南京信息工程大學(xué) 熱力學(xué) 期末復(fù)習(xí)題及參考答案(內(nèi)部資料)

1、參 考 答 案1.1試求理想氣體的體脹系數(shù)，壓強(qiáng)系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)【解】由理想氣體狀態(tài)方程pV=nRT，可知：1.3在0和1pn下，測得一銅塊的體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)分別為 = 4.85*10-5 K-1和T = 7.8*10-7 pn-1，和T可近似看作常量。今使銅塊加熱至10，問：（1）壓強(qiáng)要增加多少pn才能使銅塊體積不變？（2）若壓強(qiáng)增加100pn，銅塊體積改變多少？【解法一】（1）銅塊體積不變時，壓強(qiáng)僅是溫度的函數(shù)，故，又，所以，積分得：（2）因和T很小，而T和p不甚大，故上式右端近于零，從而有下列近似：注：ln(1+dx) dx，ln(1+x)x，x很小時，即體積變化率【注】以上解法

2、中數(shù)學(xué)、物理概念嚴(yán)格，邏輯清楚，同學(xué)們在解題時應(yīng)借鑒。同時該法具有普遍適用性，不依賴于兩個系數(shù)是否很小，是否為常量。此外，該解法不依賴于物態(tài)方程是否能記住。因此該法需著重掌握！學(xué)習(xí)微積分的目的就是要學(xué)會用微元和變化的思想來解決問題，這一基本思想具有極其重要的意義，這是相對于中學(xué)學(xué)習(xí)在思想方法上質(zhì)的飛躍。真正掌握這點本科階段學(xué)習(xí)可近乎無難題！【解法二】銅塊的和T很小，并題設(shè)可視作常量，此時銅塊滿足物態(tài)方程： （1），其中T = T-T0，p = p-p0。（1）當(dāng)改變溫度（注：壓強(qiáng)隨之而變）時，體積不變，即，可知：=0，從而（2）由式（1）易得：，代入數(shù)據(jù)得體積變化率1.4簡單固體和液體的和T都

3、很小，在一定溫度范圍內(nèi)（注：范圍不太寬）可視作常量。試證明簡單固體和液體的物態(tài)方程可近似為，其中T = T-T0，p = p-p0?！咀C】由上題【解法一】（2）知：將上式中V替換為V0(T0,p0)，V替換為V(T,p)-V0(T0,p0)，略作變形即得題中物態(tài)方程。1.7抽成真空的小匣帶有活門，打開活門讓氣體沖入，當(dāng)壓強(qiáng)達(dá)到外界壓強(qiáng)p0時將活門關(guān)閉。試證明：小匣內(nèi)的空氣在沒有和外界交換熱量之前，它的內(nèi)能與原來在大氣中的內(nèi)能之差U = p0V0，其中V0是原來它在大氣中的體積。若氣體是理想氣體，求它的溫度和體積?！窘狻吭O(shè)想有如圖所示的容器，中部有隔板，左側(cè)抽成真空，右側(cè)與大氣相通。抽去隔板后，

4、右方V0體積的氣體進(jìn)入左側(cè)，并當(dāng)壓強(qiáng)達(dá)到外界壓強(qiáng)p0時將隔板裝上。氣體在該容器中的行為與題設(shè)條件下相同。p0,V,Tp0,V0,T0p0設(shè)容器截面積為S，右側(cè)V0體積的氣體（系統(tǒng)）在恒外壓p0下被推進(jìn)距離為x，則外界對系統(tǒng)做功量W = p0Sx = p0V0。由題設(shè)知上述過程為絕熱過程，故有U = p0V0。對于理想氣體有：dU=CVdT，同時易于想象題設(shè)條件下溫度變化不甚大，故CV可視為常量，從而有U=CV(T -T0) = p0V0 =nRT0，故T = T0，據(jù)此易證V= V0。1.8滿足pVn = C（常量）的過程稱為多方過程，其中常數(shù)n稱多方指數(shù)。試證明：理想氣體在多方過程中的熱容量

