第二章地球磁場

1、第二章 地球磁場（Lisa Tauxe著，常燎譯）建議補(bǔ)充讀物Butler (1992)，37頁，1011頁。更多信息可參看：Merrill et al. (1996) 第一、二章。2.1 地球磁場古地磁學(xué)主要研究過去的地球磁場行為。人類的直接測量僅僅能夠追溯到幾個(gè)世紀(jì)前，因此，古地磁學(xué)仍然是研究過去地球磁場行為的唯一手段。由于古地磁學(xué)涉及地球磁場，因此有必要了解一些有關(guān)地球磁場的知識(shí)。這一講我們主要回顧現(xiàn)今地球磁場的一些基本性質(zhì)。 地磁場由地球液態(tài)外核的對(duì)流引起（外核由鐵、鎳和一些未知的較輕成分構(gòu)成）。產(chǎn)生對(duì)流的能量的來源目前還不清楚，但是一般認(rèn)為一部分來源于是地球的冷卻過程，另外一部分則來

2、源于由鐵/鎳構(gòu)成的液態(tài)外核的浮力，這一浮力則由純鐵內(nèi)核的冷卻引起。這個(gè)導(dǎo)電流體的運(yùn)動(dòng)受控于液態(tài)外核的浮力、地球自傳以及導(dǎo)電流體和磁場的相互作用（這是一個(gè)異常復(fù)雜的非線性過程）。確定導(dǎo)電流體的運(yùn)動(dòng)方式以及其產(chǎn)生的磁場狀態(tài)是一個(gè)極具挑戰(zhàn)性的課題，但是我們已經(jīng)知道這種導(dǎo)電流體的運(yùn)動(dòng)是一種自激發(fā)電機(jī)過程，它可以產(chǎn)生并維持巨大的磁場。 地球參考場在很多情況下，確定地球磁場在一特定時(shí)間的空間分布非常有用。對(duì)地球磁場及其變化率的數(shù)學(xué)近似可以比較準(zhǔn)確地估計(jì)地球磁場在給定時(shí)間和地點(diǎn)的值（最少在幾百年以內(nèi)）。由第一章可知，地表的磁場大致是個(gè)標(biāo)量的勢場，并服從拉普拉斯方程：這個(gè)方程可以改寫為：這個(gè)方程的一個(gè)解是：對(duì)

3、地球磁場，一般可以寫作半徑為r，緯度余弦q ，經(jīng)度j的標(biāo)量勢：其中，g和h是高斯系數(shù)，可以從特定的年代計(jì)算得出，單位為nT，或磁通量（注意，公式中m0由tesla B轉(zhuǎn)換到Am-1 H）。角標(biāo)e和i代表外場或者內(nèi)場的起源，a是地球半徑（6.371 106 m），m0是自由空間的磁導(dǎo)率（參看第一講中的表1.1），正比于勒讓德多項(xiàng)式，其由傳統(tǒng)的施密特多項(xiàng)式歸一化而來（可參看建議的讀物）。圖2.2展示了三種矢量場的全球傾角分布及對(duì)應(yīng)的面諧函數(shù)的：即軸向的（m0）偶極子場（l1），四極子場（l2），以及八極子場（l3）。它們的貢獻(xiàn)分別由，和確定。相關(guān)的多項(xiàng)式（圖2.1）為：如果轉(zhuǎn)動(dòng)圖2.2a中的軸向偶

4、極子場，使其北極指向格林威治子午線，那么它就由系數(shù)確定，如果指向90°E，則將由系數(shù)而定。所以，總的偶極子貢獻(xiàn)將是軸向和兩個(gè)沿赤道的偶極子項(xiàng)的矢量相加，即?？偟乃臉O子貢獻(xiàn)（l2）由五個(gè)系數(shù)而定，總的八極子（l3）貢獻(xiàn)則由七個(gè)系數(shù)而定。 一般來講，如果下標(biāo)（l）和上標(biāo)（m）的差為奇數(shù)（比如，軸向偶極子和八極子），則相應(yīng)的地球磁場對(duì)于赤道是非對(duì)稱的。然而，如果l和m的差為偶數(shù)（如，軸向四極子），則相應(yīng)的地球磁場是對(duì)稱的。圖2.2a表示，由與現(xiàn)今地磁場方向一致的單一偶極子場產(chǎn)生的傾角。在北半球，傾角都是正的（向下），而在南半球是負(fù)的（向上）。相反，由四極子場產(chǎn)生的傾角（圖2.2b）是在極區(qū)

