電勢0002222014/142cos2cosR QQrarR Q aQRaRaRbRb(4.6) QQrraRrr0rr球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系PROZQQaRb20(1) 由高斯定理知，收斂于球面的電通量 ，而且 Q Q，表面一部分電場線收斂于球面上，一部分伸展至無窮遠(yuǎn)處，如圖28所示。(2) 如果導(dǎo)體球不接地而帶電Q0,則條件變?yōu)?、球面為等勢面（大小待定） 、從球面發(fā)出的總通量為Q00/E dSQ 從上面的例子中可以看出：接地導(dǎo)體球內(nèi)放置一假想電荷Q后，球面為零勢面且通過球面發(fā)出的通量為Q, 不滿足本問題

49、的條件。但我們可以再在球心放置一個假想電荷Q0-Q,這樣導(dǎo)體球所帶的總電荷為Q0，并且導(dǎo)體球為等勢面，其電勢為 。0004/ )(RQQ球外任一點的電勢0000/14R QQR Q aQrarR(4.7) 空間電場相當(dāng)于電荷Q、鏡像電荷Q和球心處電荷Q0-Q所激發(fā)的電場，所以電荷Q所受的力等于電荷Q和Q0-Q對它的作用力若導(dǎo)體球不接地而是帶電荷Q023220000022232220()(2)4()()Q QQQQQ RaRQQFaabaa aR引力項，可大于第一引力項，可大于第一項，所以即使項，所以即使QQ同同號，只要號，只要Q離球面足離球面足夠近，它就受到導(dǎo)體夠近，它就受到導(dǎo)體球的引力球的引

50、力 導(dǎo)體球殼導(dǎo)體球殼3. 外表面為球的導(dǎo)體殼，腔內(nèi)電量Q殼上電量q,求球外電勢。Q球面為等勢面|球面等勢球外電勢分布滿足20Q+q如在球心處放置鏡像電荷Q+q，則滿足方程和邊界條件，球外電勢分布為04Qqr邊值關(guān)系和邊界條件對求解電場非常有用。邊界條件歸納下面幾種：1. 兩介質(zhì)界面上，邊值關(guān)系為21nn22112.給出導(dǎo)體電勢，導(dǎo)體面上的邊界條件為0（給定常數(shù)） dSQn3. 給出導(dǎo)體上所帶的總電量=常數(shù)（待定常數(shù)（待定） 應(yīng)用這些條件可以唯一的解出靜電場，利用導(dǎo)體的另一邊界條件可求出導(dǎo)體面上的電荷密度。n4有一點電荷有一點電荷 位于兩個互相垂直的半無限大接位于兩個互相垂直的半無限大接地導(dǎo)體板

51、所圍成的直角空間內(nèi)，它到兩個平面的地導(dǎo)體板所圍成的直角空間內(nèi)，它到兩個平面的距離為距離為 a 和和 b，求空間的電勢。，求空間的電勢。解：（解：（1）分析：）分析：-Q （-a, b, 0）Q（a, b, 0）Q（-a, -b, 0）-Q（a, -b, 0）yx 假想電荷應(yīng)在第假想電荷應(yīng)在第 I 象限之外。象限之外。 要保證互相垂直要保證互相垂直 的兩個接地導(dǎo)體的兩個接地導(dǎo)體 板的電勢同時為板的電勢同時為 零，應(yīng)當(dāng)放幾個零，應(yīng)當(dāng)放幾個 電荷？電荷？2222220222222114()()()()0110()()()()Qxaybzxaybzxyxaybzxaybz（2）電勢分布）電勢分布 放在

52、放在 處處用用鏡鏡象法求解的條象法求解的條件是什么？件是什么？ 2Q)(0（3）若兩平面夾角）若兩平面夾角S2S1Q0n12 n象電荷數(shù)象電荷數(shù)5 5另外幾種容易求解又常見的情況：另外幾種容易求解又常見的情況：12作業(yè)作業(yè) 8*、9*、11、 總結(jié)總結(jié)一、鏡像電荷的設(shè)置需要憑經(jīng)驗一個不行就設(shè)鏡像電荷的設(shè)置需要憑經(jīng)驗一個不行就設(shè)多個，直到滿足邊界條件為止。但不能放在求多個，直到滿足邊界條件為止。但不能放在求解區(qū)域解區(qū)域二、若在有介質(zhì)的區(qū)域，自由電荷周圍附著極化電荷，使總電量變?yōu)樵瓉淼?/r2.5 2.5 格林函數(shù)方法格林函數(shù)方法內(nèi)容提要內(nèi)容提要一、點電荷密度的函數(shù)表示二、格林函數(shù)三、用格林函數(shù)求

53、解一般的邊值問題本節(jié)研究對象本節(jié)研究對象：普遍的邊值問題 給定V內(nèi)的電荷分布和邊界上的電勢邊界上的電勢 (第一類邊值問題)邊界上的邊界上的 (第二類邊值問題)無窮遠(yuǎn)自然邊界條件無窮遠(yuǎn)自然邊界條件求V內(nèi)各點的電勢值。研究方法研究方法： 借助點電荷的邊值問題得到普遍情況邊值問題的解.s/sn本節(jié)內(nèi)容不作考試要本節(jié)內(nèi)容不作考試要求。格林函數(shù)方法在求。格林函數(shù)方法在求解靜電場的某些求解靜電場的某些問題中非常有用，而問題中非常有用，而且在理論物理的研究且在理論物理的研究中是很重要的工具中是很重要的工具20( )( )rr 邊條件對應(yīng)的點電荷邊值問題對應(yīng)的點電荷邊值問題20()( )rrG r 邊條件一一

