信號與系統(tǒng)(第四版)陳生潭第四章課后答案

1、信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-1 1 1頁頁頁電子教案第四章第四章 連續(xù)系統(tǒng)的連續(xù)系統(tǒng)的s s域分析域分析4.1 4.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換二、收斂域二、收斂域三、三、(單邊單邊)拉普拉斯變換拉普拉斯變換4.2 4.2 拉普拉斯變換的性質拉普拉斯變換的性質4.3 4.3 拉普拉斯變換逆變換拉普拉斯變換逆變換4.4 4.4 復頻域分析復頻域分析一、微分方程的變換解一、微分方程的變換解二、系統(tǒng)函數(shù)二、系統(tǒng)函數(shù)三、系統(tǒng)的三、系統(tǒng)的s域框圖域框圖四、電路的四、電路的s域模型域模型點擊目錄點擊目錄

2、 ，進入相關章節(jié)，進入相關章節(jié)第四章第四章 連續(xù)系統(tǒng)的連續(xù)系統(tǒng)的s s域分析域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-2 2 2頁頁頁電子教案4.5 系統(tǒng)微分方程的系統(tǒng)微分方程的S域解域解4.6 電路的電路的s域求解域求解4.7 連續(xù)系統(tǒng)的表示與模擬連續(xù)系統(tǒng)的表示與模擬4.8 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-3 3 3頁頁頁電子教案 頻域分析頻域分析以以虛指數(shù)信號虛指數(shù)信號ejt為基本信號，任意信號可為基本信號，任意信號可分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和。使響應的求解分解為眾多不同

3、頻率的虛指數(shù)分量之和。使響應的求解得到簡化。物理意義清楚。但也有不足：得到簡化。物理意義清楚。但也有不足：（1）有些重要信號不存在傅里葉變換，如）有些重要信號不存在傅里葉變換，如e2t(t);（2）對于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析。）對于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析。 在這一章將通過把頻域中的傅里葉變換推廣到復頻在這一章將通過把頻域中的傅里葉變換推廣到復頻域來解決這些問題。域來解決這些問題。 本章引入本章引入復頻率復頻率 s = +j,以復指數(shù)函數(shù)以復指數(shù)函數(shù)est為基本信為基本信號，任意信號可分解為不同復頻率的復指數(shù)分量之和。號，任意信號可分解為不同復頻率的復指數(shù)分量之和。這里用

4、于系統(tǒng)分析的獨立變量是這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是復頻率復頻率 s ，故稱為，故稱為s域分域分析析。所采用的數(shù)學工具為拉普拉斯變換。所采用的數(shù)學工具為拉普拉斯變換。信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-4 4 4頁頁頁電子教案4.1 4.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換 有些函數(shù)不滿足絕對可積條件，求解傅里葉變換困難。有些函數(shù)不滿足絕對可積條件，求解傅里葉變換困難。為此，可用一衰減因子為此，可用一衰減因子e- t( 為實常數(shù)）乘信號為實常數(shù)）乘信號f(t) ，適當，適當選取選取 的值，使乘積信號的值，使乘

5、積信號f(t) e- t當當t時信號幅度趨近于時信號幅度趨近于0 ，從而使，從而使f(t) e- t的傅里葉變換存在。的傅里葉變換存在。 相應的傅里葉逆變換相應的傅里葉逆變換 為為f(t) e- t= de)(21tjbjFF Fb b( ( +j+j )=)= f(t) e- t= ttfttftjtjtde)(dee)()(de)(21)()(tjbjFtf令令s = + j , d =ds/j，有，有信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-5 5 5頁頁頁電子教案4.1 4.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換tetfsFstbd)()(jjde)(j21)(ss

6、Ftfstb雙邊拉普拉斯變換對Fb(s)稱為稱為f(t)的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)），的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)），f(t)稱為稱為Fb(s) 的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。 二、收斂域二、收斂域 只有選擇適當?shù)闹挥羞x擇適當?shù)?值才能使積分收斂，信號值才能使積分收斂，信號f(t)的的 拉氏逆變換的物理意義拉氏逆變換的物理意義120( )( )( )2( )cos( )jstjjttf tF s e dsFe dfF s ets dfst利用拉氏變換，可將f(t)分解成眾多復指數(shù)信號Ae 或形如cos( )信號的線形組合。tAets信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電

