2009年獲國家一等獎(jiǎng)的數(shù)模論文

1、2009高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會(huì)評閱前進(jìn)行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時(shí)使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會(huì)評閱前進(jìn)行編號）：眼科病床安排的數(shù)學(xué)模型摘 要本文解決的是醫(yī)院眼科病床的安排問題，現(xiàn)醫(yī)院安排病人入院的原則是先來先服務(wù)，這樣雖然公平，但缺乏合理性以致等待住院的病人隊(duì)列越來越長，為解決此問題，我們建立了三個(gè)最優(yōu)化模型。對于問題一：我們確定了三個(gè)評價(jià)指標(biāo)：手術(shù)前的平均逗留時(shí)間，平均每天出院人數(shù)，病人手術(shù)前的準(zhǔn)備時(shí)間。然后計(jì)算出在原來先來先服務(wù)的原則下各指標(biāo)值為：，。對于問題二：我

2、們采用優(yōu)先級原則動(dòng)態(tài)地對病床進(jìn)行安排。首先，統(tǒng)計(jì)初始數(shù)據(jù)，通過6SQ軟件進(jìn)行分布的卡方擬合檢驗(yàn)得：每類病人的到來均服從泊松分布、術(shù)后觀察時(shí)間服從均勻分布。然后，我們發(fā)現(xiàn)合理的調(diào)度方案必須使得病人的術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間盡量短。因此，重新制定入院規(guī)則：外傷優(yōu)先級始終最高；其它病的優(yōu)先級隨時(shí)間的變化而變化。接著，再以三個(gè)指標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)，病人入院規(guī)則為約束建立了多目標(biāo)的最優(yōu)化模型，最后，根據(jù)入隊(duì)與服務(wù)時(shí)間服從的分布，用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬，得到在隊(duì)列穩(wěn)定時(shí)，此規(guī)則下三個(gè)指標(biāo)值為：，=9.633，；這樣手術(shù)前的平均逗留時(shí)間減少21.6%，平均每天出院人數(shù)增加了22.55%，平均術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間減少了32.31%。對于問題

3、三：在問題二的計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬的基礎(chǔ)上，已經(jīng)可以求得對應(yīng)的等待隊(duì)列中病人的入院時(shí)間的模擬結(jié)果，因?yàn)榇嬖谝欢S機(jī)性，我們模擬10次，取出每次所得結(jié)果中的模擬入院時(shí)間，作為病人的一個(gè)大致入院時(shí)間。對于問題四：由于星期六與星期日不安排除了外傷手術(shù)的其它手術(shù)，故安排在周四，五住院的視網(wǎng)膜和青光眼病人的手術(shù)要推遲到下周二、四，以此我們同樣建立了多目標(biāo)的最優(yōu)化模型，得出在隊(duì)列穩(wěn)定時(shí)，三個(gè)指標(biāo)值分別為：，； 對于問題五：為便于醫(yī)院的管理，可根據(jù)各類病人服從的分布按照比例給各類病人安排固定的病床數(shù)，但要先單獨(dú)分配外傷類的病床，因?yàn)獒t(yī)院要保證有足夠的床鋪滿足外傷類病人，據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果知外傷病人到達(dá)和外傷病人被服務(wù)的時(shí)

4、間都是服從泊松分布，則先建立排隊(duì)論中的M/M/C模型求出分配給外傷病人的病床數(shù)，余下的病床按照一定的比例分配給其它類的病人。為得到平均逗留時(shí)間最短，我們建立了單目標(biāo)最優(yōu)化模型。關(guān)鍵詞：優(yōu)先級 調(diào)度 排隊(duì)論 計(jì)算機(jī)模擬 最優(yōu)化1. 問題重述醫(yī)院就醫(yī)排隊(duì)是大家都非常熟悉的現(xiàn)象，它以這樣或那樣的形式出現(xiàn)在我們面前，例如，患者到門診就診、到收費(fèi)處劃價(jià)、到藥房取藥、到注射室打針、等待住院等，往往需要排隊(duì)等待接受某種服務(wù)。在本文中，我們考慮某醫(yī)院眼科病床的合理安排的數(shù)學(xué)建模問題。該醫(yī)院眼科門診每天開放，住院部共有病床79張。該醫(yī)院眼科手術(shù)主要分四大類：白內(nèi)障、視網(wǎng)膜疾病、青光眼和外傷。附錄一中給出了200

5、8年7月13日至2008年9月11日這段時(shí)間里各類病人的情況。各類眼病手術(shù)的安排情況：白內(nèi)障手術(shù)：較簡單，而且沒有急癥。目前該院是每周一、三做白內(nèi)障手術(shù)，此類病人的術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間只需1、2天。做兩只眼的病人比做一只眼的要多一些，大約占到60%。如果要做雙眼是周一先做一只，周三再做另一只。外傷手術(shù)：通常屬于急癥，病床有空時(shí)立即安排住院，住院后第二天便會(huì)安排手術(shù)。視網(wǎng)膜、青光眼手術(shù)：比較復(fù)雜，有各種不同情況，但大致住院以后2-3天內(nèi)就可以接受手術(shù)，主要是術(shù)后的觀察時(shí)間較長。這類疾病手術(shù)時(shí)間可根據(jù)需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急癥數(shù)量較少，建模時(shí)這些眼科疾病可不考慮急癥。該醫(yī)院眼科手術(shù)條件比較

