直線的兩點(diǎn)式方程

1、3.2.2直線的兩點(diǎn)式方程直線的兩點(diǎn)式方程)(00 xxkyy bkxy 不含與不含與x軸軸垂直的直線垂直的直線不含與不含與x軸軸垂直的直線垂直的直線知識回顧：知識回顧：若已知直線經(jīng)過兩點(diǎn)定點(diǎn)若已知直線經(jīng)過兩點(diǎn)定點(diǎn)P1(x1, y1)，P2(x2, y2)，存在斜率，然后求出直線的斜率，存在斜率，然后求出直線的斜率， 在上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了已知直線上一定點(diǎn)在上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了已知直線上一定點(diǎn)P0(x0, y0)和直線的斜率和直線的斜率k，可以用，可以用點(diǎn)斜式點(diǎn)斜式表示直線方程表示直線方程:)(00 xxkyy 何求直線的方程呢？何求直線的方程呢？可根據(jù)已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可根據(jù)已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)，又如又如先

2、判斷是否先判斷是否也就是說，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)也能表示直線方程也就是說，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)也能表示直線方程.利用點(diǎn)斜式求直線方程利用點(diǎn)斜式求直線方程.這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)用兩點(diǎn)坐標(biāo)來表示直線方程這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)用兩點(diǎn)坐標(biāo)來表示直線方程. 已知直線已知直線l 經(jīng)過兩點(diǎn)經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1, y1), P2(x2, y2), 求直線求直線l 的方程的方程.xxxxyyyy121121 直線方程的直線方程的兩點(diǎn)式兩點(diǎn)式).(112121xxxxyyyy 化簡為化簡為1212xxyyk 由點(diǎn)斜式方程得由點(diǎn)斜式方程得2(其中其中 x1 x2 , y1 y2 )若斜率存在，若斜率存在， 即即x1 x2 時時xxxxyy

3、yy121121 直線方程的兩點(diǎn)式：直線方程的兩點(diǎn)式：)(2121xxyy 且且若點(diǎn)若點(diǎn)P1(x1, y1), P2(x2, y2)中有中有 x1 x2 ,或或 y1 y2 , 此時這兩點(diǎn)的直線此時這兩點(diǎn)的直線 的方程是什么？的方程是什么？l: x = x1l: y = y1 編輯課件6完成課本完成課本p97練習(xí)題第練習(xí)題第1題題. 例例1 直線直線l與與x軸的交點(diǎn)是軸的交點(diǎn)是A(a, 0)，與，與y軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)是是B(0, b)，其中，其中a 0, b 0 , 求直線求直線l 的方程的方程.解：解：兩兩點(diǎn)點(diǎn)，代代入入兩兩點(diǎn)點(diǎn)式式，經(jīng)經(jīng)過過直直線線), 0()0 ,(bBaAl,000aa

4、xby 得得. 1 byax即即這里這里 a叫做直線在叫做直線在 x 軸上的截距（軸上的截距（橫截距橫截距），），1 byax 直線方程的直線方程的截距式截距式b叫做直線在叫做直線在 y 軸上的截距軸上的截距（縱坐標(biāo)縱坐標(biāo)）.xyOABl1 byax直線方程的截距式：直線方程的截距式：)0, 0( ba注意：注意：截距可以取全體實(shí)數(shù)，但截距式方程中的截距，截距可以取全體實(shí)數(shù)，但截距式方程中的截距，是指非零的實(shí)數(shù)是指非零的實(shí)數(shù) ，點(diǎn)的直線方程，點(diǎn)的直線方程，因此截距式方程不包括過原因此截距式方程不包括過原不包括與坐標(biāo)軸垂直的直線方程不包括與坐標(biāo)軸垂直的直線方程.xyO編輯課件9完成課本完成課本p

5、97練習(xí)題第練習(xí)題第2、3題題.xxxxyyyy121121 1 byax)(00 xxkyy bkxy 解：解：,)5(3)5(030 xy01583 yx故直線故直線AB的方程為的方程為 例例2 三角形的頂點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)是A(5，0)、B(3，3)、C(0，2)，求這個三角形三邊所在直線的方程。，求這個三角形三邊所在直線的方程。直線直線AB過過A(5，0),B(3，3) 由由兩點(diǎn)式：兩點(diǎn)式：即即. 01583 yx直線直線BC過過B(3，3),C(0，2), 由由斜截式：斜截式：20323 xy得得得得235 x故直線故直線BC的方程為的方程為. 0635 yx直線直線AC過過A(5，0