7、路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-6 6 6頁頁頁電子教案4.1 4.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換例例1 因果信號因果信號f1(t)= e t (t) ，求其拉普拉斯變換。，求其拉普拉斯變換。 解解 eelim1 )(1)(edee)(j)(0)(01ttttssttbsstsF1,Re ss 不定,=無界,可見，對于因果信號，僅當可見，對于因果信號，僅當Res= 時，其拉氏變換存時，其拉氏變換存在。在。 收斂域如圖所示。收斂域如圖所示。j0收斂域收斂域收斂邊收斂邊界界雙邊拉普拉斯變換存在。雙邊拉普拉斯變換存在。使使 f(t)拉氏變換存在拉氏變換存在 的取值范圍稱為的取值范圍稱為Fb(s)的收

8、斂域。的收斂域。 下面舉例說明下面舉例說明Fb(s)收斂域的問題。收斂域的問題。信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-7 7 7頁頁頁電子教案4.1 4.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換例例2 反因果信號反因果信號f2(t)= e t (-t) ，求其拉普拉斯變換。，求其拉普拉斯變換。 解解 eelim1 )(1)(edee)(j)(0)(02ttttssttbsstsF，不定無界)(1.Re,ss可見，對于反因果信號，僅當可見，對于反因果信號，僅當Res= 時，其收斂域為時，其收斂域為 Res 22131)()(22sssFtfRes= 32131)()(33s

9、ssFtf 3 2可見，象函數(shù)相同，但收斂域不同?？梢?，象函數(shù)相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換必雙邊拉氏變換必須標出收斂域。須標出收斂域。信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-101010頁頁頁電子教案4.1 4.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換通常遇到的信號都有初始時刻，不妨設其初始時刻為坐標通常遇到的信號都有初始時刻，不妨設其初始時刻為坐標原點。這樣，原點。這樣，t ，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。 三、單邊拉氏變換三、單邊拉氏變換 0defde)()(ttfsFst)(de)(j21)(jjdeftssFtfs

10、t簡記為簡記為F(s)=f(t) f(t)= -1F(s) 或或 f(t) F(s)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-11 11 11頁頁頁電子教案4.1 4.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換四、常見函數(shù)的單邊拉普拉斯變換四、常見函數(shù)的單邊拉普拉斯變換 00111. ( )1,2.( )或1,03. ( ),4. 指數(shù)信號ss tsstttse信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-121212頁頁頁電子教案4.1 4.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換0令s 11,tstsee11,0,0jtsjjtsjee1( ),0st0令sj

11、 0令s0信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-131313頁頁頁電子教案4.1 4.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換五、單邊拉氏變換與傅里葉變換的關系五、單邊拉氏變換與傅里葉變換的關系 0de)()(ttfsFstRes 0 ttfFtde)()(jj要討論其關系，要討論其關系，f(t)必須為因果信號。必須為因果信號。 根據(jù)收斂坐標根據(jù)收斂坐標 0的值可分為以下三種情況：的值可分為以下三種情況： （1） 0-2；則則 F(j )=1/( j +2)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-141414頁頁頁電子教案4.1 4.1 拉

12、普拉斯變換拉普拉斯變換（2） 0 =0，即即F(s)的收斂邊界為的收斂邊界為j 軸，軸， )(lim)(j0sFF如如f(t)= (t)F(s)=1/s 2202200limlim1lim)(jjjF= ( ) + 1/j （3） 0 0，F(xiàn)(j )不存在。不存在。 例例f(t)=e2t (t) F(s)=1/(s 2) , 2；其傅里葉變；其傅里葉變換不存在。換不存在。信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-151515頁頁頁電子教案4.2 4.2 拉普拉斯變換性質拉普拉斯變換性質4.2 4.2 單邊拉普拉斯變換性質單邊拉普拉斯變換性質一、線性性質一、線性性質

13、若若f1(t)F1(s) Res 1 , f2(t)F2(s) Res 2則則 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s) Resmax( 1, 2) 例例f(t) = (t) + (t)1 + 1/s， 0 0022000022000cos()/ 2,0sin()/ 2,0jtjtssjtjtsteeteej信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-161616頁頁頁電子教案4.2 4.2 拉普拉斯變換性質拉普拉斯變換性質 例：如圖信號例：如圖信號f(t)的拉氏變換的拉氏變換F(s) =)ee1 (e2sssss 求圖中信號求圖中信號y(t)的

14、拉氏變換的拉氏變換Y(s)。0121f(t)t0424y(t)t 解：解：y(t)= 4f(0.5t) Y(s) = 42 F(2s) )e2e1 (2e82222sssss)e2e1 (e22222sssss二、尺度變二、尺度變換換若若f(t) F(s) , Res 0，且有實數(shù)，且有實數(shù)a0 ，則則f(at) )(1asFaResa 0信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-171717頁頁頁電子教案4.2 4.2 拉普拉斯變換性質拉普拉斯變換性質三、時移（延時）特性三、時移（延時）特性 若若f(t) F(s) , Res 0, 且有實常數(shù)且有實常數(shù)t00