6、充分，在考慮病床安排時(shí)可不考慮手術(shù)條件的限制，但考慮到手術(shù)醫(yī)生的安排問題，通常情況下白內(nèi)障手術(shù)與其他眼科手術(shù)（急癥除外）不安排在同一天做。當(dāng)前該住院部對全體非急癥病人是按照FCFS（First come, First serve）規(guī)則安排住院，但等待住院病人隊(duì)列卻越來越長，醫(yī)院方面希望你們能通過數(shù)學(xué)建模來幫助解決該住院部的病床合理安排問題，以提高對醫(yī)院資源的有效利用。本文需解決的問題有：問題一：試分析確定合理的評價(jià)指標(biāo)體系，用以評價(jià)該問題的病床安排模型的優(yōu)劣。問題二：試就該住院部當(dāng)前的情況，建立合理的病床安排模型，以根據(jù)已知的第二天擬出院病人數(shù)來確定第二天應(yīng)該安排哪些病人住院。并對你們的模型利

7、用問題一中的指標(biāo)體系作出評價(jià)。問題三：作為病人，自然希望盡早知道自己大約何時(shí)能住院。能否根據(jù)當(dāng)時(shí)住院病人及等待住院病人的統(tǒng)計(jì)情況，在病人門診時(shí)即告知其大致入住時(shí)間區(qū)間。 問題四：若該住院部周六、周日不安排手術(shù)，請你們重新回答問題二，醫(yī)院的手術(shù)時(shí)間安排是否應(yīng)作出相應(yīng)調(diào)整?問題五：有人從便于管理的角度提出建議，在一般情形下，醫(yī)院病床安排可采取使各類病人占用病床的比例大致固定的方案，試就此方案，建立使得所有病人在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時(shí)間（含等待入院及住院時(shí)間）最短的病床比例分配模型。2. 模型的假設(shè)與符號說明2.1模型的假設(shè)假設(shè)1：題目所給數(shù)據(jù)是合理、正確的假設(shè)2：視網(wǎng)膜與青光眼兩類病不考慮急癥假設(shè)3：

8、白內(nèi)障手術(shù)與其他眼科手術(shù)（急癥除外）不安排在同一天假設(shè)4：該醫(yī)院眼科手術(shù)條件比較充分，在安排病床時(shí)不考慮手術(shù)條件的限制假設(shè)5：對于問題四，假定周六和周日可安排外傷手術(shù)，但不能安排其他手術(shù)2.2符號說明符號符號說明患第類病的第個(gè)病人的等待入院時(shí)間患第類病的第個(gè)病人的術(shù)前的準(zhǔn)備時(shí)間患第類病的第個(gè)病人的住院時(shí)間平均每天出院人數(shù)手術(shù)前的平均逗留時(shí)間，即從門診到第一次手術(shù)的平均時(shí)間病人的平均術(shù)前的準(zhǔn)備時(shí)間病人的平均住院時(shí)間患第類病的第個(gè)病人的入院時(shí)間（，表示2008年7月13日，表示2008年7月14日，依此類推）患第類病的第個(gè)病人的手術(shù)時(shí)間（的計(jì)數(shù)方式與相同，即表示2008年7月13日，表示2008年

9、7月14日，依此類推）一段時(shí)間內(nèi)到門診看病的第類病人的人數(shù)第天第類病人的在院人數(shù)（不包括當(dāng)天新入院的人數(shù)）第天第類病人的新入院人數(shù)第天第類病人的出院人數(shù)第類病人平均每天到門診看病的人數(shù)分配給第類病人的病床數(shù)，單位為張求余符號，等價(jià)于mod第=1類病表示白內(nèi)障（單眼）疾病，第=2類病表示白內(nèi)障（雙眼）疾病，第=3類病表示視網(wǎng)膜疾病，第=4類病表示青光眼疾病，第=5類病表示外傷疾病3. 問題分析此題研究的是某醫(yī)院眼科病床合理安排的數(shù)學(xué)建模問題。要對病床進(jìn)行合理的安排，就要有合理的安排規(guī)則，尤其是在醫(yī)院病床不夠的時(shí)候。當(dāng)前該住院部對全體非急癥病人是按照FCFS（First come, First s

10、erve）規(guī)則安排住院，這樣雖然對病人很公平，但缺乏合理性，例如根據(jù)FCFS原則，白內(nèi)障雙眼的病人可能會(huì)在星期二入院，但醫(yī)院規(guī)定“白內(nèi)障雙眼的患者在星期一做一只眼，在星期三做另一只眼”，所以該患者的術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間就變?yōu)?天，而一般情況下，白內(nèi)障患者的術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間只需1、2天；這樣的情況會(huì)延遲其它類病人的入院時(shí)間，進(jìn)而使得病人隊(duì)列越來越長。在病床不夠的情況下，從醫(yī)院的角度講，醫(yī)院自然希望在多做手術(shù)的同時(shí)，減小病人占用病床的時(shí)間。為了得到合理的安排規(guī)則，首先要確定合理的評價(jià)指標(biāo)體系，用此評價(jià)按該規(guī)則建立的病床安排模型的優(yōu)劣。針對問題一：從病人的角度看，病人到醫(yī)院看病分為以下幾個(gè)階段:掛號看病時(shí)間即門

11、診時(shí)間，入院，手術(shù)前的準(zhǔn)備，手術(shù)，手術(shù)后的觀察，出院。合理的安排就是讓病人從掛號看病到出院的時(shí)間盡量的短。但根據(jù)實(shí)際情況知病人的術(shù)后觀察時(shí)間是由病情決定的，故所建立的模型只能縮短門診看病到接受手術(shù)的時(shí)間間隔即病人手術(shù)前的逗留時(shí)間，所以模型的評價(jià)指標(biāo)可以是病人手術(shù)前的平均逗留時(shí)間，平均術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間。從醫(yī)院的角度看，我們可以將病床的周轉(zhuǎn)次數(shù)作為評價(jià)指標(biāo)。由于病床的周轉(zhuǎn)次數(shù)與醫(yī)院每天出院人數(shù)是密切相關(guān)的在病床不夠的情況下，醫(yī)院每天出院的人數(shù)越多，能夠入院的病人就越多，病床周轉(zhuǎn)次數(shù)就越多，醫(yī)院的效益就越好。所以，綜合考慮病人和醫(yī)院的利益，我們把病人手術(shù)前的平均逗留時(shí)間，平均術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間，平均每天出院人

