《運籌學(xué)》整數(shù)規(guī)劃

1、整數(shù)規(guī)劃的特點及應(yīng)用分支定界法分配問題與匈牙利法Page 2要求一部分或全部決策變量取整數(shù)值的規(guī)劃問題稱為整要求一部分或全部決策變量取整數(shù)值的規(guī)劃問題稱為整數(shù)規(guī)劃。不考慮整數(shù)條件，由余下的目標(biāo)函數(shù)和約束條件構(gòu)數(shù)規(guī)劃。不考慮整數(shù)條件，由余下的目標(biāo)函數(shù)和約束條件構(gòu)成的規(guī)劃問題稱為該整數(shù)規(guī)劃問題的松弛問題。若該松弛問成的規(guī)劃問題稱為該整數(shù)規(guī)劃問題的松弛問題。若該松弛問題是一個線性規(guī)劃，則稱該整數(shù)規(guī)劃為整數(shù)線性規(guī)劃。題是一個線性規(guī)劃，則稱該整數(shù)規(guī)劃為整數(shù)線性規(guī)劃。整數(shù)線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的一般形式： 且且部部分分或或全全部部為為整整數(shù)數(shù)或或 n)1.2(j 0)2 . 1( )min(max11jnjij

2、ijnjjjxmibxaxcZZPage 3 純整數(shù)線性規(guī)劃：指全部決策變量都必須取整數(shù)值的整數(shù)線性規(guī)劃。 混合整數(shù)線性規(guī)劃：決策變量中有一部分必須取整數(shù)值，另一部分可以不取整數(shù)值的整數(shù)線性規(guī)劃。 0-1型整數(shù)線性規(guī)劃：決策變量只能取值0或1的整數(shù)線性規(guī)劃。Page 4例5.1 工廠A1和A2生產(chǎn)某種物資。由于該種物資供不應(yīng)求，故需要再建一家工廠。相應(yīng)的建廠方案有A3和A4兩個。這種物資的需求地有B1,B2,B3,B4四個。各工廠年生產(chǎn)能力、各地年需求量、各廠至各需求地的單位物資運費cij，見下表：B1B2B3B4年生產(chǎn)能力年生產(chǎn)能力A12934400A28357600A37612200A44

3、525200年需求量年需求量350400300150工廠A3或A4開工后，每年的生產(chǎn)費用估計分別為1200萬或1500萬元?，F(xiàn)要決定應(yīng)該建設(shè)工廠A3還是A4，才能使今后每年的總費用最少。Page 5解：這是一個物資運輸問題，特點是事先不能確定應(yīng)該建解：這是一個物資運輸問題，特點是事先不能確定應(yīng)該建A3還是還是A4中哪一個，因而不知道新廠投產(chǎn)后的實際生產(chǎn)物資。中哪一個，因而不知道新廠投產(chǎn)后的實際生產(chǎn)物資。為此，引入為此，引入0-1變量：變量：)2 , 1(01 iyi若不建工廠若不建工廠若建工廠若建工廠再設(shè)xij為由Ai運往Bj的物資數(shù)量，單位為千噸；z表示總費用，單位萬元。則該規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模

4、型可以表示為：Page 6 )2 , 1(1 , 0)4 , 3 , 2 , 1,(0200200600400150300400350.15001200min244434241134333231242322211413121144342414433323134232221241312111414121iyjixyxxxxyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsyyxcziijijijij混合整數(shù)規(guī)劃問題Page 7例例5.2 現(xiàn)有資金總額為現(xiàn)有資金總額為B?？晒┻x擇的投資項目有。可供選擇的投資項目有n個，項目個，項目j所需投資額和預(yù)期收益分別為所需投資額和預(yù)期收益分別為a

5、j和和cj（j1,2,.,n），此外由），此外由于種種原因，有三個附加條件：于種種原因，有三個附加條件：若選擇項目若選擇項目1，就必須同時選擇項目，就必須同時選擇項目2。反之不一定。反之不一定項目項目3和和4中至少選擇一個；中至少選擇一個；項目項目5,6,7中恰好選擇中恰好選擇2個。個。應(yīng)該怎樣選擇投資項目，才能使總預(yù)期收益最大。應(yīng)該怎樣選擇投資項目，才能使總預(yù)期收益最大。Page 8解：對每個投資項目都有被選擇和不被選擇兩種可能，因此解：對每個投資項目都有被選擇和不被選擇兩種可能，因此分別用分別用0和和1表示，令表示，令xj表示第表示第j個項目的決策選擇，記為：個項目的決策選擇，記為：),.