15、,則則f(t-t0) (t-t0)e-st0F(s) , Res 0 與尺度變換相結合與尺度變換相結合f(at-t0) (at-t0)asFasat0e1011f1(t)t01-11tf2(t)-t2(2)2211例1：e(2)(2)tssteetee信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-181818頁頁頁電子教案4.2 4.2 拉普拉斯變換性質拉普拉斯變換性質 121T1T111( )211例2： 單邊沖激( )1例3： 單邊周期信號 f( )( )( )()(2 ) ( )(1)sTsTsTs TeF SsTs Teteettf tf tTf tTF se

16、e1 f( )tT f( )( )tt0T2T 3Tt信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-191919頁頁頁電子教案四、復頻移（四、復頻移（s s域平移）特性域平移）特性 若若f(t) F(s) , Res 0 , 且有復常數(shù)且有復常數(shù)sa= a+j a,則則f(t)esat F(s-sa) , Res 0+ a 例例1:已知因果信號已知因果信號f(t)的象函數(shù)的象函數(shù)F(s)= 12ss求求e-tf(3t-2)的象函數(shù)。的象函數(shù)。 解：解：e-tf(3t-2) )1(322e9) 1(1sss2-2t2(2)9例2： ecos 3sst223(2)9sin

17、 3tset信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-202020頁頁頁電子教案4.2 4.2 拉普拉斯變換性質拉普拉斯變換性質五、時域的微分特性（微分定理）五、時域的微分特性（微分定理） 若若f(t) F(s) , Res 0, 則則f(t) sF(s) f(0-) f(t) s2F(s) sf(0-) f(0-) f(n)(t) snF(s) 10)(1)0(nmmmnfs若若f(t)為因果信號，則為因果信號，則f(n)(t) snF(s) 11例1： ( )( )(0 )1sstts( )ts( )( )nnts信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)

18、教研中心第第第5-5-5-212121頁頁頁電子教案4.2 4.2 拉普拉斯變換性質拉普拉斯變換性質ddt例2： cos 2 ?tddt例3： cos 2 ( )?ttddt例4： ( )tsset例5： 微分方程i( )5 ( )6 ( )3( ),初始條件 (0 )0, (0 )1,求 ( ).tti ti tetiii t解 設i(t)I(s),方程兩邊取拉氏變換23(1)2(4)(1)(4)1.520.5(1)(2)(3)123-t23( )(0)(0 )5( )(0 )6 ( )(56) ( )( )取拉氏反變換i(t)=1.5e20.5,0sssssssssstts I ssiis

19、I siI sssI sI seet信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-222222頁頁頁電子教案4.2 4.2 拉普拉斯變換性質拉普拉斯變換性質六、時域積分特性（積分定理）六、時域積分特性（積分定理） -0t(-1)(-1)1-s-t(-1)F(s)s0F(s)s若 f(t)F(s)(單邊拉氏變換)，Res，則 (1) f(t)=f( ) d+f(0 ) (2) f(t)=f( ) d ( 1)結論要求( ) 的單邊拉氏變換的收斂域Res0.ft100證：( )( )( )tttststsfdfdedtfdde 1100( 1)( )1-( )( )0(

20、)( ) 的收斂域Res0或 ( )波形凈面積為零時，結論（1）成立；積分下限為0 時，結論（2）成立。tststssF ssstefdf t edttf t dtftf t信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-232323頁頁頁電子教案4.2 4.2 拉普拉斯變換性質拉普拉斯變換性質 f(t)10t2t220 f (t)0 f (t)2()2()4()tss2s222(12)2(1)eees2222(1)se例1：信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-242424頁頁頁電子教案4.2 4.2 拉普拉斯變換性質拉普拉斯變換性質

21、例2：教材P159例4.29應用時域積分性質計算f(t)的單邊拉氏變換：nnF ( )ndt方法一：f(t)(因果、非因果), F( ) 為 ( )( ) 的單邊拉氏變換；nnssdsf tt( )(0 )( )n方法二： ( )(非因果) F( ) 為( ) 的單邊拉氏變換。nnFsfssnf tsft信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-252525頁頁頁電子教案4.2 4.2 拉普拉斯變換性質拉普拉斯變換性質七、卷積定理七、卷積定理 時域卷積定理時域卷積定理 若因果函數(shù)若因果函數(shù) f1(t) F1(s) , Res 1 , f2(t) F2(s) , R

