復(fù)變函數(shù)在通信工程中的應(yīng)用

1、 學(xué)校代碼：_ 11059_ 學(xué) 號：0907022036Hefei University 畢業(yè)論文（設(shè)計） BACHELOR DISSERTATION 論文題目：_ 復(fù)變函數(shù)在通信工程中的應(yīng)用_學(xué)位類別：_理學(xué)學(xué)士_學(xué)科專業(yè)：_數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)_ 作者姓名：_ 易順_ 導(dǎo)師姓名：_ 王貴霞_ 完成時間：_ 2013年4月12日_復(fù)變函數(shù)在通信工程中的應(yīng)用中 文 摘 要隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)理論的發(fā)展，學(xué)科間的聯(lián)系越來越密，通過相互協(xié)助，為了使復(fù)雜的問題能夠利用較簡單的方法方便，快捷地解決，因此本論文研究的目的是使物理學(xué)中（本文指通信工程）的問題得到簡化并建立一定的模型和一整套思路.復(fù)變函數(shù)作為處理信

2、號與系統(tǒng)的處理工具，在通信工程中起著極大的作用，本文在對復(fù)變函數(shù)及通信工程的有關(guān)定理研究的基礎(chǔ)之上，得出了復(fù)變函數(shù)中的Fourier變換和Laplace變換及其逆變換在對處理通訊信號的表現(xiàn)形式上的運用方法.使物理中復(fù)雜抽象的信號轉(zhuǎn)變?yōu)榭梢跃_描述的數(shù)學(xué)函數(shù)，從而大大弱化了人們從事物理研究的難度.關(guān)鍵詞：Fourier變換；Laplace變換；積分；信號The Application of Complex Function in Communication EngineeringABSTRACT With the development of modern scientific and tech

3、nological theories, the relations among disciplines have become closer and closer. Mutual assistance can simplify the complex problems so as to solve them quickly and conveniently. Therefore, this paper here aims to simplify those problems in physics to build a certain model and construct a systemat

4、ical way of thinking. As a tool in dealing with signals and systems, complex function plays an exceedingly significant role in communication engineering. Based on the theorem research related to complex function and communication engineering, this paper has concluded the methods used in dealing with

5、 forms of communication signals through Fourier transformation，Laplace transformation and its inverse transformation in complex function. Thus, complicated and abstract signals in physics can be converted to precisely descriptive mathematical function, which will lower the difficulty in physical res

6、earches to a large extent.KEY WORD:Fourier transformation;Laplace transformation;integration;signal 第一章 引 言11.1復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用以及發(fā)展史11.1.1 復(fù)變函數(shù)的簡介11.1.2復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用11.2 復(fù)變函數(shù)在通信工程方面的研究現(xiàn)狀21.2.1函數(shù)的應(yīng)用21.2.2信號的分類31.2.3信號的簡單處理31.2.4通信中常用的基本函數(shù).41.3 本文研究的主要內(nèi)容和結(jié)構(gòu)安排5第二章 Fourier積分和Fourier變換62.1 Fourier積分62.2 Fourier變換7第三章 F

7、ourier變換在信號分析中的應(yīng)用93.1確知信號的頻域特征93.1.1 周期信號的頻譜分析93.1.2 非周期信號的頻譜分析133.2 信號的能量譜15第四章 Laplace變換及其簡單應(yīng)用204.1 問題的提出204.2 問題的解答204.3 Laplace變換在信號系統(tǒng)中的簡單應(yīng)用21第五章 總結(jié)26參考文獻27致 謝28第一章 引 言1.1復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用以及發(fā)展史1.1.1 復(fù)變函數(shù)的簡介 復(fù)數(shù)的概念起源于求方程的根，在二次、三次代數(shù)方程的求根中就出現(xiàn)了負數(shù)開平方的情況,它的一般形式是：，其中是虛數(shù)單位. 多復(fù)分析是數(shù)學(xué)中研究多個復(fù)變量的全純函數(shù)的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)的分支學(xué)科，它和單復(fù)變函數(shù)有

