光學(xué)(第二版)ch1-2

1、費(fèi)費(fèi) 馬馬 原原 理理principle of FermatCH 1-2 1.2 費(fèi)馬原理費(fèi)馬原理 費(fèi)馬原理費(fèi)馬原理是一個(gè)描述光線傳播行為的原理是一個(gè)描述光線傳播行為的原理一一. .光程光程在均勻介質(zhì)中在均勻介質(zhì)中, ,光程光程 l 為光在介質(zhì)中通過的幾何路程為光在介質(zhì)中通過的幾何路程 l 與該介質(zhì)的折射率與該介質(zhì)的折射率 n 的乘積：的乘積： lnllclcn lnltlctcc1. 直接用直接用真空真空中的光速來計(jì)算光在不同介質(zhì)中通過一中的光速來計(jì)算光在不同介質(zhì)中通過一定幾何路程所需要的時(shí)間。定幾何路程所需要的時(shí)間。cltl 分區(qū)均勻介質(zhì)分區(qū)均勻介質(zhì): :11 1 , kki ii iii

2、llnltnlcc( ) dlln l 連續(xù)介質(zhì)連續(xù)介質(zhì): :2. 光程光程表示光在介質(zhì)中通過真實(shí)路程所需時(shí)間內(nèi)表示光在介質(zhì)中通過真實(shí)路程所需時(shí)間內(nèi), ,在真在真空中所能傳播的路程?？罩兴軅鞑サ穆烦?。二二. .費(fèi)馬原理的表述及討論費(fèi)馬原理的表述及討論空間中兩點(diǎn)間的實(shí)際光線路空間中兩點(diǎn)間的實(shí)際光線路徑是所經(jīng)歷光程的平穩(wěn)路徑徑是所經(jīng)歷光程的平穩(wěn)路徑平穩(wěn)平穩(wěn)：當(dāng)光線以任何方式對(duì)該路徑有無限小的偏離時(shí)，：當(dāng)光線以任何方式對(duì)該路徑有無限小的偏離時(shí)，相應(yīng)的光程的一階改變量為零。如果有改變只能是二階相應(yīng)的光程的一階改變量為零。如果有改變只能是二階或二階以上的無限小量?；蚨A以上的無限小量。換言之換言之：在

3、：在A、B兩點(diǎn)間光線傳播的實(shí)際路徑，與任何兩點(diǎn)間光線傳播的實(shí)際路徑，與任何其他可能路徑相比其光程為極值，極值為極大或極小或其他可能路徑相比其光程為極值，極值為極大或極小或恒定值。即光線的實(shí)際路徑上光程變分為零：恒定值。即光線的實(shí)際路徑上光程變分為零：0dBAlnl兩點(diǎn)之間光沿著所需時(shí)間為極值的路徑傳播兩點(diǎn)之間光沿著所需時(shí)間為極值的路徑傳播實(shí)際光程在不同情況下相應(yīng)于極大值、極小值和拐點(diǎn)實(shí)際光程在不同情況下相應(yīng)于極大值、極小值和拐點(diǎn)變分：變分：對(duì)一般一元或多元函數(shù)，當(dāng)自變量發(fā)生變化時(shí)，對(duì)一般一元或多元函數(shù)，當(dāng)自變量發(fā)生變化時(shí)，函數(shù)的一階或高階改變量可以表示為函數(shù)的一階或高階函數(shù)的一階或高階改變量可

4、以表示為函數(shù)的一階或高階微分。但光程與一般的空間坐標(biāo)函數(shù)不同，對(duì)給定點(diǎn)微分。但光程與一般的空間坐標(biāo)函數(shù)不同，對(duì)給定點(diǎn)AB，每一可能的光線路徑均為空間坐標(biāo)函數(shù)，而光程一，每一可能的光線路徑均為空間坐標(biāo)函數(shù)，而光程一般隨不同路徑而變化，即它可以稱為函數(shù)的函數(shù)，這時(shí)般隨不同路徑而變化，即它可以稱為函數(shù)的函數(shù)，這時(shí)光程的改變一般稱為變分。光程的改變一般稱為變分。三三. .費(fèi)馬原理的應(yīng)用費(fèi)馬原理的應(yīng)用1. 根據(jù)直線是兩點(diǎn)間最短距離這一幾何公理根據(jù)直線是兩點(diǎn)間最短距離這一幾何公理, ,對(duì)于真空對(duì)于真空或均勻介質(zhì)或均勻介質(zhì), ,費(fèi)馬原理可直接得到光線的直線傳播定律費(fèi)馬原理可直接得到光線的直線傳播定律。2.