22、es 2 則則 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s) 復頻域（復頻域（s域）卷積定理域）卷積定理 jcjcsFFtftfd)()(j21)()(2121213F(s)?(1 e)ss例 ：已知00)2()2(*)(nnntntt1TT1( )T1例1：單邊周期信號f( )( )( )*( )( ) f( )( )sTF settf tttttff例2：系統(tǒng)零狀態(tài)響應 時域：y ( )( )*( ) S 域： Y( )( ) ( )LTIth tf tsH s F s信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-262626頁頁頁電子教案4.2 4.2 拉普拉斯

23、變換性質拉普拉斯變換性質八、八、s s域微分和積分域微分和積分 若若f(t) F(s) , Res 0, 則則 ssFtftd)(d)()(nnnssFtftd)(d)()(例例1：t2e-2t (t) ? e-2t (t) 1/(s+2) t2e-2t (t) 322) 2(2)21(ddssssdFttf)()(信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-272727頁頁頁電子教案4.2 4.2 拉普拉斯變換性質拉普拉斯變換性質例例2：?)(sinttt11)(sin2sttsstttss1arctanarctan2arctand11)(sin2例例3：?e12

24、tt211e12sstssssssstesst2ln211ln1d)21111(12信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-282828頁頁頁電子教案4.2 4.2 拉普拉斯變換性質拉普拉斯變換性質九、初值定理和終值定理九、初值定理和終值定理 初值定理和終值定理常用于由初值定理和終值定理常用于由F(s)直接求直接求f(0+)和和f(），），而不必求出原函數(shù)而不必求出原函數(shù)f(t)初值定理初值定理設函數(shù)設函數(shù)f(t)不含不含 (t)及其各階導數(shù)（即及其各階導數(shù)（即F(s)為真分式，為真分式，若若F(s)為假分式化為真分式），為假分式化為真分式），則則 )(lim)

25、(lim)0(0ssFtffst終值定理終值定理 若若f(t)當當t 時存在，并且時存在，并且 f(t) F(s) , Res 0, 00，則，則 )(lim)(0ssFfs信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-292929頁頁頁電子教案4.2 4.2 拉普拉斯變換性質拉普拉斯變換性質例例1：222)(2ssssF2222lim)(lim)0(22sssssFfss0222lim)(lim)(2200sssssFfss例例2：22)(22ssssF22222lim)(lim)0(22ssssssFfss22221)(2ssssF信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技

26、大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-303030頁頁頁電子教案4.2 4.2 拉普拉斯變換性質拉普拉斯變換性質 初值定理證明：初值定理證明：-0000時域微分性質：f( )( )(0 ) (1) 按定義：Lf(t)=( ) sttsF sff t edt0000 (0 )(0 )( )(0 )(0 )( ) (2)ststffsf t edtfff t edt+0s由（1）=（2）得：SF(s)=f(0 )+( ) （3）令 s: lim( )(0 )stf t edtsF Sf 0s0終值定理證明： 對（3）令s0:lim( )(0 )( )(0 )( )(0 )( )sF sff t

27、dtffff 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-313131頁頁頁電子教案4.3 4.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換4.3 4.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換直接利用定義式求反變換直接利用定義式求反變換-復變函數(shù)積分，比較困難。復變函數(shù)積分，比較困難。通常的方法通常的方法 （1）查表）查表 （2）利用性質）利用性質 （3） 部分分式展開部分分式展開 -結合結合 若象函數(shù)若象函數(shù)F(s)是是s的有理分式，可寫為的有理分式，可寫為 01110111.)(bsbsbsasasasasFnnnmmmm若若mn （假分式）（假分式）,可用多項式除法將象函數(shù)可用多

28、項式除法將象函數(shù)F(s)分分解為有理多項式解為有理多項式P(s)與有理真分式之和。與有理真分式之和。 )()()()(sAsBsPsF信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-323232頁頁頁電子教案4.3 4.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換6116332)2(61161531258)(23223234ssssssssssssssF 由于由于L-11= (t)， L -1sn= (n)(t)，故多項式，故多項式P(s)的拉普拉的拉普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構成。斯逆變換由沖激函數(shù)構成。 下面主要討論有理真分式的情形。下面主要討論有理真分式的情形。 部分分式展開法部

29、分分式展開法若若F(s)是是s的實系數(shù)有理真分式（的實系數(shù)有理真分式（mn)，則可寫為，則可寫為 01110111.)()()(bsbsbsasasasasAsBsFnnnmmmm式中式中A(s)稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的特征多項式特征多項式，方程，方程A(s)=0稱為稱為特征特征方程方程，它的根稱為，它的根稱為特征根特征根，也稱為系統(tǒng)的，也稱為系統(tǒng)的固有頻率固有頻率（或（或自然頻率）。自然頻率）。n個特征根個特征根pi稱為稱為F(s)的的極點極點。 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-333333頁頁頁電子教案4.3 4.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換（1）F