6、,2 , 1(01njjjxj 不投資不投資對項目對項目投資投資對項目對項目投資問題可以表示為： ）（或或者者nxxxxxxxxBxatsxczjnjjjnjjj, 2 , 1j1021.max765431211Page 9例例5.3 5.3 指派問題或分配問題。人事部門欲安排四人到四個不指派問題或分配問題。人事部門欲安排四人到四個不同崗位工作，每個崗位一個人。經(jīng)考核四人在不同崗位的成同崗位工作，每個崗位一個人。經(jīng)考核四人在不同崗位的成績（百分制）如表所示，如何安排他們的工作使總成績最好。績（百分制）如表所示，如何安排他們的工作使總成績最好。 工作工作人員人員ABCD甲甲85927390乙乙9

7、5877895丙丙82837990丁丁86908088Page 10設(shè) 工工作作時時人人做做不不分分配配第第工工作作時時人人做做分分配配第第jijixij01數(shù)學(xué)模型如下：4443424134333231242322211413121188809086907983829578879590739285maxxxxxxxxxxxxxxxxxZ 要求每人做一項工作，約束條件為： 111144434241343332312423222114131211xxxxxxxxxxxxxxxxPage 11每項工作只能安排一人，約束條件為：每項工作只能安排一人，約束條件為： 111144342414433323

8、134232221241312111xxxxxxxxxxxxxxxx變量約束：4 ,3 ,2 , 110 jixij、，或或Page 12 整數(shù)規(guī)劃問題的可行解集合是它松弛問題可行解集合的一個子集，任意兩個可行解的凸組合不一定滿足整數(shù)約束條件，因而不一定仍為可行解。 整數(shù)規(guī)劃問題的可行解一定是它的松弛問題的可行解（反之不一定），但其最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值不會優(yōu)于后者最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值。Page 13例例5.3 設(shè)整數(shù)規(guī)劃問題如下設(shè)整數(shù)規(guī)劃問題如下 且且為為整整數(shù)數(shù)0,13651914max21212121xxxxxxxxZ首先不考慮整數(shù)約束，得到線性規(guī)劃問題（一般稱為松弛問題）。 0,136519

9、14max21212121xxxxxxxxZPage 14用圖解法求出最優(yōu)解為：用圖解法求出最優(yōu)解為：x13/2, x2 = 10/3，且有，且有Z = 29/6現(xiàn)求整數(shù)解(最優(yōu)解):如用舍入取整法可得到4個點即(1，3),(2，3),(1，4),(2，4)。顯然，它們都不可能是整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解。x1x233(3/2,10/3)按整數(shù)規(guī)劃約束條件，其可行解肯定在線性規(guī)劃問題的可行域內(nèi)且為整數(shù)點。故整數(shù)規(guī)劃問題的可行解集是一個有限集，如右圖所示。其中(2,2),(3,1)點的目標(biāo)函數(shù)值最大，即為Z=4。Page 15整數(shù)規(guī)劃問題的求解方法：整數(shù)規(guī)劃問題的求解方法： 分支定界法和割平面法 匈牙利法

10、（指派問題）Page 161）求整數(shù)規(guī)劃的松弛問題最優(yōu)解；）求整數(shù)規(guī)劃的松弛問題最優(yōu)解；若松弛問題的最優(yōu)解滿足整數(shù)要求，得到整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解若松弛問題的最優(yōu)解滿足整數(shù)要求，得到整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解,否則轉(zhuǎn)下否則轉(zhuǎn)下一步；一步；2）分支與定界：）分支與定界：任意選一個非整數(shù)解的變量任意選一個非整數(shù)解的變量xi，在松弛問題中加上約束：，在松弛問題中加上約束：xixi 和和 xixi+1組成兩個新的松弛問題，稱為分枝。新的松弛問題具有特征：當(dāng)原問題組成兩個新的松弛問題，稱為分枝。新的松弛問題具有特征：當(dāng)原問題是求最大值時，目標(biāo)值是分枝問題的上界；當(dāng)原問題是求最小值時，目是求最大值時，目標(biāo)值是分枝問題的上

