材料力學(xué)重點公式復(fù)習(xí)

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載材料力學(xué)期末重點公式復(fù)習(xí)1、 材料力學(xué)的任務(wù)： 強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性；應(yīng)力單位面積上的內(nèi)力。平均應(yīng)力F（ 1.1）pmA全應(yīng)力 plim pmlimFdF（1.2）AdAA 0A 0正應(yīng)力 垂直于截面的應(yīng)力分量，用符號表示。切應(yīng)力 相切于截面的應(yīng)力分量，用符號表示。應(yīng)力的量綱：國際單位制：2 、GPaPa( N / m ) MPa圖1.2工程單位制：kgf / m 2、 kgf / cm 2線應(yīng)變 單位長度上的變形量，無量綱，其物理意義是構(gòu)件上一點沿某一方向變形量的大小。外力偶矩傳動軸所受的外力偶矩通常不是直接給出，而是根據(jù)軸的轉(zhuǎn)速 n 與傳遞的功率 P 來計算。當(dāng)功率 P 單

2、位為千瓦（ kW ），轉(zhuǎn)速為 n（r/min ）時，外力偶矩為PM e9549(N .m)當(dāng)功率 P 單位為馬力（ PS），轉(zhuǎn)速為 n（r/min ）時，外力偶矩為PM e7024(N .m)拉（壓）桿橫截面上的正應(yīng)力拉壓桿件橫截面上只有正應(yīng)力，且為平均分布，其計算公式為FN(3-1)A式中 FN 為該橫截面的軸力，A 為橫截面面積。正負(fù)號規(guī)定拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。公式（ 3-1）的適用條件：（ 1）桿端外力的合力作用線與桿軸線重合，即只適于軸向拉（壓）桿件；（ 2）適用于離桿件受力區(qū)域稍遠(yuǎn)處的橫截面；（ 3）桿件上有孔洞或凹槽時，該處將產(chǎn)生局部應(yīng)力集中現(xiàn)象，橫截面上應(yīng)力分布很不均勻；（ 4

3、）截面連續(xù)變化的直桿，桿件兩側(cè)棱邊的夾角200 時拉壓桿件任意斜截面（a 圖）上的應(yīng)力為平均分布，其計算公式為全應(yīng)力pcos(3-2)正應(yīng)力cos2（ 3-3）切應(yīng)力1 sin 2（3-4）2式中為橫截面上的應(yīng)力。正負(fù)號規(guī)定：由橫截面外法線轉(zhuǎn)至斜截面的外法線，逆時針轉(zhuǎn)向為正，反之為負(fù)。學(xué)習(xí)好資料歡迎下載拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。對脫離體內(nèi)一點產(chǎn)生順時針力矩的為正，反之為負(fù)。兩點結(jié)論：（ 1）當(dāng)00 時，即橫截面上，達(dá)到最大值，即max。當(dāng) = 900 時，即縱截面上，= 900=0。（ 2）當(dāng)450 時，即與桿軸成 450 的斜截面上，達(dá)到最大值，即 ( )max21 2 拉（壓）桿的應(yīng)變和胡克

4、定律（ 1）變形及應(yīng)變桿件受到軸向拉力時，軸向伸長，橫向縮短；受到軸向壓力時，軸向縮短，橫向伸長。如圖3-2。圖 3-2軸向變形l l1 l軸向線應(yīng)變lb b1 b橫向變形bl橫向線應(yīng)變伸長為正，縮短為負(fù)。正負(fù)號規(guī)定b（ 2）胡克定律當(dāng)應(yīng)力不超過材料的比例極限時，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。即E （ 3-5）或用軸力及桿件的變形量表示為lFN l(3-6)EA式中 EA 稱為桿件的抗拉（壓）剛度，是表征桿件抵抗拉壓彈性變形能力的量。公式 (3-6)的適用條件：(a) 材料在線彈性范圍內(nèi)工作，即p ；(b) 在計算l 時， l 長度內(nèi)其 N、E、A 均應(yīng)為常量。如桿件上各段不同，則應(yīng)分段計算，求其代數(shù)和得

