伴隨矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用

1、中山大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）（2016屆）題 目： 伴隨矩陣及其應(yīng)用 姓 名： 學(xué) 號(hào)： 學(xué) 院： 數(shù)學(xué)學(xué)院 專 業(yè)： 指導(dǎo)老師： 申請(qǐng)學(xué)位： 摘 要伴隨矩陣是高等代數(shù)中的一個(gè)重要概念，由它可以推導(dǎo)出求逆矩陣的計(jì)算公式，從而解決了矩陣求逆的問題.同時(shí)關(guān)于矩陣A 的伴隨矩陣A* 的性質(zhì)也是非常重要的. 在目前的高等數(shù)學(xué)教材中，伴隨矩陣只是作為求解逆矩陣的工具出現(xiàn)，涉及內(nèi)容較少，并沒有深入的研究探討.因此本文主要研究了伴隨矩陣在對(duì)稱性、合同性、正定性、正交性、特征多項(xiàng)式，特征值等方面的性質(zhì)，并給出伴隨矩陣在實(shí)際問題中的綜合應(yīng)用實(shí)例.顯示對(duì)應(yīng)的拉丁字符的拼音字典 關(guān)鍵詞：伴隨矩陣，正交矩陣，正定矩陣

2、，可逆矩陣，特征多項(xiàng)式，特征值A(chǔ)bstract Adjoint matrix is an important concept in higher algebra, it can derive inverse matrix calculation formula, so as to solve the inverse problem of matrix inversion. At the same time on matrix with the nature of the matrix is also very important. In the current teaching of high

3、er mathematics, adjoint matrix is only for solving inverse matrix appeared, less involved in the content, and no in-depth study. Therefore, this paper mainly studies the properties of adjoint matrix in symmetry, contract, positive definite, orthogonal and characteristic polynomial, characteristic va

4、lue, and given with with matrix in the practical problems in comprehensive application examples. Key words: adjoint matrix, orthogonal matrix, positive definite matrix, reversible matrix, characteristic polynomial, eigenvalue. 目錄摘要.IAbstract.II1. 引言.12. 伴隨矩陣的基本性質(zhì).23. 伴隨矩陣的實(shí)際應(yīng)用.6 3.1利用伴隨矩陣求逆矩陣.6 3.2由

5、伴隨矩陣推導(dǎo)原矩陣.6 3.3伴隨矩陣基本性質(zhì)的直接應(yīng)用. 6 3.4伴隨矩陣秩的應(yīng)用.8參考文獻(xiàn).9伴隨矩陣及其應(yīng)用1. 引言 矩陣是高等代數(shù)的重要組成部分，是許多數(shù)學(xué)分支研究的重要工具。伴隨矩陣作為矩陣中較為特殊的一類，其理論和應(yīng)用有其自身的特點(diǎn).那么我們首先來了解一下什么是伴隨矩陣，在給出伴隨矩陣的定義之前，先給出余子式和代數(shù)余子式的定義. 定義1 階行列式的某一元素的余子式指的是在中劃去所在的行和列后所余下的階子式. 定義2 階行列式的元素的余子式附以符號(hào)后，叫作元素的代數(shù)余子式，用符號(hào)表示，. 定義3 設(shè)是矩陣中元素的代數(shù)余子式，那么矩陣稱為矩陣的伴隨矩陣. 定義4 一個(gè)矩陣中不等于