6、),C(0，2)， 由由截距式：截距式：得得125 yx01052 yx即即為為AC直線的方程直線的方程.解：解： 變式：變式： 三角形的頂點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)是A(5，0)、B(3，3)、C(0，2)，求，求(1)BC邊上中線所在直線的方程；邊上中線所在直線的方程；(2)AB邊上高線所在直線的方程；邊上高線所在直線的方程；(3)AC邊上中垂線所在直線的方程邊上中垂線所在直線的方程.(1)由已知得，由已知得， BC邊的中點(diǎn)邊的中點(diǎn))223,203( M)21,23( MBC邊上的中線過點(diǎn)邊上的中線過點(diǎn)A、M ,BC邊上中線所在直線的方程為邊上中線所在直線的方程為:52350210 xy即即. 05

7、13 yx(2)由由AB邊上高線過邊上高線過C(0，2)， 且垂直于且垂直于AB, 得得AB邊上高線所在直線的方程邊上高線所在直線的方程:)5(0 xky其中其中1 ABkk1 ABk解：解： 變式：變式： 三角形的頂點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)是A(5，0)、B(3，3)、C(0，2)，求，求(1)BC邊上中線所在直線的方程；邊上中線所在直線的方程；(2)AB邊上高線所在直線的方程；邊上高線所在直線的方程；(3)AC邊上中垂線所在直線的方程邊上中垂線所在直線的方程.(2)由由AB邊上高線過邊上高線過C(0，2)， 且垂直于且垂直于AB,故故AB邊上高線所在直線的方程邊上高線所在直線的方程:)5(380

8、xyABkk1 高線的斜率為高線的斜率為，38 即即. 04038 yx解：解： 變式：變式： 三角形的頂點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)是A(5，0)、B(3，3)、C(0，2)，求，求(1)BC邊上中線所在直線的方程；邊上中線所在直線的方程；(2)AB邊上高線所在直線的方程；邊上高線所在直線的方程；(3)AC邊上中垂線所在直線的方程邊上中垂線所在直線的方程.(3) AC邊上中垂線過邊上中垂線過AC邊的中點(diǎn)邊的中點(diǎn)),1,25( N且垂直于且垂直于AC,ACkk1 垂線的斜率為垂線的斜率為，25 AC邊上中垂線所在直線的方程為：邊上中垂線所在直線的方程為：)25(251 xy即即. 021410 yxN編輯

9、課件15.2312. 5的直線方程為，且斜率是與兩坐標(biāo)軸圍成的面積例例例6.直線直線l 經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)(3，2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線求直線 l 的方程的方程因此直線因此直線 l 不與不與 x、y 軸垂直，斜率存在，且軸垂直，斜率存在，且 k 0解法一：解法一：由于直線由于直線 l 在兩軸上有截距，在兩軸上有截距，可設(shè)直線方程為可設(shè)直線方程為 )3(2xky，令0 x，則23 ky，則kx23，令0y由題設(shè)可得由題設(shè)可得 kk2323.321或 k l 在在 y 軸上有截距為軸上有截距為.23 kb l 在在 x 軸上有截距為軸上有截距為.23ka直線直線

10、l 的方程為的方程為 )3(2xy) 3(322xy或或即05 yx.032 yx。邊中線所在直線的方程，求重心的的兩個頂點(diǎn)已知例ABGABCBAABC) 1 , 1(),1 , 2(),0 , 3(. 3解：解：, ）（設(shè)baC1311323ba則有, 2, 2ba解得.22 ），（即C, ) 1 , 1(GABC的重心又的方程為直線由直線方程的兩點(diǎn)式得CE,121121xy. 0 yxAB為邊中線所在的直線方程所以。邊中線所在直線的方程，求重心的的兩個頂點(diǎn)已知例ABGABCBAABC) 1 , 1(),1 , 2(),0 , 3(. 3另解：另解：, )21,21(MAB中點(diǎn)邊中線所在的直

11、線方程由直線方程的兩點(diǎn)式得AB,)21(1)21(21121xy. 0 yxAB為邊中線所在的直線方程所以 AB 邊中線過邊中線過 AB 邊中點(diǎn)邊中點(diǎn)M 和和ABC 的重心的重心 ，的重心) 1 , 1(GABC例例4.直線直線l 經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)(3，2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線求直線 l 的方程的方程因此直線因此直線 l 不與不與 x、y 軸垂直，斜率存在，且軸垂直，斜率存在，且 k 0解法一：解法一：由于直線由于直線 l 在兩軸上有截距，在兩軸上有截距，可設(shè)直線方程為可設(shè)直線方程為 )3(2xky，令0 x，則23 ky，則kx23，令0y由題設(shè)可得由題設(shè)