5、總變形。即nN ili(3-7)l1 Ei Aii(3) 泊松比當(dāng)應(yīng)力不超過材料的比例極限時，橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變之比的絕對值。即(3-8)表 1-1低碳鋼拉伸過程的四個階段階段圖 1-5特征點說明中線段彈性階段oab比例極限p p 為應(yīng)力與應(yīng)變成正比的最高應(yīng)力屈服階段bc強(qiáng)化階段ce局部形變階段ef彈性極限屈服極限抗拉強(qiáng)度e e 為不產(chǎn)生殘余變形的最高應(yīng)力s s 為應(yīng)力變化不大而變形顯著增加時的最低應(yīng)力b b 為材料在斷裂前所能承受的最大名義應(yīng)力產(chǎn)生頸縮現(xiàn)象到試件斷裂表 1-2主要性能指標(biāo)學(xué)習(xí)好資料歡迎下載性能性能指標(biāo)說明彈性性能彈性模量 E當(dāng)p時， E強(qiáng)度性能屈服極限材料出現(xiàn)顯著的塑性變形s

6、抗拉強(qiáng)度材料的最大承載能力b塑性性能延伸率l1l材料拉斷時的塑性變形程度100%lA A1材料的塑性變形程度截面收縮率100%A強(qiáng)度計算許用應(yīng)力材料正常工作容許采用的最高應(yīng)力，由極限應(yīng)力除以安全系數(shù)求得。塑性材料 =s；脆性材料 =bnsnb其中 ns , nb 稱為安全系數(shù)，且大于1。強(qiáng)度條件：構(gòu)件工作時的最大工作應(yīng)力不得超過材料的許用應(yīng)力。對軸向拉伸（壓縮）桿件N（ 3-9）A按式（ 1-4）可進(jìn)行強(qiáng)度校核、截面設(shè)計、確定許克載荷等三類強(qiáng)度計算。2.1切應(yīng)力互等定理受力構(gòu)件內(nèi)任意一點兩個相互垂直面上，切應(yīng)力總是成對產(chǎn)生，它們的大小相等，方向同時垂直指向或者背離兩截面交線，且與截面上存在正應(yīng)

7、力與否無關(guān)。2.2 純剪切單元體各側(cè)面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力的受力狀態(tài)，稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。2.3 切應(yīng)變切應(yīng)力作用下，單元體兩相互垂直邊的直角改變量稱為切應(yīng)變或切應(yīng)變，用表示。2.4 剪切胡克定律在材料的比例極限范圍內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，即G(3-10)式中 G 為材料的切變模量，為材料的又一彈性常數(shù)（另兩個彈性常數(shù)為彈性模量E 及泊松比） ,其數(shù)值由實驗決定。對各向同性材料 ,E、G 有下列關(guān)系GE(3-11)2(1)2.5.2 切應(yīng)力計算公式橫截面上某一點切應(yīng)力大小為Tp(3-12)I p式中 I p 為該截面對圓心的極慣性矩，為欲求的點至圓心的距離。圓截面周邊上的切應(yīng)力為Tmax(

8、3-13)Wt式中 WtI pR 為圓截面半徑。稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，R學(xué)習(xí)好資料歡迎下載2.5.3 切應(yīng)力公式討論（ 1） 切應(yīng)力公式（ 3-12）和式（ 3-13 ）適用于材料在線彈性范圍內(nèi)、小變形時的等圓截面直桿；對小錐度圓截面直桿以及階梯形圓軸亦可近似應(yīng)用，其誤差在工程允許范圍內(nèi)。（2）極慣性矩 I p 和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)Wt 是截面幾何特征量，計算公式見表3-3。在面積不變情況下，材料離散程度高，其值愈大；反映出軸抵抗扭轉(zhuǎn)破壞和變形的能力愈強(qiáng)。因此，設(shè)計空心軸比實心軸更為合理。表 3-3I pd 4實心圓32（外徑為 d）d 3Wt16I pD 4(14)空心圓32ad（外徑為 D，a內(nèi)徑為