6、零的子式的最大階數(shù)叫做這個(gè)矩陣的秩，記作. 伴隨矩陣中有兩個(gè)常用的公式 公式一 . 公式二 ，其中是單位矩陣，是矩陣的逆矩陣，是矩陣的行列式. 證明 設(shè)，由于 ，因此，同理，公式一得證.當(dāng)是可逆矩陣時(shí)，由公式一可得，即. 注：公式二給出了矩陣的逆矩陣的構(gòu)造方法，這在理論上是非常重要的.高等代數(shù)教材中給出的伴隨矩陣，一般都是以上內(nèi)容，但這對(duì)于伴隨矩陣的探究遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，本文將給出伴隨矩陣的一些性質(zhì)及證明，同時(shí)結(jié)合伴隨矩陣的性質(zhì)，探究伴隨矩陣的實(shí)際應(yīng)用. 2. 伴隨矩陣的基本性質(zhì) 性質(zhì)1 設(shè)是階矩陣，則 證明 當(dāng)時(shí)，則可逆，由可知，即，所以可逆，. 當(dāng)時(shí)，中至少有一個(gè)階子式不為0，即中至少有一個(gè)元素不

7、為0，因此.又因?yàn)?，則不是滿秩矩陣，所以.由,可知,又因?yàn)?，把代入，可知，綜上可得. 當(dāng)時(shí)，可知的所有階子式均為0，即的所有元素均為0 ，于是，所以. 性質(zhì)2 ，其中表示矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣. 證明 設(shè)，則的第行第列元素為，的第行第2列元素為，的第行第列元素為，的第行第列元素為，因此. 性質(zhì)3 . 證明 當(dāng)可逆，即時(shí)，因?yàn)?，所以，?dāng)不可逆，即時(shí)，可得. 性質(zhì)4 . 證明 當(dāng)，即為二階矩陣時(shí)，設(shè)，則，故. 當(dāng)時(shí)，根據(jù)是否可逆分兩種情況考慮. 可逆，即,由性質(zhì)3可知 不可逆，即,可知.若，則，可知，從而.若，則，即，故. 性質(zhì)5 當(dāng)可逆時(shí)，. 證明 由可知，,而,故. 性質(zhì)6 設(shè)為常數(shù)，. 證明 . 性

8、質(zhì)7 . 證明 當(dāng)時(shí)，. 當(dāng)時(shí)，令,，則存在無窮多個(gè)，使得1.與均可逆，所以，該等式兩端的元素是關(guān)于的有限次多項(xiàng)式，因?yàn)榇嬖跓o窮多個(gè)，這意味著存在無窮多個(gè)數(shù)使得對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式相等，即上式對(duì)任意的都成立.當(dāng)時(shí)，得. 伴隨矩陣是由矩陣決定的，所以矩陣所具有的特點(diǎn)伴隨矩陣一樣具備. 性質(zhì)8 若為正交矩陣，則也是正交矩陣. 證明 若為正交矩陣，則，于是有. 同理，,故也為正交矩陣. 性質(zhì)9 若矩陣與合同，且與可逆，那么與也合同. 證明 因?yàn)榫仃嚺c合同，由矩陣合同的定義可知，存在可逆矩陣，使得，又與可逆，則,令，有，又，則有,令，則是可逆矩陣且，因此與也合同. 性質(zhì)10 若為對(duì)合矩陣，即,則也為對(duì)合矩陣.

9、證明 若為對(duì)合矩陣，則，則，因此也是對(duì)合矩陣. 性質(zhì)11 若是一個(gè)階正定矩陣，則也是正定矩陣. 證明 因?yàn)槭钦ň仃?，故存在可逆矩陣，使得，那么有，由性質(zhì)7可知，所以也是正定矩陣. 性質(zhì)12 若是一個(gè)階實(shí)對(duì)稱矩陣，則也是對(duì)稱矩陣. 證明 因?yàn)槭菍?shí)對(duì)稱矩陣，有，由性質(zhì)2可知，所以，故也是對(duì)稱矩陣. 性質(zhì)13 若是階可逆的，則可表示成的多項(xiàng)式. 證明 設(shè)的特征多項(xiàng)式為，由于可逆，故可知.由哈密頓-凱萊定理可得，即，進(jìn)而可得，故.由，所以. 注：哈密頓-凱萊定理：設(shè)階矩陣的特征多項(xiàng)式為，則矩陣滿足特征方程，即 性質(zhì)14 若是可逆矩陣，是其特征值，是的屬于的特征向量，那么的特征值為,是的屬于特征值的特

