根式的運算技巧

1、精品根式的運算平方根與立方根一、知識要點1 、平方根 ：、定義：如果x2 = a，則 x 叫做 a 的平方根，記作“a ”（ a 稱為被開方數(shù)）。、性質(zhì)：正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；0 的平方根是0；負數(shù)沒有平方根。、算術(shù)平方根：正數(shù)a 的正的平方根叫做a 的算術(shù)平方根，記作“a ”。2 、立方根 ：、定義：如果x3 = a，則 x 叫做 a 的立方根，記作“3 a ”（ a 稱為被開方數(shù)）。、性質(zhì)：正數(shù)有一個正的立方根；0 的立方根是0；負數(shù)有一個負的立方根。3 、開平方（開立方）：求一個數(shù)的平方根（立方根）的運算叫開平方（開立方）。二、規(guī)律總結(jié)：1、平方根是其本身的數(shù)是0 ；算術(shù)平

2、方根是其本身的數(shù)是0 和 1；立方根是其本身的數(shù)是 0 和±1。2、每一個正數(shù)都有兩個互為相反數(shù)的平方根，其中正的那個是算術(shù)平方根；任何一個數(shù)都有唯一一個立方根，這個立方根的符號與原數(shù)相同。3 、 a 本身為非負數(shù)，即a 0 ；a有意義的條件是 a0。4、公式：(2=a（）；3a =3a（ a 取任何數(shù)）。a )a05、非負數(shù)的重要性質(zhì)：若幾個非負數(shù)之和等于0 ，則每一個非負數(shù)都為0 （此性質(zhì)應(yīng)用很廣，務(wù)必掌握）。例 1求下列各數(shù)的平方根和算術(shù)平方根感謝下載載精品（1 ）64；（2） ( 3)2； （3）115 ； 149( 3)2例 2求下列各式的值（1 ）81 ； （2）16 ；

3、 （3）9；（4） ( 4)2.25（5 ）1.44 ，（ 6 ）36 ，（7）25（8） ( 25)249例 3 、求下列各數(shù)的立方根： 343； 210； 0.72927二、巧用被開方數(shù)的非負性求值.大家知道， 當 a0 時， a 的平方根是±a ，即 a 是非負數(shù) .例 4 、若2xx2y6, 求 yx 的立方根 .練習：已知y12x2x12, 求 x y 的值 .感謝下載載精品三、巧用正數(shù)的兩平方根是互為相反數(shù)求值.我們知道， 當 a0 時， a 的平方根是±a ，而 (a )(a )0.例 5 、已知：一個正數(shù)的平方根是2a-1 與 2-a ，求 a 的平方的相反

4、數(shù)的立方根.練習：若 2a3和 a12 是數(shù) m 的平方根，求m 的值 .四、巧解方程例 6 、解方程（ 1 ）（ x+1 ） 2 =36（ 2 ） 27(x+1) 3=64五、巧用算術(shù)平方根的最小值求值.我們已經(jīng)知道a0 ,即 a=0 時其值最小 ,換句話說a 的最小值是零 .例 4 、已知： y=a23(b1) ,當 a 、 b 取不同的值時，y 也有不同的值.當 y 最小時 ,求 b a 的非算術(shù)平方根.練習：1、 若一個數(shù)的平方根是8 ，則這個數(shù)的立方根是（）A 2B 2C 4D 42、 144 的算術(shù)平方根是， 16 的平方根是；3、若 m 的平方根是 5a1和 a19，則 m =4

5、、327=，64 的立方根是；感謝下載載精品5、 7 的平方根為，1.21=；6、一個數(shù)的平方是9 ，則這個數(shù)是，一個數(shù)的立方根是1 ，則這個數(shù)是；7、平方數(shù)是它本身的數(shù)是；平方數(shù)是它的相反數(shù)的數(shù)是；8、當 x=時，3x 1有意義；當 x=時， 3 5x2 有意義；9、若 x416 ，則 x=；若3n81，則 n=；10、若x3 x ，則 x=；若x2x ，則 x；11、15 的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b,則 a=_, b=_12、解方程： ( x 1) 2324 0（ 2 ） 125( x 2)3343（3） 64( x 3)29 0（ 4 ）1 ( x 1)38 0213 、已知x3y3(

6、z2)20 ，求 xyz 的值。x244 x2y 的值14 、若 yx，求 2x215 、已知：2 的平方根是± 2,2 + +7 的立方根是3，求 2 + 2 的平方根16 、若 y2x112x1，求 xy 的值。感謝下載載精品二次根式一、知識點1. 二次根式： 式子a （ a 0 ）叫做二次根式。2. 最簡二次根式： 必須同時滿足下列條件：被開方數(shù)中不含開方開的盡的因數(shù)或因式；被開方數(shù)中 不含分母 ；分母中 不含根式 。3. 同類二次根式：二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數(shù)相同，則這幾個二次根式就是同類二次根式。4. 二次根式的性質(zhì)：（1 ）（a ） 2= a（ a 0）；（