5、是向下的，在赤道處則是向上的。由軸向八極子場（圖2.2c）產(chǎn)生的傾角關(guān)于赤道也是非對(duì)稱的，在兩個(gè)極區(qū)的方向相反，并在中緯度地區(qū)被具有相反方向的條帶分開。地球磁場是一個(gè)矢量場，所以在每個(gè)點(diǎn)都有方向和強(qiáng)度（圖2.3）。無論選擇怎樣的坐標(biāo)系，三維矢量場都需要三個(gè)參數(shù)來定義。比如在笛卡兒坐標(biāo)系下，用x, y, z或x1, x2, x3。對(duì)于特定的問題，由于問題本身的對(duì)稱性，某種坐標(biāo)系會(huì)更合適些。除了笛卡兒坐標(biāo)系外，也應(yīng)用其他一些坐標(biāo)系，但需要在這些坐標(biāo)系間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。圖2.1：施密特多項(xiàng)式。 地球磁場矢量的分量我們常常應(yīng)用地球磁場矢量的三分量：磁場總強(qiáng)度B（或H，M），磁偏角D和磁傾角I（圖2.3）。在

6、本講義中，約定三個(gè)坐標(biāo)軸為X1，X2，X3，沿著坐標(biāo)軸的分量為x1，x2，x3。參考地理框架，X1正向指向北，X2正向指向東，X3正向依據(jù)右手螺旋法則垂直向下。對(duì)于B的分量，可以表示為BN，BE，BV。從圖2.3中我們可以看出，應(yīng)用簡單的三角法則，可以將磁傾角、磁偏角和總強(qiáng)度從極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化到笛卡兒坐標(biāo)系，即：水平分量也可以投影到向北（X1）和向東（X2）的軸（一般是測量的方向），即：公式2.2和2.3對(duì)于分解磁場各分量都很有效。圖2.2：全球磁傾角的表面諧函數(shù)（附圖）及其相應(yīng)的分布圖（圖片來源于Tauxe，2005）。a）偶極子；b）四極子；c）八極子。笛卡兒坐標(biāo)系下的B（或H，M）可以被轉(zhuǎn)化

7、為參數(shù)D，I和B：注意正切函數(shù)符號(hào)的復(fù)雜性。你也許會(huì)弄錯(cuò)象限，最后就不得不加180°?；叵氲谝徽拢òǜ戒洠坏?biāo)量勢已知，地磁場的各分量就可以由計(jì)算出，所以，在球坐標(biāo)系下：其中，r、q、j分別是半徑、余緯（偏離北極的角度）和經(jīng)度。這里，正向的BV向下，BN向北，和第一章中的Hr和Hq相反。注意公式2.1的單位是特斯拉，而不是Am-1。另外，如果已知磁場矢量場，也可以推導(dǎo)出勢場。對(duì)于特定參考場，其高斯系數(shù)一般是對(duì)觀測到的地球磁場進(jìn)行最小二乘法擬合后得出的。為了可靠地估算高斯系數(shù)，如果到L6則需要至少48個(gè)觀測點(diǎn)。圖2.3：地磁矢量場B的各分量。BH是矢量場B在地表的切向投影。BH可

8、以分解成向北和向東的分量（BN和BE）。BV是垂直軸向的投影。D是從北向開始0到360度按順時(shí)針方向增加。I是從水平方向開始從90度到90向下增加（因?yàn)榇帕€也可以指地球的外部）。如果需要，M或H也可以被B代替。高斯系數(shù)是由某段時(shí)間的磁測或衛(wèi)星觀測的磁場數(shù)據(jù)通過擬合公式2.5和2.1得到的。在某段時(shí)間內(nèi)國際（或權(quán)威的）地磁參考場可以是一系列的高斯系數(shù)以及它們的時(shí)間導(dǎo)數(shù)。美國國家地球物理數(shù)據(jù)中心的網(wǎng)站上有IGRF（或DGRF）模型以及計(jì)算不同地磁場分量的程序。網(wǎng)址是：.為了了解不同高斯系數(shù)的作用，表2.1總結(jié)了Olsen et al. (2000)估算的前六階高斯系數(shù)。每階的能量為（Lowes,

