一階偏微分方程基本知識(shí)

1、一階偏微分方程基本知識(shí)這一章我們來討論一階線性偏微分方程和一階擬線性偏微分方程的解法，因?yàn)樗鼈兌伎梢曰癁槌Ｎ⒎址匠痰氖状畏e分問題，所以我們先來介紹常微分方程的首次積分。 1一階常微分方程組的首次積分 1.1首次積分的定義從第三章我們知道，階常微分方程， （ 1.1）在變換 （ 1.2）之下，等價(jià)于下面的一階微分方程組 （ 1.3）在第三章中，已經(jīng)介紹過方程組（ 1.3）通解的概念和求法。但是除了常系數(shù)線性方程組外，求一般的（ 1.3）的解是極其困難的。然而在某些情況下，可以使用所謂“可積組合”法求通積分，下面先通過例子說明“可積組合”法，然后介紹一階常微分方程組“首次積分”的概念和性質(zhì)，以及用

2、首次積分方法來求解方程組（ 1.3）的問題。先看幾個(gè)例子。例1 求解微分方程組 （ 1.4）解：將第一式的兩端同乘，第二式的兩端同乘，然后相加，得到 ， 。這個(gè)微分方程關(guān)于變量t和是可以分離，因此不難求得其解為 ， （ 1.5）為積分常數(shù)。（ 1.5）叫做（ 1.4）的首次積分。 注意首次積分（ 1.5）的左端作為x，y，和t的函數(shù)并不等于常數(shù)；從上面的推導(dǎo)可見，當(dāng)時(shí)微分方程組（ 1.4）的解時(shí)，才等于常數(shù)，這里的常數(shù)應(yīng)隨解而異。因?yàn)槭剑?1.4）是一個(gè)二階方程組，一個(gè)首次積分（ 1.5）不足以確定它的解。為了確定（ 1.4）的解，還需要找到另外一個(gè)首次積分。將第一式兩端同乘，第二式兩端同乘，

3、然后用第一式減去第二式，得到，即，亦即。積分得 ， （ 1.6）其中為積分常數(shù)。利用首次積分（ 1.5）和（ 1.6）可以確定（ 1.4）的通解。為此，采用極坐標(biāo)，這樣由（ 1.5）和（ 1.6）推得 或 .因此我們得到方程組（ 1.4）的通解為 ，. （ 1.7）例2 求解微分方程組 （ 1.8）其中是給定的常數(shù)。解 利用方程組的對(duì)稱性，可得 ,從而得到首次積分 , （ 1.9）其中積分常數(shù)。同樣我們有 ,由此又得另一個(gè)首次積分 , （ 1.10）其中積分常數(shù)。有了首次積分（ 1.9）和（ 1.10），我們就可以將u和v用w表示，代入原方程組（ 1.8）的第三式，得到 , （ 1.11）其中

4、常數(shù)a，b依賴于常數(shù)，而常數(shù) 注意（ 1.11）是變量可分離方程，分離變量并積分得到第三個(gè)首次積分 , （ 1.12）其中是積分常數(shù)。因?yàn)榉匠探M（ 1.8）是三階的，所以三個(gè)首次積分（ 1.9）、（ 1.10）和（ 1.12）在理論上足以確定它的通解 但是由于在式（ 1.12）中出現(xiàn)了橢圓積分，因此不能寫出上述通解的具體表達(dá)式?，F(xiàn)在我們考慮一般的階常微分方程 ，, （ 1.13）其中右端函數(shù)在內(nèi)對(duì)連續(xù)，而且對(duì)是連續(xù)可微的。定義1設(shè)函數(shù)在的某個(gè)子域內(nèi)連續(xù)，而且對(duì)是連續(xù)可微的。又設(shè)不為常數(shù)，但沿著微分方程（ 1.3）在區(qū)域G內(nèi)的任意積分曲線 函數(shù)V取常值；亦即， 或當(dāng)時(shí)，有 =常數(shù)， 這里的常數(shù)隨

5、積分曲線而定，則稱=C （ 1.14）為微分方程（ 1.13）在區(qū)域G內(nèi)的首次積分。其中C是一個(gè)任意常數(shù)，有時(shí)也稱這里的函數(shù)為（ 1.13）的首次積分。例如（ 1.5）和（ 1.6）都是微分方程（ 1.4）在某個(gè)區(qū)域內(nèi)的首次積分。這里對(duì)區(qū)域G有限制，是要求首次積分（ 1.5）和（ 1.6）必須是單值的連續(xù)可微函數(shù)。因此區(qū)域G內(nèi)不能包括原點(diǎn)，而且也不能有包含原點(diǎn)的回路。同理，式（ 1.9）、（ 1.10）和（ 1.12）都是方程（ 1.8）的首次積分。對(duì)于高階微分方程（ 1.1），只要做變換（ 1.2），就可以把它化成一個(gè)與其等價(jià)的微分方程組。因此，首次積分的定義可以自然地移植到n階方程（ 1.