8、著很強的淵源，但其特有的困難和復(fù)雜性，導(dǎo)致在研究的重點和方法上，都和單復(fù)變函數(shù)論有明顯的區(qū)別.因為多復(fù)變?nèi)兒瘮?shù)的性質(zhì)在很大程度上由定義區(qū)域的幾何和拓撲性質(zhì)所制約，因此，其研究的重點經(jīng)歷了一個由局部性質(zhì)到整體性質(zhì)的逐步的轉(zhuǎn)移.它廣泛地使用著微分幾何學(xué)、代數(shù)幾何、拓撲學(xué)、微分方程等相鄰學(xué)科中的概念和方法，不斷地開辟前進的道路，更新和拓展研究的內(nèi)容和領(lǐng)域. 就像微積分的直接擴展統(tǒng)治了十八世紀的數(shù)學(xué)那樣，復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀，這個新的分支統(tǒng)治了十九世紀的數(shù)學(xué).當(dāng)時的數(shù)學(xué)家公認復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并且稱為這個世紀的數(shù)學(xué)享受，也有人稱贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一.為復(fù)變函數(shù)論的

9、創(chuàng)建做了最早期工作的是歐拉、達朗貝爾，法國的Laplace也隨后研究過復(fù)變函數(shù)的積分，他們都是創(chuàng)建這門學(xué)科的先驅(qū).1.1.2復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用 近代有些函數(shù)論研究工作是考慮把具有某種性質(zhì)的一族函數(shù)合在一起研究.事實上，P·蒙泰爾的解析函數(shù)正規(guī)族就應(yīng)屬于這種類型的研究，并且顯示了其威力.從這種觀點出發(fā)的研究有了很大發(fā)展.它與其他數(shù)學(xué)分支產(chǎn)生了較密切的聯(lián)系. 復(fù)變函數(shù)理論從一個變數(shù)推廣到多個變數(shù)是十分自然的想法，總稱為復(fù)分析.但是多變數(shù)時，定義域的復(fù)雜性大大增加了，函數(shù)的性質(zhì)較之單變數(shù)時也有顯著的差異，它的研究需要借助更多的近代數(shù)學(xué)工具. 從柯西算起，復(fù)變函數(shù)論已有了150年的歷史.它以其完

10、美的理論與精湛的技巧成為數(shù)學(xué)的一個重要組成部分.它曾經(jīng)推動過一些學(xué)科的發(fā)展，并且常常作為一個有力的工具被應(yīng)用在實際問題中.它的基礎(chǔ)內(nèi)容已成為理工科很多專業(yè)的必修課程.復(fù)變函數(shù)論中仍然有不少尚待研究的課題，所以它將繼續(xù)向前發(fā)展，并將取得更多應(yīng)用. 物理學(xué)中的流體力學(xué)，穩(wěn)定平面長，航空力學(xué)等學(xué)科的發(fā)展，而且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多分支也都應(yīng)用了它的理論.復(fù)變函數(shù)論已經(jīng)深入到微積分方程，數(shù)論等學(xué)科，對它們的發(fā)展很有影響.現(xiàn)如今.復(fù)變函數(shù)論中仍有不少尚待研究的課題，它將在更多數(shù)學(xué)家們的不懈努力下，繼續(xù)向前發(fā)展，并將取得更多應(yīng)用.比如俄國的茹柯夫斯基在設(shè)計飛機的時候，就用復(fù)變函數(shù)論解決了飛機機翼的結(jié)構(gòu)問題，他在