30、(s)為單極點（單根）為單極點（單根）nniipsKpsKpsKpsKsAsBsF.)()()(2211ipsiisFpsK)()()(e11tpsLtpii特例：特例：F(s)包含共軛復根時包含共軛復根時(p1,2 = j )j)(j)()()()()(22sssDsBssDsBsF)(jj221sFsKsKBAKsFsKsje |)()j(j1j1K2 = K1*信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-343434頁頁頁電子教案4.3 4.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換je|je|jj)(j1j1211sKsKsKsKsF f1(t)=2|K1|e- tc

31、os( t+ ) (t) 若寫為若寫為K1,2 = A jBf1(t)= 2e- tAcos( t) Bsin( t) (t) 例例1:1:10(2)(5)( ),(1)(3)ssF ss ss已知求其逆變換312( )13kkkF smnsss解：部分分解法（）100( )10(2)(5)100(1)(3)3ssksFsssss其 中信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-353535頁頁頁電子教案4.3 4.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換211(1)( )10(2)(5)20(3)ssksFssss s 解 ：333(3)( )10(2)(5)10(1)3

32、ssksF ssss s 1002010( )313(3)Fssss解 ：)(e310e203100)(3ttftt信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-363636頁頁頁電子教案4.3 4.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換例例2:2:32597( ),(1)(2)sssF sss已 知求 其 逆 變 換( )F s解：長除法23277223795232223232ssssssssssssss信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-373737頁頁頁電子教案4.3 4.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換12( )212kkF ss

33、ss解 ： 分 式 分 解 法 11223(1)2(1)(2)311ssskssssks 其 中 21( )212F ssss)()ee2()(2)( )(2ttttftt信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-383838頁頁頁電子教案4.3 4.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換例例3 3223( ),(25)(2)sF ssss已知求其逆變換23( )(12)(12)(2)sF ssjsjs 解：01212122kkksjsjs 1,2, (1,2 )pj 2112312:(12)(2)5sjsjksjs 解 其中信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系

34、統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-393939頁頁頁電子教案4.3 4.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換12, (,)55AjBAB 1 , 2即 k2237(12)(12)5ssksjsj121275555( )12125(2)jjF ssjsjs 解：1,212,55AB )(e57)2sin(52)2cos(51e2)(2ttttftt信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-404040頁頁頁電子教案4.3 4.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換例例4： 求象函數(shù)求象函數(shù)F(s)的原函數(shù)的原函數(shù)f(t)。 )22)(1)(1(42)(2223sssssssssF解

35、：解：A(s)=0有有6個單根，它們分別是個單根，它們分別是s1=0，s2= 1，s3,4= j1 ，s5,6= 1 j1，故，故 jsKjsKjsKjsKsKsKsF111)(654321 K1= sF(s)|s=0 = 2， K2= (s+1)F(s)|s=-1= 1 K3= (s j)F(s)|s=j=j/2 =(1/2)ej( /2) , K4=K3*=(1/2)e-j( /2) K5= (s+1 j)F(s)|s=-1+j= 43e21jK6=K5*)()43cos(e2)2cos(e2)(ttttftt信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-4141

36、41頁頁頁電子教案4.3 4.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換（2）F(s)有重極點（重根）有重極點（重根） 若若A(s) = 0在在s = p1處有處有r重根，重根， 1,11111111111()()111111()!( )()( )()( )()( ),1,1rrrrr ir ikKkspspsprrdrspspdsrdispr idsF skspF sspF skspF sir r 1,r-1你 k111211111111()()111(1)!( )()( ),1,2,.rrriikkkspspsprdispidsF skspF sir或者信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)

37、教研中心第第第5-5-5-424242頁頁頁電子教案4.3 4.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換舉例舉例: :32(),(1)sFss s已 知求 其 逆 變 換131112232( )(1)(1)(1)kkkkF sssss解：312( )(1)( )sF ssF ss令11 111()23spskFsss 解 ： 其 中11 2121()(2 ) 12spsdkFsd ssss 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-434343頁頁頁電子教案4.3 4.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換1()11!11(1)!( )( )( )( )iiitsistiitt

38、ttt1ii1pi-1111(i-1)!s（s-p）反變換： t e(t) 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-444444頁頁頁電子教案4.3 4.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換121 312411()21422spsdkFsd sss 解 ：2030()22(1)ssksFsss 32( )(1)(1)()Fsssss)()2e2e2e23()(2ttttfttt信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-454545頁頁頁電子教案4.4 4.4 連續(xù)系統(tǒng)的連續(xù)系統(tǒng)的S S域分析域分析4.4 4.4 連續(xù)系統(tǒng)的連續(xù)系統(tǒng)的S