6、1）。而其首次積分的一般形式可以寫為 。 （ 1.15）例如，設(shè)二階微分方程組 ，用乘方程的兩端，可得 ，然后積分，得到一個(gè)首次積分 。一般的，階常微分方程有個(gè)獨(dú)立的首次積分，如果求得階常微分方程組的個(gè)獨(dú)立的首次積分，則可求階常微分方程組的通解。 1.2首次積分的性質(zhì)和存在性關(guān)于首次積分的性質(zhì)，我們不加證明地列出下面的定理。定理1設(shè)函數(shù) 在區(qū)域G內(nèi)是連續(xù)可微的，而且它不是常數(shù)，則 （ 1.16）是微分方程（ 1.13）在區(qū)域G內(nèi)的首次積分的充分必要條件是 （ 1.17）是關(guān)于變量的一個(gè)恒等式。這個(gè)定理實(shí)際上為我們提供了一個(gè)判別一個(gè)函數(shù)是否是微分方程（ 1.13）首次積分的有效方法。因?yàn)楦鶕?jù)首次

7、積分的定義，為了判別函數(shù)是否是微分方程（ 1.13）在G內(nèi)的首次積分，我們需要知道（ 1.13）在G內(nèi)的所有積分曲線。這在實(shí)際上是由困難的。而定理1避免了這一缺點(diǎn)。定理2 若已知微分方程（ 1.13）的一個(gè)首次積分（ 1.14），則可以把微分方程（ 1.13）降低一階。設(shè)微分方程組（ 1.13）有n個(gè)首次積分 ， （ 1.18）如果在某個(gè)區(qū)域G內(nèi)它們的Jacobi行列式 ， （ 1.19）則稱它們?cè)趨^(qū)域G內(nèi)是相互獨(dú)立的。定理3設(shè)已知微分方程（ 1.13）的n個(gè)相互獨(dú)立的首次積分（ 1.18），則可由它們得到（ 1.13）在區(qū)域G內(nèi)的通解， （ 1.20）其中為n個(gè)任意常數(shù)（在允許范圍內(nèi)），而且

8、上述通解表示了微分方程（ 1.13）在G內(nèi)的所有解。關(guān)于首次積分的存在性，我們有定理4 設(shè)，則存在的一個(gè)鄰域，使得微分方程（ 1.13）在區(qū)域內(nèi)有n個(gè)相互獨(dú)立的首次積分。定理5 微分方程（ 1.13）最多只有n個(gè)相互獨(dú)立的首次積分。定理6 設(shè)（ 1.18）是微分方程（ 1.13）在區(qū)域G內(nèi)的n個(gè)相互獨(dú)立的首次積分，則在區(qū)域G內(nèi)微分方程（ 1.13）的任何首次積分 =C， 可以用（ 1.18）來表達(dá)，亦即 ，其中是某個(gè)連續(xù)可微的函數(shù)。為了求首次積分，也為了下一節(jié)的應(yīng)用，人們常把方程組（ 1.3）改寫成對(duì)稱的形式 ，這時(shí)自變量和未知函數(shù)的地位是完全平等的。更一般地，人們常把上述對(duì)稱式寫成 （ 1.

9、21）并設(shè)內(nèi)部不同時(shí)為零，例如如果設(shè) 則（ 1.21）等價(jià)于 。 （ 1.22）請(qǐng)注意，式（ 1.22）中的相當(dāng)于自變量，相當(dāng)于未知函數(shù)，所以在方程組（ 1.21）中只有n-1個(gè)未知函數(shù)，連同自變量一起，共有n個(gè)變?cè)?。不難驗(yàn)證，對(duì)于系統(tǒng)（ 1.21），定理1相應(yīng)地改寫為：設(shè)函數(shù)連續(xù)可微，并且不恒等于常數(shù)，則=C是（ 1.21）的首次積分的充分必要條件是關(guān)系式 （ 1.23）在G內(nèi)成為恒等式。如果能得到（ 1.21）的n-1個(gè)獨(dú)立的首次積分，則將它們聯(lián)立，就得到（ 1.21）的通積分。方程寫成對(duì)稱的形式后，可以利用比例的性質(zhì)，給求首次積分帶來方便。例3 求的通積分。 解 將前兩個(gè)式子分離變量并積