9、 1974）(圖2.4)。最低階項(xiàng)（一階）占主導(dǎo)，幾乎占據(jù)90的地磁場。這也正是為什么地球磁場通常被認(rèn)為是等價(jià)于一個(gè)處于地心的簡單偶極子場?，F(xiàn)在來看看根據(jù)1995年的IGRF估算的地磁場參數(shù)。對(duì)于給定參考場，應(yīng)用公式2.1和2.5我們可以計(jì)算地球任何地方的B，D和I值。圖2.5顯示地表的磁場是位置的函數(shù)。在極區(qū)的磁場強(qiáng)度一般可高達(dá)60mT，而在赤道處最低（30mT）。但是與地心軸向偶極子（GAD）產(chǎn)生的磁場不同（圖2.6），地球磁場強(qiáng)度的等值線圖和緯度不平行。而地心軸向偶極場產(chǎn)生的傾角也規(guī)則變化，在極區(qū)為90度和90度，在赤道處是0度；等值線圖平行于緯度線。雖然圖2.5b顯示的傾角圖類似于GA

10、D模型場，但是還有很多不同之處，這也暗示出地球磁場不能簡單地由置于地心的條形磁鐵來代表。如果地球磁場是簡單的地心軸向偶極子場（GAD場），那么在無論什么地方偏角都為零，實(shí)際上顯然不是這樣的（圖2.5c）。表2.1: 2000年的國際地磁參考場（Olsen et al.， 2000)。應(yīng)用地磁勢場的好處在于可以用來估算源區(qū)之外任何地方的磁場。圖2.6a顯示了根據(jù)1980年的IGRF估算的地幔內(nèi)部的磁力線。由此可以看出，從核幔邊界到地表，地磁場變得越來越簡單，也更像偶極子場了。 球諧分析最重要的結(jié)果在于使我們認(rèn)識(shí)到地磁場主要是由一階項(xiàng)（l1）主導(dǎo)，而外部的貢獻(xiàn)非常的小。一階項(xiàng)可以被認(rèn)為是沿著三個(gè)方

11、向排列的地心偶極子：自轉(zhuǎn)軸（）和兩個(gè)相交于格林威治子午線（）和東經(jīng)90度（）的赤道軸。2.2 地心軸向偶極子（GAD）和其他類型的極子作為一階項(xiàng)，地球磁場很像一個(gè)處于地球中心、和地轉(zhuǎn)軸一致的巨大條形磁鐵產(chǎn)生的磁場。圖2.6b顯示了地球的一個(gè)橫截面以及相應(yīng)的偶極子場分布。如果地球磁場的確是地心軸向偶極子場（GAD），那么從極區(qū)穿過的磁力線沿著自轉(zhuǎn)軸是對(duì)稱的，從而無論選擇那個(gè)截面都是一樣的；換句話說，磁力線總是指向北極的。但是，磁力線和地球表面的夾角（磁傾角I）總會(huì)在赤道的0度和極區(qū)的90度之間變化。此外，極區(qū)的磁力線要比赤道處的顯得更密（極區(qū)磁通量更高），從而極區(qū)的場強(qiáng)是赤道處的兩倍。圖2.4：

12、根據(jù)2005年IGRF得出的地球磁場能量隨階數(shù)的變化圖。如果在足夠長的時(shí)間上進(jìn)行平均，地磁場的確很類似于GAD場。這個(gè)所謂的地磁場GAD模型一直是我們討論古地磁數(shù)據(jù)及其應(yīng)用的基礎(chǔ)。地心偶極子（IGRF中的，）的矢量和也是一個(gè)偶極子，但是它和地球自轉(zhuǎn)軸有11°的夾角。這個(gè)所謂的最佳擬合偶極子軸穿透地表（圖2.7中菱形代表的點(diǎn)）。這個(gè)點(diǎn)及其對(duì)跖點(diǎn)稱為地磁極（geomagnetic poles）。它們和地理極不同，地理極是地球自轉(zhuǎn)軸在地表處的交點(diǎn)。在圖2.7中地理北極由點(diǎn)來表示。把大于約10000年的古代地磁極數(shù)據(jù)平均后就得到古地磁極（paleomagnetic pole）。因?yàn)榈卮艌鍪禽S