10、征向量. 證明 因?yàn)榭赡?，所以，由，兩邊同時(shí)乘以得，由可得，因此.3. 伴隨矩陣的實(shí)際應(yīng)用 3.1利用伴隨矩陣求逆矩陣 例1 設(shè)矩陣，則 分析 求，首先要先將矩陣求出，再根據(jù)伴隨矩陣定義，求得，利用公式即可解出. 解 由，得：，1，故. 3.2由伴隨矩陣推導(dǎo)原矩陣 例2 設(shè)矩陣的伴隨矩陣，求. 分析 伴隨矩陣是從矩陣根據(jù)定義得出的，本題若是采用定義的方法逆推矩陣，麻煩且容易弄錯(cuò)元素，因此考慮利用公式去推導(dǎo)矩陣. 解 ，根據(jù)性質(zhì)4， ，此時(shí)，故， ，根據(jù)，對(duì)矩陣施行行初等變換 ，即. 3.3伴隨矩陣基本性質(zhì)的直接應(yīng)用 例3 設(shè)為階矩陣，其逆矩陣為，求，. 分析 先看，若直接求，需通過將求出，再通

11、過伴隨矩陣的定義求出，進(jìn)而可以求出，但這個(gè)過程比較繁瑣.根據(jù)前面的性質(zhì) ，只要求出和就可以求出,過程更為簡便. 再看，如果直接求的話，就要先利用求出，再求，最后求逆.雖然是三階矩陣，但這三步每一步都不容易.可根據(jù)前面的性質(zhì) 簡化運(yùn)算過程.這兩個(gè)問題從公式中可以看出，只要求出與就能解決，那就先從求著手. 解 ，故，.由性質(zhì)4可知，此時(shí),.由性質(zhì)5可知，. 例4 求矩陣的伴隨矩陣. 解 矩陣的特征多項(xiàng)式為：，矩陣可逆，由性質(zhì)可知. 例5 設(shè)為三階矩陣，的特征值為1,3,5，試求行列式 解 因?yàn)榈奶卣髦禐?,3,5，所以.由性質(zhì)14可知，的特征值分別為，.于是的特征值為，.故. 3.4伴隨矩陣秩的應(yīng)

12、用 例6 試求出滿足的一切階矩陣.2 分析 如何求解呢？我們可以從矩陣的秩來考慮，也就是利用性質(zhì)1，但是要注意分類討論. 解 當(dāng)時(shí)，此時(shí)有. 當(dāng)時(shí)，則，即，此時(shí). 當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，即.因?yàn)槿?，則，于是，這與矛盾，故此時(shí). 當(dāng)時(shí)，則，由可得，僅當(dāng)時(shí). 綜上可得，滿足的矩陣是：零矩陣以及滿足的可逆矩陣.0參考文獻(xiàn)1 張禾瑞，郝鈵新高等代數(shù)（第五版）M北京：高等教育出版社，20072 馬訾偉，杜煒，閆曉紅高等代數(shù)全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解（第五版）M北京：中國時(shí)代經(jīng)濟(jì)出版社，20093 趙利輝，宋紅偉伴隨矩陣的性質(zhì)及其在解題中的應(yīng)用J，廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，13(4)：24-26.4 張艷麗關(guān)于伴隨矩陣性質(zhì)的討論J衡水學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，9（1）：43-445 王蓮花，田立平伴隨矩陣性質(zhì)及其應(yīng)用J河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006，15（3）：4-66 劉兵軍伴隨矩陣的運(yùn)算性質(zhì)J保定師范專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2002,15(2)：6-8.7肖翔，許伯生.伴隨矩陣的性質(zhì)J.上海工程技術(shù)大學(xué)教育研究學(xué)報(bào)，2007，3