10、分，得到方程組的一個(gè)首次積分 （ 1.24）其中是任意常數(shù)，再用比例的性質(zhì)，得 ，兩邊積分，又得到一個(gè)首次積分 ， （ 1.25）其中是任意常數(shù)。（ 1.24）和（ 1.25）是相互獨(dú)立的，將它們聯(lián)立，便得到原方程組得通積分 ，.例4 求的通積分。 解 利用比例的性質(zhì)，可以得到 于是有 分別積分，就得到兩個(gè)首次積分 將它們聯(lián)立，就得到原系統(tǒng)的通積分，其中為任意常數(shù)。 例5 求解二體問題，即求解方程組 其中常數(shù)是相對(duì)靜止的這個(gè)天體的質(zhì)量?，F(xiàn)在求二體問題的運(yùn)動(dòng)軌線。 以x乘第二式兩邊，以y乘第三式兩邊，然后相減，得 即 ，積分便得到 （ 1.26）這里是任意常數(shù)，用類似的方法，可以得到 其中都是任

11、意常數(shù)。分別用x、y、z乘（ 1.26），（ 1.27）和（ 1.28）的兩邊，然后三式相加，得到 （ 1.29）這時(shí)一個(gè)平面方程。說明二體問題的運(yùn)動(dòng)軌跡位于（ 1.29）所表示的平面內(nèi)。因此二體問題的軌跡是一條平面曲線。重新選取坐標(biāo)平面，不妨將軌跡線所在的平面選為（x，y）平面，于是二體問題的運(yùn)動(dòng)方程是 由這兩式可以看到 ，上式可以寫成 兩邊積分，得到一個(gè)首次積分 其中A為積分常數(shù)。引入極坐標(biāo)，經(jīng)過簡(jiǎn)單的運(yùn)算，上式可以寫成 （ 1.32） 另一方面，以y乘（ 1.30），以x乘（ 1.31），然后兩式相減，得 ，即 ，積分后得到另一個(gè)首次積分 ，化成極坐標(biāo)，便得 。 （ 1.33）設(shè)，則由（

12、 1.32）和（ 1.33）解得 ，不妨把“”與B合并，仍記為B，則上式可以寫成 ， （ 1.34）記，則上式?jīng)]有意義，故總設(shè)。將（ 1.34）積分，得到 這里又是一個(gè)積分常數(shù)。從上式得到二體問題軌跡線的極坐標(biāo)方程 。 （ 1.35）由平面幾何知道，這是一條二次曲線。它的離心率是 。當(dāng)時(shí)，軌跡為一個(gè)橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為一個(gè)拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為一雙曲線。由（ 1.35）可知，r依賴于常數(shù)，其中是系統(tǒng)常數(shù)；A和B由初始條件確定。如果，則由（ 1.33）知等于常數(shù)，這表示運(yùn)動(dòng)的軌跡是一條射線，這是顯然的事。這個(gè)例子說明，雖然二體問題的解x=x（t）和y=y（t）沒有求出來，但是利用首次積分，卻完整地求

13、出了運(yùn)動(dòng)的軌跡方程。 2 一階齊次線性偏微分方程下面我們討論一階線性偏微分方程和一階擬線性偏微分方程的解法。 2.1一階線性偏微分方程一階線性偏微分方程的一般形式為，或簡(jiǎn)記為， （ 2.1）其中為的未知函數(shù)。假定系數(shù)函數(shù)是連續(xù)可微的，而且它們不同時(shí)為零，即在區(qū)域D上有 。 注意微分方程組（ 2.1）是線性齊次的。 對(duì)于偏微分方程組（ 2.1）, 我們考慮一個(gè)對(duì)稱形式的常微分方程組 ， （ 2.3）它叫做（ 2.1）的特征方程，注意特征方程（ 2.3）是一個(gè)（n-1）階常微分方程組，所以它有n-1個(gè)首次積分 。 （ 2.4）我們的目的是通過求（ 2.3）的首次積分來求（ 2.1）的解。( 2.1

