2009年獲國家一等獎的數模論文

1、2009高教社杯全國大學生數學建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：眼科病床安排的數學模型摘 要本文解決的是醫(yī)院眼科病床的安排問題，現醫(yī)院安排病人入院的原則是先來先服務，這樣雖然公平，但缺乏合理性以致等待住院的病人隊列越來越長，為解決此問題，我們建立了三個最優(yōu)化模型。對于問題一：我們確定了三個評價指標：手術前的平均逗留時間，平均每天出院人數，病人手術前的準備時間。然后計算出在原來先來先服務的原則下各指標值為：，。對于問題二：我

2、們采用優(yōu)先級原則動態(tài)地對病床進行安排。首先，統(tǒng)計初始數據，通過6SQ軟件進行分布的卡方擬合檢驗得：每類病人的到來均服從泊松分布、術后觀察時間服從均勻分布。然后，我們發(fā)現合理的調度方案必須使得病人的術前準備時間盡量短。因此，重新制定入院規(guī)則：外傷優(yōu)先級始終最高；其它病的優(yōu)先級隨時間的變化而變化。接著，再以三個指標為目標函數，病人入院規(guī)則為約束建立了多目標的最優(yōu)化模型，最后，根據入隊與服務時間服從的分布，用計算機隨機模擬，得到在隊列穩(wěn)定時，此規(guī)則下三個指標值為：，=9.633，；這樣手術前的平均逗留時間減少21.6%，平均每天出院人數增加了22.55%，平均術前準備時間減少了32.31%。對于問題

3、三：在問題二的計算機隨機模擬的基礎上，已經可以求得對應的等待隊列中病人的入院時間的模擬結果，因為存在一定隨機性，我們模擬10次，取出每次所得結果中的模擬入院時間，作為病人的一個大致入院時間。對于問題四：由于星期六與星期日不安排除了外傷手術的其它手術，故安排在周四，五住院的視網膜和青光眼病人的手術要推遲到下周二、四，以此我們同樣建立了多目標的最優(yōu)化模型，得出在隊列穩(wěn)定時，三個指標值分別為：，； 對于問題五：為便于醫(yī)院的管理，可根據各類病人服從的分布按照比例給各類病人安排固定的病床數，但要先單獨分配外傷類的病床，因為醫(yī)院要保證有足夠的床鋪滿足外傷類病人，據統(tǒng)計結果知外傷病人到達和外傷病人被服務的時

4、間都是服從泊松分布，則先建立排隊論中的M/M/C模型求出分配給外傷病人的病床數，余下的病床按照一定的比例分配給其它類的病人。為得到平均逗留時間最短，我們建立了單目標最優(yōu)化模型。關鍵詞：優(yōu)先級 調度 排隊論 計算機模擬 最優(yōu)化1. 問題重述醫(yī)院就醫(yī)排隊是大家都非常熟悉的現象，它以這樣或那樣的形式出現在我們面前，例如，患者到門診就診、到收費處劃價、到藥房取藥、到注射室打針、等待住院等，往往需要排隊等待接受某種服務。在本文中，我們考慮某醫(yī)院眼科病床的合理安排的數學建模問題。該醫(yī)院眼科門診每天開放，住院部共有病床79張。該醫(yī)院眼科手術主要分四大類：白內障、視網膜疾病、青光眼和外傷。附錄一中給出了200

5、8年7月13日至2008年9月11日這段時間里各類病人的情況。各類眼病手術的安排情況：白內障手術：較簡單，而且沒有急癥。目前該院是每周一、三做白內障手術，此類病人的術前準備時間只需1、2天。做兩只眼的病人比做一只眼的要多一些，大約占到60%。如果要做雙眼是周一先做一只，周三再做另一只。外傷手術：通常屬于急癥，病床有空時立即安排住院，住院后第二天便會安排手術。視網膜、青光眼手術：比較復雜，有各種不同情況，但大致住院以后2-3天內就可以接受手術，主要是術后的觀察時間較長。這類疾病手術時間可根據需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急癥數量較少，建模時這些眼科疾病可不考慮急癥。該醫(yī)院眼科手術條件比較

6、充分，在考慮病床安排時可不考慮手術條件的限制，但考慮到手術醫(yī)生的安排問題，通常情況下白內障手術與其他眼科手術（急癥除外）不安排在同一天做。當前該住院部對全體非急癥病人是按照FCFS（First come, First serve）規(guī)則安排住院，但等待住院病人隊列卻越來越長，醫(yī)院方面希望你們能通過數學建模來幫助解決該住院部的病床合理安排問題，以提高對醫(yī)院資源的有效利用。本文需解決的問題有：問題一：試分析確定合理的評價指標體系，用以評價該問題的病床安排模型的優(yōu)劣。問題二：試就該住院部當前的情況，建立合理的病床安排模型，以根據已知的第二天擬出院病人數來確定第二天應該安排哪些病人住院。并對你們的模型利

