信號與系統(tǒng)習(xí)題答案 第三章

1、第三章習(xí)題基礎(chǔ)題3.1 證明, , , (n為正整數(shù))，在區(qū)間的正交集。它是否是完備集解：(積分?)此含數(shù)集在為正交集。又有 不屬于此含數(shù)集，對于所有的m和n。由完備正交函數(shù)定義所以此函數(shù)集不完備。3.2 上題的含數(shù)集在是否為正交集？解：由此可知此含數(shù)集在區(qū)間內(nèi)是正交的。3.3實(shí)周期信號在區(qū)間內(nèi)的能量定義為。如有和信號若與在區(qū)間內(nèi)相互正交，證明和信號的總能量等于各信號的能量之和;若與不是相互正交的，求和信號的總能量。 解：和信號f(t)的能量為 （少乘以2）由與在區(qū)間內(nèi)正交可得則有 即此時(shí)和信號的總能量等于各信號的能量之和。和信號的能量為 （少乘以2吧？）由與在區(qū)間內(nèi)不正交可得 則有即此時(shí)和信

2、號的總能量不等于各信號的能量之和。3.4 求下列周期信號的基波角頻率和周期T。（1） （2） （3） （4）（5） （6） 解：角頻率為，周期 角頻率為，周期 角頻率為，周期（先求T，后求omg吧？） 角頻率為，周期 角頻率為，周期 角頻率為，周期3.5 用直接計(jì)算傅里葉系數(shù)的方法，求圖示周期函數(shù)的傅里葉系數(shù)（三角形式或指數(shù)形式）。解：周期，則有 （k是整數(shù)；怎么求的邊界條件？）由此可得 （X？）周期T=2，則有由此可得： （積分？ 3.6如圖所示是4個周期相同的信號 用直接求傅里葉系數(shù)的方法求圖（a）所示信號的傅里葉級數(shù)（三角形式）； 將圖（a）的函數(shù)左（或右）移，就得圖（b）的函數(shù)，利用的

3、結(jié)果求的傅里葉級數(shù)； 利用以上結(jié)果求圖（c）的函數(shù)的傅里葉級數(shù)； 利用以上結(jié)果求圖（d）的信號的傅里葉級數(shù)；解：由的波形可知 令，則有則的傅里葉級數(shù)為由和的波形圖可知 或則的傅里葉數(shù)為 由的波形可知 則的傅里葉級數(shù)為 有的波形可知 則的傅里葉級數(shù)為 3.7試畫出圖示信號的奇分量和偶分量解：（1）由的波形求得的波形則奇分量的波形為=偶分量的波形為=（2）由的波形求得的波形則奇分量的波形為=偶分量的波形為=3.8利用奇偶性判斷圖示各周期信號的傅里葉級數(shù)中所含有的頻率分量。解：（1） 由的波形可知 =則有 則的傅里葉級數(shù)中含有的頻率分量為奇次余弦波。（2） 由的波形可知 則有 則的傅里葉級數(shù)中含有的

4、頻率分量為正弦波。（3） 由的波形可知則有 即的傅里葉級數(shù)中含有的頻率分量為奇次余弦波。（4） 由的波形可知，為奇諧函數(shù)，即 則有 即的傅里葉級數(shù)中只含有奇次諧波，包括正弦波和余弦波。3.9 如圖的周期性方波電壓作用于電路，試求電流的前五次諧波。解：由的波形圖可知周期，則有 由此可得傅立葉級數(shù)的系數(shù) 因?yàn)榕紨?shù)，則則電路激勵的前五次諧波為 由電路得系統(tǒng)微分方程為欲求電流的前五次諧波，即求此微分方程激勵的前五次諧波的特解。設(shè)代入上面微分方程比較兩邊系數(shù)可得 則電流的前五次諧波為 3.10求圖示各信號的傅立葉變換。解：（a）由的波形可知則的傅立葉變換為 （b）由的波形可知則的傅立葉變換為 （c）由的

