《高等工程數(shù)學》科學出版社吳孟達版習題答案(1-8章)

1、高等工程數(shù)學科學出版社版習題答案：第一章習題（P26）1略2在R4中，求向量a1,2,1,1T,在基a1 1 , 1, 1, 1T, a2 1 , 1, 1,1Ta3 1 , 1, 1, 1T a4 1 , 1,1, 1T下的坐標。解：其坐標為：x( 5/4, 1/4, 1/4，1/4 )T3在R22中，求矩陣，在基，下的坐標。解：其坐標為：x( 3, 3, 2，1 )T4試證：在R22中，矩陣，線性無關(guān)。證明：設(shè) k1B1+ k2B2+ k3B3+ k4B4=，只要證明k1= k2 = k3= k4 =0即可。余略。5已知R4中的兩組基：和求由基到基的過渡矩陣，并求向量在基的坐標。解：基到基

2、的過渡矩陣是：向量在基的坐標是：6設(shè)Rxn是所有次數(shù)小于n的實系數(shù)多項式組成的線性空間，求多項式p(x) = 1+ 2x n1在基1，(x1)，(x1)2，(x1)3，.，(x1)n1的坐標。解：所求的坐標是：（3，）T7已知，求V1的和與交的基和維數(shù)。解：V1V2的一組基為，所以維數(shù)為3 V1V2的一組基是：，所以維數(shù)為1。8設(shè)T是n維線性空間V上的一個線性變換，對某個V，有Tk1（）0，Tk（）0。試證：線性無關(guān)。證明：設(shè)（*）下證即可。對（*）兩邊的向量作線性變換：Tk1，根據(jù)Tk1（）0，Tk（）0，得到 由此（*）變?yōu)? （*）對（*）兩邊作線性變換：Tk2，根據(jù)Tk1（）0，Tk（

3、）0，得到 依次進行，得到，即線性無關(guān)。9設(shè)n維線性空間V上線性變換T，使對V中任何非零向量都有Tn1（）0，Tn（）0。求T在某一基下的矩陣表示。解：任取V中一非零向量，因Tn1（）0， Tn（）0，所以由第8題的結(jié)果，有是V中的一組基。則T在此基下的矩陣：10設(shè)T是線性空間R3的線性變換，它在R3中基下的矩陣表示是：A求T在基下的矩陣表示。解：T在基下的矩陣表示是：B11設(shè)T在基下的矩陣表示是：A（1） 求T在基下的矩陣表示。（2） 求T的核和值域。（3） 求T的特征值和特征向量。解：（1）T在基下的矩陣表示是：B（2）核空間N（T）(0,0,0)T 值域 R（T）R3。（3）特征值為：對

4、應的特征向量是：12求矩陣A的列空間R（A）yR3|yAx，xR3和核空間N（A）xR3|Ax0。其中：（1）A （2）A解：（1）列空間為R（A）， 核空間為N（A）（2） 列空間為R（A）， 核空間為N（A）13設(shè)V是一線性空間。是V的一組基 ，線性變換T在基在的矩陣B分別如下，求T的特征值和特征向量，并判斷T是否可對角化。（1）, (2) ,（3），（4）解：（1）特征值為： 特征向量是： 不可對角化（2）特征值為：特征向量是： 可對角化（3）特征值為：特征向量是： 可對角化（4）特征值為：特征向量是： 略 可對角化14略15設(shè)歐氏空間P2（t）中的內(nèi)積為（1）求基1，t，t2的度量矩陣

5、。（2）采用矩陣形式計算f（t）1tt2與g（t）14t5t2的內(nèi)積。（3）用Schmidt正交化方法求P2（t）的標準正交基。解：（1） 所以度量矩陣為（2）（3）所以標準正交基是：高等工程數(shù)學科學出版社版習題答案（第二章）P501 求下列矩陣的特征值、代數(shù)重數(shù)核幾何重數(shù)，并判斷矩陣是否可對角化（1） （2） （3）解：（1）特征值：可對角化。（2）特征值：不可對角化。（3）特征值：不可對角化。2 求下列矩陣的不變因子、初等因子和Jordan標準形（1）（2） （3） （4）解：（1）不變因子是：初等因子是：Jordan標準形是：（2）不變因子是：初等因子是：Jordan標準形是：（3）不變

6、因子是：初等因子是：Jordan標準形是：（4）不變因子是：初等因子是：Jordan標準形是：3 設(shè)（1）（2）（3）求可逆矩陣P，使得P1AP是Jordan標準形解：（1）A的特征值為 對應的特征向量是： 二級根向量是： （2）A的特征值為 對應的特征向量是： 二級根向量和三級根向量是： （3）此題數(shù)據(jù)不便于求解特征值，A的特征多項式是： 4 試求第2題 最小多項式。解：（1）最小多項式是： （2）最小多項式是：（3）最小多項式是： （4）最小多項式是： 5 設(shè)，計算方陣多項式解：因為：而是A的特征多項式 ，所以f（A）0故有6 設(shè)A是可逆方陣，證明A1可表示為A的方陣多項式。證明：設(shè)A是n

7、階方陣，其特征多項式是：因A可逆，所以（為什么？自己證明）由 得所以A1可表示為A的多項式。7 設(shè)，證明A不能與對角矩陣相似。證明：由題設(shè)知，A的最小多項式是：，有重根，所以不能相似對角化。 8 已知，證明A與對角矩陣相似。證明：由題設(shè)知， 是A的零化多項式，而多項式?jīng)]有重根（為什么？自己證！），所以A的最小多項式?jīng)]有重根，故與對角矩陣相似9 設(shè)，試證A的Jordan標準形是diag1,1,1,0,0證明：因為是A的零化多項式，且是最小多項式，所以A的特征值只能是0和1，且可對角化，所以A的Jordan標準形是diag1,1,1,0,010 設(shè)方陣A的特征多項式和最小多項式分別為： （1）（2

8、）試確定A的所有可能的Jordan標準形解：（1）A的可能Jordan標準形為 或（2）A的可能Jordan標準形為 高等工程數(shù)學科學出版社版習題答案（第三章）P501 自己驗證范數(shù)的三個條件2 自己驗證范數(shù)的三個條件3 （1）(（2）（3）4 已知 試求第解： 5 證明：(1)(2) 67 (1)證明：假設(shè)IA不可逆，則|I-A|=0，即1是A的特征值，所以矛盾，所以IA可逆(2)由 得8 (1)證明： （2）9(1) 解： (2) 因為收斂半徑為：R=5，所以收斂 10解： 11(1) (2)12 解： A的特征值為：1，1，213 解： A的特征值為：1，1，4 高等工程數(shù)學科學出版社版

9、習題答案（第三章）P100123 （1）(4 567 參見第三章第5題（2）的答案8 (1) 高等工程數(shù)學科學出版社版習題答案（第五章）P113123 （1）自己驗證M-P廣義逆的四個條件即可(2) 因為 rank(A)= rank(AA+A)rank(AA+)rank(A+)= rank(A+A A+)rank(A+A) rank(A)所以命題成立 4（1）因為rank（A|b）rank（A）所以是相容方程組 （2）因為rank（A|b）rank（A）所以是相容方程組（3）因為rank（A|b）rank（A）所以是相容方程組5 自己驗證廣義逆的四個條件6高等工程數(shù)學科學出版社版習題答案（第六章）P138123 4 56789 Easy101