階常系數(shù)線性齊次微分方程

1、特殊：特殊：P(x)= p Q(x)= qP(x)= p Q(x)= q y + py+ qy = f(x) (3) + py+ qy = f(x) (3) 稱為二階常系數(shù)線性非齊次微分方程稱為二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 y + py+ qy = 0 (4) + py+ qy = 0 (4) 稱為二階常系數(shù)線性齊次微分方程稱為二階常系數(shù)線性齊次微分方程 任務(wù)任務(wù)2-1(2.2.1) 2-1(2.2.1) 二階線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)二階線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)定定理理 1 1 如如果果函函數(shù)數(shù))(1xy與與)(2xy是是方方程程( (2 2) )的的兩兩個(gè)個(gè)解解, ,那那末末2211yCyC

2、y 也也是是( (2 2) )的的解解. .（21, CC是是常常數(shù)數(shù)） 問題問題: :一定是通解嗎？一定是通解嗎？2211yCyCy )2(0)()( yxQyxPy定義：設(shè)定義：設(shè)21, yy是定義在區(qū)間是定義在區(qū)間I I內(nèi)的函數(shù)如果內(nèi)的函數(shù)如果常數(shù)12yy 那么稱這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間那么稱這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間I I內(nèi)內(nèi)線性相關(guān)線性相關(guān)否則稱否則稱線性無關(guān)線性無關(guān) 例如例如xx2cos1,cos2xxee，線性無關(guān)線性無關(guān)線性相關(guān)線性相關(guān)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)),( x定定理理 2 2： 如如果果)(1xy與與)(2xy是是方方程程( (2 2) )的的兩兩個(gè)個(gè)線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特解解, , 那那么么2

3、211yCyCy 就就是是方方程程( (2 2) )的的通通解解. . 例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常數(shù)常數(shù)且且 xyy.sincos21xCxCy 即即y1 與與y2線性無關(guān)，線性無關(guān)，所以方程的通解是所以方程的通解是0 qyypy二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式任務(wù)任務(wù)2-2(1.2.2)2-2(1.2.2)二階常系數(shù)線性齊次微分方程的二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法解法1、二階線性齊次微分方程的解的結(jié)構(gòu)（復(fù)、二階線性齊次微分方程的解的結(jié)構(gòu)（復(fù)習(xí)定理習(xí)定理2）2、二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法、二階常系數(shù)線性齊次微分方程的

4、解法特征根法特征根法(1)-(1)-特征方程法特征方程法,rxey 設(shè)設(shè)將其代入上方程將其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy1.1.有兩個(gè)不相等的實(shí)根有兩個(gè)不相等的實(shí)根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 兩個(gè)線性無關(guān)的特解兩個(gè)線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;2121xrxreCeCy )0( 特征根為特征根為2.2.有兩個(gè)相等的實(shí)根有兩個(gè)相等的實(shí)根,11xrey ,221prr )0( 一特解為一特解為得齊次方程的通解為得齊次方程

5、的通解為;)(121xrexCCy 代入原方程并化簡，代入原方程并化簡，將將222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 則則,)(12xrexuy 設(shè)設(shè)另另一一特特解解為為特征根為特征根為3.3.有一對共軛復(fù)根有一對共軛復(fù)根,1 ir ,2 ir ,)(1xiey ,)(2xiey )0( 利用歐拉公式利用歐拉公式)(21211yyy ,cos xex )(21212yyiy,sin xex 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為).sincos(21xCxCeyx 特征根為特征根為重新組合得：重新組合得：sincosiei小結(jié)：求

6、二階常系數(shù)線性齊次微分方程通解的小結(jié)：求二階常系數(shù)線性齊次微分方程通解的步驟如下：步驟如下：(1) 寫出微分方程的特征方程寫出微分方程的特征方程02 qprr(2) 求出特征方程的兩個(gè)根求出特征方程的兩個(gè)根r1，r2(3) 根據(jù)兩個(gè)根的不同情況，按下表寫出微分方程根據(jù)兩個(gè)根的不同情況，按下表寫出微分方程的通解的通解特征根特征根微分方程的通解微分方程的通解xrxreCeCy2121兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)不相等的實(shí)根r1，r2兩個(gè)相等的實(shí)根兩個(gè)相等的實(shí)根r1= r2 = rrxexCCy)(21一對共軛復(fù)根一對共軛復(fù)根r1, r2 = i)sincos(21xCxCeyx.032的通解求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0322 rr解得解得3,121rr故所求通解為故所求通解為.321xxeCeCy案案例例1.111.11, 02 yyy求方程解解 特征方程為特征方程為,0122 rr解得解得,121 rr故原方程的通解為故原方程的通解為.)(21xexCCy案案例例1.121.12滿足初始條件滿足初始條件 ,0|0 xy1|0 xy的特解的特解. .xxxeCeCCy212)(故故把初始條件分別代入得，把初始條件分別代入得，, 1, 021CC所以滿足初始條件的特解為所以滿足初始條件的