11、運用復(fù)變函數(shù)論解決流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問題上也做出了貢獻.復(fù)變函數(shù)理論以其完美的理論與精湛的技巧成為數(shù)學(xué)的一個非常重要組成部分.它推動了許多學(xué)科的發(fā)展，在解決某些實際問題中也是強有力的工具，它的基礎(chǔ)內(nèi)容已成為理工科很多專業(yè)的必修課程. 1.2 復(fù)變函數(shù)在通信工程方面的研究現(xiàn)狀人類的生活離不開信息交流，尤其在信息化高度發(fā)達的今天，信息傳輸與人們的生產(chǎn)和生活更是密切相關(guān).通信目前已成為學(xué)術(shù)界研究的熱門課題，然而在對通信研究的同時，大家不能忽視一個重要的部分-數(shù)學(xué)在通信中的應(yīng)用.數(shù)學(xué)推動著通信的發(fā)展，它將抽象的信息、信號等概念具體化，便于人類研究.信號是信息傳輸技術(shù)的工作對象，而信號主要是用函數(shù)

12、表示，這使得信號的各種變換更加形象化.另外，數(shù)學(xué)中的極限、微積分（方程），數(shù)理邏輯，F(xiàn)ourier變換，Laplace變換，線性代數(shù)等知識以及數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想在通信中都起到了至關(guān)重要的作用，因此數(shù)學(xué)與通信息息相關(guān).復(fù)變函數(shù)在很多領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用，其涵蓋面極廣.可以解決一些復(fù)雜的計算問題.在物理領(lǐng)域的應(yīng)用更是顯而易見的，諸如流體力學(xué)、電磁學(xué)等領(lǐng)域.在通信工程中，復(fù)變函數(shù)目前更多地體現(xiàn)在信號與系統(tǒng)的學(xué)習(xí)過程中.連續(xù)時間信號的實頻域分析和連續(xù)時間系統(tǒng)的實頻域分析便是是運用Fourier級數(shù)及Fourier變換.而連續(xù)時間信號與連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析便是運用到了Laplace變換的性質(zhì)

13、.作為復(fù)變函數(shù)中重要的Fourier變換和Laplace變換，我們足以看到復(fù)變函數(shù)在信號即通信中的實用性和研究深度.1.2.1函數(shù)的應(yīng)用在信號傳輸系統(tǒng)中傳輸?shù)闹黧w是信號，系統(tǒng)所包含的各種電路、設(shè)備則是為實施這種傳輸?shù)母鞣N手段.信號是隨著時間變化的物理量，一般可以表示為一個以時間為自變量的函數(shù).所以在信號分析中，信號與函數(shù)二詞常相通用.1.2.2信號的分類信號可按照不同的函數(shù)形式進行分類：當(dāng)信號是一確定的時間函數(shù)時，給定某一時間值，就可以確定一相應(yīng)的函數(shù)值.這樣的信號是確定信號，反之稱為隨機信號.如果在某一時間間隔內(nèi)，對于一切時間值，除了若干不連續(xù)點外，該函數(shù)都能給出確定的函數(shù)值，這信號就稱為連

14、續(xù)信號.和連續(xù)信號相對應(yīng)的是離散信號.離散信號的時間函數(shù)只在某些不連續(xù)的時間值上給定函數(shù)值.用確定的時間函數(shù)表示的信號，又可分為周期信號和非周期信號.1.2.3信號的簡單處理所謂對信號的處理，從數(shù)學(xué)意義來說，就是將信號經(jīng)過一定的數(shù)學(xué)運算轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪恍盘?基本的處理有疊加、相乘、平移，反褶、尺度變換微分與積分等.用函數(shù)圖形表示如下：(1) 相加與相乘(2) 自變量的變換（波形變換）a、平移（時移或移位）b、壓縮與擴展(3) 微分與積分微分 積分1.2.4通信中常用的基本函數(shù).在通信中，基本的信號知識是分析信號與系統(tǒng)的基礎(chǔ).而基本信號大都可用數(shù)學(xué)的函數(shù)來表示，以下例舉幾個常見信號及其函數(shù)： （1）直