12、可得 kk2323.321或 k l 在在 y 軸上有截距為軸上有截距為.23 kb l 在在 x 軸上有截距為軸上有截距為.23ka直線直線 l 的方程為的方程為 )3(2xy) 3(322xy或或即05 yx.032 yx例例4.直線直線l 經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)(3，2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線求直線 l 的方程的方程解法二：解法二：1ayax由已知可設(shè)直線由已知可設(shè)直線 l 方程為方程為 )0( a則由直線則由直線l 經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)(3，2)得得123aa.5 a 直線直線 l 的方程為的方程為 .05 yx，若0a則直線則直線l 經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)(0，0) ,又直

13、線又直線l 經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)(3，2) ，xy32 直線直線 l 的方程為的方程為 .032 yx即綜上所述直線綜上所述直線 l 的方程為的方程為 或05 yx.032 yx，320302lk程。最小時，求此直線的方兩坐標(biāo)軸上的截距之和半軸相交，當(dāng)直線在）作直線與兩坐標(biāo)軸正，（過點(diǎn)例41. 5P解：解：),0, 0( 1babyax設(shè)直線方程為),4 , 1 (P直線過點(diǎn)141babaabba45abba4259abba4當(dāng)，達(dá)到最小值時，即96, 3baba, 163yx此時直線的方程為. 062 yx即)41)(baba，且)0, 0( 141baba例例 6.解：解：),0, 0( 1bab

14、yax設(shè)直線方程為則則由直線通過點(diǎn)（由直線通過點(diǎn)（1，2），得），得 121ba2bbabaSAOB21bbb221)2(22bb)2( b)44(21此時，此時，a = 2 ，142yxl方程為直線4.042 yx即方程。并求出此時兩條直線的，軸的交點(diǎn)間的距離最小為何值時這兩條直線與為銳角），當(dāng)（角為線中，一條直線的傾斜）的兩條互相垂直的直，（過點(diǎn)例yP13. 7xyPo解：解：.tan1)2tan(由.tank令).3(11),3(1xkyxky和可設(shè)兩條直線的方程為).31 , 0()31 , 0(, 0kkx和得交點(diǎn)為令|3131 |21kkyy兩點(diǎn)間距離為|1|3kk . 6時，距離

15、取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)|1|kk 為銳角，1k此時所求直線為時兩交點(diǎn)間距離最小，當(dāng)045)|1|(|3kk . 42xyxy和例例 6.可設(shè)直線可設(shè)直線 l 方程為：方程為：) 1(2xky令令，0y得得kx21即即)021 (，kA 令令，0 x得得ky 2即即)20(kB，正方向正方向即即.0k解：解：|21OBOASAOB)2)(21 (21kk)4(212kk，0k，0k)4(212kkSAOBkk4)(2212.4當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)，kk4即即2k時，時，.4)(minAOBS故所求直線故所求直線 l 方程為：方程為：) 1(22xy即即.042 yx解：解：由已知可設(shè)直線由已知可設(shè)直線

16、 l 方程為：方程為：)1(2 xky)0( k令令，0 y得得kx21 即即)021(，kA 令令，0 x得得ky 2即即)20(kB ，.|21程程最小時，求此直線的方最小時，求此直線的方交，當(dāng)交，當(dāng)半軸相半軸相）作直線與兩坐標(biāo)軸正）作直線與兩坐標(biāo)軸正，（過點(diǎn)過點(diǎn)PBPAP ，又又)21(P，11244|22 kkPA，1|2 kPB1112|22 kkPBPA22122kk 222 4 ，221kk 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)即即1 k時，時，取最小值取最小值 4|PBPA 此時所求直線方程為：此時所求直線方程為：，)1(2 xy即即.03 yx變式：變式：課堂練習(xí)).0 , 0()5, 4() 3();0 , 5()5 , 0()2();3, 0() 1 , 2(1. 121DCBAPP、）（截式方程：兩點(diǎn)式方程，再化成斜求過下列兩點(diǎn)的直線的解：202131) 1 (xy. 32 xy050505)2(xy2405) 3(xy. 5xy.45xy 小節(jié)：xxxxyyyy121121)(2121yyxx且1 兩點(diǎn)式兩點(diǎn)式 . 1byax2 截距式截距式)0, 0(ba的方程。，求直線后得到直線點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，把已知直線繞的橫坐標(biāo)是上一點(diǎn)直線例llPPyx090301. 4解：解：, 4, 013yyxx得代入直線方程把)4 , 3