7、用問題一中的指標體系作出評價。問題三：作為病人，自然希望盡早知道自己大約何時能住院。能否根據當時住院病人及等待住院病人的統(tǒng)計情況，在病人門診時即告知其大致入住時間區(qū)間。 問題四：若該住院部周六、周日不安排手術，請你們重新回答問題二，醫(yī)院的手術時間安排是否應作出相應調整?問題五：有人從便于管理的角度提出建議，在一般情形下，醫(yī)院病床安排可采取使各類病人占用病床的比例大致固定的方案，試就此方案，建立使得所有病人在系統(tǒng)內的平均逗留時間（含等待入院及住院時間）最短的病床比例分配模型。2. 模型的假設與符號說明2.1模型的假設假設1：題目所給數據是合理、正確的假設2：視網膜與青光眼兩類病不考慮急癥假設3：

8、白內障手術與其他眼科手術（急癥除外）不安排在同一天假設4：該醫(yī)院眼科手術條件比較充分，在安排病床時不考慮手術條件的限制假設5：對于問題四，假定周六和周日可安排外傷手術，但不能安排其他手術2.2符號說明符號符號說明患第類病的第個病人的等待入院時間患第類病的第個病人的術前的準備時間患第類病的第個病人的住院時間平均每天出院人數手術前的平均逗留時間，即從門診到第一次手術的平均時間病人的平均術前的準備時間病人的平均住院時間患第類病的第個病人的入院時間（，表示2008年7月13日，表示2008年7月14日，依此類推）患第類病的第個病人的手術時間（的計數方式與相同，即表示2008年7月13日，表示2008年

9、7月14日，依此類推）一段時間內到門診看病的第類病人的人數第天第類病人的在院人數（不包括當天新入院的人數）第天第類病人的新入院人數第天第類病人的出院人數第類病人平均每天到門診看病的人數分配給第類病人的病床數，單位為張求余符號，等價于mod第=1類病表示白內障（單眼）疾病，第=2類病表示白內障（雙眼）疾病，第=3類病表示視網膜疾病，第=4類病表示青光眼疾病，第=5類病表示外傷疾病3. 問題分析此題研究的是某醫(yī)院眼科病床合理安排的數學建模問題。要對病床進行合理的安排，就要有合理的安排規(guī)則，尤其是在醫(yī)院病床不夠的時候。當前該住院部對全體非急癥病人是按照FCFS（First come, First s

10、erve）規(guī)則安排住院，這樣雖然對病人很公平，但缺乏合理性，例如根據FCFS原則，白內障雙眼的病人可能會在星期二入院，但醫(yī)院規(guī)定“白內障雙眼的患者在星期一做一只眼，在星期三做另一只眼”，所以該患者的術前準備時間就變?yōu)?天，而一般情況下，白內障患者的術前準備時間只需1、2天；這樣的情況會延遲其它類病人的入院時間，進而使得病人隊列越來越長。在病床不夠的情況下，從醫(yī)院的角度講，醫(yī)院自然希望在多做手術的同時，減小病人占用病床的時間。為了得到合理的安排規(guī)則，首先要確定合理的評價指標體系，用此評價按該規(guī)則建立的病床安排模型的優(yōu)劣。針對問題一：從病人的角度看，病人到醫(yī)院看病分為以下幾個階段:掛號看病時間即門

11、診時間，入院，手術前的準備，手術，手術后的觀察，出院。合理的安排就是讓病人從掛號看病到出院的時間盡量的短。但根據實際情況知病人的術后觀察時間是由病情決定的，故所建立的模型只能縮短門診看病到接受手術的時間間隔即病人手術前的逗留時間，所以模型的評價指標可以是病人手術前的平均逗留時間，平均術前準備時間。從醫(yī)院的角度看，我們可以將病床的周轉次數作為評價指標。由于病床的周轉次數與醫(yī)院每天出院人數是密切相關的在病床不夠的情況下，醫(yī)院每天出院的人數越多，能夠入院的病人就越多，病床周轉次數就越多，醫(yī)院的效益就越好。所以，綜合考慮病人和醫(yī)院的利益，我們把病人手術前的平均逗留時間，平均術前準備時間，平均每天出院人