12、數(shù)作為評價(jià)指標(biāo)，當(dāng)前兩個(gè)指標(biāo)值越小，最后一個(gè)指標(biāo)值越大的時(shí)候，病床安排模型越好。針對問題二：在確定病人入院規(guī)則時(shí)，要考慮以下幾點(diǎn):白內(nèi)障病人只能安排在周一與周三做手術(shù)，而其它病人除外傷病人外不能在周一和周三做手術(shù)，還有不同的病人的術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間不一樣；使得建立的入院規(guī)則能夠讓病人的等待時(shí)間盡量短，這就可以縮短病人在醫(yī)院的時(shí)間，亦可縮短病人從門診到入院的時(shí)間。再對題給數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得出各類病人到門診看病的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，然后就可以以問題一的評價(jià)指標(biāo)作目標(biāo)函數(shù)，以安排病人入院規(guī)則為約束建立一個(gè)病床安排的多目標(biāo)最優(yōu)化模型。針對問題三：根據(jù)各類病人的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可得出每天有多少人患病以及患什么病，找出其分布規(guī)律

13、，然后根據(jù)病人的入院規(guī)則，可以得出各類病人大致在星期幾入院，再根據(jù)術(shù)后觀察時(shí)間的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，便可以得到病人的出院時(shí)間，從而可安排病人入院，這樣就可在病人門診時(shí)告知其大致的入院時(shí)間。針對問題四：同問題二一樣，以問題一的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)作為目標(biāo)函數(shù)，建立一個(gè)病床安排的多目標(biāo)最優(yōu)化模型。但由于周六、日不安排手術(shù)，會(huì)使得約束條件發(fā)生改變。針對問題五：從便于管理的角度醫(yī)院可以根據(jù)各類病人的到達(dá)規(guī)律安排病床，故先統(tǒng)計(jì)出各類病人的到達(dá)服從什么樣的分布，再建立模型求出平均逗留時(shí)間最短時(shí)的病床分配方案，但在分配時(shí)要把外傷類除外，因外傷類病人不允許等待，故分派給外傷病人的病床必須保證每天都能滿足需入院的外傷病人，因此先分配

14、外傷類的病床，再統(tǒng)一分配余下各類病的病床。4. 數(shù)據(jù)分析定義1 術(shù)后觀察時(shí)間指病人出院與第一次手術(shù)的時(shí)間間隔定義2 手術(shù)前的平均逗留時(shí)間指門診到第一次手術(shù)的平均時(shí)間根據(jù)對題給數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果知：4.1各類病的術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間時(shí)間為1-7天（包括1天和7天）4.2等待住院病人隊(duì)列越來越長的原因因?yàn)?8年7月13日-08年9月11日平均每天到門診看病的人數(shù)為8.6885人，平均每天出院人數(shù)為8.1163人，所以近似認(rèn)為平均每天到門診看病的人數(shù)為8.6885人，平均每天出院人數(shù)為8.1163人。正因?yàn)槊刻斓介T診看病的人數(shù)大于每天出院的人數(shù)，所以才導(dǎo)致了等待住院病人隊(duì)列越來越長。4.3各類病人的到達(dá)（病人到

15、達(dá)時(shí)間指病人的門診時(shí)間）服從泊松分布由于醫(yī)院就醫(yī)排隊(duì)是典型的排隊(duì)論問題，而一般的排隊(duì)論模型都是泊松輸入，所以我們先假定病人的到達(dá)服從泊松分布，然后根據(jù)附錄一給出的數(shù)據(jù)求出每天到門診看病的各類病人的人數(shù)（統(tǒng)計(jì)結(jié)果見附錄二）,再利用6SQ統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)得到如下結(jié)果（結(jié)果見表4.1）：表4.1：各類病人的到達(dá)服從泊松分布的卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)白內(nèi)障單眼患者到達(dá)時(shí)間：白內(nèi)障雙眼患者到達(dá)時(shí)間：視網(wǎng)膜患者到達(dá)時(shí)間：假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)零假設(shè)服從泊松分布零假設(shè)服從泊松分布零假設(shè)服從泊松分布自由度3自由度4自由度4卡方統(tǒng)計(jì)量1.8卡方統(tǒng)計(jì)量1.9卡方統(tǒng)計(jì)量3.7p值0.6p值0.8p值0.5顯著

16、性水平0.1顯著性水平0.1顯著性水平0.1結(jié)果接受零假設(shè)結(jié)果接受零假設(shè)結(jié)果接受零假設(shè)青光眼患者到達(dá)時(shí)間：外傷患者到達(dá)時(shí)間：假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)零假設(shè)服從泊松分布零假設(shè)服從泊松分布自由度3自由度2卡方統(tǒng)計(jì)量4卡方統(tǒng)計(jì)量1p值0p值1顯著性水平0顯著性水平0結(jié)果接受零假設(shè)結(jié)果接受零假設(shè)根據(jù)以上假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果知：各類病人的到達(dá)時(shí)間均符合泊松分布。根據(jù)指數(shù)分布與泊松分布的關(guān)系：如相繼兩個(gè)事件出現(xiàn)的間隔時(shí)間服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則在單位時(shí)間間隔內(nèi)事件出現(xiàn)的次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，即單位時(shí)間內(nèi)該事件出現(xiàn)次的概率為 將各類病人平均每天到達(dá)的人數(shù)，即值代入式，可得相應(yīng)的概率密度函數(shù)，計(jì)算結(jié)果見表4.2。表4.