15、流信號：(2) 正弦信號：（3）有始信號：又稱因果信號，指的是對某一時間點，當(dāng)時，其值為零的信號.（4）單位階躍信號：（5）單位沖激信號： （6）斜坡信號：（7）實指數(shù)信號：（8）復(fù)指數(shù)信號：（9）矩形脈沖信號：（10）取樣信號：1.3 本文研究的主要內(nèi)容和結(jié)構(gòu)安排本文通過將復(fù)變函數(shù)中的兩個重要變換Fourier變換和Laplace變換以及通信工程原理中的信號處理結(jié)合起來，探討復(fù)變函數(shù)在通信工程中的應(yīng)用.首先，引入Fourier積分和Fourier變換公式的來源，并結(jié)合數(shù)學(xué)函數(shù)實例體現(xiàn)其用法.然后再根據(jù)通信工程中的周期信號與非周期信號形式，將Fourier變換的用法體現(xiàn)在其實際應(yīng)用中.除此之外

16、，又由Fourier變換導(dǎo)出Laplace變換，并按照上述寫作思路，繼續(xù)描述Laplace在處理通訊信號中的應(yīng)用.第二章 Fourier積分和Fourier變換2.1 Fourier積分在學(xué)習(xí)Fourier級數(shù)的時候，我們已經(jīng)知道，一個以為周期的函數(shù)如果在上滿足Dirichlet條件（即函數(shù)在上滿足：1，連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；2，只有有限個極值點），那么在上就可以展成Fourier級數(shù).在的連續(xù)點處，級數(shù)的三角形式為 =+. (2.1）其中 ， ， .而對于Fourier級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式為.事實上，利用歐拉公式，此時，（2.1）式可寫為=+ =，如果令, ， ，而它們可以合寫成一個式子

17、 .若令 ,則（2.1）式可寫為 ，也即 . (2.2)對于非周期函數(shù)的展開問題，將在后文在通信工程中的應(yīng)用給出.2.2 Fourier變換Fourier積分定理 若在上滿足下列條件：1.在任一有限區(qū)間上滿足Dirichlet條件；2.在無限區(qū)間上絕對可積（即積分收斂），則有 （2.3）成立，則左端的在它的間斷點處，應(yīng)以來代替.這個定理的條件是充分的. 我們已經(jīng)知道，若函數(shù)滿足Fourier積分定理中的條件，則在的連續(xù)點處，便有（2.1)式，即成立.從（2.1）式出發(fā)，設(shè) （2.4） 則 （2.5）從上面兩式可以看出，和通過指定的積分運算可以相互表達.（2.4）式叫做的Fourier變換式，可

18、記為.叫做的象函數(shù).（2.5）式叫做的Fourier逆變換式，可記為 .叫做的象函數(shù).第三章 Fourier變換在信號分析中的應(yīng)用通信系統(tǒng)中所用到的信號是信息的載體和表達形式，也是傳輸、處理的對象.根據(jù)信號參數(shù)的確知程度，可將其分為確知信號和隨機信號兩大類.確知信號的特征是:無論是過去、現(xiàn)在還是未來的任何時間，其取值總是唯一確定的，如一個正弦波形，當(dāng)幅度，角頻和初相均為確定值時，它就屬于確知信號們就是一個完全確定的時間函數(shù)，其變換規(guī)律可以用確知的函數(shù)表達式進行描述.反之就是隨機信號.本章對常見確知信號及其變換進行介紹，將前述章節(jié)的數(shù)學(xué)理論運用于物理實踐中.3.1確知信號的頻域特征頻域是描述信號