12、數作為評價指標，當前兩個指標值越小，最后一個指標值越大的時候，病床安排模型越好。針對問題二：在確定病人入院規(guī)則時，要考慮以下幾點:白內障病人只能安排在周一與周三做手術，而其它病人除外傷病人外不能在周一和周三做手術，還有不同的病人的術前準備時間不一樣；使得建立的入院規(guī)則能夠讓病人的等待時間盡量短，這就可以縮短病人在醫(yī)院的時間，亦可縮短病人從門診到入院的時間。再對題給數據進行分析，得出各類病人到門診看病的統(tǒng)計規(guī)律，然后就可以以問題一的評價指標作目標函數，以安排病人入院規(guī)則為約束建立一個病床安排的多目標最優(yōu)化模型。針對問題三：根據各類病人的統(tǒng)計結果，可得出每天有多少人患病以及患什么病，找出其分布規(guī)律

13、，然后根據病人的入院規(guī)則，可以得出各類病人大致在星期幾入院，再根據術后觀察時間的統(tǒng)計規(guī)律，便可以得到病人的出院時間，從而可安排病人入院，這樣就可在病人門診時告知其大致的入院時間。針對問題四：同問題二一樣，以問題一的評價標準作為目標函數，建立一個病床安排的多目標最優(yōu)化模型。但由于周六、日不安排手術，會使得約束條件發(fā)生改變。針對問題五：從便于管理的角度醫(yī)院可以根據各類病人的到達規(guī)律安排病床，故先統(tǒng)計出各類病人的到達服從什么樣的分布，再建立模型求出平均逗留時間最短時的病床分配方案，但在分配時要把外傷類除外，因外傷類病人不允許等待，故分派給外傷病人的病床必須保證每天都能滿足需入院的外傷病人，因此先分配

14、外傷類的病床，再統(tǒng)一分配余下各類病的病床。4. 數據分析定義1 術后觀察時間指病人出院與第一次手術的時間間隔定義2 手術前的平均逗留時間指門診到第一次手術的平均時間根據對題給數據的統(tǒng)計結果知：4.1各類病的術前準備時間時間為1-7天（包括1天和7天）4.2等待住院病人隊列越來越長的原因因為08年7月13日-08年9月11日平均每天到門診看病的人數為8.6885人，平均每天出院人數為8.1163人，所以近似認為平均每天到門診看病的人數為8.6885人，平均每天出院人數為8.1163人。正因為每天到門診看病的人數大于每天出院的人數，所以才導致了等待住院病人隊列越來越長。4.3各類病人的到達（病人到

15、達時間指病人的門診時間）服從泊松分布由于醫(yī)院就醫(yī)排隊是典型的排隊論問題，而一般的排隊論模型都是泊松輸入，所以我們先假定病人的到達服從泊松分布，然后根據附錄一給出的數據求出每天到門診看病的各類病人的人數（統(tǒng)計結果見附錄二）,再利用6SQ統(tǒng)計軟件進行卡方擬合優(yōu)度檢驗得到如下結果（結果見表4.1）：表4.1：各類病人的到達服從泊松分布的卡方擬合優(yōu)度檢驗白內障單眼患者到達時間：白內障雙眼患者到達時間：視網膜患者到達時間：假設檢驗假設檢驗假設檢驗零假設服從泊松分布零假設服從泊松分布零假設服從泊松分布自由度3自由度4自由度4卡方統(tǒng)計量1.8卡方統(tǒng)計量1.9卡方統(tǒng)計量3.7p值0.6p值0.8p值0.5顯著

16、性水平0.1顯著性水平0.1顯著性水平0.1結果接受零假設結果接受零假設結果接受零假設青光眼患者到達時間：外傷患者到達時間：假設檢驗假設檢驗零假設服從泊松分布零假設服從泊松分布自由度3自由度2卡方統(tǒng)計量4卡方統(tǒng)計量1p值0p值1顯著性水平0顯著性水平0結果接受零假設結果接受零假設根據以上假設檢驗的結果知：各類病人的到達時間均符合泊松分布。根據指數分布與泊松分布的關系：如相繼兩個事件出現的間隔時間服從參數為的指數分布，則在單位時間間隔內事件出現的次數服從參數為的泊松分布，即單位時間內該事件出現次的概率為 將各類病人平均每天到達的人數，即值代入式，可得相應的概率密度函數，計算結果見表4.2。表4.

