多元函數(shù)的極值及其求法

1、一、多元函數(shù)的極值和最值一、多元函數(shù)的極值和最值二、條件極值二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法三、小結(jié)三、小結(jié)一、多元函數(shù)的極值和最值一、多元函數(shù)的極值和最值設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰域內(nèi)有定義，的某鄰域內(nèi)有定義， 對于該鄰域內(nèi)異于對于該鄰域內(nèi)異于),(00yx的點(diǎn)的點(diǎn)),(yx： 若滿足不等式若滿足不等式 ),(),(00yxfyxf ， 則稱函數(shù)在則稱函數(shù)在),(00yx有有極大值極大值； 若滿足不等式若滿足不等式 ),(),(00yxfyxf ， 則稱函數(shù)在則稱函數(shù)在),(00yx有有極小值極小值； 1 1、二元函數(shù)極值的定義、二元函數(shù)極值的定義極極

2、大大值值、極極小小值值統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為極極值值. . 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn). . 例例1 1處有極小值處有極小值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz 例例處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz 例例處無極值處無極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz (3)(2)(1)定理定理 1 1（必要條件必要條件） 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx具有偏導(dǎo)數(shù)， 且在具有偏導(dǎo)數(shù)， 且在 點(diǎn)點(diǎn)),(00yx處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然 為零：為零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .

3、2 2、多元函數(shù)取得極值的條件、多元函數(shù)取得極值的條件不妨設(shè)不妨設(shè)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處有極大值處有極大值, , 則則對對于于),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)任任意意 ),(yx),(00yx 都有都有 ),(yxf),(00yxf, , 證證故故當(dāng)當(dāng)0yy ，0 xx 時(shí)時(shí)， 有有 ),(0yxf),(00yxf, , 說明一元函數(shù)說明一元函數(shù)),(0yxf在在0 xx 處有極大值處有極大值, , 必有必有 0),(00 yxfx; ; 類類似似地地可可證證 0),(00 yxfy. . 推廣推廣：如果三元函數(shù)：如果三元函數(shù) ),(zyxfu 在點(diǎn)在點(diǎn) ),(000zyx

4、P 具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在),(000zyxP有極值的有極值的必必 要條件要條件為為 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz. . 例如，點(diǎn)例如，點(diǎn))0 , 0(是函數(shù)是函數(shù) xyz 的駐點(diǎn)，的駐點(diǎn)， 但但點(diǎn)點(diǎn) (0, 0) 不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn). . 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的均稱為函數(shù)的駐點(diǎn)駐點(diǎn). .駐點(diǎn)駐點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在的極值點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在的極值點(diǎn)問題問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？注意：注意：; 0)0 , 0( , xx

5、zyz. 0)0 , 0( , yyzxz定理定理 2 2（充分條件充分條件） 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn) ),(00yx 的某鄰域內(nèi)連的某鄰域內(nèi)連 續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，則，則 (1) 02 BAC時(shí)具有極值，且時(shí)具有極值，且 當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極大值，時(shí)有極大值， 當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極小值；時(shí)有極小值； (2) 02 BAC時(shí)沒有極值；時(shí)沒有極值； (3) 02 BAC時(shí)可能有極值時(shí)可能有極值, ,也可能

6、沒有極值，也可能沒有極值， 還需另作討論還需另作討論 求求函函數(shù)數(shù) ),(yxfz 極極值值的的一一般般步步驟驟： 第第一一步步 解解方方程程組組 , 0),( yxfx0),( yxfy求出所有駐點(diǎn)求出所有駐點(diǎn). . 第第二二步步 對對于于每每一一個(gè)個(gè)駐駐點(diǎn)點(diǎn)),(00yx， 求求出出二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的值值 A、B、C. . 第第三三步步 定定出出2BAC 的的符符號號，再再判判定定是是否否是是極極值值. . 例例4 求函數(shù)求函數(shù)xyyxyxf3),(33 的極值。的極值。解解,33),(2yxyxfx .33),(2xyyxfy 求解方程組：求解方程組： . 033, 03322xy

7、yx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn) .,22xyyx).1 , 1( ),0 , 0(,6),(xyxfxx , 3),( yxfxy.6),(yyxfyy , )0 , 0( 處處在在, 0)0 , 0( xxfA, 3)0 , 0( xyfB. 0)0 , 0( yyfC92 BAC. 0 因此，駐點(diǎn)因此，駐點(diǎn). )0 , 0(不是極值點(diǎn)不是極值點(diǎn),6),(xyxfxx , 3),( yxfxy.6),(yyxfyy , )0 , 0( 處處在在, 0)0 , 0( xxfA, 3)0 , 0( xyfB. 0)0 , 0( yyfC92 BAC. 0 因此，駐點(diǎn)因此，駐點(diǎn). )0 , 0(不是極值點(diǎn)不是極

8、值點(diǎn), )1 , 1( 處處在在, 06)1 , 1( xxfA, 3)1 , 1( xyfB. 6)1 , 1( yyfC22)3(66 BAC. 027 因此，駐點(diǎn)因此，駐點(diǎn). )1 , 1(是是極極小小值值點(diǎn)點(diǎn). 111311)1 , 1( 33 f極極小小值值與一元函數(shù)類似，可能的極值點(diǎn)除了駐點(diǎn)之外，與一元函數(shù)類似，可能的極值點(diǎn)除了駐點(diǎn)之外，偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)。偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)。例如，顯然函數(shù)例如，顯然函數(shù)22yxz . )0 , 0(處處取取得得極極小小值值在在處處偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)但但函函數(shù)數(shù)在在 )0 , 0(不存在。不存在。求最值的一般求最值的一般方法方法：