54、 、點電荷密度的、點電荷密度的函數(shù)表示函數(shù)表示 所謂點電荷是一種極限情況：體積很小電荷密度很大時的帶電體可視為點電荷，點電荷密度用函數(shù)表示，函數(shù)定義如下00( )0 xxx( )1Vx dV（V包含著x=0） 重要特性( ) ( )(0)Vf xx dVf( ) ()( )Vf xxx dVf x點x處的單位點電荷密度為( )()xxx電量 ()1Vxx dVxV)()(xxQx一般x處的帶電量Q的點電荷密度為()VQxx dVQ電量 二二 . 格林函數(shù)格林函數(shù) 一個處于某點的單位點電荷激發(fā)的電勢滿足泊松方程201( )() xxx0s(5.5)(5.6) 把(5.5)滿足邊界條件(5.6)的

55、解稱做泊松方程在區(qū)域v的 第一類邊值問題的格林函數(shù)。第一類邊值問題的格林函數(shù)。01SnS 第二類邊值問題的格林函數(shù)。第二類邊值問題的格林函數(shù)。 若有邊界條件(5.7)一般格林函數(shù)用一般格林函數(shù)用G（x，x）表示，即）表示，即201( , )()G x xxx 1 1、無界空間的格林函數(shù)、無界空間的格林函數(shù)由空間一個點電荷產(chǎn)生勢的無界空間的格林函數(shù)222011( , )4()()()G x xxxyyzz (5.8) (5.9) 2x 只對微商。( ,)( , )G x xG x x 格林函數(shù)的對稱性 （偶函數(shù)）201( , )()G x xxx 2 2、上半空間的格林函數(shù)、上半空間的格林函數(shù)

56、2 2 2 2 2 20111( ,)4()()()()()()Gxxyyzzxxyyzzx x0sG 201( ,)()G x xxx(5.11)Q=1Q/Pz由鏡象法例由鏡象法例1我們知道，如果點電荷我們知道，如果點電荷坐標(biāo)（坐標(biāo)（x，y，z），鏡象電荷的坐），鏡象電荷的坐標(biāo)（標(biāo)（x，y，-z），則上半空間的格），則上半空間的格林函數(shù)為林函數(shù)為r3 3、球外空間的格林函數(shù)、球外空間的格林函數(shù) 222Rxyz222Rxyz20RbR所以球外空間的格林函數(shù)為 2222000111( , )42cos(/)2cosG x xRRRRRRRRRR (5.12)201( ,)()G x xxx00R

57、 RG由鏡象法中(4.6)的結(jié)果，若場點P（x，y，z），電荷所在點P（x，y，z），則令球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系PROZRQQ三三 、格林公式求解一般邊值問題的解、格林公式求解一般邊值問題的解 本段闡明如何從格林函數(shù)獲得一般邊值問題的解。1. 格林公式 對任意兩個函數(shù)22()VSdVdSnn (5.13) 證明： 2() 2() 所以22()()()()VVSSdVdVdSdSnn 2. 第一類邊值問題問題：V內(nèi)有電荷分布 ，邊界S上給定電勢 ，求V內(nèi)的電勢 。s( )x20s 相應(yīng)的格林函數(shù)問題：201( , )()|0sG x xxxG 上述問題就是求解滿足邊界條件的泊松方程3. 第二類邊值問題

58、20 給定邊界上 的值/Sn相應(yīng)的格林函數(shù)相應(yīng)的格林函數(shù)201( ,)()G x xxx給出邊界上的電場通量等于01SGdSn由格林公式我們利用邊界條件可以求得 ，為方便我們把變量x和x互換：( )x22( , )( )( )( , )( )( , )( , )( )VSG xxxxG xx dVxG xxG xxxdSnn201( ,)()G x xxx 001( )() ()xxxx dV(5.15) 01( , )()G x xx dV 0( )( , )( )( , ) ( )( , )( )VSxG x xxG x xx dVG x xxdSnn (5.16) 22()VSdVdSn

59、n G第二項20 第一項對第一類邊界問題對第一類邊界問題0( , )( )( , ) ( )( )VSG x xxG x xx dVxdSn 對于第二類邊值問題對于第二類邊值問題 0( , )1G x xnS 000( )1( )( , ) ( )( , )( )( )( , ) ( )( , )VSVSsxxG x xx dVG x xxdSnSxG x xx dVG x xdSn 0( )( , )( )( , ) ( )( , )( )VSxG x xxG x xx dVG x xxdSnn 01SGdSn|0sG 最簡單由此可見：由此可見： （1）只要求得區(qū)域內(nèi)的格林函數(shù)，則一般邊值問

60、題就能解決，但只有區(qū)域邊界幾何形狀較為簡單時才能求出。 （2） 格林函數(shù)法也能求解拉普拉斯方程的邊值問題，只要令電荷密度為零即可。第二章第六節(jié)第二章第六節(jié)電多極矩電多極矩2.6 2.6 電多極矩電多極矩主要內(nèi)容主要內(nèi)容一、電勢的多極展開二、電多極矩二、電多極矩三* 、電荷體系在外電場中 的能量(相互作用能)1 、電勢的多極展開、電勢的多極展開 真空中電荷密度 激發(fā)的電勢( )x0( )( )4VxxdVr(6.1) 在許多實際物理問題中，場點（x）和源點（x）之間的距離r遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于電荷分布區(qū)域的線度L, 這時可以把上式表為l/r的展開式，由此求出勢的各級近似。PrxxOl()x一般電荷分布不均勻