17、2：各類病人達到時間的概率密度函數和相應的值類別白內障單眼白內障雙眼視網膜青光眼外傷1.62.22.8114.4各類患者的術后觀察時間服從均勻分布首先統(tǒng)計出各類病人的術后觀察時間（統(tǒng)計結果見附錄三），根據統(tǒng)計結果，我們假定各類病人的術后觀察時間服從均勻分布，然后通過6SQ統(tǒng)計軟件進行卡方擬合優(yōu)度檢驗，檢驗結果見表4.3。表4.3：各類患者的術后觀察時間服從均勻分布的卡方擬合優(yōu)度檢驗白內障單眼術后觀察時間白雙術后觀察時間視網膜術后觀察時間假設檢驗假設檢驗假設檢驗零假設服從均勻分布零假設服從均勻分布零假設服從均勻分布自由度34自由度39自由度99卡方統(tǒng)計量7.858300287卡方統(tǒng)計量2.093

18、007186卡方統(tǒng)計量55.04926108p值0.999999107p值1p值0.999897347顯著性水平0.05顯著性水平0.05顯著性水平0.05結果接受零假設結果接受零假設結果接受零假設青光眼術后觀察時間外傷術后觀察時間假設檢驗假設檢驗零假設服從均勻分布零假設服從均勻分布自由度37自由度53卡方統(tǒng)計量11.66013072卡方統(tǒng)計量29.25609756p值0.999978078p值0.996696665顯著性水平0.05顯著性水平0.05結果接受零假設結果接受零假設根據以上假設檢驗的結果知：各類病人的術后觀察時間均服從均勻分布。4.5外傷病人住院時間服從泊松分布首先統(tǒng)計出外傷病人

19、的住院時間，根據統(tǒng)計結果，我們假定其服從泊松分布，然后通過6SQ統(tǒng)計軟件進行卡方擬合優(yōu)度檢驗，檢驗結果見表4.4.表4.4: 外傷病人住院時間服從泊松分布的卡方擬合優(yōu)度檢驗結果假設檢驗零假設服從泊松分布自由度6卡方統(tǒng)計量11.01007449p值0.088065567顯著性水平0.05結果接受零假設5 問題一的解答本文研究的是某醫(yī)院眼科病床的合理安排的數學建模問題，對于病床安排模型的優(yōu)劣，不能憑人們的主觀感受進行判斷，而要確定合理的評價指標體系進行判斷，為此我們確定了如下的評價指標體系：指標1：手術前的平均逗留時間手術前的平均逗留時間指門診到第一次手術的平均時間，其數學表達式為該指標值越小，表

20、示病床安排模型越好。指標二：平均每天出院人數平均每天出院人數的數學表達式為：該指標值越大，表示病床安排模型越優(yōu)。指標三：病人平均術前的準備時間病人平均術前準備時間的數學表達式為該指標值越小，表示病床分配模型越優(yōu)。對于題目中給出的以FCFS為原則（急癥除外）的病床安排模型，我們通過求解得到其三個評價指標分別為：天人（從題給數據知，在7月30日之前，只有外傷病人出院，但在7月30日之后，各類病人均出院達到穩(wěn)定，所以用7月30日之后的統(tǒng)計數據求解平均每天出院人數）天6. 問題二的解答針對問題二我們建立了模型一。6.1模型一的建立6.1.1確定目標函數該模型是為了解決醫(yī)院的病床安排問題，為了使病床的安

21、排更加合理，我們只需使三個評價指標手術前的平均逗留時間最小，平均每天出院人數最大，病人平均術前的準備時間最小即可，所以我們建立了如下的目標函數：6.1.2確定約束條件由于白內障手術比較簡單，此類病人的術前準備時間只需1、2天，而且根據附表一知，各類病人的術前準備時間均在1-7天之內（包括1天和7天），所以白內障單眼和雙眼病人術前準備時間為1-7天，即由于視網膜和青光眼疾病比較復雜，大致住院以后2-3天內就可以接受手術，而且根據附表一知，各類病人的術前準備時間均在1-7天之內（包括1天和7天），所以這兩類疾病的術前準備時間為2-7天，即外傷疾病有空床時立即安排住院，且住院后第二天便會安排手術，所

22、以此類病的術前準備時間為1天，即根據數據分析結果，為了縮短等待入院病人的隊列長度，我們制定了如下的病床安排原則：原則1白內障單眼患者一般安排在周一、周二、周六、周日入院原則2白內障雙眼患者一般安排在周六、周日入院原則3視網膜和青光眼患者安排在周三、周四、周五入院原則4外傷病人當天入院，第二天手術原則5當病人等待時間達到25天時，只要有空病床立即安排入院說明：外傷病人在任意一天優(yōu)先級是最高的，在某一天病人可安排住院此時此類?。ǔ鈧┤说膬?yōu)先級第二高，且若有兩類或兩類以上的?。ǔ鈧┤硕伎稍谕惶烊朐?，則這些病人優(yōu)先級第二高且相等，在這天不安排住院的病人的優(yōu)先級最低。例如白內障單眼患者在周一、