19、在頻率方面特性時用到的一種坐標(biāo)系.對任何一個事物的描述都需要從多個方面進行，每一方面的描述僅為我們認識這個事物提供部分的信息.例如，眼前有一輛汽車，我可以這樣描述它方面1：顏色，長度，高度.方面2：排量，品牌，價格.而對于一個信號來說，它也有很多方面的特性.如信號強度隨時間的變化規(guī)律（時域特性），信號是由哪些單一頻率的信號合成的（頻域特性）.頻域（頻率域）自變量是頻率，即橫軸是頻率，縱軸是該頻率信號的幅度，也就是通常說的頻譜圖.頻譜圖描述了信號的頻率結(jié)構(gòu)及頻率與該頻率信號幅度的關(guān)系.對信號進行時域分析時，有時一些信號的時域參數(shù)相同，但并不能說明信號就完全相同.因為信號不僅隨時間變化，還與頻率、

20、相位等信息有關(guān)，這就需要進一步分析信號的頻率結(jié)構(gòu)，并在頻率域中對信號進行描述.動態(tài)信號從時間域變換到頻率域主要通過Fourier級數(shù)和Fourier變換實現(xiàn).周期信號靠Fourier級數(shù)，非周期信號靠Fourier變換.3.1.1 周期信號的頻譜分析在復(fù)變函數(shù)理論中，任何一個非周期函數(shù)都可以看成是由某個周期函數(shù)當(dāng)是轉(zhuǎn)化而來的.為了說明這一點，我們作周期為函數(shù)，使其在之內(nèi)等于，而在之外按周期延拓到整個數(shù)軸上,如圖1所示，很明顯，當(dāng)越大，與相等的范圍也越大，這表明當(dāng)時，周期函數(shù)便可轉(zhuǎn)化為，即有圖1這樣，在(2.2)式中令時，結(jié)果就可以看成是的展開式，即當(dāng)取一切整數(shù)時，所對應(yīng)的點便均勻地分布在整個數(shù)

21、軸上.若相鄰點的距離以表示，即,或,則當(dāng)時，有,所以上式又可以寫為 . （3.1）當(dāng)固定時，是參數(shù)的函數(shù)，記為，即利用可將（3.1）式寫成很明顯，當(dāng)，即時，這里 .從而可以看做是在上的積分.即 .亦即 .這個公式稱為函數(shù)的Fourier積分公式. 對于在通信工程中，任何一個周期信號（周期為），只要滿足Dirichlet條件，就可以展開為正交序列之和，即Fourier級數(shù).周期信號的Fourier級數(shù)有三角形式和指數(shù)形式兩種表達式，三角形式的Fourier級數(shù)表達式為 （3.2）式中，是信號基波分量的角頻率，簡稱基頻；和稱為Fourier系數(shù)；代表直流分量.由級數(shù)理論知，F(xiàn)ourier級數(shù)為 （

22、3.3）式（3.2）和式（3.3）表明任何滿足Dirichlet條件的周期信號都可以分解為直流分量和一系列諧波分量的疊加，而各次諧波的分量的頻率均為基頻的整數(shù)倍.實際工程中遇到的周期函數(shù)大多滿足Dirichlet條件.指數(shù)形式的Fourier級數(shù)表達式為式中，復(fù)系數(shù)為顯然，是的函數(shù)，即.實際上反映了周期信號的Fourier級數(shù)表示式中頻率為的信號分量的幅度與相位，通常稱之為頻譜.其大小描述了幅度隨時間變化的關(guān)系，稱為幅度譜；其相位描述了相位隨時間變化的關(guān)系，稱為相位譜.指數(shù)形式的Fourier級數(shù)表明，任意周期信號可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號之和，其各分量的復(fù)數(shù)幅度（或相量）就是.由于指數(shù)

