《近世代數(shù)》模擬試題2及答案

1、文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯.歡迎下載支持近世代數(shù)模擬試題一、單項(xiàng)選擇題（每題5分，共25分）1、在整數(shù)加群（乙+）中，下列那個(gè)是單位元（）。A0B1C1D1/n，n是整數(shù)2、下列說法不正確的是（）。AG只包含一個(gè)元g,乘法是gg=g。G對(duì)這個(gè)乘法來說作成一個(gè)群BG是全體整數(shù)的集合，G對(duì)普通加法來說作成一個(gè)群CG是全體有理數(shù)的集合，G對(duì)普通加法來說作成一個(gè)群DG是全體自然數(shù)的集合，G對(duì)普通加法來說作成一個(gè)群3、下列敘述正確的是（）。A群G是指一個(gè)集合B環(huán)R是指一個(gè)集合C群G是指一個(gè)非空集合和一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，滿足結(jié)合律，并且單位元，逆元存在D環(huán)R是指一個(gè)非空集合和一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，

2、滿足結(jié)合律，并且單位元，逆元存在4、如果集合M的一個(gè)關(guān)系是等價(jià)關(guān)系，則不一定具備的是（）。A反身性B對(duì)稱性C傳遞性D封閉性5、下列哪個(gè)不是S3的共腕類（）。A（1）B（123），（132），（23）C（123），（132）D（12），（13），（23）二、計(jì)算題（每題10分，共30分）1 .求S=（12）,（13）在三次對(duì)稱群S3的正規(guī)化子和中心化子。2 .設(shè)G=1,1,i,i,關(guān)于數(shù)的普通乘法作成一個(gè)群，求各個(gè)元素的階。3 .設(shè)R是由一切形如x,y（x，y是有理數(shù)）方陣作成的環(huán)，求0,0出其右零因子。（每小題15分，共45分）x01、設(shè)R是由一切形如x,（x，y是有理數(shù)）方陣作成的環(huán)，證y,

3、00,0是其零因子。0,02、設(shè)Z是整數(shù)集，規(guī)定a-b=a+b3。證明：Z對(duì)此代數(shù)運(yùn)算作成一個(gè)群，并指出其單位元。3、 證明由整數(shù)集Z和普通加法構(gòu)成的（Z，）是無限階循環(huán)群。近世代數(shù)模擬試題答案（每題5分，共25分）1 A2 D3 C4 D5 B（每題10分，共30分）1.解：正規(guī)化子N(S)=(1),(23)oooooooooooo(6分)2中心化子 C (S) = (1) OOO解：群 G 中的單位元是1。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分）2 分）21的階是1,-1的階是2,i和一i的階是4。（4X2分）3 解：設(shè)其右零因子為a,b0,0OOOOOOOOOOOOOOO

4、OOOOOOOO2 分）所以0x,0ya0,0bxa, xb0,00。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。3 分）x 任意，所以a= b= 0o o oooooooooooooooooo3 分）文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持因此右零因子為0,0OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO0,02 分）1 證明：設(shè)其右零因子為（每小題15 分共 45 分 ）a,0b,0OOOOOOOOOOOOOOOOOOO2 分）所以x,0y,0a,0b,0xa,0yb,00。 。 （ 5 分）因?yàn)閄,y任意，所以a=b=Oooooooooooooooooo

5、(8分)同理設(shè)其右零因子為a,0b,0OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO10 分）所以a,0b,0X,0y,0Xa,0yb,00。 。 （ 12 分）4因?yàn)閄,y任總、，所以a=b=Oooooooooooooooooo(14分)因此零因子為0,00,0OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO15 分）2明：首先該代數(shù)運(yùn)算封閉oooooooooooooooooo（ 3 分）其次我們有：(ab)c=(a+b-3)c=(a+b-3)+c3=a+(b+c3)3)=a(bc),結(jié)合律成ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo6 分）令e=3,驗(yàn)證a-e=a+e3=a,有單位元。（7分）對(duì)任意元素a,6a是其逆元，因?yàn)閍,（6a）=3。（8分）因此，Z對(duì)該運(yùn)算作成一個(gè)群顯然，單位元是e=3ooooooooooooo10分）3.證明：首先證明（Z,+）是群，+滿足結(jié)合律，對(duì)任意的XZ，X00XX，0是運(yùn)算+的單位元又由于：XXXX0所以xx,從而（Z,+）為。（2分）由于滿足交換律，所以（Z,+）是交換群。（4分）（Z,+）的單位元為0,對(duì)于1Z,由于1+（-1）=0,所以111,。（5分）于是對(duì)任意kZ,若k0,則：100；若k0,則1k111k