23、周二、周六、周日的優(yōu)先級第二高，在其它的時間優(yōu)先級最低。故患者的優(yōu)先級隨時間動態(tài)的發(fā)生改變。因為表示患第類病的第個病人的入院時間（，表示2008年7月13日，表示2008年7月14日，依此類推），又由于2008年7月13日是星期日，所以 （2）根據式（2）和病床安排原則，我們確定了如下的約束條件： 6.1.3綜上所述，得到問題二的多目標最優(yōu)化模型6.2模型一的求解首先我們由數據分析可知，對于每一類病人，從第一次接受手術到出院之間經歷的時間服從均勻分布，每天到來的各類病人的數目分別服從各自參數的possion分布，我們首先可以模擬得79個已住院的人的出院時間（肯定在9.11號之后），就可以將排隊

24、隊列的一定數量的病人送入服務隊列。并且可以按照每天到來的各類病人的possion流來補充每天的排隊隊列人數。接著，由于本題涉及到大量的隨機現象，故用一般的規(guī)劃方法難以求得最優(yōu)解，所以我們采用一種計算機隨機模擬（相關程序見附錄五）的算法求得本題的最優(yōu)解。算法思想：從9月12日開始，根據服務隊列中正在接受服務的對象的服務時間分布，模擬得到正在接受服務的對象的出隊時間（即病人的出院時間），然后按照約束條件中給定的的原則，將等待隊列中的對象分配進入服務隊列，然后改變等待隊列與服務隊列的狀態(tài)，進行下一步的模擬，直到我們得到一定數量滿足我們需要的對象（即：滿足退出條件），得出此時的天數即可。模擬的流程如下

25、所示:（注：退出條件即為我們需要用模擬分配病人的天數如20或60）圖6-1：計算機模擬的簡化流程圖模擬后的數據的存儲格式為：表6-1 ：模擬后數據的示例存儲格式編號生病類別診斷時間入院時間手術（一）時間手術（二）時間出院時間1白內障(雙眼)496365'/'712視網膜疾病496264'/'713青光眼496264'/'724視網膜疾病496264'/'775視網膜疾病496264'/'79 102視網膜疾病617476'/'90103白內障627274 76104白內障(雙眼)627779 831

26、05白內障(雙眼)627779 85106白內障(雙眼)627779 84107白內障(雙眼)627879 84108青光眼627476 80 注：第六列在102號以前是/表示第二次手術時間，模擬時，我們沒有考慮第二次手術的時間。102號以后是，表明該行數據是我們自己通過possion流對隊列追加顧客后的效果，是新加入排隊系統(tǒng)的，方便進行連續(xù)模擬。統(tǒng)計從2008年的9月12日開始后60天的隊列的長度，我們即可認為在這段時間內的接受服務的對象達到了穩(wěn)定狀態(tài)。然后作出隊列長度的隨時間的變化圖示：如下所示：圖6-2：隊長隨時間變化趨勢此時，在我們的分配原則下，可以發(fā)現隊列的長度不斷減小，并且有趨于穩(wěn)

27、定的趨勢，我們可以認為此時的穩(wěn)態(tài)是50，因此我們認為這種方案是比較合理的。現在，我們取得從9月12日后的20天的一個模擬的入院安排情況，因為20天已經足夠確定我們需要填滿的102個排隊對象的的數據。然后計算得我們定義的三個目標函數的最優(yōu)解為：病人手術前的平均逗留時間：12.1天（越小越好）病人平均術前準備時間：1.6722天；（越小越好）平均每天出院人數：9人（越大越好）6.3模型一結果分析在這種分配方案下，我們發(fā)現與原模型的手術前的平均逗留時間：13.1519，平均術前準備時間：2.4413，平均每天出院人數：7.8605相比，并沒有太大的差別，我們認為這是在隊列沒有進入穩(wěn)定狀態(tài)時的統(tǒng)計數據