9、 d）D4DWt(1a4 )162.5.4 強(qiáng)度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時，全軸中最大切應(yīng)力不得超過材料允許極限值，否則將發(fā)生破壞。因此，強(qiáng)度條件為TmaxWtmax(3-14) 對等圓截面直桿Tmax（ 3-15）式中為材料的許用切應(yīng)力。maxWt1M(3-16)3.1.1 中性層的曲率與彎矩的關(guān)系EI z式中，是變形后梁軸線的曲率半徑；E 是材料的彈性模量；I E 是橫截面對中性軸Z 軸的慣性矩。3.1.2 橫截面上各點彎曲正應(yīng)力計算公式M y(3-17)I Z式中， M 是橫截面上的彎矩；I Z 的意義同上； y 是欲求正應(yīng)力的點到中性軸的距離最大正應(yīng)力出現(xiàn)在距中性軸最遠(yuǎn)點處maxM max ? y

10、maxM max（ 3-18）I zWz式中， WzI z稱為抗彎截面系數(shù)。對于h b 的矩形截面， Wz1 bh 2 ；對于直徑為D 的圓形截面， Wz32D3 ；對于ymax6內(nèi)外徑之比為 ad 的環(huán)形截面， WzD3(1a4 ) 。D32若中性軸是橫截面的對稱軸，則最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力數(shù)值相等，若不是對稱軸， 則最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力數(shù)值不相等。3.2 梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的最大工作應(yīng)力不得超過材料的容許應(yīng)力，其表達(dá)式為M max（ 3-19）maxWz對于由拉、壓強(qiáng)度不等的材料制成的上下不對稱截面梁（如T 字形截面、上下不等邊的工字形截面等），其強(qiáng)度條件應(yīng)學(xué)習(xí)好資料歡迎下載表達(dá)為l

11、maxM maxytI z1ymaxM maxy2cI z（ 3-20a）（ 3-20b）式中， t ,c 分別是材料的容許拉應(yīng)力和容許壓應(yīng)力；y1 , y2 分別是最大拉應(yīng)力點和最大壓應(yīng)力點距中性軸的距離。3.3 梁的切應(yīng)力QSz（ 3-21）I zb式中， Q 是橫截面上的剪力；Sz 是距中性軸為y 的橫線與外邊界所圍面積對中性軸的靜矩；I z 是整個橫截面對中性軸的慣性矩； b 是距中性軸為y 處的橫截面寬度。3.3.1 矩形截面梁切應(yīng)力方向與剪力平行，大小沿截面寬度不變，沿高度呈拋物線分布。切應(yīng)力計算公式6Qh2y2（ 3-22）bh34最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸各點處，3 Qmax。2

12、A3.3.2 工字形截面梁切應(yīng)力主要發(fā)生在腹板部分，其合力占總剪力的9597% ，因此截面上的剪力主要由腹板部分來承擔(dān)。切應(yīng)力沿腹板高度的分布亦為二次曲線。計算公式為QB2h2bh22(3-23)I zbH2y84近似計算腹板上的最大切應(yīng)力：maxF sd 為腹板寬度 h1為上下兩翼緣內(nèi)側(cè)距dh13.3.3 圓形截面梁橫截面上同一高度各點的切應(yīng)力匯交于一點，其豎直分量沿截面寬度相等，沿高度呈拋物線變化。最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，其大小為圓環(huán)形截面上的切應(yīng)力分布與圓截面類似。 3.4 切應(yīng)力強(qiáng)度條件d 22dQSzQ34 Q8maxd 4（ 3-25）I zbd3 A64梁的最大工作切應(yīng)力不得超