7、 2）（ 0）0（=0）；（ 0）5. 二次根式的運算：二次根式的加減運算：先把二次根式化成最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可。二次根式的乘除運算： ab = a ? b （ a 0,b 0）；aa a 0,b 0bb【例題講解】一、利用二次根式的雙重非負性來解題（a0 （ a0 ），即一個非負數(shù)的算術(shù)平方根是一個非負數(shù)。）例 1 ： x 取何值時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義。（1 ）（ 2 ）1（ 3）5x(4).x42x1感謝下載載精品例 2：若 2004aa2005 a ，則 a20042 =_；若 yx 33x 4 ，則 x y【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1 、下列各式中一定是二次根式的是（）。A

8、 、3； B、x ；C、 x21 ；D、 x 12、若x( x1)xx 1，則 x 的取值范圍是3、若x3x3 ，則 x 的取值范圍是。x1x14、若20m是一個正整數(shù)，則正整數(shù)m 的最小值是 _5 、設(shè) m 、n 滿足nm299m22mn =。m3，則6、若三角形的三邊a、 b 、 c 滿足 a24a4b 3 =0 ，則第三邊 c 的取值范圍是7 、若 | 4x8 |xym0 ，且 y0 時，則（）A 、 0m1B、 m2C、 m2D 、 m2二、 利用二次根式的性質(zhì) a2=| a|=a(ab)( 即一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個0(a0)a (a0)數(shù)的絕對值 )來解題【例題講解】例 1

9、：已知32 x x3 ，則（）x3x感謝下載載精品A.x0B. 3. 3D.3 0xxx例 2 ：化簡 ( x 2)x1的結(jié)果為（）2A 、 2 x ； B、 x2 ；C、x 2D 、2 x【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1、已知 a<b ，化簡二次根式a 3b 的正確結(jié)果是（）A aabB a abC a ab D aab2、若化簡 |1-x|-x2 8 x16的結(jié)果為2x-5 則（）A 、 x 為任意實數(shù)B、 1 x4C、 x1D 、 x43、已知 a，b ，c 為三角形的三邊，則(a b c) 2(b ca)2(b c a)2 =4、化簡 | xy |x2(xy0)的結(jié)果是（）A y 2xB yC 2

10、x yD y5、已知： a12aa2 =1 ，則 a的取值范圍是（）。A 、 a 0 ； B、 a1； C、 a0 或 1 ； D 、 a 1三、 二次根式的化簡與計算（主要依據(jù)是二次根式的性質(zhì)：（a ） 2 = a （ a0 ），即a 2| a | 以及混合運算法則）【例題講解】（一）化簡與求值例 1 ：把下列各式化成最簡二次根式：（1） 33（2） 412402（3 ） 25m5（ 4 ） x4x2 y282感謝下載載精品例二： 計算： 21113 381250325【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1 、下列哪些是同類二次根式：（1 ）75 ，1 ，12 ，2 ，1 ，3 ，1；（2）2750105 a3 b

11、3 c, a 3b2 c3 ，ab，aac 4bc2 、計算下列各題：（1 ）627 ( 3 3) （ 2） 12ab9a3；（ 3）4a6bc（4） 2 18（ 5）45b3c5a242515433 、已知 x2x，則 x 等于（） A 4 B±2C 2 D±4218 x10x24111123410012399（二）先化簡，后求值：感謝下載載精品11求 (1) x2y2(2)yx1. 直接代入法： 已知 x( 75), y( 75 ),xy222. 變形代入法：（1 ）變條件： 已知： x2，求 x 2x 1 的值。31 .已知 :x= 32 , y32 ，求 3 x2

12、5 xy +3 y2 的值3232（2 ）變結(jié)論：1 、設(shè)3=a ，30 =b ，則0.9=。2、已知 x2 1, y2 1，求xy3。y xx y3 xy3 、已知 xy 5， xy3xy的值xy，（ 1）求x（ 2）求的值yxy感謝下載載精品四、關(guān)于求二次根式的整數(shù)部分與小數(shù)部分的問題1.估算31 2 的值在哪兩個數(shù)之間（）A12B.2 3C. 34D.4 52 若3的整數(shù)部分是a ，小數(shù)部分是b ，則3ab3.已知 9+13與913 的小數(shù)部分分別是 a 和 b ，求 ab 3a+4 b +8的值4.若 a， b 為有理數(shù)，且8 +18 +1 =a+b2 ，則 ba.=8五、二次根式的比