13、向偶極子場的一階近似，我們可以寫成：其中B0是。注意到，如果的單位是特斯拉（正如高斯系數(shù)通常的單位），這里的單位就是特斯拉。所以，從公式2.6可得，給定圖2.6中地表處的緯度，利用BV和BN方程，我們得到：這個(gè)等式一般稱為偶極子公式（dipole foumula），它顯示由地心偶極子場產(chǎn)生的地球磁場（或）的傾角和余緯（q）直接相關(guān)。偶極子公式使得我們可以從GAD磁傾角計(jì)算測量位置的緯度，這是板塊構(gòu)造重建的基礎(chǔ)。偶極子場的強(qiáng)度也和（余）緯相關(guān)，因?yàn)椋号紭O子場的強(qiáng)度在過去的變化已經(jīng)超過了一個(gè)量級(jí)。對(duì)于板塊構(gòu)造重建來說，偶極子強(qiáng)度和緯度的關(guān)系并不實(shí)用。圖2.5：1995年IGRF的地磁圖 a) 總強(qiáng)

14、度，單位mT。b) 磁傾角。c）磁偏角。2.3 如何表示地球磁場的方向磁場和磁化強(qiáng)度方向可以被認(rèn)為是放在單位球中心的單位矢量。這樣的單位球很難在二維平面上顯示。為了有效展示磁場和磁化強(qiáng)度的方向，有幾種應(yīng)用比較廣泛的投影方法，包括蘭伯特等面積投影，這種投影在后面的章節(jié)中廣泛應(yīng)用。等面積投影的原理在附錄中介紹。等面積投影這一名稱所暗示的，一般來說，會(huì)把球面上的一塊面積按等面積折射到投影面上。用這種方式描述方向數(shù)據(jù)能夠很快評(píng)估方向數(shù)據(jù)的離散程度。但是這個(gè)方法的缺點(diǎn)就是球面上的圓形經(jīng)過投影后就變成橢圓形了。并且，因?yàn)槭噶客队暗絾挝磺蛏?，矢量?qiáng)度的信息就會(huì)丟失。最后，上半球和下半球的投影必須用不同的符號(hào)

15、區(qū)分開。古地磁研究中，下半球的投影用實(shí)心符號(hào)表示，而上半球的投影用空心符號(hào)表示。偶極子公式假設(shè)磁場是嚴(yán)格軸向的。因?yàn)榇艌鰟萦泻芏囗?xiàng)，而不僅只是。因?yàn)橛蟹禽S向的地心偶極子場項(xiàng)，一個(gè)給定的傾角會(huì)產(chǎn)生一個(gè)等價(jià)的磁場余緯（magnetic co-latitude，qm）：圖2.6：a) 根據(jù)1980年的IGRF預(yù)測的通量線。根據(jù)R.L. Parker的結(jié)果重畫 b) 由地心軸向偶極子場m產(chǎn)生的磁力線方向分布圖。l和q分別是緯度和余緯。I是在地表特定點(diǎn)處的磁傾角。 古地磁學(xué)家經(jīng)常假設(shè)qm是q的一個(gè)合理的估計(jì)，這個(gè)假設(shè)的準(zhǔn)確性依賴于很多因素。我們首先考慮當(dāng)隨機(jī)選擇現(xiàn)今地磁場的測量數(shù)據(jù)時(shí)會(huì)有什么結(jié)果（參看圖