14、)的解與( 2.3)的首次積分之間的關(guān)系有如下的定理定理1 假設(shè)已經(jīng)得到特征方程組( 2.3)的個(gè)首次積分( 2.4) ， 則一階偏微分方程( 2.1)的通解為( 2.5)其中為一任意元連續(xù)可微函數(shù)。 證明 設(shè) （ 2.6）是方程（ 2.3）的一個(gè)首次積分。因?yàn)楹瘮?shù)不同時(shí)為零，所以在局部鄰域內(nèi)不妨設(shè)，這樣特征方程（ 2.3）等價(jià)于下面標(biāo)準(zhǔn)形式的微分方程組 （ 2.7）因此（ 2.6）也是（ 2.7）的一個(gè)首次積分，從而有恒等式 ，亦即恒有 。 （ 2.8）這就證明了（非常數(shù)）函數(shù)為方程（ 2.3）的一個(gè)首次積分的充要條件為恒等式（ 2.8）成立。換言之，為方程（ 2.3）的一個(gè)首次積分的充要條

15、件是為偏微分方程（ 2.1）的一個(gè)（非常數(shù)）解。因?yàn)椋?2.4）是微分方程（ 2.3）的n-1個(gè)獨(dú)立的首次積分，所以根據(jù)首次積分的理論得知，對(duì)于任意連續(xù)可微的（非常數(shù)）n-1元函數(shù)， 就是（ 2.3）的一個(gè)首次積分。因此，相應(yīng)的函數(shù)（ 2.5）是偏微分方程（ 2.1）的一個(gè)解。反之，設(shè)是偏微分方程（ 2.1）的一個(gè)（非常數(shù)）解，則是特征方程（ 2.3）的一個(gè)首次積分，因此，根據(jù)首次積分的理論得知，存在連續(xù)可微函數(shù)，使恒等式成立，即偏微分方程（ 2.1）的任何非常數(shù)解可以表示成（ 2.5）的形式。另外，如果允許是常數(shù)，則（ 2.5）顯然包括了方程（ 2.1）的常數(shù)解。因此，公式( 2.5)表達(dá)了

16、偏微分方程組（ 2.1）的所有解，也就是它的通解。例1 求解偏微分方程 （）. （ 2.9）解 原偏微分方程( 2.9)的特征方程為 它是一階常微分方程組，求得其一個(gè)首次積分為,由定理1知，原偏微分方程的通解為 ,其中為任意可微的函數(shù)。例2 求解邊值為題 （ 2.10）解 原偏微分方程（ 2.10）的特征方程為 ,由 ; 再由 .故方程的通解為 （ 2.11）其中為任意二元可微的函數(shù)，可由邊值條件確定, 因?yàn)椋?，則，。代入（ 2.11）式，得到 . 2.2一階擬線性非齊次偏微分方程下面討論一階擬線性非齊次偏微分方程 （ 2.12）的求解方法。式（ 2.12）中函數(shù)是連續(xù)可微的。這里所說的“擬

17、線性”是指方程關(guān)于未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)都是一次的，各個(gè)系數(shù)，中可能含有未知函數(shù)，而“非齊次”是指存在不含未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的自由項(xiàng)。和一階線性偏微分方程 （ 2.13）相比較，顯然式擬線性方程（ 2.12）比線性方程（ 2.12）更廣泛。我們將求解（ 2.12）的問題化成求解線性齊次方程的問題，設(shè)是（ 2.12）的隱函數(shù)形式的解，且，則根據(jù)隱函數(shù)微分法得 ， （ 2.14）將（ 2.14）代入（ 2.12）中，經(jīng)過整理得 （ 2.15）由此，可以將視為關(guān)于的函數(shù)，（ 2.15）變成了關(guān)于未知函數(shù)的一階線性齊次偏微分方程。于是函數(shù)應(yīng)是方程（ 2.15）的解。反過來，假設(shè)函數(shù)是（ 2.15）的解，且，則由

18、（ 2.15）和（ 2.14）可以推出由方程 =0所確定的隱函數(shù)是方程（ 2.12）的解。這樣求解方程（ 2.12）的問題就化成了求解（ 2.15）的問題。為了求解（ 2.15），先寫出其特征方程組為.（ 2.16）式（ 2.16）可化為個(gè)常微分方程，求得它的個(gè)首次積分為， 就得到（ 2.15）的通解為 （ 2.17）其中是所有變?cè)倪B續(xù)可微函數(shù)。我們將（ 2.16）稱為方程（ 2.12）的特征方程組。上述過程寫成定理就是定理 設(shè)函數(shù)和在區(qū)域內(nèi)連續(xù)可微，在G內(nèi)不同時(shí)為零，設(shè)是（ 1.25）的一個(gè)解，且必是方程（ 2.12）的一個(gè)隱式解。反之是（ 2.12）的一個(gè)隱式解，并且 ，必是（ 2.15）的某個(gè)解，使 一階線性非齊次偏微分方程（ 2.13）為一階擬線性非齊次偏微分方程的特殊情況，其解法完全與求解方程（ 2.12）的解法相同。