11、界；當(dāng)原問題是求最小值時，目標(biāo)值是分枝問題的下界。標(biāo)值是分枝問題的下界。檢查所有分枝的解及目標(biāo)函數(shù)值，若某分枝的解是整數(shù)并且目標(biāo)函數(shù)檢查所有分枝的解及目標(biāo)函數(shù)值，若某分枝的解是整數(shù)并且目標(biāo)函數(shù)值大于（值大于（max）等于其它分枝的目標(biāo)值，則將其它分枝剪去不再計算，）等于其它分枝的目標(biāo)值，則將其它分枝剪去不再計算，若還存在非整數(shù)解并且目標(biāo)值大于若還存在非整數(shù)解并且目標(biāo)值大于(max)整數(shù)解的目標(biāo)值，需要繼續(xù)分枝，整數(shù)解的目標(biāo)值，需要繼續(xù)分枝，再檢查，直到得到最優(yōu)解。再檢查，直到得到最優(yōu)解。Page 17例例5.4 用分枝定界法求解整數(shù)規(guī)劃問題用分枝定界法求解整數(shù)規(guī)劃問題 且且全全為為整整數(shù)數(shù)0,

12、4 30 652 5min211212121xxxxxxxxxZ解：首先去掉整數(shù)約束，變成一般線性規(guī)劃問題(原整數(shù)規(guī)劃問題的松馳問題) 0,4 30 652 5min211212121xxxxxxxxxZLPIPPage 18用圖解法求松弛問題的最優(yōu)解，如圖所示。用圖解法求松弛問題的最優(yōu)解，如圖所示。x1x23(18/11,40/11)21123x118/11, x2 =40/11Z=218/11(19.8)即Z 也是IP最小值的下限。對于x118/111.64，取值x1 1， x1 2對于x2 =40/11 3.64，取值x2 3 ，x2 4先將（LP）劃分為（LP1）和（LP2）,取x1

13、1, x1 2Page 19分支：分支： 且且為為整整數(shù)數(shù)0,1 4 30 652 )1(5min2111212121xxxxxxxxIPxxZ 且且為為整整數(shù)數(shù)0,2 4 30 652 )2(5min2111212121xxxxxxxxIPxxZ分別求出（LP1）和（LP2）的最優(yōu)解。Page 20先求先求LP1,如圖所示。此時在如圖所示。此時在B點取得最優(yōu)解。點取得最優(yōu)解。x11, x2 =3, Z(1)16找到整數(shù)解，問題已探明，找到整數(shù)解，問題已探明，此枝停止計算。此枝停止計算。x1x233(18/11,40/11)11BAC同理求LP2,如圖所示。在C 點取得最優(yōu)解。即:x12, x

14、2 =10/3, Z(2)56/318.7 Z(2) Z(1)16 原問題有比16更小的最優(yōu)解，但 x2 不是整數(shù)，故繼續(xù)分支。Page 21在在IP2中分別再加入條件：中分別再加入條件： x23, x24 得下式兩支：得下式兩支： 且且為為整整數(shù)數(shù)0,3 2 4 30 652 )21(5min21211212121xxxxxxxxxIPxxZ 且且為為整整數(shù)數(shù)0,4 2 4 30 652 )22(5min21211212121xxxxxxxxxIPxxZ分別求出LP21和LP22的最優(yōu)解Page 22x1x233(18/11,40/11)11BACD先求LP21,如圖所示。此時D 在點取得最