39、S域分析域分析一、連續(xù)信號的S域分解12( )( ),jstjjf tF s e ds t0st應用拉氏反變換，將f(t)分解為F(s)收斂域中不同S的基本信號e 的線形組合。( )fytst二、基本信號e 激勵下的()0( )( )*( )( )( )sts tfsststyth tehedhedeH se式中 H(s)=LH(t) 稱為連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。描述系統(tǒng)的信號傳輸特性。信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-464646頁頁頁電子教案4.4 4.4 連續(xù)系統(tǒng)的連續(xù)系統(tǒng)的S S域分析域分析( ) tf三、一般信號f(t)激勵下的yL T I( )st

40、H s este(0 )0 x1122( )( )( )ststjjF s e dsF s H s e ds （齊次性）112211( )( )( )( )( )( ) ( )( )jjststjjjjffF s e dsF s H s e dsf tytLH s F sLYs （疊加性） 11( )( )( )( )( )( )( )fffysH s F sytLysLH s F s結論：信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-474747頁頁頁電子教案4.4 4.4 連續(xù)系統(tǒng)的連續(xù)系統(tǒng)的S S域分析域分析連續(xù)系統(tǒng)的連續(xù)系統(tǒng)的S域分解步驟：域分解步驟：1(1)

41、( ) ( )(2)( ) ( )( )(3)( )( ) ( )( )(4)( )( )ffF sL f tH sL h tsysH s F sF stLysff求求y計算 注意：H(s)=計算y信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-484848頁頁頁電子教案4.4 4.4 復頻域分析復頻域分析例例1 已知當輸入已知當輸入f(t)=e-t (t)時，某時，某LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應系統(tǒng)的零狀態(tài)響應 yf(t)=(3e-t-4e-2t+e-3t) (t)求該系統(tǒng)的沖激響應。求該系統(tǒng)的沖激響應。 解解65823224) 3)(2()4(2)()()(2ssssss

42、sssFsYsHfh(t)=(4e-2t-2e-3t) (t)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-494949頁頁頁電子教案4.4 4.4 連續(xù)系統(tǒng)的連續(xù)系統(tǒng)的S S域分析域分析2212( )( )( )() ( ).( )( )( ).tttftetyteetf tttt1f2例2：已知LTI系統(tǒng)，輸入f時，其零狀態(tài)響應求輸入為時的零狀態(tài)響應y11( )1( )21111112(1)(2)( )( )( )fysF SSffssssH sysL yt111s+1F （s）=Lf(t)=解：(1)33124332321222122(2)0.50.250.25

43、12(2)( )( )( )( )( )( )sskkkkssssssssssFsL ftsH s Fsf2你 y22(1)1124(1)!( )(221) ( )( )tifiytttettt i1s 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-505050頁頁頁電子教案4.4 4.4 連續(xù)系統(tǒng)的連續(xù)系統(tǒng)的S S域分析域分析 4.5 微分方程的變換解微分方程的變換解 描述描述n階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為 nimjjiiitfbtya00)()()()(系統(tǒng)的初始條件為系統(tǒng)的初始條件為y(0-) ,y(0-),，y(n-1) (0-)。

44、取拉普拉斯變換取拉普拉斯變換)0()()()(101)(pippiiiyssYsty若若f(t)在在t=0時接入，則時接入，則f(j)(t)sjF(s)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-515151頁頁頁電子教案4.4 4.4 復頻域分析復頻域分析niniipmjjjppiiiisFsbysasYsa00100)(1)()0()()()()()()()()()(sYsYsFsAsBsAsMsYfx例例1 描述某描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)的微分方程為 y(t)+5y(t)+6y(t)=2f(t)已知初始條件已知初始條件y(0-)=1，y(0-)=-1，

45、激勵，激勵f(t)=5cost (t)，求系統(tǒng)的全響應求系統(tǒng)的全響應y(t)解：解： 取拉氏變換得取拉氏變換得)(65265)0(5)0( )0()(22sFssssyysysY15)(2sssF信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-525252頁頁頁電子教案15)3)(2(2)3)(2(4)()()(2ssssssssYsYsYfxjsejsessssjj44212133243122y(t)=2e-2t-e-3t-4e-2t+3e-3t+ )()4cos(2tt信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-535353頁頁頁電子教案