5、波形可知則的傅立葉變換為 （d）由的波形可知則的傅立葉變換為 3.11根據(jù)上題（a）（b）的結(jié)果，利用傅立葉變換的性質(zhì)，求下圖所示各信號的傅立葉變換。解： (a) 令，由上題可知其傅立葉變換為由的波形可知 由傅立葉變換的性質(zhì)可知的傅立葉變換為 (b) 令，由上題可知其傅立葉變換為由的波形可知 則由傅立葉變換的性質(zhì)可知，的傅立葉變換為 (c) 由的波形可知則由傅立葉變換的性質(zhì)可知，的傅立葉變換為 (d) 令，由前題可知其傅立葉變換為由的波形可知 由傅立葉變換的性質(zhì)可知， （e）由的波形圖可知則的傅立葉變換為(f) 由的波形圖可知 則的傅立葉變換為 3.12 若為虛函數(shù)，且，試證 解： 令，為t的

6、實(shí)函數(shù)，則有 式中頻譜函數(shù)的實(shí)部和虛部為 則有 即 由上面結(jié)果可知 3.13若為復(fù)函數(shù)，可表示為 且的頻譜函數(shù)為。式中、均為實(shí)函數(shù)，證明： 解： 而，則有 由 ，可知由，利用傅立葉變換的線性性質(zhì)可得3.14 據(jù)傅立葉變換對稱性求下列函數(shù)的傅立葉變換 解： 由于寬度為，幅度為1的門函數(shù)的頻譜函數(shù)為，即取幅度為，根據(jù)傅立葉變換的線性性質(zhì)有即 注意到是偶函數(shù)，根據(jù)對稱性可得根據(jù)時(shí)移性和尺度變換可知由，可知 由于 可知 即 的傅立葉變換為由于 根據(jù)對稱性可知 根據(jù)頻域卷積性質(zhì)，可得又有3.15求下列信號的傅立葉變換 解： 已知 由時(shí)移性質(zhì)可得 再由頻移性質(zhì)可得的傅立葉變換 又由時(shí)移特性可知的傅立葉變換

7、為 又 則有 由 利用時(shí)移特性可得 再由尺度變換特性可得即的傅立葉變換為3.16 試用時(shí)域微積分性質(zhì)，求圖示信號的頻譜。 解：（1）由的波形可得其閉合表達(dá)式為由此可得又有 可得 則有 當(dāng)時(shí)上式值為0，則有 由的波形可得其閉合表達(dá)式為 由此可得 又有 可得 則有 當(dāng)時(shí)，上式為0，則有3.17 已知，試求下列函數(shù)的頻譜： 解： 根據(jù)頻域微分特性可知則有 根據(jù)尺度變換特性可得 則可得 根據(jù)頻域微分特性可得則有 由傅立葉變換的線性性質(zhì)可得 由時(shí)域微分特性可得 又由頻域微分特性可得 則有 由反轉(zhuǎn)特性可得 又由時(shí)移特性可得 即 由頻域微分特性可得由反轉(zhuǎn)特性可得 又由時(shí)移性質(zhì)可得到 即 由時(shí)移性質(zhì)可得又由尺

8、度變換特性可得 由尺度變換特性可得 又由時(shí)移性質(zhì)可得 則有 當(dāng)時(shí)，上式為，又有 則利用時(shí)域積分性質(zhì)可得 由尺度變換特性可得 由時(shí)移特性可得 又由頻移特性可得 由時(shí)域微分特性可得又有 則由時(shí)域卷積定理可得 3.18 求下列函數(shù)的傅立葉逆變換 解：傅立葉逆變換為 由于 1 由頻移特性可得 則有 的傅立葉逆變換為 由于1，得，則有的傅立葉逆變換為 由于，則由時(shí)移特性可知 ，則的傅立葉逆變換為3.19 用傅里葉變換性質(zhì)，求如圖所示函數(shù)的傅里葉逆變換。（a）的幅頻圖和相頻圖可得 由，將代入，得 由傅里葉變換對稱性可得 整理得 由時(shí)移特性可得 則的傅里葉逆變換為 （b）由的幅頻圖和相頻圖可得 由，將代入，