13、過材料的許用切應(yīng)力，即maxQmax Szmax(3-26)I zb式中， Qmax 是梁上的最大切應(yīng)力值； Szmax 是中性軸一側(cè)面積對中性軸的靜矩；I z 是橫截面對中性軸的慣性矩；b 是 max處截面的寬度。對于等寬度截面，max 發(fā)生在中性軸上，對于寬度變化的截面，max 不一定發(fā)生在中性軸上。4.2 剪切的實用計算名義切應(yīng)力：假設(shè)切應(yīng)力沿剪切面是均勻分布的，則名義切應(yīng)力為Q（ 3-27）A學(xué)習(xí)好資料歡迎下載剪切強(qiáng)度條件：剪切面上的工作切應(yīng)力不得超過材料的許用切應(yīng)力,即Q（ 3-28）A5.2 擠壓的實用計算名義擠壓應(yīng)力假設(shè)擠壓應(yīng)力在名義擠壓面上是均勻分布的，則Pbs（ 3-29）b

14、sbsAbs式中， Abs 表示有效擠壓面積，即擠壓面面積在垂直于擠壓力作用線平面上的投影。當(dāng)擠壓面為平面時為接觸面面積，當(dāng)擠壓面為曲面時為設(shè)計承壓接觸面面積在擠壓力垂直面上的投影面積。擠壓強(qiáng)度條件擠壓面上的工作擠壓應(yīng)力不得超過材料的許用擠壓應(yīng)力P（3-30）bsbsAbs1， 變形計算圓軸扭轉(zhuǎn)時，任意兩個橫截面繞軸線相對轉(zhuǎn)動而產(chǎn)生相對扭轉(zhuǎn)角。相距為l 的兩個橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角為lTdx(rad)(4.4)0 GI P若等截面圓軸兩截面之間的扭矩為常數(shù)，則上式化為TlGI P(rad)(4.5)圖 4.2式中 GI P 稱為圓軸的抗扭剛度。顯然，的正負(fù)號與扭矩正負(fù)號相同。公式（ 4.4）的適用

15、條件：（ 1）材料在線彈性范圍內(nèi)的等截面圓軸，即P ；（ 2）在長度 l 內(nèi)， T、G、 I P 均為常量。當(dāng)以上參數(shù)沿軸線分段變化時，則應(yīng)分段計算扭轉(zhuǎn)角，然后求代數(shù)和得總扭轉(zhuǎn)角。即nTi l i(rad)(4.6)Gi I Pii 1當(dāng) T、 I P 沿軸線連續(xù)變化時 ,用式 (4.4)計算。2， 剛度條件扭轉(zhuǎn)的剛度條件圓軸最大的單位長度扭轉(zhuǎn)角'max 不得超過許可的單位長度扭轉(zhuǎn)角' , 即Tmax'(rad/m)(4.7)'maxGI P式Tmax180'（ / m）（4.8）'maxGI P2，撓曲線的近似微分方程及其積分1M在分析純彎曲梁

16、的正應(yīng)力時，得到彎矩與曲率的關(guān)系EI對于跨度遠(yuǎn)大于截面高度的梁，略去剪力對彎曲變形的影響，由上式可得1M xxEI學(xué)習(xí)好資料歡迎下載利用平面曲線的曲率公式，并忽略高階微量，得撓曲線的近似微分方程 ，即 ' 'M x（4.9）EIM x dx C將上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程為'（4.10）EI再積分得撓曲線方程M x dx dxCxD（4.11）EI式中， C,D 為積分常數(shù)，它們可由梁的邊界條件確定。當(dāng)梁分為若干段積分時，積分常數(shù)的確定除需利用邊界條件外，還需要利用連續(xù)條件。3，梁的剛度條件限制梁的最大撓度與最大轉(zhuǎn)角不超過規(guī)定的許可數(shù)值，就得到梁的剛度條件， 即max，ma