23、形式表達簡潔，便于計算，且物理概念清楚，在通信中廣泛應(yīng)用.例1已知一周期矩形信號，幅度為，脈寬為，周期為，如圖2所示.求的頻譜及其指數(shù)形式的Fourier級數(shù).圖2解：在一個周期內(nèi)，根據(jù)前述理論及公式，求得頻譜為式中，稱為取樣函數(shù).由此得周期矩形信號的指數(shù)Fourier級數(shù)為據(jù)此可以畫出的雙邊頻譜.顯然，頻譜的包絡(luò)分布服從抽樣函數(shù)分布規(guī)律，幅度呈衰減震蕩且出現(xiàn)周期性的零點.周期信號的頻譜具有如下幾個共同特性.（1）離散型.周期信號的頻譜中各譜線是不連續(xù)的，所有頻譜均由最小間隔為基頻的譜線組成.由于譜線之間的最小間隔為基頻，而,故信號的周期決定了譜線之間的最小間隔，信號周期越大，基頻就越小，譜線

24、之間越密；反之，越小，越大，譜線之間越疏.由于非周期信號可以看做是的周期信號，因此可以預(yù)見，非周期信號的頻譜應(yīng)該是連續(xù)譜.（2）諧波性.譜線只出現(xiàn)在基頻整數(shù)倍的頻率位置上.（3）收斂性.即幅度衰減特性，實際上工程中遇到的絕大多數(shù)信號，其幅度譜線將隨頻率的增加不斷衰減，并最終趨于零.3.1.2 非周期信號的頻譜分析由上文可知，令周期信號的重復(fù)周期，則可以將其視為非周期信號.為了描述非周期信號的頻譜特性，引入了頻譜密度的概念.非周期信號的頻譜密度定義為經(jīng)推導(dǎo)有 （3.4） （3.5）式（3.4）和式（3.5）為一個Fourier變換對.式（3.4）稱為的Fourier變換，即頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜

25、.式（3.5）稱為Fourier逆變換，已知頻譜即可求出信號的時域表達式.時間信號與其Fourier逆變換是一一對應(yīng)的關(guān)系，知其一可求另一，故簡記為.例2 已知一非周期矩形信號如圖3所示，求其頻譜.圖3 解：矩形脈沖信號又稱門函數(shù)，表達式為.直接利用Fourier變換的定義式(4.4)求得矩形脈沖信號的頻譜為即由以上得出的函數(shù)表達式即可繪出非周期矩形信號的頻譜.并可知道非周期矩形信號的頻譜是一個連續(xù)譜.Fourier變換是信號時域分析和頻域分析的橋梁，在理論分析和工程實際中都有著廣泛的應(yīng)用.例3 試求取樣函數(shù)頻譜密度.解：取樣函數(shù)的定義是：采樣函數(shù)的頻譜密度為可見，時域中的的Fourier變換

26、是一個門脈沖函數(shù).反之，時域中的門脈沖函數(shù)的Fourier變換一定是個函數(shù).也即例2中的結(jié)果，其實這不是巧合，而是由于Fourier變換與頻域的對稱性而具有的結(jié)果.例4 正弦信號的頻譜.正弦信號可以用指數(shù)函數(shù)來表示，下面來研究指數(shù)信號的傅氏變換.仿照前面的積分方法，可以求得它的傅氏變換為即同樣的方法可以得到因為根據(jù)傅氏變換的疊加性質(zhì)得到所以，正弦信號的傅氏變換在頻譜圖上表示為在正負頻率軸位置上的沖激函數(shù).3.2 信號的能量譜設(shè)有電流信號流經(jīng)電阻,在該電阻消耗的瞬時功率為.若為電壓信號，則瞬時功率為.為了討論方便，令.則代表了電流或者是電壓信號在電阻上消耗的瞬時功率.它在的時間內(nèi)消耗的能量為 (