5、Cn為【證】設(shè)多方過程中，氣體在溫度改變T時，從外界吸熱Q，由熱一定律知：Q=U-W，而該過程中外界做功量可表為 則，請思考：為什么該過程不是等容過程也可表為CV1.9試證明：理想氣體在某一過程中的熱容量Cn如果是常量，該過程一定是多方過程，多方指數(shù)，假設(shè)氣體的定壓熱容和定容熱容是常量?！咀C】 【注：因輸入法的原因，式中以代表Q，表示微元過程的熱效應(yīng)，等式右端同樣表達(dá)的是微商（但不是導(dǎo)數(shù)，更不是偏導(dǎo)數(shù)），故Q可表為CndT】，從而Q=CndT，據(jù)熱一定律有：W=dU-Q=(CV-Cn)dT，同時W可表為-pdV，故有記，顯然n為常數(shù)，則上式可變?yōu)?，兩邊作不定積分得：pVn = C（常量）故該過

6、程為多方過程。1.11大氣溫度隨高度降低的主要原因是對流層中不同高度之間的空氣不斷發(fā)生對流，由于氣壓隨高度降低，空氣上升時膨脹，下降時收縮?？諝獾膶?dǎo)熱率很小，膨脹和收縮過程可以認(rèn)為是絕熱過程。試計算大氣溫度隨高度的變化率，并給出數(shù)值結(jié)果?！窘狻俊咀ⅲ红豐是系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)，當(dāng)然也可看作狀態(tài)參量，壓強(qiáng)p和熵S可以獨立變化，故物態(tài)方程可表為T = T (p, S)?！繉 = T (p, S)求全微分，并假定氣體經(jīng)歷一準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程（熵不變，dS=0）得：將教材提示的兩式代入，即得：，式中M為空氣摩爾質(zhì)量。溫度、壓強(qiáng)（高度）變化不是太大時，視為常數(shù)，值為1.4。1.12假設(shè)理想氣體的Cp和CV之比是

7、溫度的函數(shù)，試求在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程中T和V的關(guān)系。該關(guān)系式中要用到一個函數(shù)F(T)，其表達(dá)式為?！窘狻坷硐霘怏w準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程中有：CVdT=-pdV，代入物態(tài)方程得：兩邊作不定積分，并記，則1(p1, V1, T1)2(p2, V2, T1)3(p3, V3, T2)4(p4, V4, T2)pV1.13利用上題結(jié)果證明：當(dāng)為溫度的函數(shù)時，理想氣體準(zhǔn)靜態(tài)卡諾循環(huán)的效率仍為?！咀C】理想氣體準(zhǔn)靜態(tài)卡諾循環(huán)中，系統(tǒng)從高溫和低溫?zé)嵩刺幍奈鼰崃糠謩e為Q1 = Q12 = -W1 = nRT1lnQ2 = Q3 4 = -W2 = nRT2ln一個循環(huán)中的系統(tǒng)做功量W= Q1 + Q2 = nRT1ln+n

8、RT2ln根據(jù)上題結(jié)論有：V1F(T1)= V4F(T2)和V2F(T1)= V3F(T2)，兩式相除得：，故循環(huán)效率1.14試根據(jù)熱力學(xué)第二定律證明兩條絕熱線不能相交。pV123【證】假定兩條絕熱線可以相交（如圖2-3和1-3）則在p-V圖上總可作出一條等溫線（如圖1-2）和該兩條絕熱線相交【注：因絕熱線斜率的絕對值恒大于等溫線】，并使三條曲線圍成的面積不等于零。則在圖示的可逆循環(huán)中，系統(tǒng)僅從單一熱源吸熱（在1-2的等溫過程中），并將其全部轉(zhuǎn)化為有用功（吸熱量和做功量等于曲線圍成的面積）。顯然違背熱二定律的開爾文說法。故原假定錯誤，從而證明兩條絕熱線不能相交。1.15熱機(jī)在循環(huán)中與多個熱源交

9、換熱量。在熱機(jī)從中吸熱的熱源中，熱源的最高溫度為T1，在熱機(jī)向其放熱的熱源中，熱源的最低溫度為T2。試根據(jù)克氏不等式證明，熱機(jī)的效率不超過【證】設(shè)有m個高溫?zé)嵩碩i（i=1m），系統(tǒng)從中分別吸熱Qi，maxTi=T1，n個低溫?zé)嵩碩j（j=1n），系統(tǒng)向其分別放熱Qj，minTj=T2。由克氏不等式有：，而，故有：，從而pV1(p1,V1,T1)2(p1,V2,T2)3(p2,V2,T1)1.16理想氣體分別經(jīng)等壓過程和等容過程，溫度由T1升至T2。假設(shè)是常數(shù)，試證明前者的熵增為后者的倍。【證】所以等壓過程和等容過程的熵增之比為。1.17 溫度為0的1kg水與溫度為100的恒溫?zé)嵩唇佑|后，水溫