15、優(yōu)解。即 x112/52.4, x2 =3, Z(21)-87/5-17.4 Z(211) 如對LP212繼續(xù)分解，其最小值也不會低于15.5 ，問題探明,剪枝。Page 25原整數(shù)規(guī)劃問題的最原整數(shù)規(guī)劃問題的最優(yōu)解為優(yōu)解為: x1=2, x2 =3, Z* =17以上的求解過程可以以上的求解過程可以用一個樹形圖表示如用一個樹形圖表示如右：右：LP1x1=1, x2=3Z(1) 16LPx1=18/11, x2=40/11Z(0) 19.8LP2x1=2, x2=10/3Z(2) 18.5LP21x1=12/5, x2=3Z(21) 17.4LP22無可行解LP211x1=2, x2=3Z(2

16、11) 17LP212x1=3, x2=5/2Z(212) 15.5x11x12x23x24x12x13Page 26例例5.5 用分枝定界法求解用分枝定界法求解 且且均均取取整整數(shù)數(shù),0,255.22108.02.134max21212121xxxxxxxxZ解: 先求對應(yīng)的松弛問題（記為LP0）)(0,255 . 22108 . 02 . 134max021212121LPxxxxxxstxxZ 用圖解法得到最優(yōu)解X(3.57,7.14),Z0=35.7,如下圖所示。Page 271010108 . 02 . 121 xx255 . 2221 xx松弛問題LP0的最優(yōu)解X=(3.57,7.

17、14),Z0=35.7x1x2oABCPage 28得到兩個線性規(guī)劃得到兩個線性規(guī)劃及及增加約束增加約束4311 xx10 x2oABC 0,3255 . 22108 . 02 . 1:134max211212121xxxxxxxLPxxZLP1LP234LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8 0,4255 . 22108 . 02 . 1:234max211212121xxxxxxxLPxxZLP2:X=(4,6.5),Z2=35.5Page 2910 x1x2oABCLP1LP2134LP21:X=(4.33,6),Z21=35.33 0,64255 . 22108 . 02 . 1:

18、2134max2121212121xxxxxxxxLPxxZ，不不可可行行，得得到到線線性性規(guī)規(guī)劃劃，顯顯然然及及進進行行分分枝枝，增增加加約約束束選選擇擇目目標(biāo)標(biāo)值值最最大大的的分分枝枝7762222 xxxLP6不可行72x 0,74255 . 22108 . 02 . 1:2234max2121212121xxxxxxxxLPxxZ，Page 3010 x1x2oACLP134可可行行域域是是一一條條線線段段即即，, 40,464255 . 22108 . 02 . 1:21134max121121212121 xxxxxxxxxxLPxxZ：及及，得得線線性性規(guī)規(guī)劃劃及及進進行行分分枝

19、枝，增增加加約約束束，選選擇擇由由于于212211542111121LPLPxxLPZZ 6 0,65255 . 22108 . 02 . 1:21234max2121212121xxxxxxxxLPxxZ，LP211:X=(4,6),Z211=34LP212:X=(5,5),Z212=355LP212Page 31LP0:X=(3.57,7.14),Z0=35.7LP1:X=(3,7.6) Z1=34.8LP2:X=(4,6.5) Z2=35.5x13x14LP21:X=(4.33,6) Z21=35.33x26LP211:X=(4,6) Z211=34LP212:X=(5,5) Z212=

20、35x14x15LP22無可行解x27Page 32學(xué)習(xí)要點： 掌握一般整數(shù)規(guī)劃問題概念及模型結(jié)構(gòu) 掌握分支定界法原理 能夠用分支定界法求解一般整數(shù)規(guī)劃問題Page 33設(shè)n 個人被分配去做n 件工作，規(guī)定每個人只做一件工作，每件工作只有一個人去做。已知第i個人去做第j 件工作的效率（ 時間或費用）為Cij(i=1.2n;j=1.2n)并假設(shè)Cij 0。問應(yīng)如何分配才能使總效率（ 時間或費用）最高？設(shè)決策變量 ),.,2 , 1,(ji0ji1njixij 件事件事個人做第個人做第不指派第不指派第件事件事個人做第個人做第指派第指派第Page 34指派問題的數(shù)學(xué)模型為：指派問題的數(shù)學(xué)模型為： )