46、4.5 4.5 系統(tǒng)微分方程的系統(tǒng)微分方程的S S域解域解B(p)設系統(tǒng)傳輸算子 H(p)=或微分算子方程A(p) A(p)y(t)=B(p)f(t)( )( )( )0( )( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( )xxffftA p y ty ttA p ytB p f tyttB P F ty ttytxffx則 y是齊次方程滿足和初始條件的解。 y是方程滿足初始條件的解。 y(t)是方程A(P)y滿足初始條件的解， 也可由y(t)=y計算求得。應用拉氏變換時域微分性質，可將時域微分方程轉化為S域代數(shù)方程，從而簡化系統(tǒng)響應計算。信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電

47、子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-545454頁頁頁電子教案4.5 4.5 系統(tǒng)微分方程的系統(tǒng)微分方程的S S域解域解2,( )( ), (0 )1,(56)(0 )2,( )( )( ).txff tetyppy tyty t3p+1例：已知H(p)= y求、和( )5 ( )6 ( )3( )( )ty ty tf tf t解：輸入輸出方程 y2237542356(1) ( )( ) 5 ( ) 6 ( ) 0( ) 0( )7( )( ) 54,0 xxxttsssssy tty ty tssssteet x2-xxxxxx2xxx y sy(s)-sy(0 )-y(0 )+

48、5sY(s)-y(0 )+6Y (s +5s+6)Y Y y信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-555555頁頁頁電子教案4.5 4.5 系統(tǒng)微分方程的系統(tǒng)微分方程的S S域解域解223(2)( )( )5( )6( )3( )( )( )5( )6( )3( )( )( )(31) ( )311154( )561123( )54,0fffffftttyttytytf tf tYssYsYssF sF sssF sssssssssteeetf22ff f y s (s +5s+6)Y Y y信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-

49、5-565656頁頁頁電子教案4.5 4.5 系統(tǒng)微分方程的系統(tǒng)微分方程的S S域解域解2222(3) ()() 5 () 6 () 3 ()()(0)3 173 1( )( )5 65 65 65 6( )ytty tytf tf tsssFsFssssssssss Y 2- -x y sY(s)-sy(0)-y(0)+5sY(s)-y(0)+6Y(s)=3sF(s)+F(s)(s+5)y(0)+y Y(s)= =Y23( )()() 108,0ftttfsty teee tx y(t)=y信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-575757頁頁頁電子教案4.

50、64.6電路的電路的. 電路的電路的s域求解域求解 對時域電路取拉氏變換對時域電路取拉氏變換 1、電阻、電阻 u(t)= R i(t)2、電感、電感 ttiLtuLd)(d)(U(s)= sLIL(s) LiL(0-) sisUsLsILL)0 ()(1)(i(t)u(t)RI(s)U(s)RLu(t)iL(t)U(s)= R I(s)U(s)sLIL(s)LiL(0 -)IL(s)sLiL(0 -)/sU(s)或信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-585858頁頁頁電子教案4.4 4.4 復頻域分析復頻域分析3、電容、電容 ttuCtiCd)(d)(I(s

51、)=s C UC(s) CuC(0-) susIsCsUCC)0()(1)(I(s)UC(s)CuC(0 -)或sC1suC)0(sC1I(s)UC(s)Ci(t)uC(t)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-595959頁頁頁電子教案4.4 4.4 復頻域分析復頻域分析例例 如圖所示電路，已知如圖所示電路，已知uS(t) = (t) V，iS(t) =(t)，起，起始狀態(tài)始狀態(tài)uC(0-) =1V，iL(0-) = 2A，求電壓，求電壓u(t)。 0.51F1HuS(t)iS(t)iL(t)uC(t)u(t)(a)1/s1/s0.5IS(s)US(s)s2

52、/sU(s)(b)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-606060頁頁頁電子教案0101LCiAuV信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-616161頁頁頁電子教案 11221220110110CsCLuRIsIsUssCsCsuIsRsL IsLisCsCs 222211322cos4LtLsIsIsssitet信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-626262頁頁頁電子教案 1121222011011021132cos04cXXcXLLXXtLXuRIsIssCsCsuIsRsLLisC

53、sCssIsIssitett 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-636363頁頁頁電子教案 221122222221111122411322 2cos4sfsLfLfsLfstLfRsLUssCIsZ sRZ sRsLsCUssCIsZ sRsLsCIsH sUsssIsH s Usssitett信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-646464頁頁頁電子教案4.6 4.6 電路響應的電路響應的S S域分析域分析S域分析域分析：時域模時域模型型S域模型域模型應用方程法應用方程法/等效法建立等效法建立S域域電路方程（代數(shù)方程