28、造成的，我們用以下的方法處理：我們可以認為當系統(tǒng)服務了100個顧客后，它已經進入了穩(wěn)定狀態(tài)，又由于我們要去足夠的數據才能具有說服力，因此我們定義一個評價區(qū)間：從第100個排隊等待手術的病人到第30天結束時最后一個出院的病人。在此區(qū)間上，我們再用同樣的方法進行評價，會發(fā)現我們的三個評價指標值為：病人手術前的平均逗留時間：10.311天病人平均術前準備時間：1.6526天；平均每天出院人數：9.633人此時我們就可以發(fā)現，當這個排隊系統(tǒng)在盡量趨于穩(wěn)定狀態(tài)時，它的手術前的平均逗留時間、術前準備時間、平均每天出院人數均比前邊的結果有了一定的優(yōu)化，這是由于9月12日后的20天的排隊系統(tǒng)受醫(yī)院最初的先來先

29、服務的影響較大，而當系統(tǒng)服務了100個病人后，此時的排隊系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，所以求得的結果較優(yōu)。從而進一步證明我們的排隊系統(tǒng)比原有的效率更高。7. 問題三的解答根據問題二的模型，我們已經完全模擬出來了每位病人的入院時間、第一次手術時間、出院時間（如上表所示），所以我們可以求得排隊隊列的102人的入院時間，但是每次隨機模擬的結果均不相同，所以，我們可以通過模擬若干次，求出每次每一個病人的出院時間，從中選擇一個最大值和一個最小值，將它作為病人的一個大概的入院時間的區(qū)間。我們取模擬的次數為10，下面是我們所得的一個近似的結果：表7-1：10次模擬后產生的10個模擬的出院時間編號生病類別一二三四五六七八九十

30、1白內障(雙眼)636363636363636363632視網膜疾病626262626262626262623青光眼626262626262626262624視網膜疾病626262626262626262625視網膜疾病62626262626262626262 99視網膜疾病76747469747474757469100白內障66737272727872717172101視網膜疾病76757469747474757469102視網膜疾病76757474747474757474（注：具體數據見附錄一 ）那么我們就可以根據以上表格中的數據確定出病人的大致入院區(qū)間：表7-2：病人的大致入院區(qū)間編號生

31、病類別最佳入院時間對應的日期1白內障(雙眼)639-132視網膜疾病629-123青光眼629-124視網膜疾629-125視網膜疾病629-1299'視網膜疾病'69 ,74 ,75 ,769月19日,9月24日,9月25日,9月26日100'白內障'66,71,72 ,73 ,789月16日,9月21日,9月22日,9月23日,9月28日101'視網膜疾病'69 ,74 ,75 ,769月19日,9月24日,9月25日,9月26日102視網膜疾病74-769-24-9-26日 （注：完整數據見附錄四）8. 問題四的解答針對問題四我們建立了模型

32、二。問題四與問題二的區(qū)別在于：在問題二中，醫(yī)院每天都可以安排手術，而在問題四中，只能在周一至周五安排手術（外傷每天均可安排手術）。8.1模型二的建立8.1.1確定目標函數（同模型一的目標函數）以三個評價指標最優(yōu)為目標函數：8.1.2確定約束條件該模型的約束條件除了包含模型一的約束條件外，還有以下幾個：由于白內障手術之后安排在周一和周三，外傷手術每天都可以安排，所以周六和周日不安排手術只會影響視網膜和青光眼的手術安排。在模型一給出的病床安排原則下，對于視網膜病人和青光眼病人，將其中周三入院的手術安排在同一周的周五，在周四和周五入院的手術安排在下周周二。據此，我們又建立了如下的約束條件：8.1.3

33、綜上所述，得到問題四的多目標優(yōu)化模型 （表示求余運算）8.2.模型二的求解我們按照與問題二相同的思想，按照同樣的原理進行計算機模擬（相關程序見附錄五），在這里只是改變了對于青光眼和視網膜疾病的分配方案：若這兩類患者在周四、周五分配入院，則他們均到下周二進行手術。統(tǒng)計從2008年的9月12號開始后60天的隊列的長度，我們即可認為在這段時間內的接受服務的對象達到了穩(wěn)定狀態(tài)。然后作出隊列長度的隨時間的變化圖示：如下所示：圖8-1:隊長隨時間的變化趨勢此時，我們同時發(fā)現:當我們忽略外傷病人的等待時間時，隨著時間的推移，病人的等待時間的規(guī)律如下圖所示：圖8-2:病人的等待時間隨時間的變化趨勢此時，在我們