5、費(fèi)馬原理只涉及光線傳播路徑費(fèi)馬原理只涉及光線傳播路徑, ,并未涉及到光線的并未涉及到光線的傳播方向。若路徑傳播方向。若路徑AB的路徑取極值，則其逆路徑的路徑取極值，則其逆路徑BA的的光程也取極值光程也取極值包含了包含了光的可逆性光的可逆性。3. 由費(fèi)馬原理導(dǎo)出光的反射定律由費(fèi)馬原理導(dǎo)出光的反射定律AB的光程為的光程為22222122121121)()(zyxxnzyxxnBMnMAnl00)()(0)()()()(222221221211222222122121111zzyxxznzyxxznzlzyxxxxnzyxxxxnxl光程取光程取極值極值入射線和反射線應(yīng)在入射線和反射線應(yīng)在xy平面內(nèi)

6、平面內(nèi). .)0 , 0 ,(), 0 ,(xMzxMBMMAMBAM光程光程 l 取極小值取極小值0z 有有1112222211221222221122()()()()sin sin()()n xxn xxxxyxxyxxxxiixxyxxyii 4. 由費(fèi)馬原理導(dǎo)出折射定律由費(fèi)馬原理導(dǎo)出折射定律2222222212112211)( )( yxxzlyxxzllnlnAPB),(),(),(2211zyxBzyxAzyxP由光程取極值由光程取極值: :0)( 0)(22112211xlnlnylnln0)( 0)(222111221122112211lxxnlxxnxlnlnlynlynyl

7、nln222111sin sinilxxilxx2211sinsininin四四. .梯度折射率介質(zhì)中光線的彎曲梯度折射率介質(zhì)中光線的彎曲即為折射率即為折射率隨不同位置呈連續(xù)變化隨不同位置呈連續(xù)變化的介質(zhì)的介質(zhì)利用梯度折射率介質(zhì)中光線的彎曲利用梯度折射率介質(zhì)中光線的彎曲, ,可以表解釋可以表解釋蜃景蜃景的的現(xiàn)象現(xiàn)象例一例一 一束平行于光軸的光線入射到拋物面鏡上反射后，一束平行于光軸的光線入射到拋物面鏡上反射后，會(huì)聚于焦點(diǎn)會(huì)聚于焦點(diǎn)F。試證所有這些光到達(dá)焦點(diǎn)上光程相等。試證所有這些光到達(dá)焦點(diǎn)上光程相等。F 為拋物面的焦點(diǎn)，為拋物面的焦點(diǎn)，MN為其準(zhǔn)線為其準(zhǔn)線拋物線性質(zhì)拋物線性質(zhì)FPPAFPPAQ

8、PFPQPFP222111222111 則即即2211FPAFPA討論：討論：如果將點(diǎn)光源置于焦點(diǎn)處，由如果將點(diǎn)光源置于焦點(diǎn)處，由光的可逆性光的可逆性可知，可知，光源發(fā)出的光線經(jīng)拋物面鏡反射后成為平行于光軸的平光源發(fā)出的光線經(jīng)拋物面鏡反射后成為平行于光軸的平行光束。行光束。F1P2P1Q2Q1A2AMN分析：分析：解：解：S 發(fā)出的球面波經(jīng)發(fā)出的球面波經(jīng) 面折射后面折射后成平面波，各折射光線路徑是等成平面波，各折射光線路徑是等光程。光程。SOnPQnSPn121),(yxP1)/()()/()()()( 2122122212122212122/1221nndnnznnndnndnxdnxdnzxn上式化為S 是一個(gè)焦點(diǎn)是一個(gè)焦點(diǎn)1n2nsCzAMNNPQQOO例二例二 折射率分別為折射率分別為n1 ，n2的兩種介質(zhì)的界面為的兩種介質(zhì)的界面為 ，在折射率為在折射率為 n1的介質(zhì)中有一點(diǎn)光源的介質(zhì)中有一點(diǎn)光源S，它與界面頂點(diǎn)，它與界面頂點(diǎn)O相距為相距為d。設(shè)。設(shè)S發(fā)出的球面波經(jīng)界面折射后成為平面發(fā)出的球面波經(jīng)界面折射后成為平面波，試求界面波，試求界面 的形