二重積分的換元法

1、第三講第三講 二重積分的換元法二重積分的換元法 內(nèi)容提要內(nèi)容提要 1.1.二重積分的換元積分公式；二重積分的換元積分公式； 2.2.極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算。極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算。 教學(xué)要求教學(xué)要求 1.掌握二重積分的換元積分公式；掌握二重積分的換元積分公式； 2.熟練掌握極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算。熟練掌握極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算。復(fù)習(xí)：二重積分復(fù)習(xí)：二重積分在直角坐標(biāo)系下在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算的計(jì)算 Dyxf),(1. 在直角坐標(biāo)系下在直角坐標(biāo)系下二重積分二重積分 Dyxf),(dxdy d2.二重積分二重積分在直角坐標(biāo)系下在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算：的計(jì)算： Ddxdyyxf),( )()(2

2、1),(xxdyyxf badx )()(21),(yydxyxf xdxx ydyy d dcdy型型 X型型 Yxyo r r l為為鄰鄰邊邊的的矩矩形形和和近近似似地地看看成成以以rl rl 即即 rr 扇環(huán)扇環(huán)的面積的面積 的近似公式：的近似公式： )(:. 2 rr 曲線的極坐標(biāo)方程曲線的極坐標(biāo)方程ox)( rr 預(yù)備知識(shí)：預(yù)備知識(shí)：1. 如圖如圖: 1.1.二重積分的換元法二重積分的換元法(1)(1) 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分時(shí)，在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分時(shí)，2222byxa 如積分區(qū)域?yàn)槿绶e分區(qū)域?yàn)閛xy必須化為必須化為四個(gè)小區(qū)域四個(gè)小區(qū)域來計(jì)算，來計(jì)算， 因此，有必要學(xué)習(xí)在其

3、他坐標(biāo)系下因此，有必要學(xué)習(xí)在其他坐標(biāo)系下如極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分如極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分.這就需要進(jìn)這就需要進(jìn)行變量代換，有如下定理行變量代換，有如下定理.下非常煩瑣，下非常煩瑣，相當(dāng)麻煩。相當(dāng)麻煩。在某些情況在某些情況.),(),(),(),(:)3(; 0),(),(),()2(),(),()1(),(),(:),( DDdudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDDTvuyxvuJDDvuyvuxDxoyDuovvuyyvuxxTDxoyyxf是一對(duì)一的，則有是一對(duì)一的，則有變換變換上雅可比式上雅可比式在在；上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在在且滿足且滿足，平面上的平面上的變?yōu)樽?/p>

4、為平面上的閉區(qū)域平面上的閉區(qū)域?qū)⑦B續(xù)，變換連續(xù)，變換上上平面上的閉區(qū)域平面上的閉區(qū)域在在設(shè)設(shè)定理定理Do Df) (.為為圓圓心心的的圓圓弧弧進(jìn)進(jìn)行行劃劃分分以以出出發(fā)發(fā)的的射射線線和和用用從從將將區(qū)區(qū)域域OOD rrr 則則 rr d于于是是面面積積微微元元 ddrr Ddyxf ),(故故 sin,cos rrr rr ddr.),(),(),(),(:)3(; 0),(),(),()2(),(),()1(),(),(:),( DDdudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDDTvuyxvuJDDvuyvuxDxoyDuovvuyyvuxxTDxoyyxf是一對(duì)一的，則有是一對(duì)一的，則有

5、變換變換上雅可比式上雅可比式在在；上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在在且滿足且滿足，平面上的平面上的變?yōu)樽優(yōu)槠矫嫔系拈]區(qū)域平面上的閉區(qū)域?qū)⑦B續(xù)，變換連續(xù)，變換上上平面上的閉區(qū)域平面上的閉區(qū)域在在設(shè)設(shè)定理定理 )()(21 )sin,cos( rrdrrrf Dddrrrrf )sin,cos( 二重積分化為二次積分時(shí)，根據(jù)積分區(qū)域二重積分化為二次積分時(shí)，根據(jù)積分區(qū)域 D 的特征，可分為以下三種情況：的特征，可分為以下三種情況：（1）極點(diǎn)）極點(diǎn) O 在區(qū)域在區(qū)域 D 的外部的外部 )()(21 rrr Do)(2 rr )(1 rr :Dr doD )(0 )sin,cos( rdrr

6、rf（2）極點(diǎn)）極點(diǎn) O 在區(qū)域在區(qū)域 D 的邊界上的邊界上 )(0 rr Dddrrrrf )sin,cos()( rr :Dr（3）極點(diǎn)）極點(diǎn) O 在區(qū)域在區(qū)域 D 的內(nèi)部的內(nèi)部Do )( rr :D)(0 rr 20 Dddrrrrf )sin,cos( )(0 )sin,cos( rdrrrfr d 20d 計(jì)算計(jì)算dxdyyxD )1(22例例1 .122 yxD為為其其中中積積分分區(qū)區(qū)域域oxy1解解 drdrrD )1(2 sincosryrx1 r圓的極坐標(biāo)方程為圓的極坐標(biāo)方程為 2010:rD故故由直角坐標(biāo)化由直角坐標(biāo)化極坐標(biāo)公式極坐標(biāo)公式dxdyyxD )1(22 1022