10、達(dá)到100。試求水和熱源的熵變以及整個系統(tǒng)的總熵變。欲使整個系統(tǒng)的總熵變保持不變，應(yīng)如何使水溫從0升高至100？已知水的比熱為4.18 J g K-1【解】設(shè)想水在等壓條件下，依次與無窮多個溫度介于0到100的恒溫?zé)嵩矗ㄏ噜弮蓚€溫度間相差dT）進(jìn)行熱接觸。很明顯，該過程每一步驟中水溫始終與熱源溫度相差一無窮小，傳熱過程無限緩慢，故為可逆過程。水與熱源構(gòu)成的整個系統(tǒng)為孤立系統(tǒng)，故上述過程總熵變?yōu)榱?。記其中任意一個熱源的溫度為T，當(dāng)水與之熱接觸取得該溫度后，再同溫度為T+dT的熱源換熱，則在該微元可逆步驟中，水吸熱Qr = m c dT。 從而，比熱一般用小寫而題設(shè)過程中100的恒溫?zé)嵩次鼰崃繛樗?/p>

11、吸熱量的負(fù)值，即Q = - m c T ，故熱源熵變故題設(shè)過程的總熵變?yōu)?84 J K-11.18 10A的電流通過一個25歐的電阻器，歷時1s。（a）若電阻器保持為室溫27，試求電阻器的熵增。（b）若電阻器被一絕熱殼包裝起來，其初溫為27，電阻器的質(zhì)量為10g，比熱為0.84 J g K-1，問電阻器的熵增為何？【解】（a）【注：本題未說明電阻器受到的外壓有變化，視為等壓；未說明電阻器材料各向異性，視為各向同性，否則本題無法討論】電阻器在等壓條件下，溫度不變，說明電阻器狀態(tài)不變，故熵變?yōu)榱?。（b）設(shè)電阻器初溫為T1，終溫為T2，則I2Rt = mc(T2- T1)，代入數(shù)據(jù)有102×

12、;25×1=10×0.84×(T2-300)，得T2 = 598 K?，F(xiàn)設(shè)想電阻器經(jīng)一等壓過程緩慢升溫（準(zhǔn)靜態(tài)），則1.19 均勻桿的溫度一端為T1，另一端為T2，試計算達(dá)到均勻溫度1/2(T1+T2)后的熵增?！窘狻咳鐖D所示，設(shè)桿長為l，線密度為，取桿上（x，x+dx）處的質(zhì)量元dm=dx。設(shè)想該質(zhì)量元經(jīng)歷一可逆等壓過程由初溫T0變?yōu)榻K溫1/2(T1+T2)，過程中任一時刻質(zhì)量元的溫度為T，則該質(zhì)量元的微熵變x x+dxT1T2T0其中T0由題意知滿足：，得熵為廣延量，故整個桿的熵變?yōu)橘|(zhì)量元的微熵變dS的積分，即【注】cl=cm=Cp1.20 一物質(zhì)固態(tài)的摩爾熱

13、容為CS，液態(tài)的摩爾熱容為CL。假設(shè)二者可看作常量。在某一壓強(qiáng)下，該物質(zhì)的熔點為T0，摩爾相變潛熱為Q0。求在溫度為T1（T1< T0）時，過冷液體與同溫度下固體的熵差。假設(shè)過冷液體的摩爾熱容也是CL?！窘狻俊咀ⅲ合嘧儩摕崾侵冈诘葴氐葔簵l件下，系統(tǒng)進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)（可逆）相變時的熱效應(yīng)】設(shè)想有n摩爾溫度為T 0的液態(tài)物質(zhì)，分別經(jīng)歷路徑（I）先準(zhǔn)靜態(tài)相變?yōu)楣虘B(tài)，再準(zhǔn)靜態(tài)降溫為T1固體和路徑（II）準(zhǔn)靜態(tài)降溫為T 1的過冷液體。則兩過程的熵變分別為，則過冷液體與同溫度下固體的熵差為1.21 物體的初溫T 1高于熱源的溫度T 2，有一熱機(jī)工作于二者之間，直到物體的溫度降為T2為止。若熱機(jī)從物體吸取的