16、2.8）。我們在全球隨機(jī)選取200個(gè)點(diǎn)（如圖2.8a所示），應(yīng)用1995年的IGRF評(píng)估每點(diǎn)磁場的方向。應(yīng)用古地磁約定，空心指向上，實(shí)心指向下，將這些方向畫在圖2.8b中。同樣，將傾角隨緯度的變化畫在圖2.8c中?？梢钥闯?，正如所期待的那樣，結(jié)果主要由偶極子場控制。具體表現(xiàn)為：觀測的傾角服從由地心軸向偶極子場產(chǎn)生的傾角隨緯度變化的趨勢。盡管如此，二者之間還有相當(dāng)?shù)牟灰恢拢叩钠钤谀习肭蛞仍诒卑肭虼?。D¢，I¢轉(zhuǎn)換我們經(jīng)常想要對(duì)比在全球相距很遠(yuǎn)的地方得到的方向結(jié)果。因?yàn)閮A角隨緯度變化，使得這種對(duì)比存在困難。在這種情況下，對(duì)于每個(gè)采樣點(diǎn)的方向數(shù)據(jù)，考慮其與從GAD模型得出

17、的方向相互關(guān)系很合適。為此，可以應(yīng)用Hoffman（1984）提出的轉(zhuǎn)換。過程為：旋轉(zhuǎn)這一采樣點(diǎn)的磁場方向，使得在這一采樣點(diǎn)從GAD模型得到的方向?yàn)榈让娣e投影的中心。具體解釋如下：先把每個(gè)方向都轉(zhuǎn)變到笛卡兒坐標(biāo)系（xi）：再把它們轉(zhuǎn)到新的坐標(biāo)系中（，參看講義一附錄）：其中Id為從GAD模型得到的磁傾角（），l是該點(diǎn)的緯度，q是古場矢量投影到NS平面（）的傾角。通過公式2.4，就可以轉(zhuǎn)換到，。圖2.9中我們可以看出圖2.8b中的方向在經(jīng)過，轉(zhuǎn)換后發(fā)生的變化。磁傾角的緯度依賴關(guān)系被去除了。盡管如此，在一給定緯度得到的方向結(jié)果，在上下的方向上比左右方向有更加分散的趨勢，這個(gè)增長的趨勢在赤道處達(dá)到最大

18、，在兩極處最小，因?yàn)樵趦蓸O的方向或多或少是循環(huán)對(duì)稱的。 虛地磁極我們經(jīng)常問到底是否地磁極本身改變了，還是地殼的某些部分相對(duì)于地磁極發(fā)生了偏轉(zhuǎn)。我們在某個(gè)區(qū)域觀測到的只是當(dāng)?shù)氐拇艌鍪噶糠较?。所以，我們需要一種方法將觀測到的方向轉(zhuǎn)變?yōu)榈刃У牡卮艠O。為了去除地球磁場方向?qū)τ^測點(diǎn)的依賴性，我們可以假想一個(gè)地心偶極子場，其在給定緯度（l）和經(jīng)度（f）處由產(chǎn)生的磁場方向與觀測點(diǎn)的磁場方向一致。虛地磁極（VGP）就是這個(gè)假想的地心偶極子場的磁極（圖2.10）。圖2.7：不同的地磁極。三角形代表磁北極，其中地球磁場是垂直向下的（I90°）。菱形代表地磁北極，其中最佳擬合的軸穿過地表。圓點(diǎn)是地理北極。

19、虛線是磁場赤道（I0°）。圖2.8：a）在全球隨機(jī)選擇的200個(gè)地點(diǎn)的Hammer投影。b）應(yīng)用1995年的IGRF估計(jì)的a）圖中地點(diǎn)的地磁場方向的等面積投影。空心（實(shí)心）表示上（下）半球。c）磁傾角（I）隨緯度（）的變化曲線。實(shí)線是從偶極公式所得的傾角。負(fù)緯度代表南半球，負(fù)的磁傾角指向上。古地磁中有以下約定：f是從格林威治子午線0度到360度所測，向東為正。q是從北極0度到180度所測。當(dāng)然，q和緯度相關(guān)，。qm是由公式2.10給出的磁余緯。請(qǐng)注意不要混淆了緯度和余緯。另外，特別小心偏角。偏角從180度到360度等價(jià)于D360°，相對(duì)于北極逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。 計(jì)算VGP的第一步