9、 將函數(shù)在將函數(shù)在 D 內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在 D 的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中 最大者即為最大值，最小者即為最小值最大者即為最大值，最小者即為最小值. .與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值來求函數(shù)的最大值和最小值. .3 3、多元函數(shù)的最值、多元函數(shù)的最值例例 5 5 求求 122 yxyxz 的最大值和最小值的最大值和最小值. . , 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得駐點(diǎn)

10、得駐點(diǎn) )21,21( 和和 )21,21( , , 解解令令即即邊邊界界上上的的值值為為零零. . 因因?yàn)闉?01lim22 yxyxyx 即即邊邊界界上上的的值值為為零零. . ,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值為所以最大值為21，最小值為，最小值為21 . . 因因?yàn)闉?01lim22 yxyxyx 無條件極值無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，對自變量除了限制在定義域內(nèi)外， 并無其他條件并無其他條件. .實(shí)例實(shí)例：小王有：小王有 200 元錢，他決定用來購買兩種急元錢，他決定用來購買兩種急 需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，

11、設(shè)他購 買買 x 張磁盤，張磁盤， y 盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果， 效果函數(shù)為效果函數(shù)為 U(x, y) = lnx+lny 設(shè)每張磁設(shè)每張磁 盤盤 8 元，每盒磁帶元，每盒磁帶 10 元，問他如何分配這元，問他如何分配這 200 元以達(dá)到最佳效果元以達(dá)到最佳效果問題的問題的實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)：求：求 在條件在條件 下的極值點(diǎn)下的極值點(diǎn)yxyxUlnln),( 200108 yx三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法拉拉格格朗朗日日乘乘數(shù)數(shù)法法 要要找找函函數(shù)數(shù) ),(yxfz 在在條條件件 0),( yx 下下的的可可能能 極極值值點(diǎn)點(diǎn), , 條件極值條件極值：對自

12、變量有附加條件的極值：對自變量有附加條件的極值先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù) ),(),(),(yxyxfyxF ，其中，其中 為某一常數(shù)，可由為某一常數(shù)，可由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出解出 , , yx，其中，其中yx ,就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo)就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo). . 拉拉格格朗朗日日乘乘數(shù)數(shù)法法可可推推廣廣到到自自變變量量多多于于兩兩個(gè)個(gè)的的情情況況： 要要找找函函數(shù)數(shù) ),(tzyxfu 在在條條件件 0),( tzyx ， 0),( tzyx 下下的的極極值值。 先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù)（其中其中21 , 均為常數(shù)均為常數(shù)） ),()

13、,(tzyxftzyxF),(),(21tzyxtzyx . 0),(, 0),(, 0),(, 0),(, 0),(, 0),(tzyxtzyxtzyxFtzyxFtzyxFtzyxFtzyx 求解方程組求解方程組解出解出 x, y, z, t 即得即得可能極值點(diǎn)的坐標(biāo)可能極值點(diǎn)的坐標(biāo).解解 )22()22()22(xyxyFzxxzFzyyzFzyx 則則例例6 求表面積為求表面積為 a2 而體積為最大的長方體的體積而體積為最大的長方體的體積. 設(shè)長方體的長、寬、高為設(shè)長方體的長、寬、高為 x , y，z. 體積為體積為 V .則問題就是條件則問題就是條件求函數(shù)求函數(shù)的最大值的最大值.)0

14、, 0, 0( zyxxyzV令令),222(),(2axzyzxyxyzzyxF , 0 , 0 , 0 . 02222 axzyzxy02222 axzyzxy下，下， )22()22()22(xyxyFzxxzFzyyzFzyx 則則令令),222(),(2axzyzxyxyzzyxF , 0 , 0 , 0 . 02222 axzyzxy即即 )4( 0222)3( )(2)2( )(2)1( )(22axzyzxyyxxyzxxzzyyz , 0 , 0 , 0 zyx因因由由(2), (1)及及(3), (2)得得,zyzxyx ,zxyxzy , 0 , 0 , 0 zyx因因由

15、由(2), (1)及及(3), (2)得得,zyzxyx ,zxyxzy 于是，于是，. zyx 代入條件，得代入條件，得. 02222 axxxxxx,622ax 解得解得,66ax ,66ay .66az .3666666663maxaaaaV 這是唯一可能的極值點(diǎn)。這是唯一可能的極值點(diǎn)。 因?yàn)橛蓡栴}本身可知，因?yàn)橛蓡栴}本身可知，所以，所以， 最大值就在此點(diǎn)處取得。最大值就在此點(diǎn)處取得。故，最大值故，最大值最大值一定存在，最大值一定存在，例例 7 7 將正數(shù)將正數(shù) 1212 分成三個(gè)正數(shù)分成三個(gè)正數(shù)zyx , ,之和之和 使得使得 zyxu23 為最大為最大. . 解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF , , 12 0 020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 則則 )4( ,12)3( ,)2( ,2)1( ,323322zyxyxyzxzyx 由由 (1)，(2) 得得(5) ,32xy 由由 (1)，(3) 得得(6) ,31xz 即，得唯一駐點(diǎn)即，得唯一駐點(diǎn))2 , 4 , 6(， .691224623max u將將 (5)，(6) 代入