34、的分配原則下，隊列的長度不斷減小，并且有趨于穩(wěn)定的趨勢，我們可以認為此時的穩(wěn)態(tài)等待人數是60，而且，病人從就診到第一次手術的時間也有一個逐步下降的趨勢，所以因此我們認為這種分配的方案是比較合理的：據此我們可以在這種條件下求得的三個指標值：現在，我們同樣取得從9月12號后的20天的一個模擬的入院安排情況，然后計算得我們定義的三個目標函數的最優(yōu)解為：手術前的平均逗留時間：12.691天病人平均術前準備時間：2.2191天；平均每天出院人數：8.9人8.3模型二的結果分析在這種分配方案下，我們發(fā)現與原模型的手術前的平均逗留時間：13.1519，平均術前準備時間：2.4413，平均每天出院人數：7.8

35、605相比，并沒有太大的差別，所以可以同樣按照問題二中的解決辦法，我們會發(fā)現我們的三個評價指標值為：手術前的平均逗留時間：10.432天病人平均術前準備時間：2.017天；平均每天出院人數：9.1667人此時我們就可以發(fā)現，當這個排隊系統(tǒng)在盡量趨于穩(wěn)定狀態(tài)時，它的各個指標均比前邊的結果有了一定的優(yōu)化，從而進一步證明我們的排隊系統(tǒng)比原有的效率更高。9. 問題五的解答針對問題五我們建立了模型三。相關知識引入：在排隊論中有一種多服務臺多顧客的模型機制，即M/M/C(C>=2)模型.顧客到達服務臺具有隨機性，服從泊松分布，服務臺對顧客服務服從指數分布，則：其中：，在問題五中，有人從便于管理的角度

36、建議 “將各類病人占用的病床數大致固定”，就此方案建立使得所有病人在系統(tǒng)內的平均逗留時間最短的病床比例分配模型。在分配病床時因外傷病人特殊，故應先分配病床，從數據統(tǒng)計知患外傷的病人到醫(yī)院的人數服的泊松分布，醫(yī)院對其服務的時間同樣股從的泊松分布，故可把病床看作排隊系統(tǒng)中的服務臺，把外傷病人看作顧客，這樣就可以建立一個M/M/C的模型，則只要使得盡量小，我們設定，就能求出，即為安排給外傷病人的病床數。那么 9.1模型三的建立9.1.1確定目標函數設病人在在系統(tǒng)內的平均逗留時間為，則其中表示患第類病的第個病人的等待入院時間，表示患第類病的第個病人的住院時間，表示一段時間內患第類病的人數）所以，目標函

37、數為9.1.2確定約束條件因各類病人都分配了相應的病床，故每一類病人在可在任意一天住院且是先來先服務的，這一點和模型一，二不一樣，故約束條件只有：(1) 各類病人的術前準備時間(2) 白內障的手術只能安排在周一 三。（3）由于分配給各類病人的病床數的比例大致固定，所以每天各類病人分別占用的病床數不能超過醫(yī)院分配的數目，由此得到如下的約束：9.1.3綜上所述，得到問題五的單目標非線性優(yōu)化模型9.2模型三的求解與結果分析問題五：由，即外傷病人到醫(yī)院不需等待的概率小于0.05，通過計算得：當分配12張床給外傷病人時，則外傷病人等待入院的概率小于0.035（基本認為不發(fā)生）。按照比例求得其它類病分配的

38、病床如下:病型白內障（雙）白內障（單）視網膜青光眼分配的床1914259至于此條件下的安排病人入院規(guī)則是各類病人都各自服從先來先到的原則，視網膜和青光眼病人的逗留時間會減少，因為這兩種病的術前準備時間可以控制在兩天內，這樣就可使病人的住院時間縮短，使排隊的隊長變短。可是白內障病人的平均逗留時間會增多，原因是這兩類病只能在周一，周三做手術，這就使得在周三周日入院的病人要等到周一，三才能做手術，這樣使得病人的住院時間增長，使排隊的隊長變長。10. 模型的評價、改進及推廣10.1模型評價優(yōu)點：（1）根據我們定下的安排病人入院規(guī)則，建立的模型在一定程度上縮短了病人排隊的隊長，因為原模型的三個指標，；我

39、們建的模型三個指標：，；這樣手術前的平均逗留時間減少21.6%，平均每天出院人數增加了22.55%，平均術前準備時間減少了32.31%；（2）根據模型可推算出當前病人的出院時間，故我們把表二出院時間的填充了；（3）利用我們建立的模型二，可根據第二天擬出院的病人確定病人入院的最佳時間；缺點：由于所給數據太少以致在統(tǒng)計數據時不是很準確，又由于計算機模擬帶有一定的隨機性，以致得到模型的三個指標不是很讓人滿意。10.2模型改進（1）查詢更多的數據，以使得統(tǒng)計結果更正確，也可使計算機模擬更少的數據或不模擬以減少不確定性。因我們建模時沒有考慮到經濟性，若考慮到不同的手術經費不一樣，則在制定安排病人入院規(guī)則