13、較大?。?） 1200和 23（2）56和 65（3） 1715和 15135（4 ）設(shè) a= 32 , b 23 , c5 2,則（）A. a b cB. a c bC. c b aD. b c a六、實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：9 x2 5 y24 x4 4 x2 1x4 +x 26練習：1、若 xab , yab ，則 xy 的值為（）A 2 aB 2 bC a bD a b2 、若 a 2b 3 0 ，則 a2b3、計算：（1 ）（ 2感謝下載載精品（3）（4）4 、先將x2xx 值，代入化簡后的式子求值。x2÷x32x2 化簡，然后自選一個合適的5 、如圖，實數(shù)a 、 b 在數(shù)軸上

14、的位置，化簡 ：a2b2(ab) 26、若，則的取值范圍是ABCD 7、如圖，數(shù)軸上兩點表示的數(shù)分別為1 和，點關(guān)于點的對稱點為點，則點所表示的數(shù)是A BCD 8、已知： a1110 ，求 a212 的值。aa感謝下載載精品9、已知： x, y 為實數(shù)，且 y px11x3 ，化簡：y3y28 y16 。x 3yx29110 、已知3 20，求 xxy111 、先閱讀下列的解答過程，然后作答：有這樣一類題目：將a2b 化簡，若你能找到兩個數(shù)m 和 n ，使 m2n2a 且mnb ，則 a2b 可 變 為 m2n22mn ， 即 變 成 (mn) 2 開 方 ， 從 而 使 得a 2 b 化簡。

15、例如： 526 = 3226=( 3)2( 2)22 23 (32)2， 526(32) 232請仿照上例解下列問題：（1）526；（2）423二次根式運算的技巧二次根式的運算通常是根據(jù)其運算法則進行計算的，但在計算過程中若能巧妙地運用一感謝下載載精品些數(shù)學思想方法，可使問題化繁為簡，易于計算。下面舉例說明二次根式的運算技巧：一、巧移因式法例1、計算 (3248)(184 3)分析：將 32、4 3 根號外的因式移到根號內(nèi)，然后用平方差公式計算比較簡便，或先把 48、 18 化簡，然后利用平方差公式計算解：原式 = (32248)( 18423)= (1848 )( 1848 )=18-48=

16、-30二、巧提公因數(shù)法例 2、計算 (56)(5 2 2 3)分析： 2= (2) 25223 中有公因數(shù)2 ，提出公因數(shù)2 后，可用平方差公式計算解：原式 = (56 )52(2) 23= (56)2(56)=2 (56)(56)= 2 （25-6 ）=192三、公式法例3、計算(236)(236)分析： 巧分組， 出奇制勝， 整式的乘法公式對二次根式的乘法也適用，本題用平方差公式來感謝下載載精品計算很簡便解：原式 = (26 )3(26)3= (26 )2(3) 2= 222663= 543四、因式分解法例 4 、計算 ( x2xyy)(xy )分析：本題若直接按乘除法則計算，顯然很麻煩，

17、若適當分解因式約去公因式，則運算很簡便解：原式 = (x) 22xy(y ) 2 ( xy )= (xy ) 2(xy)=xy五、拆項法64332例 5、化簡(63)(32)分析：本題若直接計算顯然很麻煩，若仔細觀察將分子拆項，則計算會很簡便(63)3(32)解：原式 =( 63)(32)=133263=3263=62六、配方法感謝下載載精品例 6、計算 32 25261983分析： 此題是雙二次根式的加減，必須把復(fù)合二次根式化為一般二次根式，可將根號里的式子化成完全平方式，使問題便于計算解：原式 = (12 )2( 32) 2(43) 2=(21)(32) (43)=-5七、整體代入，別開生

18、面例 5. 已知，求下列各式的值。（1）（2）分析：根據(jù)x 、y 值的特點，可以求得，如果能將所求的值的式子變形為關(guān)于或 xy 的式子，再代入求值要比直接代入求值簡單得多。解：因為所以感謝下載載精品（ 1 ）（2 ）（也可以將變?yōu)閬砬螅┌恕⑶蓳Q元，干凈利索例6. 計算分析：此算式中的兩個公式互為倒數(shù)，若設(shè)，則原式而原式解：設(shè)則所以原式感謝下載載精品例7. 計算分析：有兩種方法，一種換元，一種配方。解法 1：設(shè)兩邊平方因為所以即解法 2：原式感謝下載載精品所以遇到二次根式運算一定認真審題、仔細琢磨， 能否找到運算技巧，達到事半功倍效果感謝下載載精品二次根式的運算測試題姓名班級學號一選擇題 （本題 30 分，每小題 3 分）：1化簡3 3(1 3) 的結(jié)果是()A 3B 3C. 3D 32計算 (28 237)×784 的結(jié)果是()A117B153C21D243計算 (3253)×(