17、x（ 4.12）3，軸向拉伸或壓縮桿件的應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi)，由功能原理得V W1 F l2當(dāng)桿件的橫截面面積 A、軸力 FN 為常量時，由胡克定律FN l，可得VFN 2l（）l2EA4.14EA1桿單位體積內(nèi)的應(yīng)變能稱為應(yīng)變能密度 ，用 V 表示。線彈性范圍內(nèi)，得 V （4.15） 24，圓截面直桿扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi)，由功能原 Vr W1 M e2將 M e T 與Tl 代入上式得VrT 2l（4.16）GI P2GI P圖 4.5根據(jù)微體內(nèi)的應(yīng)變能在數(shù)值上等于微體上的內(nèi)力功，得應(yīng)變能的密度Vr ： Vr1 r（4.17）5，梁的彎曲應(yīng)變能2在線彈性范圍內(nèi)，純彎曲時，由功能原理得V

18、W1 M e2將 M eM 與Ml 代入上式得 VM 2l（4.18）EI2EI圖 4.6橫力彎曲時，梁橫截面上的彎矩沿軸線變化，此時，對于微段梁應(yīng)用式（4.18），積分得全梁的彎曲應(yīng)變能M 2x dxV ，即V（4.19）l 2EI2截面幾何性質(zhì)的定義式列表于下：靜 矩慣性矩慣性半徑慣性積極慣性矩SzdAIyz2 dAI yIyzyzdA Ipp 2dAyAAi yAAA學(xué)習(xí)好資料歡迎下載SzA ydAI zA y 2dAi zI zA3慣性矩的平行移軸公式I yI yCa 2 AI zI zCb2 A靜矩：平面圖形面積對某坐標(biāo)軸的一次矩，如圖-1 所示。定義式：SyzdA ， SzydA（

19、 -1）AA量綱為長度的三次方。由于均質(zhì)薄板的重心與平面圖形的形心有相同的坐標(biāo)zC 和 yC 。則AzCz dASyAzdASy由此可得薄板重心的坐標(biāo)zC 為zCAAASz同理有yCA所以形心坐標(biāo)zCSySz（ -2）A， yC或 SyAA zC ， SzA yC由式（ -2）得知，若某坐標(biāo)軸通過形心軸， 則圖形對該軸的靜矩等于零，即 yC 0，Sz0 ；zC0，則 Sy 0；反之，若圖形對某一軸的靜矩等于零，則該軸必然通過圖形的形心。靜矩與所選坐標(biāo)軸有關(guān)，其值可能為正，負(fù)或零。如一個平面圖形是由幾個簡單平面圖形組成，稱為組合平面圖形。設(shè)第I 塊分圖形的面積為Ai，形心坐標(biāo)為nny Ci ,

20、zCi，則其靜矩和形心坐標(biāo)分別為SzAi yCi， SyiAi zCi（ -3）i11nnSzAi yCiSyAi zciyCi 1， zCi 1（ -4）AnAnAiAii 1i 1§-2慣性矩和慣性半徑慣性矩： 平面圖形對某坐標(biāo)軸的二次矩，如圖-4所示。I yz2dA ， I zy 2dA（ -5）AA量綱為長度的四次方，恒為正。相應(yīng)定義iyI y， i zI z（ -6）AA為圖形對y 軸和對z軸的慣性半徑。nn組合圖形的慣性矩。設(shè)Iyi , I zi 為分圖形的慣性矩，則總圖形對同一軸慣性矩為I yI yi ， I zI zi（ -7）i 1i 1若以 表示微面積 dA 到坐標(biāo)原點 O 的距離 ,則定義圖形對坐標(biāo)原點O 的極慣性矩I p2dA（ -8） 因為2y2z2A學(xué)習(xí)好資料歡迎下載所以極慣性矩與（軸）