27、3.6)式中稱作信號的歸一化能量，簡稱為能量.當(dāng)為有限值時，稱為能量信號. 下面我們介紹Fourier變換的理論應(yīng)用之一，即帕斯瓦定理.設(shè)能量信號的傅氏變換為,即.則. (3.7)這定理表明，信號的能量可以在時域計算也可以在頻域計算.其次，利用Fourier變換及其在通信工程理論中的應(yīng)用，可描述能量在各個頻率分量的分布情況，定義了能量頻譜密度函數(shù)；對能量為的能量信號，若頻率函數(shù)滿足 (3.8)則稱為的能量頻譜密度函數(shù)，簡稱能量譜.比較式(3.7)和式(3.8)可以看出:即，能量信號的能量譜等于信號傅氏變換的模平方.能量譜反映了信號的能量在頻率軸上的分布情況.信號的能量譜只與信號的幅度譜有關(guān),與

28、其相位譜無關(guān).因此不同的信號可能有相同的能量譜，但對于一個指定的信號，其能量譜是唯一的.為了求解一個復(fù)雜信號作用于線性系統(tǒng)后的響應(yīng)，可以先把這個復(fù)雜信號分解成許多組成此信號的分量.用來表示信號分量的函數(shù)集常用的是正交函數(shù)集.在實際生活中使用最多的正交函數(shù)集是Fourier級數(shù).根據(jù)具體情況可化為三角Fourier級數(shù)或指數(shù)Fourier級數(shù). Fourier變換形式詳盡而確切地表達了信號分解的結(jié)果，但往往不夠直觀，不能一目了然.為了能既方便又確切地表示一個信號中包含有哪些分量，各分量所占的比重怎樣，根據(jù)其Fourier變換形式作出其頻譜圖.這也是在對信號中研究用到的數(shù)形結(jié)合思想所在.任一周期信

29、號必定可用Fourier級數(shù)表示.一般的，因為周期信號可表示為Fourier級數(shù)，則Fourier變換，即周期信號的頻譜函數(shù)是以為強度的沖激譜線組成.例5 已知為周期信號，求圖4解：利用周期信號的Fourier變換 ，故.在一定條件下，非周期信號可以看成周期信號在周期趨向無窮大時的極限.由上已知周期信號的Fourier變換式，當(dāng)周期趨于無窮大時，可得非周期信號的Fourier變換式為例6 （哈爾濱工業(yè)大學(xué)）半波余弦脈沖的Fourier變換.解： 前述Fourier變換式給出了信號的時域特性與頻域特性的一般關(guān)系.但還可以根據(jù)Fourier的性質(zhì)得出兩者間的若干特定關(guān)系.這些關(guān)系揭示了信號的時域特

30、性和頻域特性之間某些方面的重要聯(lián)系.其常用的性質(zhì)有 線性特性：若，則 延時特性：若， 則.移頻特性：若，則尺度變換特性：若，則 奇偶特性：若為的偶函數(shù)，其頻譜函數(shù)僅有實部，是的實偶函數(shù).即.若為的奇函數(shù)，其頻譜函數(shù)僅有虛部，是的虛奇函數(shù).即.對稱特性：若則 如果為的偶函數(shù)，其頻譜函數(shù)是的實偶函數(shù)即.若，則或；或. 微分特性：若， 則 ;積分特性：若，則 ;域的微分與積分特性：若，則 及;卷積定理：若 ，則 ;信號通過系統(tǒng)的頻域分析法主要研究信號頻譜通過系統(tǒng)后產(chǎn)生的變化.因為系統(tǒng)對不同頻率的等幅正弦信號呈現(xiàn)的特性不同，因而對信號中各個頻率分量的相對大小將產(chǎn)生不同的影響，同時各個頻率分量也將產(chǎn)生不

31、同的相移，使得各頻率分量在時間軸上相對位置產(chǎn)生變化.疊加所得的信號波形也就不同于輸入信號的波形，從而達到對信號的處理目的.第四章 Laplace變換及其簡單應(yīng)用4.1 問題的提出在上一章我們講過，一個函數(shù)當(dāng)它除了滿足Dirichlet條件以外，還在內(nèi)滿足絕對可積的條件是比較強的，許多函數(shù)即使是很簡單的函數(shù)都不滿足這個條件；其次，可以進行Fourier變換的函數(shù)必須在整個數(shù)軸上有定義，但在物理、無線電技術(shù)等實際應(yīng)用中，許多以時間作為自變量的函數(shù)往往在時是無意義的或者是不需要考慮的，像這樣的函數(shù)都不能取Fourier變換.由此可見，F(xiàn)ourier變換的應(yīng)用范圍受到相當(dāng)大的限制.那要怎么處理才能解決