17、2：各類病人達(dá)到時(shí)間的概率密度函數(shù)和相應(yīng)的值類別白內(nèi)障單眼白內(nèi)障雙眼視網(wǎng)膜青光眼外傷1.62.22.8114.4各類患者的術(shù)后觀察時(shí)間服從均勻分布首先統(tǒng)計(jì)出各類病人的術(shù)后觀察時(shí)間（統(tǒng)計(jì)結(jié)果見附錄三），根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，我們假定各類病人的術(shù)后觀察時(shí)間服從均勻分布，然后通過6SQ統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果見表4.3。表4.3：各類患者的術(shù)后觀察時(shí)間服從均勻分布的卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)白內(nèi)障單眼術(shù)后觀察時(shí)間白雙術(shù)后觀察時(shí)間視網(wǎng)膜術(shù)后觀察時(shí)間假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)零假設(shè)服從均勻分布零假設(shè)服從均勻分布零假設(shè)服從均勻分布自由度34自由度39自由度99卡方統(tǒng)計(jì)量7.858300287卡方統(tǒng)計(jì)量2.093

18、007186卡方統(tǒng)計(jì)量55.04926108p值0.999999107p值1p值0.999897347顯著性水平0.05顯著性水平0.05顯著性水平0.05結(jié)果接受零假設(shè)結(jié)果接受零假設(shè)結(jié)果接受零假設(shè)青光眼術(shù)后觀察時(shí)間外傷術(shù)后觀察時(shí)間假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)零假設(shè)服從均勻分布零假設(shè)服從均勻分布自由度37自由度53卡方統(tǒng)計(jì)量11.66013072卡方統(tǒng)計(jì)量29.25609756p值0.999978078p值0.996696665顯著性水平0.05顯著性水平0.05結(jié)果接受零假設(shè)結(jié)果接受零假設(shè)根據(jù)以上假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果知：各類病人的術(shù)后觀察時(shí)間均服從均勻分布。4.5外傷病人住院時(shí)間服從泊松分布首先統(tǒng)計(jì)出外傷病人

19、的住院時(shí)間，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，我們假定其服從泊松分布，然后通過6SQ統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果見表4.4.表4.4: 外傷病人住院時(shí)間服從泊松分布的卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果假設(shè)檢驗(yàn)零假設(shè)服從泊松分布自由度6卡方統(tǒng)計(jì)量11.01007449p值0.088065567顯著性水平0.05結(jié)果接受零假設(shè)5 問題一的解答本文研究的是某醫(yī)院眼科病床的合理安排的數(shù)學(xué)建模問題，對于病床安排模型的優(yōu)劣，不能憑人們的主觀感受進(jìn)行判斷，而要確定合理的評價(jià)指標(biāo)體系進(jìn)行判斷，為此我們確定了如下的評價(jià)指標(biāo)體系：指標(biāo)1：手術(shù)前的平均逗留時(shí)間手術(shù)前的平均逗留時(shí)間指門診到第一次手術(shù)的平均時(shí)間，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為該指標(biāo)值越小，表

20、示病床安排模型越好。指標(biāo)二：平均每天出院人數(shù)平均每天出院人數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：該指標(biāo)值越大，表示病床安排模型越優(yōu)。指標(biāo)三：病人平均術(shù)前的準(zhǔn)備時(shí)間病人平均術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間的數(shù)學(xué)表達(dá)式為該指標(biāo)值越小，表示病床分配模型越優(yōu)。對于題目中給出的以FCFS為原則（急癥除外）的病床安排模型，我們通過求解得到其三個(gè)評價(jià)指標(biāo)分別為：天人（從題給數(shù)據(jù)知，在7月30日之前，只有外傷病人出院，但在7月30日之后，各類病人均出院達(dá)到穩(wěn)定，所以用7月30日之后的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)求解平均每天出院人數(shù)）天6. 問題二的解答針對問題二我們建立了模型一。6.1模型一的建立6.1.1確定目標(biāo)函數(shù)該模型是為了解決醫(yī)院的病床安排問題，為了使病床的安

21、排更加合理，我們只需使三個(gè)評價(jià)指標(biāo)手術(shù)前的平均逗留時(shí)間最小，平均每天出院人數(shù)最大，病人平均術(shù)前的準(zhǔn)備時(shí)間最小即可，所以我們建立了如下的目標(biāo)函數(shù)：6.1.2確定約束條件由于白內(nèi)障手術(shù)比較簡單，此類病人的術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間只需1、2天，而且根據(jù)附表一知，各類病人的術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間均在1-7天之內(nèi)（包括1天和7天），所以白內(nèi)障單眼和雙眼病人術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間為1-7天，即由于視網(wǎng)膜和青光眼疾病比較復(fù)雜，大致住院以后2-3天內(nèi)就可以接受手術(shù)，而且根據(jù)附表一知，各類病人的術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間均在1-7天之內(nèi)（包括1天和7天），所以這兩類疾病的術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間為2-7天，即外傷疾病有空床時(shí)立即安排住院，且住院后第二天便會(huì)安排手術(shù)，所

22、以此類病的術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間為1天，即根據(jù)數(shù)據(jù)分析結(jié)果，為了縮短等待入院病人的隊(duì)列長度，我們制定了如下的病床安排原則：原則1白內(nèi)障單眼患者一般安排在周一、周二、周六、周日入院原則2白內(nèi)障雙眼患者一般安排在周六、周日入院原則3視網(wǎng)膜和青光眼患者安排在周三、周四、周五入院原則4外傷病人當(dāng)天入院，第二天手術(shù)原則5當(dāng)病人等待時(shí)間達(dá)到25天時(shí)，只要有空病床立即安排入院說明：外傷病人在任意一天優(yōu)先級是最高的，在某一天病人可安排住院此時(shí)此類?。ǔ鈧┤说膬?yōu)先級第二高，且若有兩類或兩類以上的?。ǔ鈧┤硕伎稍谕惶烊朐海瑒t這些病人優(yōu)先級第二高且相等，在這天不安排住院的病人的優(yōu)先級最低。例如白內(nèi)障單眼患者在周一、

