數(shù)值分析 第二章習(xí)_題_解_答

1、第二章習(xí) 題 解 答 西南交大 草上飛1下列數(shù)據(jù)作為的近似數(shù),試確定它們各有幾位有效數(shù)字,并確定其相對(duì)誤差限. (表示的近似數(shù),解：把近似數(shù)規(guī)格化形式后均有，首位非零數(shù)字為3） 有3位有效數(shù)字，) 有3位有效數(shù)字，) 有2位有效數(shù)字，) ， 有3位有效數(shù)字，2 證明§2.2中的定理 2.1,定理 2.2.3 已知的近似數(shù)相對(duì)誤差為，試問(wèn)至少有幾位有效數(shù)字？解：因的第一位數(shù)字為，所以的第一位數(shù)字，根據(jù)定理2.1，當(dāng)成立時(shí)，有位有效數(shù)字，而時(shí)所以近似數(shù)至少有位有效數(shù)字.4 為盡量避免有效數(shù)字的嚴(yán)重?fù)p失，當(dāng)時(shí)應(yīng)如何加工下列計(jì)算公式：（1） （2） （3）解：（1）；（2）；（3）5 序列滿

2、足遞推關(guān)系若取做近似計(jì)算，問(wèn)計(jì)算到時(shí)誤差有多大？這個(gè)計(jì)算過(guò)程穩(wěn)定嗎？解：此遞推關(guān)系每計(jì)算一次誤差增長(zhǎng)倍，故算法不穩(wěn)定.6設(shè)驗(yàn)證若取依次計(jì)算時(shí)(不要求具體算出),請(qǐng)你證明這樣設(shè)計(jì)的算法其誤差傳播是逐步擴(kuò)大的,算法是不穩(wěn)定的.并要求另外設(shè)計(jì)一種數(shù)值穩(wěn)定的算法.解: 對(duì)用分部積分法得 設(shè)誤差其中.于是 當(dāng)增大時(shí)是遞增的, 的誤差達(dá)到,是嚴(yán)重失真的.數(shù)值穩(wěn)定的計(jì)算方法: 將遞推公式改為 于是在從后往前計(jì)算時(shí), 的誤差減少為原來(lái)的,若取足夠大,誤差逐步減少,計(jì)算結(jié)果是穩(wěn)定可靠的.7 可由下列迭代公式計(jì)算:若是的具有位有效數(shù)字的近似值,求證是的具有位有效數(shù)字的近似值.解 由和,得到 數(shù)列有下界.又即,數(shù)列

3、單調(diào)不增. 故存在.令,對(duì)迭代公式兩邊取極限,可求得.現(xiàn)設(shè)是的具有位有效數(shù)字的近似值,即有于是,得可見(jiàn), 是的具有位有效數(shù)字的近似值.8用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式在自變量時(shí)的值.解：故 補(bǔ)充例題例題1：試問(wèn)真值的近似數(shù)是否為有效數(shù). 解： 由有效數(shù)的定義知近似數(shù)具有兩位有效數(shù)字，分別是 由于不是有效數(shù)字，故不是有效數(shù).例題2為盡量避免有效數(shù)字的嚴(yán)重?fù)p失，當(dāng)時(shí)應(yīng)如何加工下列計(jì)算公式解： 為盡量避免有效數(shù)字的嚴(yán)重?fù)p失，應(yīng)作變換：例題3 設(shè)（1）證明：（2）設(shè)計(jì)一種數(shù)值穩(wěn)定的算法，并證明算法的穩(wěn)定性.解: (1) 對(duì)用分部積分法得 (2) 由（1）得：若已知，設(shè)計(jì)如下遞推算法： 注意到：,于是 取 可得如下遞推算法.設(shè) ，則 ， ，即. 每迭代一次誤差均在減少，所以設(shè)計(jì)的遞推算法是數(shù)值穩(wěn)定的. 例題4 已知試建立一個(gè)具有較好數(shù)值穩(wěn)定性的求的遞推公式,并證明算法的穩(wěn)定性.解: 由得到求的遞推公式:, (*)而初值,由此出發(fā),根據(jù)上述遞推公式可以求的近似值求:,.記的絕對(duì)誤差為,則有:,即,.由此可見(jiàn),的誤差將縮小傳播到,誤差傳播是逐步衰減的.因而,遞推公式(*)是數(shù)值穩(wěn)定的. 例題5 數(shù)列滿足遞推公式.若