21、.2.1,1(0).2.1( 1).2.1( 1min1111njixnjxnixxcZijniijnjijninjijij或或取取Page 35如果從分配問題效率矩陣如果從分配問題效率矩陣aij的每一行元素中分別減去的每一行元素中分別減去(或加上或加上)一個常數(shù)一個常數(shù)ui，從每一列中分別減去，從每一列中分別減去(或加上或加上)一個常數(shù)一個常數(shù)vj，得到一個新的效率矩陣，得到一個新的效率矩陣bij，則以，則以bij為效率矩陣的分配為效率矩陣的分配問題與以問題與以aij為效率矩陣的分配問題具有相同的最優(yōu)解。為效率矩陣的分配問題具有相同的最優(yōu)解。Page 361) 變換指派問題的系數(shù)矩陣(cij

22、)為(bij)，使在(bij)的各行各列中都出現(xiàn)0元素，即 從(cij)的每行元素都減去該行的最小元素； 再從所得新系數(shù)矩陣的每列元素中減去該列的最小元素。2) 進行試指派，以尋求最優(yōu)解。 在(bij)中找盡可能多的獨立0元素，若能找出n個獨立0元素，就以這n個獨立0元素對應(yīng)解矩陣(xij)中的元素為1，其余為0，這就得到最優(yōu)解。Page 37找獨立找獨立0元素，常用的步驟為：元素，常用的步驟為： 從只有一個0元素的行開始，給該行中的0元素加圈，記作 。然后劃去 所在列的其它0元素，記作 ；這表示該列所代表的任務(wù)已指派完，不必再考慮別人了。依次進行到最后一行。 從只有一個0元素的列開始（畫的不

23、計在內(nèi)），給該列中的0元素加圈，記作；然后劃去 所在行的0元素，記作 ，表示此人已有任務(wù)，不再為其指派其他任務(wù)了。依次進行到最后一列。 若仍有沒有劃圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有兩個，比較這行各0元素所在列中0元素的數(shù)目，選擇0元素少這個0元素加圈(表示選擇性多的要“禮讓”選擇性少的)。然后劃掉同行同列的其它0元素?？煞磸?fù)進行，直到所有0元素都已圈出和劃掉為止。Page 38 若 元素的數(shù)目m 等于矩陣的階數(shù)n（即：mn），那么這指派問題的最優(yōu)解已得到。若m n, 則轉(zhuǎn)入下一步。3) 用最少的直線通過所有0元素。其方法： 對沒有的行打“”； 對已打“” 的行中所有含元素的列打“” ；

24、再對打有“”的列中含 元素的行打“” ； 重復(fù)、直到得不出新的打號的行、列為止； 對沒有打號的行畫橫線，有打號的列畫縱線，這就得到覆蓋所有0元素的最少直線數(shù) l 。注：l 應(yīng)等于m，若不相等，說明試指派過程有誤，回到第2步，另行試指派；若 lm n，表示還不能確定最優(yōu)指派方案，須再變換當(dāng)前的系數(shù)矩陣，以找到n個獨立的0元素，為此轉(zhuǎn)第4步。Page 394) 變換矩陣變換矩陣(bij)以增加以增加0元素元素在沒有被直線通過的所有元素中找出最小值，沒有被直線通過在沒有被直線通過的所有元素中找出最小值，沒有被直線通過的所有元素減去這個最小元素；直線交點處的元素加上這個最小的所有元素減去這個最小元素；

25、直線交點處的元素加上這個最小值。新系數(shù)矩陣的最優(yōu)解和原問題仍相同。轉(zhuǎn)回第值。新系數(shù)矩陣的最優(yōu)解和原問題仍相同。轉(zhuǎn)回第2步。步。Page 40例例5.6 有一份中文說明書，需譯成英、日、德、俄四種文字，有一份中文說明書，需譯成英、日、德、俄四種文字，分別記作分別記作A、B、C、D?，F(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人，他們將?，F(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人，他們將中文說明書譯成不同語種的說明書所需時間如下表所示，問中文說明書譯成不同語種的說明書所需時間如下表所示，問如何分派任務(wù)，可使總時間最少？如何分派任務(wù)，可使總時間最少？ 任務(wù)任務(wù)人員人員ABCD甲甲67112乙乙4598丙丙31104丁丁5982Page 41解