14、熱量為Q，試根據(jù)熵增加原理證明，熱機(jī)所能輸出的最大功為Wmax = Q - T2 (S1-S2)?！咀C】初溫T 1的物體當(dāng)溫度降為T 2時，熵變?yōu)镾=S2-S1。設(shè)熱機(jī)在經(jīng)歷若干循環(huán)從物體吸取Q的熱量時，向熱源放熱Q2，則熱機(jī)的熵變?yōu)榱?，而熱源的熵變?yōu)镾= Q2/ T 2，對三者構(gòu)成的孤立系統(tǒng)應(yīng)用熵增加原理，有：S2 - S1 + Q2/ T 2 0，即Q2 T 2 (S1 S2)。對熱機(jī)應(yīng)用熱力學(xué)第一定律有：W = Q- Q2 Q - T2 (S1-S2)。故Wmax = Q - T2 (S1-S2)。1.22 有兩個相同的物體，熱容量為常量，初始溫度同為T 1，今令一制冷機(jī)在此兩物體間工作

15、，使其中一個物體的溫度降為T 2為止。假設(shè)物體維持在定壓下，并且不發(fā)生相變，試根據(jù)熵增加原理證明，此過程所需的的最小功為【證】設(shè)當(dāng)一個物體的溫度降為T 2時，另一物體的溫度升為T3，根據(jù)熵增加原理有兩物體的熵變之和不小于零（熱機(jī)在循環(huán)過程中狀態(tài)復(fù)原熵變?yōu)榱悖?，即S1 + S2 = ，由此可導(dǎo)出。以熱機(jī)為系統(tǒng)，系統(tǒng)從一物體中的吸熱量為Q1 = -Cp(T2-T1)，對另一物體的放熱量為Q2 = Cp(T3-T1)，應(yīng)用熱一定律有：W = Q2 -Q1 = Cp(T3 +T2-2T1)，從而TS1234T1T21.23 簡單系統(tǒng)有兩個獨立參量。如果以T，S為獨立參量，可以縱坐標(biāo)表示溫度T，橫坐標(biāo)表

16、示熵S，構(gòu)成T-S圖。圖中的一點與系統(tǒng)的一個平衡態(tài)、一條曲線與一個可逆過程相對應(yīng)。試在圖中畫出可逆卡諾循環(huán)的曲線，并利用T-S圖求其效率。【解】可逆卡諾循環(huán)的曲線如圖所示。圖中12為等溫膨脹過程，曲線下面積（正值）為可逆過程系統(tǒng)吸熱Q1，34為等溫壓縮過程，曲線下面積（正值）為可逆過程系統(tǒng)放熱Q2，23、41為絕熱過程，根據(jù)熱一定律，循環(huán)曲線圍成的面積（正值）為循環(huán)過程系統(tǒng)對外界的做功量W。故循環(huán)效率2.1 已知在體積保持不變時，一氣體的壓強(qiáng)正比于其絕對溫度。試證明在溫度保持不變時，該氣體的熵隨體積而增加。【證】依題意有p=kT，k為常量并顯然大于零。由麥?zhǔn)详P(guān)系得>0，故命題成立。2.2

17、 設(shè)一物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式：p=f(v)T，試證明其內(nèi)能與體積無關(guān)?！咀C】【注】小寫v表示摩爾體積，而，從而，故原命題成立【注】也可用三個偏導(dǎo)數(shù)之積等于-1得到2.3 求證：(a) ；(b) 【證法1】 (a) (b) 【證法2】dH=TdS+Vdp，令dH=0，即得dU=TdS-pdV，令dU=0，即得2.4 已知，求證【證法1】【注】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。也可不必給出復(fù)合函數(shù)關(guān)系，直接用雅可比行列式證明表明U僅為T的函數(shù)，必然有【證法2】U可表為U =U (T, V) = U T (p, V), V，則2.5 試證明一個均勻物體在準(zhǔn)靜態(tài)等壓過程中熵隨體積的增減取決于等壓下溫度隨體積的增減?！咀ⅰ勘绢}表述不嚴(yán)謹(jǐn)，易讓人誤解。本題原意要求證明前一偏導(dǎo)數(shù)的正負(fù)取決于后一偏導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，而不是前者的大小取決于后者的大小。若是作后一理解本命題無法證明?！咀C法1】S可表為S =S (p, T) = S p,T (p, V)，則因Cp和T均大于零，故前一偏導(dǎo)數(shù)的正負(fù)取決于后一偏導(dǎo)數(shù)的正負(fù)【證法2】【證法3】利用麥?zhǔn)详P(guān)系先證明，再利用三個偏導(dǎo)數(shù)之積等于-1，將結(jié)果表為，該法較繁瑣。2.6 證明在相同的壓強(qiáng)降落下，氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹中的溫度降落大于在節(jié)流過程中的溫度