23、周二、周六、周日的優(yōu)先級第二高，在其它的時(shí)間優(yōu)先級最低。故患者的優(yōu)先級隨時(shí)間動(dòng)態(tài)的發(fā)生改變。因?yàn)楸硎净嫉陬惒〉牡趥€(gè)病人的入院時(shí)間（，表示2008年7月13日，表示2008年7月14日，依此類推），又由于2008年7月13日是星期日，所以 （2）根據(jù)式（2）和病床安排原則，我們確定了如下的約束條件： 6.1.3綜上所述，得到問題二的多目標(biāo)最優(yōu)化模型6.2模型一的求解首先我們由數(shù)據(jù)分析可知，對于每一類病人，從第一次接受手術(shù)到出院之間經(jīng)歷的時(shí)間服從均勻分布，每天到來的各類病人的數(shù)目分別服從各自參數(shù)的possion分布，我們首先可以模擬得79個(gè)已住院的人的出院時(shí)間（肯定在9.11號之后），就可以將排隊(duì)

24、隊(duì)列的一定數(shù)量的病人送入服務(wù)隊(duì)列。并且可以按照每天到來的各類病人的possion流來補(bǔ)充每天的排隊(duì)隊(duì)列人數(shù)。接著，由于本題涉及到大量的隨機(jī)現(xiàn)象，故用一般的規(guī)劃方法難以求得最優(yōu)解，所以我們采用一種計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬（相關(guān)程序見附錄五）的算法求得本題的最優(yōu)解。算法思想：從9月12日開始，根據(jù)服務(wù)隊(duì)列中正在接受服務(wù)的對象的服務(wù)時(shí)間分布，模擬得到正在接受服務(wù)的對象的出隊(duì)時(shí)間（即病人的出院時(shí)間），然后按照約束條件中給定的的原則，將等待隊(duì)列中的對象分配進(jìn)入服務(wù)隊(duì)列，然后改變等待隊(duì)列與服務(wù)隊(duì)列的狀態(tài)，進(jìn)行下一步的模擬，直到我們得到一定數(shù)量滿足我們需要的對象（即：滿足退出條件），得出此時(shí)的天數(shù)即可。模擬的流程如下

25、所示:（注：退出條件即為我們需要用模擬分配病人的天數(shù)如20或60）圖6-1：計(jì)算機(jī)模擬的簡化流程圖模擬后的數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)格式為：表6-1 ：模擬后數(shù)據(jù)的示例存儲(chǔ)格式編號生病類別診斷時(shí)間入院時(shí)間手術(shù)（一）時(shí)間手術(shù)（二）時(shí)間出院時(shí)間1白內(nèi)障(雙眼)496365'/'712視網(wǎng)膜疾病496264'/'713青光眼496264'/'724視網(wǎng)膜疾病496264'/'775視網(wǎng)膜疾病496264'/'79 102視網(wǎng)膜疾病617476'/'90103白內(nèi)障627274 76104白內(nèi)障(雙眼)627779 831

26、05白內(nèi)障(雙眼)627779 85106白內(nèi)障(雙眼)627779 84107白內(nèi)障(雙眼)627879 84108青光眼627476 80 注：第六列在102號以前是/表示第二次手術(shù)時(shí)間，模擬時(shí)，我們沒有考慮第二次手術(shù)的時(shí)間。102號以后是，表明該行數(shù)據(jù)是我們自己通過possion流對隊(duì)列追加顧客后的效果，是新加入排隊(duì)系統(tǒng)的，方便進(jìn)行連續(xù)模擬。統(tǒng)計(jì)從2008年的9月12日開始后60天的隊(duì)列的長度，我們即可認(rèn)為在這段時(shí)間內(nèi)的接受服務(wù)的對象達(dá)到了穩(wěn)定狀態(tài)。然后作出隊(duì)列長度的隨時(shí)間的變化圖示：如下所示：圖6-2：隊(duì)長隨時(shí)間變化趨勢此時(shí)，在我們的分配原則下，可以發(fā)現(xiàn)隊(duì)列的長度不斷減小，并且有趨于穩(wěn)

27、定的趨勢，我們可以認(rèn)為此時(shí)的穩(wěn)態(tài)是50，因此我們認(rèn)為這種方案是比較合理的。現(xiàn)在，我們?nèi)〉脧?月12日后的20天的一個(gè)模擬的入院安排情況，因?yàn)?0天已經(jīng)足夠確定我們需要填滿的102個(gè)排隊(duì)對象的的數(shù)據(jù)。然后計(jì)算得我們定義的三個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解為：病人手術(shù)前的平均逗留時(shí)間：12.1天（越小越好）病人平均術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間：1.6722天；（越小越好）平均每天出院人數(shù)：9人（越大越好）6.3模型一結(jié)果分析在這種分配方案下，我們發(fā)現(xiàn)與原模型的手術(shù)前的平均逗留時(shí)間：13.1519，平均術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間：2.4413，平均每天出院人數(shù)：7.8605相比，并沒有太大的差別，我們認(rèn)為這是在隊(duì)列沒有進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