54、）電路方程（代數(shù)方程）求求S域解域解由反變換得到由反變換得到時時域解域解 1. S域元件模型域元件模型R：(a)i(t)Ru(t)(b)I(s)RU(s)( )( )utki t( )( )u sRI s信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-656565頁頁頁電子教案4.6 4.6 電路響應的電路響應的S S域分析域分析L：(a)i(t)Lu(t)(b)I(s)sLU(s)( )( )u tLi t( )( )(0 )(0 )1( )( )LLu ssLI sLiiI su ssLs(a)I(s)U(s)sLLi(0)(b)I(s)U(s)sLiL(0-)s信

55、號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-666666頁頁頁電子教案4.6 4.6 電路響應的電路響應的S S域分析域分析C：(b)I(s)U(s)(a)i(t)Cu(t)sC1( )( )i tcu t1( )( )(0 )(0 )( )( )ccscI sscu scuuu sI ss(b)I(s)U(s)C uC(0)(a)I(s)U(s)sC1u(0)ssC1信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-676767頁頁頁電子教案4.6 4.6 電路響應的電路響應的S S域分析域分析2. S域電路模型域電路模型用用S域元件代替時域元

56、件域元件代替時域元件S域電路模型域電路模型 運算電流運算電流I（s）、電壓）、電壓u(s);運算阻抗、導納。運算阻抗、導納。3. 基本定律基本定律S域形式域形式( )0( )0( )0( )0kkkkkki tIstUskk對任一節(jié)點、割集：對任一網(wǎng)孔、回路： u信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-686868頁頁頁電子教案4.6 4.6 電路響應的電路響應的S S域分析域分析4.S域分析步驟：域分析步驟：Step1: 確定電容初始電壓、電感初始電流；確定電容初始電壓、電感初始電流；Step2：畫出：畫出S域電路模型；域電路模型；Step3：用方程法：用方程

57、法/等效法建立等效法建立S域電路方程，并求出域電路方程，并求出S域響應；域響應；Step4：取拉氏反變換，求得時域響應。：取拉氏反變換，求得時域響應。注意：注意：（1）S域電路模型中內(nèi)電源的參考方向。域電路模型中內(nèi)電源的參考方向。（2）可直接求出完全響應。求）可直接求出完全響應。求 時應分別時應分別 令激勵和內(nèi)電源為零令激勵和內(nèi)電源為零( )( )xfy tyt、信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-696969頁頁頁電子教案4.4 4.4 復頻域分析復頻域分析二、系統(tǒng)函數(shù)二、系統(tǒng)函數(shù) 系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H(s)定義為定義為 )()()()()(fdefsAsB

58、sFsYsH它只與系統(tǒng)的結構、元件參數(shù)有關，而與激勵、初始它只與系統(tǒng)的結構、元件參數(shù)有關，而與激勵、初始狀態(tài)無關。狀態(tài)無關。 h(t) H(s) 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-707070頁頁頁電子教案4.4 4.4 復頻域分析復頻域分析三、系統(tǒng)的三、系統(tǒng)的s域框圖域框圖 1/s1/sF(s)F(s)/s1s1s4132F(s)Y(s)求求H(s)X(s)S-1X(s)S-2X(s)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-717171頁頁頁電子教案 例例1 描述某描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)的微分方程為 y(t)+5

59、y(t)+6y(t)=2f(t) 已知初始狀態(tài)已知初始狀態(tài)y(0-)=1，y(0-)=-1，激勵，激勵f(t)=5cost (t)， 求系統(tǒng)的全響應求系統(tǒng)的全響應y(t)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-727272頁頁頁電子教案4.4 4.4 連續(xù)系統(tǒng)的連續(xù)系統(tǒng)的S S域分析域分析解：解： 取拉氏變換得取拉氏變換得)(65265)0(5)0( )0()(22sFssssyysysY15)(2sssF15)3)(2(2)3)(2(4)()()(2ssssssssYsYsYfxjsejsessssjj44212133243122y(t)=2e-2t-e-3t

60、-4e-2t+3e-3t+ )()4cos(2tt信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-737373頁頁頁電子教案一一. .方框圖表示方框圖表示 ：1. 1. 基本運算單元：基本運算單元： f (t)af (t)aF(s)aF(s)a(a)f1(t) f2(t)f1(t)f2(t)F1(s) F2(s)F1(s)F2(s)(b)y(t) f ()dF(s)Y(s)(c)s1F(s)st-f (t)(a) 數(shù)乘器數(shù)乘器； (b) 加法器加法器；(c) 積分器積分器 4.7 連續(xù)系統(tǒng)的表示與模擬連續(xù)系統(tǒng)的表示與模擬信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研