9、得 由傅里葉變換對稱性可得 整理得 由頻移特性得 又由于 則的傅里葉逆變換為 3.20 試用下列方法求圖示信號的頻譜函數(shù) 利用延時(shí)和線性性質(zhì)（門函數(shù)的頻譜可利用已知結(jié)果）； 利用時(shí)域積分定理； 將看作門函數(shù)與沖激函數(shù)，的卷積之和。解： 已知，將代入，得 由傅立葉變換的時(shí)移性質(zhì)可得 根據(jù)傅立葉變換的線性性質(zhì)可得的傅立葉變換為 由的波形圖可得其閉合表達(dá)式為則有 又，由時(shí)移性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)上式為0，則由時(shí)域積分定理可得的頻譜函數(shù) 已知 由時(shí)移特性可得 則由 以及時(shí)域卷積定理可知的頻譜函數(shù)為3.21 試用下列方法求圖示余弦脈沖的頻譜函數(shù)。 利用傅立葉變換定義； 利用微分、積分特性； 將它看作函數(shù)與周期余弦

10、函數(shù)的乘積。解： 由傅立葉變換定義可得 由的波形圖可得其閉合表達(dá)式為則可得 由于 則由頻域卷積定理可得的頻譜函數(shù)為 當(dāng)時(shí)上式為0，則由積分特性可知的頻譜函數(shù)為 由的波形可知又有 則由頻域卷積定理得的頻譜函數(shù) 3.22 試求圖示周期信號的頻譜函數(shù)。圖（b）中沖激函數(shù)的強(qiáng)度均為1。 解：(a ) 由于 利用傅立葉變換的線性性質(zhì)可得的頻譜函數(shù)為(b) 的傅立葉級數(shù)為則的頻譜函數(shù)為3.23 圖示升余弦脈沖表示為 試用以下方法求其頻譜函數(shù) 利用傅立葉變換的定義； 利用微分、積分特性 將它看作是門函數(shù)與題3.21(a)圖函數(shù)的乘積。解： 由傅立葉變換定義可得 （2）由的表達(dá)式可得則有 當(dāng)時(shí)，上式為0，則有

11、 又 則的頻譜函數(shù)為 3.24 如圖所示信號的頻譜函數(shù)為，求下列各值： 解： 由傅立葉變換定義 則有 又有 得 由傅立葉逆變換可知 由此可得 即 由的波形可知則由能量等式可得3.25 一周期為T的周期信號，已知其指數(shù)形式的傅立葉系數(shù)為，求下列周期信號的傅立葉系數(shù)（1）（2）（3）（4）解（1）由傅立葉變換時(shí)移特性可知則由此可知的傅立葉系數(shù)為（2）由傅立葉變換反轉(zhuǎn)特性可知令，則有由此可知的傅立葉系數(shù)為（3）由傅立葉變換微分特性可知即由此可知的傅立葉系數(shù)為（4） 由傅立葉變換時(shí)域尺度變換特性可知，時(shí)有 由上式可知此時(shí)信號基波角頻率變?yōu)?，則的周期變?yōu)樵瓉淼谋?，即，則其傅立葉系數(shù)為，信號周期為。3.2

12、6 一理想低通濾波器的頻率響應(yīng)若輸入，其中，求輸出。解：輸入的傅立葉變換為 則有 由于，且有則線性系統(tǒng)性質(zhì)可知 則有輸出為 3.27 一個LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 若輸入，求該系統(tǒng)的輸出。解：幅度為，寬度為2的窗函數(shù)的傅立葉變換為，即有 有對稱性可得 又有 則有頻域卷積定理可得= = = 又由已知可得 則系統(tǒng)輸出的傅立葉變換為 又有傅立葉變換對稱性可得 且有 則有頻域卷積定理可得系統(tǒng)的輸出為 提高題1 為了通信保密，可將語音信號在傳輸前進(jìn)行倒頻（scramble）,接受端收到到頻信號后，再設(shè)法恢復(fù)原頻譜。題1圖（b）是一個倒頻系統(tǒng)。如輸入帶限信號的頻譜如圖（a）所示，其最高角頻率為。已知，圖（b）中的HP是理想高通濾波器，其截止角頻率為，即圖中LP為理想低通濾波器，截止角頻率為，即畫出和的頻率圖。解：由傅立葉變換頻域卷積定理可得 則高通濾波器的輸出的頻譜為 再由傅立葉變換頻域卷積定理可得