28、造成的，我們用以下的方法處理：我們可以認(rèn)為當(dāng)系統(tǒng)服務(wù)了100個(gè)顧客后，它已經(jīng)進(jìn)入了穩(wěn)定狀態(tài)，又由于我們要去足夠的數(shù)據(jù)才能具有說服力，因此我們定義一個(gè)評價(jià)區(qū)間：從第100個(gè)排隊(duì)等待手術(shù)的病人到第30天結(jié)束時(shí)最后一個(gè)出院的病人。在此區(qū)間上，我們再用同樣的方法進(jìn)行評價(jià)，會(huì)發(fā)現(xiàn)我們的三個(gè)評價(jià)指標(biāo)值為：病人手術(shù)前的平均逗留時(shí)間：10.311天病人平均術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間：1.6526天；平均每天出院人數(shù)：9.633人此時(shí)我們就可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)這個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)在盡量趨于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，它的手術(shù)前的平均逗留時(shí)間、術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間、平均每天出院人數(shù)均比前邊的結(jié)果有了一定的優(yōu)化，這是由于9月12日后的20天的排隊(duì)系統(tǒng)受醫(yī)院最初的先來先

29、服務(wù)的影響較大，而當(dāng)系統(tǒng)服務(wù)了100個(gè)病人后，此時(shí)的排隊(duì)系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，所以求得的結(jié)果較優(yōu)。從而進(jìn)一步證明我們的排隊(duì)系統(tǒng)比原有的效率更高。7. 問題三的解答根據(jù)問題二的模型，我們已經(jīng)完全模擬出來了每位病人的入院時(shí)間、第一次手術(shù)時(shí)間、出院時(shí)間（如上表所示），所以我們可以求得排隊(duì)隊(duì)列的102人的入院時(shí)間，但是每次隨機(jī)模擬的結(jié)果均不相同，所以，我們可以通過模擬若干次，求出每次每一個(gè)病人的出院時(shí)間，從中選擇一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，將它作為病人的一個(gè)大概的入院時(shí)間的區(qū)間。我們?nèi)∧M的次數(shù)為10，下面是我們所得的一個(gè)近似的結(jié)果：表7-1：10次模擬后產(chǎn)生的10個(gè)模擬的出院時(shí)間編號生病類別一二三四五六七八九十

30、1白內(nèi)障(雙眼)636363636363636363632視網(wǎng)膜疾病626262626262626262623青光眼626262626262626262624視網(wǎng)膜疾病626262626262626262625視網(wǎng)膜疾病62626262626262626262 99視網(wǎng)膜疾病76747469747474757469100白內(nèi)障66737272727872717172101視網(wǎng)膜疾病76757469747474757469102視網(wǎng)膜疾病76757474747474757474（注：具體數(shù)據(jù)見附錄一 ）那么我們就可以根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)確定出病人的大致入院區(qū)間：表7-2：病人的大致入院區(qū)間編號生

31、病類別最佳入院時(shí)間對應(yīng)的日期1白內(nèi)障(雙眼)639-132視網(wǎng)膜疾病629-123青光眼629-124視網(wǎng)膜疾629-125視網(wǎng)膜疾病629-1299'視網(wǎng)膜疾病'69 ,74 ,75 ,769月19日,9月24日,9月25日,9月26日100'白內(nèi)障'66,71,72 ,73 ,789月16日,9月21日,9月22日,9月23日,9月28日101'視網(wǎng)膜疾病'69 ,74 ,75 ,769月19日,9月24日,9月25日,9月26日102視網(wǎng)膜疾病74-769-24-9-26日 （注：完整數(shù)據(jù)見附錄四）8. 問題四的解答針對問題四我們建立了模型

32、二。問題四與問題二的區(qū)別在于：在問題二中，醫(yī)院每天都可以安排手術(shù)，而在問題四中，只能在周一至周五安排手術(shù)（外傷每天均可安排手術(shù)）。8.1模型二的建立8.1.1確定目標(biāo)函數(shù)（同模型一的目標(biāo)函數(shù)）以三個(gè)評價(jià)指標(biāo)最優(yōu)為目標(biāo)函數(shù)：8.1.2確定約束條件該模型的約束條件除了包含模型一的約束條件外，還有以下幾個(gè)：由于白內(nèi)障手術(shù)之后安排在周一和周三，外傷手術(shù)每天都可以安排，所以周六和周日不安排手術(shù)只會(huì)影響視網(wǎng)膜和青光眼的手術(shù)安排。在模型一給出的病床安排原則下，對于視網(wǎng)膜病人和青光眼病人，將其中周三入院的手術(shù)安排在同一周的周五，在周四和周五入院的手術(shù)安排在下周周二。據(jù)此，我們又建立了如下的約束條件：8.1.3

33、綜上所述，得到問題四的多目標(biāo)優(yōu)化模型 （表示求余運(yùn)算）8.2.模型二的求解我們按照與問題二相同的思想，按照同樣的原理進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬（相關(guān)程序見附錄五），在這里只是改變了對于青光眼和視網(wǎng)膜疾病的分配方案：若這兩類患者在周四、周五分配入院，則他們均到下周二進(jìn)行手術(shù)。統(tǒng)計(jì)從2008年的9月12號開始后60天的隊(duì)列的長度，我們即可認(rèn)為在這段時(shí)間內(nèi)的接受服務(wù)的對象達(dá)到了穩(wěn)定狀態(tài)。然后作出隊(duì)列長度的隨時(shí)間的變化圖示：如下所示：圖8-1:隊(duì)長隨時(shí)間的變化趨勢此時(shí)，我們同時(shí)發(fā)現(xiàn):當(dāng)我們忽略外傷病人的等待時(shí)間時(shí)，隨著時(shí)間的推移，病人的等待時(shí)間的規(guī)律如下圖所示：圖8-2:病人的等待時(shí)間隨時(shí)間的變化趨勢此時(shí)，在我們

