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1、 水深火熱的演練一、直接求出或求出a與b的比值,以求解。在橢圓中,1.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍,則橢圓的離心率等于3.若橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn),且焦點(diǎn)為,則橢圓的離心率為4.已知矩形ABCD,AB4,BC3,則以A、B為焦點(diǎn),且過(guò)C、D兩點(diǎn)的橢圓的離心率為。5.若橢圓短軸端點(diǎn)為滿足,則橢圓的離心率為。6.已知?jiǎng)t當(dāng)mn取得最小值時(shí),橢圓的的離心率為8.已知F1為橢圓的左焦點(diǎn),A、B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),P為橢圓上的點(diǎn),當(dāng)PF1F1A,POAB(O為橢圓中心)時(shí),橢圓的離心率為。9.P是橢圓+=1(ab0)上一點(diǎn),是橢圓的左右焦點(diǎn),已知 橢圓的離心率為10.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓上一點(diǎn),
2、若, 則橢圓的離心率為 13.橢圓(a>b>0)的兩頂點(diǎn)為A(a,0)B(0,b),若右焦點(diǎn)F到直線AB的距離等于AF,則橢圓的離心率是。 14.橢圓(a>b>0)的四個(gè)頂點(diǎn)為A、B、C、D,若四邊形ABCD的內(nèi)切圓恰好過(guò)焦點(diǎn),則橢圓的離心率是 15.已知直線L過(guò)橢圓(a>b>0)的頂點(diǎn)A(a,0)、B(0,b),如果坐標(biāo)原點(diǎn)到直線L的距離為,則橢圓的離心率是 16.在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓1( 0)的焦距為2,以O(shè)為圓心,為半徑作圓,過(guò)點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直,則離心率= 17.設(shè)橢圓的離心率為,右焦點(diǎn)為,方程 的兩個(gè)實(shí)根分別為和,則點(diǎn)(A)必在圓內(nèi)必在圓上
3、必在圓外以上三種情形都有可能二、構(gòu)造的齊次式,解出1已知橢圓的焦距、短軸長(zhǎng)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)成等差數(shù)列,則橢圓的離心率是2以橢圓的右焦點(diǎn)F2為圓心作圓,使該圓過(guò)橢圓的中心并且與橢圓交于M、N兩點(diǎn),橢圓的左焦點(diǎn)為F1,直線MF1與圓相切,則橢圓的離心率是3以橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F為圓心作一個(gè)圓,使該圓過(guò)橢圓的中心O并且與橢圓交于M、N兩點(diǎn),如果MF=MO,則橢圓的離心率是4設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2,過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,若F1PF2為等腰直角三角形,則橢圓的離心率是5已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò)F1且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),若ABF2是正三角形,則這個(gè)橢圓的離心率是三
4、、尋找特殊圖形中的不等關(guān)系或解三角形。1已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部,則橢圓離心率的取值范圍是2已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓上一點(diǎn),且,橢圓離心率e的取值范圍為3已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓上一點(diǎn),且,橢圓離心率e的取值范圍為4設(shè)橢圓(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1、F2,若橢圓上存在一點(diǎn)Q,使F1QF2=120º,橢圓離心率e的取值范圍為 5在中,若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),則該橢圓的離心率6設(shè)分別是橢圓()的左、右焦點(diǎn),若在其右準(zhǔn)線上存在 使線段的中垂線過(guò)點(diǎn),則橢圓離心率的取值范圍是7如圖,正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)A、D為一橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),其余四個(gè)頂點(diǎn)B
5、、C、E、F均在橢圓上,則橢圓離心率的取值范圍是關(guān)于雙曲線離心率一、利用雙曲線性質(zhì)例1 設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的左支上,雙曲線兩焦點(diǎn)為,已知是點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離和的比例中項(xiàng),求雙曲線離心率的取值范圍。解析:由題設(shè)得:。由雙曲線第二定義得:,由焦半徑公式得:,則,即,解得。歸納:求雙曲線離心率取值范圍時(shí)可先求出雙曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo),再利用性質(zhì):若點(diǎn)在雙曲線的左支上則;若點(diǎn)在雙曲線的右支上則。二、利用平面幾何性質(zhì)例2 設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上,雙曲線兩焦點(diǎn),求雙曲線離心率的取值范圍。解析:由雙曲線第一定義得:,與已知聯(lián)立解得:,由三角形性質(zhì)得:解得:。歸納:求雙曲線離心率的取值范圍時(shí)可利用平面幾何性質(zhì),如“直
6、角三角形中斜邊大于直角邊”、“三角形兩邊之和大于第三邊”等構(gòu)造不等式。三、利用數(shù)形結(jié)合例3 (同例2)解析:由例2可知:,點(diǎn)P在雙曲線右支上由圖1可知:,即,兩式相加得:,解得:。四、利用均值不等式例4 已知點(diǎn)在雙曲線的右支上,雙曲線兩焦點(diǎn)為,最小值是,求雙曲線離心率的取值范圍。解析:,由均值定理知:當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值,又所以,則。五、利用已知參數(shù)的范圍例5 (2000年全國(guó)高考題)已知梯形ABCD中,點(diǎn)E分有向線段所成的比為,雙曲線過(guò)C、D、E三點(diǎn),且以A、B為焦點(diǎn),當(dāng)時(shí),求雙曲線離心率的取值范圍。解析:如圖2建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)雙曲線方程為,設(shè)其中是梯形的高,由定比分點(diǎn)公式得,把C、E
7、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入雙曲線方程得,兩式整理得,從而建立函數(shù)關(guān)系式,由已知得,解得。六、利用直線與雙曲線的位置關(guān)系例6 已知雙曲線與直線:交于P、Q兩個(gè)不同的點(diǎn),求雙曲線離心率的取值范圍。解析:把雙曲線方程和直線方程聯(lián)立消去得:時(shí),直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)則,即且,所以,即且。七、利用點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系例7 已知雙曲線上存在P、Q兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,求雙曲線離心率的取值范圍。解析:設(shè),弦PQ中點(diǎn)為M,由點(diǎn)差法求得,當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線內(nèi)部時(shí),整理得:無(wú)解;當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線外部時(shí),點(diǎn)M應(yīng)在兩漸近線相交所形成的上下區(qū)域內(nèi),由線性規(guī)劃可知:,即,則,所以。八、利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)例8 已知過(guò)雙曲線左焦點(diǎn)的直線交雙曲線于P、Q兩點(diǎn),且(為原點(diǎn)),求雙曲線離心率的取值范圍。解析:設(shè),過(guò)左焦點(diǎn)的直線方程:,代入雙曲線方程得:,由韋
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