32、這個問題呢?4.2 問題的解答對于任意一個函數(shù)，能否經(jīng)過適當(dāng)?shù)馗脑焓蛊溥M行Fourier變換時克服上述兩個缺點呢？這就使我們想到了兩個函數(shù):單位階躍函數(shù)和指數(shù)衰減函數(shù)所具有的特點.用前者乘可以使積分區(qū)間由換成，用后者乘就可能使其變得絕對可積，因此，為了克服Fourier變換上述的兩個缺點，我們自然會想到用來乘，即 結(jié)果發(fā)現(xiàn)，只要選得適當(dāng)，一般來說，這個函數(shù)的Fourier變換總是存在的.對函數(shù)進行先乘以，再取Fourier變換的運算，就產(chǎn)生了Laplace變換.對函數(shù)取Fourier變換，可得其中， .若再設(shè) .則得 .由此式所確定的函數(shù)，實際上是由通過一種新的變換得來的，這種變換我們稱為La

33、place變換.4.3 Laplace變換在信號系統(tǒng)中的簡單應(yīng)用 設(shè)函數(shù)當(dāng)時有定義，而且積分 （是一個復(fù)參量）在的某一域內(nèi)收斂，則由此積分所確定的函數(shù)可寫為 . （4.1）我們稱（4.1）式為函數(shù)的Laplace變換式.記為稱為的Laplace變換（或稱為象函數(shù)）.若是的Laplace變換，則稱為的Laplace逆變換（或稱為象原函數(shù)），記為=.由（4.1）式可以看出，的Laplace變換，實際上就是的Fourier變換.下面我們通過一個例題簡單展示一下Laplace變換在周期信號中的應(yīng)用.例7 求周期三角波且的Laplace變換.圖5解：根據(jù)Fourier變換的思路及形式，以及結(jié)合前述章節(jié)關(guān)

34、于Laplace變換在信號處理中的理論有: 令,則，而所以由于當(dāng)時，所以，從而一般地，以為周期的函數(shù)，即，當(dāng)在一個周期上是分段連續(xù)時，則有成立.這就是求周期函數(shù)的Laplace變換公式.Laplace變換可看成是Fourier變換在復(fù)變數(shù)域中的推廣.與Fourier變換類似，對于Laplace變換式中每一對正、負的指數(shù)分量決定一項變幅度的“正弦振蕩”，其幅度也是一無窮小量，且按指數(shù)規(guī)律隨時間變化.與Fourier變換中一樣，這些振蕩的頻率是連續(xù)的，并且分布及于無窮.通常稱為復(fù)頻率，并把看成是信號的復(fù)頻譜.例8 因果信號，求其Laplace變換. 解： 可見，對于因果信號，僅當(dāng)時，其拉氏變換存在.收斂域如圖所示.圖6 Laplace變換建立了信號在時域和復(fù)頻域之間的對應(yīng)關(guān)系，為今后更方便對系統(tǒng)進行分析，在此了解其一些基本性質(zhì)線性性質(zhì)：設(shè),，為任意常數(shù)，則.尺度變換：設(shè) ，則當(dāng)時有時間平移：設(shè)，則 頻率平移：設(shè)，則 時域微分：設(shè)，則.如果函數(shù)為有始函數(shù)，上式可簡化為 .時域積分：設(shè)，則 .復(fù)頻域微分與積分：設(shè)，則，.對參變量微分與積分：設(shè),為參數(shù),則 及.