34、的分配原則下，隊(duì)列的長度不斷減小，并且有趨于穩(wěn)定的趨勢，我們可以認(rèn)為此時(shí)的穩(wěn)態(tài)等待人數(shù)是60，而且，病人從就診到第一次手術(shù)的時(shí)間也有一個(gè)逐步下降的趨勢，所以因此我們認(rèn)為這種分配的方案是比較合理的：據(jù)此我們可以在這種條件下求得的三個(gè)指標(biāo)值：現(xiàn)在，我們同樣取得從9月12號后的20天的一個(gè)模擬的入院安排情況，然后計(jì)算得我們定義的三個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解為：手術(shù)前的平均逗留時(shí)間：12.691天病人平均術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間：2.2191天；平均每天出院人數(shù)：8.9人8.3模型二的結(jié)果分析在這種分配方案下，我們發(fā)現(xiàn)與原模型的手術(shù)前的平均逗留時(shí)間：13.1519，平均術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間：2.4413，平均每天出院人數(shù)：7.8

35、605相比，并沒有太大的差別，所以可以同樣按照問題二中的解決辦法，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)我們的三個(gè)評價(jià)指標(biāo)值為：手術(shù)前的平均逗留時(shí)間：10.432天病人平均術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間：2.017天；平均每天出院人數(shù)：9.1667人此時(shí)我們就可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)這個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)在盡量趨于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，它的各個(gè)指標(biāo)均比前邊的結(jié)果有了一定的優(yōu)化，從而進(jìn)一步證明我們的排隊(duì)系統(tǒng)比原有的效率更高。9. 問題五的解答針對問題五我們建立了模型三。相關(guān)知識引入：在排隊(duì)論中有一種多服務(wù)臺(tái)多顧客的模型機(jī)制，即M/M/C(C>=2)模型.顧客到達(dá)服務(wù)臺(tái)具有隨機(jī)性，服從泊松分布，服務(wù)臺(tái)對顧客服務(wù)服從指數(shù)分布，則：其中：，在問題五中，有人從便于管理的角度

36、建議 “將各類病人占用的病床數(shù)大致固定”，就此方案建立使得所有病人在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時(shí)間最短的病床比例分配模型。在分配病床時(shí)因外傷病人特殊，故應(yīng)先分配病床，從數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)知患外傷的病人到醫(yī)院的人數(shù)服的泊松分布，醫(yī)院對其服務(wù)的時(shí)間同樣股從的泊松分布，故可把病床看作排隊(duì)系統(tǒng)中的服務(wù)臺(tái)，把外傷病人看作顧客，這樣就可以建立一個(gè)M/M/C的模型，則只要使得盡量小，我們設(shè)定，就能求出，即為安排給外傷病人的病床數(shù)。那么 9.1模型三的建立9.1.1確定目標(biāo)函數(shù)設(shè)病人在在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時(shí)間為，則其中表示患第類病的第個(gè)病人的等待入院時(shí)間，表示患第類病的第個(gè)病人的住院時(shí)間，表示一段時(shí)間內(nèi)患第類病的人數(shù)）所以，目標(biāo)函

37、數(shù)為9.1.2確定約束條件因各類病人都分配了相應(yīng)的病床，故每一類病人在可在任意一天住院且是先來先服務(wù)的，這一點(diǎn)和模型一，二不一樣，故約束條件只有：(1) 各類病人的術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間(2) 白內(nèi)障的手術(shù)只能安排在周一 三。（3）由于分配給各類病人的病床數(shù)的比例大致固定，所以每天各類病人分別占用的病床數(shù)不能超過醫(yī)院分配的數(shù)目，由此得到如下的約束：9.1.3綜上所述，得到問題五的單目標(biāo)非線性優(yōu)化模型9.2模型三的求解與結(jié)果分析問題五：由，即外傷病人到醫(yī)院不需等待的概率小于0.05，通過計(jì)算得：當(dāng)分配12張床給外傷病人時(shí)，則外傷病人等待入院的概率小于0.035（基本認(rèn)為不發(fā)生）。按照比例求得其它類病分配的

38、病床如下:病型白內(nèi)障（雙）白內(nèi)障（單）視網(wǎng)膜青光眼分配的床1914259至于此條件下的安排病人入院規(guī)則是各類病人都各自服從先來先到的原則，視網(wǎng)膜和青光眼病人的逗留時(shí)間會(huì)減少，因?yàn)檫@兩種病的術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間可以控制在兩天內(nèi)，這樣就可使病人的住院時(shí)間縮短，使排隊(duì)的隊(duì)長變短?？墒前變?nèi)障病人的平均逗留時(shí)間會(huì)增多，原因是這兩類病只能在周一，周三做手術(shù)，這就使得在周三周日入院的病人要等到周一，三才能做手術(shù)，這樣使得病人的住院時(shí)間增長，使排隊(duì)的隊(duì)長變長。10. 模型的評價(jià)、改進(jìn)及推廣10.1模型評價(jià)優(yōu)點(diǎn)：（1）根據(jù)我們定下的安排病人入院規(guī)則，建立的模型在一定程度上縮短了病人排隊(duì)的隊(duì)長，因?yàn)樵Ｐ偷娜齻€(gè)指標(biāo)，；我

39、們建的模型三個(gè)指標(biāo)：，；這樣手術(shù)前的平均逗留時(shí)間減少21.6%，平均每天出院人數(shù)增加了22.55%，平均術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間減少了32.31%；（2）根據(jù)模型可推算出當(dāng)前病人的出院時(shí)間，故我們把表二出院時(shí)間的填充了；（3）利用我們建立的模型二，可根據(jù)第二天擬出院的病人確定病人入院的最佳時(shí)間；缺點(diǎn)：由于所給數(shù)據(jù)太少以致在統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)時(shí)不是很準(zhǔn)確，又由于計(jì)算機(jī)模擬帶有一定的隨機(jī)性，以致得到模型的三個(gè)指標(biāo)不是很讓人滿意。10.2模型改進(jìn)（1）查詢更多的數(shù)據(jù)，以使得統(tǒng)計(jì)結(jié)果更正確，也可使計(jì)算機(jī)模擬更少的數(shù)據(jù)或不模擬以減少不確定性。因我們建模時(shí)沒有考慮到經(jīng)濟(jì)性，若考慮到不同的手術(shù)經(jīng)費(fèi)不一樣，則在制定安排病人入院規(guī)則