26、：解：1）變換系數(shù)矩陣，增加變換系數(shù)矩陣，增加0元素。元素。2142 289541013895421176)( ijc 06733902451009545 01733402401004542）試指派（找獨立0元素）找到 3 個獨立零元素 但 m = 3 n = 4Page 423）作最少的直線覆蓋所有作最少的直線覆蓋所有0元素元素立零元素的個數(shù)m等于最少直線數(shù)l，即lm=3n=4；4）沒有被直線通過的元素中選擇最小值為1，變換系數(shù)矩陣，將沒有被直線通過的所有元素減去這個最小元素；直線交點處的元素加上這個最小值。得到新的矩陣，重復(fù)2）步進行試指

27、派Page 43 6244251343000 0 00試指派 6244251343得到4個獨立零元素， 所以最優(yōu)解矩陣為： 0100001000011000即完成4個任務(wù)的總時間最少為：241+8=15Page 44例例5.7 已知四人分別完成四項工作所需時間如下表，求最優(yōu)已知四人分別完成四項工作所需時間如下表，求最優(yōu)分配方案。分配方案。 任務(wù)任務(wù)人員人員ABCD甲甲215134乙乙1041415丙丙9141613丁丁78119Page 45解：解：1）變換系數(shù)矩陣，增加變換系數(shù)矩陣，增加0元素。元素。79429118713161491514410413152 2424104750111006

28、211130 00102350960607130 001023509606071302）試指派（找獨立0元素） 獨立0元素的個數(shù)為4 , 指派問題的最優(yōu)指派方案即為甲負責(zé)D工作，乙負責(zé)B工作，丙負責(zé)A工作，丁負責(zé)C工作。這樣安排能使總的工作時間最少，為4491128。Page 46例例5.8 已知五人分別完成五項工作耗費如下表，求最優(yōu)分配已知五人分別完成五項工作耗費如下表，求最優(yōu)分配方案。方案。 任務(wù)任務(wù)人員人員ABCDE甲甲759811乙乙9127119丙丙85468丁丁73696戊戊467511Page 474347511576469637964589117129118957 713203

29、6304520142405263402-1 -2解：解：1）變換系數(shù)矩陣，增加）變換系數(shù)矩陣，增加0元素。元素。Page 48 5032015304310140305242402 50320153043101403052424022）試指派（找獨立0元素） 獨立0元素的個數(shù)l45，故畫直線調(diào)整矩陣。Page 49 5032015304310140305242402選擇直線外的最小元素為1；直線外元素減1，直線交點元素加1，其他保持不變。Page 50 5033004203310240306231301l =m=4 n=5選擇直線外最小元素為1，直線外元素減1，直線交點元素加1，其他保持不變，得

30、到新的系數(shù)矩陣。Page 51 6044003202300230206130300總費用為=5+7+6+6+4=28注：此問題有多個最優(yōu)解Page 52 6044003202300230206130300總費用為=7+9+4+3+5=28Page 53 6044003202300230206130300總費用為=8+9+4+3+4=28Page 54課堂練習(xí)：用匈牙利法求解下列指派問題。課堂練習(xí)：用匈牙利法求解下列指派問題。79 10 1213 12 16 1715 16 14 1511 12 15 163821038729764275842359106910練習(xí)1：練習(xí)2：Page 5579 10 1213 12 16 1715 16 14 1511 12 15 16382103872976427584235910691048 21答案：Page 56匈牙利法的條件是：模型求最小值、效率cij0。當(dāng)遇到各種非標(biāo)準形式的指派問題時，處理方法是先將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準形式，然后用匈牙利法來求解。Page 57處理方法：設(shè)m為最大化指派問題系數(shù)矩陣C中最大元素。令矩陣B（m-cij）nn則以B為系數(shù)矩陣的最小化指派問題和原問題有相同的最優(yōu)解。例5.9 某人事部門擬招聘4人任職4項工作，對他們綜合考評的 得分如下表（滿分100分），如何安排工作使總分最多