7、0)1(rdrrd 10320)(drrrd 2010424121drr 2041d2 Daa解解dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae oxy sincosryrxar 圓的極坐標(biāo)方程為圓的極坐標(biāo)方程為 200:arD故故 arrded0220)(2 200221dear由直角坐標(biāo)化由直角坐標(biāo)化極坐標(biāo)公式極坐標(biāo)公式計(jì)算計(jì)算dxdyeDyx 22.222ayxD 為為其其中中積積分分區(qū)區(qū)域域21 練習(xí)練習(xí) 計(jì)算計(jì)算 dyxD 22例例2 .)(222ayaxD 為為其其中中積積分分區(qū)區(qū)域域 cos20:arD故故222)(ayax cos2ar 解解oxy dyxD 22

8、 cos20222adrrd 2233cos38 da 2033cos316 da 2023sincos316 da3932a 22 例例3 計(jì)計(jì) 算算dxdyyxD)(22 ， 其其 D 為為 由由 圓圓 yyx222 ，yyx422 及及直直線線yx3 0 ， 03 xy 所所圍圍成成的的平平面面閉閉區(qū)區(qū)域域. 解解6 3 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 xy03 yxoxyyyx222 yyx422 03 yx03 xy 2. 2. 二重積分的換元法（二重積分的換元法（2 2） .sin,

9、cosryrx間的關(guān)系為間的關(guān)系為坐標(biāo)與極坐標(biāo)之坐標(biāo)與極坐標(biāo)之平面上同一個(gè)點(diǎn)，直角平面上同一個(gè)點(diǎn)，直角的一種變換，的一種變換，坐標(biāo)平面坐標(biāo)平面到直角到直角標(biāo)平面標(biāo)平面上式可看成是從直角坐上式可看成是從直角坐xoyro 換是一對(duì)一的換是一對(duì)一的，且這種變，且這種變平面上的一點(diǎn)平面上的一點(diǎn)成成，通過上式變換，變，通過上式變換，變面上的一點(diǎn)面上的一點(diǎn)平平即對(duì)于即對(duì)于),(),(yxMxoyrMro 例例1 1解解所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域線線軸和直軸和直軸、軸、由由其中其中計(jì)算計(jì)算2, yxyxDdxdyeDxyxy,xyvxyu 令令.2,2uvyuvx 則則,DD Dxyo2 yxD uvov

10、u vu 2 v. 22;0;0 vyxvuyvux即即),(),(vuyxJ ,2121212121 DvuDxyxydudvedxdye21故故 vvvuduedv2021 201)(21vdvee.1 ee例例2 2解解所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域橢圓橢圓為為其中其中計(jì)算計(jì)算1,122222222 byaxDdxdybyaxD.20, 0, 0, 0 rba其中其中 ,sin,cosbryarx作廣義極坐標(biāo)變換作廣義極坐標(biāo)變換,20,10),( rrDD在在這這變變換換下下.),(),(abrryxJ 故換元公式仍成立，故換元公式仍成立，處為零，處為零，內(nèi)僅當(dāng)內(nèi)僅當(dāng)在在0 rDJ drd

11、abrrdxdybyaxDD 2222211.32ab 小小 結(jié)結(jié)一般地，當(dāng)積分區(qū)域?yàn)閳A形、扇形、環(huán)形區(qū)域，一般地，當(dāng)積分區(qū)域?yàn)閳A形、扇形、環(huán)形區(qū)域，而被積函數(shù)中含有而被積函數(shù)中含有 的項(xiàng)時(shí)，的項(xiàng)時(shí)，22yx 二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算公式二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算公式 Drdrdrrf )sin,cos( )()(21)sin,cos( rrrdrrrfd )(0)sin,cos( rrdrrrfd )(020)sin,cos( rrdrrrfd 采用極坐標(biāo)采用極坐標(biāo)計(jì)算往往比較方便計(jì)算往往比較方便.的形式的形式同時(shí)也兼顧被積函數(shù)同時(shí)也兼顧被積函數(shù)的形狀，的形狀，于積分區(qū)域于積分區(qū)域作什么變換主要取決作什么變換主要取決),(1yxfD基本要求基本要求: :變換后定限簡(jiǎn)便，求積容易變換后定限簡(jiǎn)便，求積容易.),(),(1),(),(. 2yxvuvuyxJ （在積分中注意使用（在積分中注意使用對(duì)稱性對(duì)稱性） 計(jì)算計(jì)算 deyxyyxD2)( ，其中，其中 D：1 yx，