40、時(shí)要考慮一定的優(yōu)先級，即手術(shù)費(fèi)用高的優(yōu)先級高。（2）所建模型是針對當(dāng)前所給數(shù)據(jù)的，對長遠(yuǎn)病人入院和出院的預(yù)測并不能很準(zhǔn)確，故建模時(shí)應(yīng)把時(shí)間加上去，即建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型。使所建模型能準(zhǔn)確的預(yù)測出病人的入院和出院時(shí)間。10.3模型推廣我們建的模型不僅可用于醫(yī)院病床安排，也可用于其它資源的安排，還可用于諸如像試卷評價(jià)模型的其它類型的問題。參考文獻(xiàn)1 宋來忠，王志明,數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn),北京：科學(xué)出版社,2005。2 運(yùn)籌學(xué)教材編寫組編，運(yùn)籌學(xué)（3版），北京：清華大學(xué)出版社，2005.63 王玉升，排隊(duì)論模型及其在醫(yī)院管理中的作用,中國醫(yī)院管理, 58-62，1985.2附錄附錄一：2008-07-13到2

41、008-09-11的該醫(yī)院的病人信息（略）附錄二：08年7月13日-08年9月11日，各類病人每天到門診看病的人數(shù)白內(nèi)障單眼白內(nèi)障雙眼青光眼視網(wǎng)膜外傷合計(jì)7月13日第1天1113177月14日第2天1314097月15日第3天32230107月16日第4天1212177月17日第5天16131127月18日第6天24132127月19日第7天31231107月20日第8天3103297月21日第9天2500297月22日第10天3011167月23日第11天52252167月24日第12天2014077月25日第13天1202057月26日第14天2020047月27日第15天2212297月

42、28日第16天01452127月29日第17天1121057月30日第18天2101267月31日第19天01442118月1日第20天04133118月2日第21天1104068月3日第22天13250118月4日第23天1301168月5日第24天2012058月6日第25天45041148月7日第26天44142158月8日第27天0115188月9日第28天1102048月10日第29天2211288月11日第30天0114068月12日第31天3301078月13日第32天15160138月14日第33天0311168月15日第34天12250108月16日第35天1302178月1

43、7日第36天1202388月18日第37天44112128月19日第38天24170148月20日第39天2104298月21日第40天1001138月22日第41天1201158月23日第42天1321188月24日第43天0223078月25日第44天3212198月26日第45天2102278月27日第46天1103388月28日第47天1314098月29日第48天23222118月30日第49天1215098月31日第50天2123089月1日第51天13151119月2日第52天3101169月3日第53天2105199月4日第54天13452159月5日第55天17113139月

44、6日第56天0211159月7日第57天0102039月8日第58天4103199月9日第59天2021279月10日第60天4311099月11日第61天1425113合計(jì)1001336317064530附錄三：各類病人術(shù)后觀察時(shí)間白內(nèi)障單眼術(shù)后觀察時(shí)間白內(nèi)障(雙眼)術(shù)后觀察時(shí)間視網(wǎng)膜術(shù)后觀察時(shí)間青光眼術(shù)后觀察時(shí)間外傷術(shù)后觀察時(shí)間3512942486425137925886251075451174458772514863411116441094351094441187461085348843610772579724108635117104512853557545810735810735966

45、2511454510774610973412873497335118434146835101262513883510864579924127444109635109336111273513810251343512425124258103612725843512625143611351325153583574613359351135123493594512341345935835103652513261025112511251135143673596961441356455114951061556151215101088788118118910797附錄四：未入院的102名病人的最佳入院時(shí)間編號

46、生病類別最佳入院時(shí)間1白內(nèi)障(雙眼)9月13日2視網(wǎng)膜疾病9月12日3青光眼9月12日4視網(wǎng)膜疾病9月12日5視網(wǎng)膜疾病9月12日6白內(nèi)障(雙眼)9月13日7白內(nèi)障9月13日8青光眼9月12日9白內(nèi)障(雙眼)9月13日10視網(wǎng)膜疾病9月12日11視網(wǎng)膜疾病9月12日12視網(wǎng)膜疾病9月12日13青光眼9月12日，9月17日14白內(nèi)障9月13日，9月14日15視網(wǎng)膜疾病9月12日，9月17日16視網(wǎng)膜疾病9月12日，9月17日17青光眼9月12日，9月17日18白內(nèi)障(雙眼)9月13日，9月14日19白內(nèi)障(雙眼)9月13日，9月14日20白內(nèi)障(雙眼)9月13日，9月14日21視網(wǎng)膜疾病9月12日，9月17日，9月18日22白內(nèi)障9月13日，9月14日23視網(wǎng)膜疾病9月12日，9月17日，9月18日24視網(wǎng)膜疾病9月12日，9月17日，9月18日25白內(nèi)障9月13日，9月14日26白內(nèi)障9月13日，9月14日27白內(nèi)障(雙眼)9月13日，9月14日，9月20日28白內(nèi)障9月14日，9月15日29視網(wǎng)膜疾病9月12日，9月17日，9月18日30視網(wǎng)膜疾病9月12日，9月17日，9月18日31視網(wǎng)膜疾病9月12日，9月17日，9月18日