40、時要考慮一定的優(yōu)先級，即手術費用高的優(yōu)先級高。（2）所建模型是針對當前所給數據的，對長遠病人入院和出院的預測并不能很準確，故建模時應把時間加上去，即建立動態(tài)規(guī)劃模型。使所建模型能準確的預測出病人的入院和出院時間。10.3模型推廣我們建的模型不僅可用于醫(yī)院病床安排，也可用于其它資源的安排，還可用于諸如像試卷評價模型的其它類型的問題。參考文獻1 宋來忠，王志明,數學建模與實驗,北京：科學出版社,2005。2 運籌學教材編寫組編，運籌學（3版），北京：清華大學出版社，2005.63 王玉升，排隊論模型及其在醫(yī)院管理中的作用,中國醫(yī)院管理, 58-62，1985.2附錄附錄一：2008-07-13到2

41、008-09-11的該醫(yī)院的病人信息（略）附錄二：08年7月13日-08年9月11日，各類病人每天到門診看病的人數白內障單眼白內障雙眼青光眼視網膜外傷合計7月13日第1天1113177月14日第2天1314097月15日第3天32230107月16日第4天1212177月17日第5天16131127月18日第6天24132127月19日第7天31231107月20日第8天3103297月21日第9天2500297月22日第10天3011167月23日第11天52252167月24日第12天2014077月25日第13天1202057月26日第14天2020047月27日第15天2212297月

42、28日第16天01452127月29日第17天1121057月30日第18天2101267月31日第19天01442118月1日第20天04133118月2日第21天1104068月3日第22天13250118月4日第23天1301168月5日第24天2012058月6日第25天45041148月7日第26天44142158月8日第27天0115188月9日第28天1102048月10日第29天2211288月11日第30天0114068月12日第31天3301078月13日第32天15160138月14日第33天0311168月15日第34天12250108月16日第35天1302178月1

43、7日第36天1202388月18日第37天44112128月19日第38天24170148月20日第39天2104298月21日第40天1001138月22日第41天1201158月23日第42天1321188月24日第43天0223078月25日第44天3212198月26日第45天2102278月27日第46天1103388月28日第47天1314098月29日第48天23222118月30日第49天1215098月31日第50天2123089月1日第51天13151119月2日第52天3101169月3日第53天2105199月4日第54天13452159月5日第55天17113139月

44、6日第56天0211159月7日第57天0102039月8日第58天4103199月9日第59天2021279月10日第60天4311099月11日第61天1425113合計1001336317064530附錄三：各類病人術后觀察時間白內障單眼術后觀察時間白內障(雙眼)術后觀察時間視網膜術后觀察時間青光眼術后觀察時間外傷術后觀察時間3512942486425137925886251075451174458772514863411116441094351094441187461085348843610772579724108635117104512853557545810735810735966

45、2511454510774610973412873497335118434146835101262513883510864579924127444109635109336111273513810251343512425124258103612725843512625143611351325153583574613359351135123493594512341345935835103652513261025112511251135143673596961441356455114951061556151215101088788118118910797附錄四：未入院的102名病人的最佳入院時間編號

46、生病類別最佳入院時間1白內障(雙眼)9月13日2視網膜疾病9月12日3青光眼9月12日4視網膜疾病9月12日5視網膜疾病9月12日6白內障(雙眼)9月13日7白內障9月13日8青光眼9月12日9白內障(雙眼)9月13日10視網膜疾病9月12日11視網膜疾病9月12日12視網膜疾病9月12日13青光眼9月12日，9月17日14白內障9月13日，9月14日15視網膜疾病9月12日，9月17日16視網膜疾病9月12日，9月17日17青光眼9月12日，9月17日18白內障(雙眼)9月13日，9月14日19白內障(雙眼)9月13日，9月14日20白內障(雙眼)9月13日，9月14日21視網膜疾病9月12日，9月17日，9月18日22白內障9月13日，9月14日23視網膜疾病9月12日，9月17日，9月18日24視網膜疾病9月12日，9月17日，9月18日25白內障9月13日，9月14日26白內障9月13日，9月14日27白內障(雙眼)9月13日，9月14日，9月20日28白內障9月14日，9月15日29視網膜疾病9月12日，9月17日，9月18日30視網膜疾病9月12日，9月17日，9月18日31視網膜疾病9月12日，9月17日，9月18日