20、是由公式2.10確定磁余緯qm。偏角D是從地理北極到S和P交點(diǎn)處大圓環(huán)的夾角，是P和S點(diǎn)經(jīng)度差，?，F(xiàn)在我們應(yīng)用附錄中的一些球面三角技巧。圖2.9：從圖1.3b中經(jīng)過D¢，I¢轉(zhuǎn)換得到的方向。我們可以應(yīng)用正玄和余玄法則確定虛地磁極的位置。偏角D是從地理北極到S和P交點(diǎn)處大圓環(huán)的夾角（參看圖2.10），所以：這樣我們可以計(jì)算虛地磁極的余緯：所以，在北半球，；在南半球?yàn)榱舜_定，我們首先計(jì)算極點(diǎn)和該點(diǎn)經(jīng)度的角度差。如果，然后。然而，如果，就有?，F(xiàn)在我們可以在圖2.8b中轉(zhuǎn)換方向到VGPs（圖2.11）。因?yàn)槿サ袅伺紭O場中的經(jīng)度變化的影響，圖2.11中的點(diǎn)比等面積投影的點(diǎn)更密。如果把

21、很多虛地磁極平均，平均的極點(diǎn)的位置稱為“古地磁極”。然而，如何平均極點(diǎn)和方向?qū)⒃诹硪恢v中講述。圖2.10：應(yīng)用球面三角和偶極公式將S點(diǎn)所測的方向轉(zhuǎn)換到虛地磁極位置P。a）P點(diǎn)觀測到的磁力線以及相應(yīng)的VGP。b）更詳細(xì)的圖。地點(diǎn)S的緯度是，經(jīng)度是，磁場方向?yàn)镈和I。S處的余緯是。是P和S點(diǎn)經(jīng)度差。是P處的余緯。方向可以如正文中講的轉(zhuǎn)換到等價(jià)的經(jīng)度為，緯度為的VGP（P點(diǎn)）。S處相對(duì)于P處的余緯是磁余緯。N是地理北極（地球自轉(zhuǎn)軸）。 虛偶極矩前面章節(jié)已經(jīng)指出，全球磁場強(qiáng)度的變化和傾角很相似。經(jīng)常將古地球磁場的強(qiáng)度值轉(zhuǎn)換為等效的地心偶極子磁矩。這一等效磁矩可以在觀測點(diǎn)產(chǎn)生相同的地球磁場強(qiáng)度，所以叫做

22、虛偶極子磁矩（VDM）。首先，根據(jù)測得的傾角和偶極公式2.8前計(jì)算出磁（古）余緯，然后應(yīng)用公式2.9計(jì)算VDM：有時(shí)，應(yīng)用上面公式時(shí)， 應(yīng)用觀測點(diǎn)的余緯而不是磁余緯，從而得到虛軸向偶極矩（VADM）。附錄這個(gè)附錄我們將回顧講義2用到的一些基本數(shù)學(xué)技巧。特別是等面積投影和球面三角關(guān)系。A 等面積投影圖A1顯示等面積投影的基本原理。P點(diǎn)的D是40°，I是35°。D是沿著等面積凈的周長所測，I由下面所得：其中圖2.11：從圖2.8b中方向轉(zhuǎn)換得到的VGP位置。圖A1：等面積投影。P點(diǎn)的D是40°，I是35°。B 球面三角圖B1中，a，b和g是標(biāo)記為a，b和c點(diǎn)的大圓環(huán)間的夾角。在單位球上，a，b和c也是半徑相交于球體的頂點(diǎn)A，B和C的內(nèi)角（參看圖B1中的插圖）。古地磁中球面三角的兩個(gè)很常見的公式是正弦定理：以及余弦定理：圖 B1：球面三角公式規(guī)則. a, b, c 是球面上的三個(gè)大圓弧，形成一個(gè)球面三角，頂點(diǎn)為A,B,C. 在一個(gè)單位球上，a, b, c的長度等于與其相關(guān)的兩個(gè)頂點(diǎn)與球心之間形成的夾角。, , 是大圓弧之間的夾角。參考文獻(xiàn)Butler, R. F. (1992), Paleom