任意角三角函數(shù)定義的呈現(xiàn)方式

1、鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書(shū)配套教學(xué)軟件_教學(xué)論文蘇教版蘇教版三角函數(shù)三角函數(shù)的編寫(xiě)意圖的編寫(xiě)意圖也談任意角三角函數(shù)定義的呈現(xiàn)方式張乃達(dá) 石志群1引言引言近來(lái)本刊已經(jīng)發(fā)表了多篇文章，對(duì)任意角三角函數(shù)定義的不同呈現(xiàn)方式展開(kāi)了討論這次討論是由于人教（A）版教材和蘇教版的教材對(duì)任意角三角函數(shù)采用了兩種不同的定義方式而引發(fā)的其中，發(fā)表于本刊 2010 年 1-2 期的題為三談“單位圓定義法”與“終邊坐標(biāo)定義法” （文1）的文章，更從學(xué)生思維活動(dòng)的視角探討了任意角三角函數(shù)定義的不同呈現(xiàn)方式對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)的影響，從而使討論進(jìn)入了一個(gè)新的層面即從對(duì)結(jié)果（定義）的靜態(tài)分析，進(jìn)入到對(duì)過(guò)程（活動(dòng)）的動(dòng)態(tài)分析，這無(wú)疑是一項(xiàng)有

2、意義的進(jìn)展，也是使討論深入下去的正確方向需要指出的是，由于討論是由兩種教材的不同呈現(xiàn)方式引起的，因此，討論必須在深入研究教材、理解教材的基礎(chǔ)上展開(kāi)遺憾的是，文1在這方面尚存在著很多不足之處例如，在我們看來(lái)，文章對(duì)蘇教版教材就存在著許多誤解（當(dāng)然這些誤解可能就是由教材的表達(dá)不清晰等原因造成的）！這些誤解不僅影響了文章對(duì)學(xué)生思維活動(dòng)分析的準(zhǔn)確性，而且對(duì)讀者造成了誤導(dǎo)！為此，我們感到有必要就教材編寫(xiě)的意圖（這是主觀的想法）和教材本身（這是客觀地呈現(xiàn)在讀者面前的存在）做一些說(shuō)明和澄清，并就相關(guān)問(wèn)題發(fā)表我們的看法，供進(jìn)一步討論時(shí)參考2兩種建構(gòu)路徑的分析兩種建構(gòu)路徑的分析2.12.1蘇教版教材的建構(gòu)路徑蘇

3、教版教材的建構(gòu)路徑文1認(rèn)為：兩種定義都是“從初中的以直角三角形為載體的銳角三角函數(shù)引入課題的” ，兩種教材都把銳角三角函數(shù)的定義看成“新知識(shí)學(xué)習(xí)的生長(zhǎng)點(diǎn)” ，這顯然是不符合事實(shí)的，是對(duì)于蘇教版教材的誤解！作為進(jìn)一步討論的基礎(chǔ)，下面我們僅對(duì)蘇教版教材建構(gòu)三角函數(shù)概念的路徑作一介紹和分析（1 1）建構(gòu)活動(dòng)從考察周期性運(yùn)動(dòng)開(kāi)始）建構(gòu)活動(dòng)從考察周期性運(yùn)動(dòng)開(kāi)始事實(shí)上，蘇教版教材不是“以直角三角形為載體的銳角三角函數(shù)引入課題鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書(shū)配套教學(xué)軟件_教學(xué)論文的” ，而是從對(duì)周期運(yùn)動(dòng)的考察分析開(kāi)始的這一點(diǎn)清楚地表現(xiàn)在教材的引言中日落日出，寒來(lái)暑往自然界中有許多“按一定規(guī)律周而復(fù)始”的現(xiàn)象，這種按一

4、定規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象稱(chēng)為周期現(xiàn)象周期現(xiàn)象一般與周期運(yùn)動(dòng)有關(guān)一個(gè)簡(jiǎn)單又基本的例子便是“圓周上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)” 如圖 1，P 是半徑為 r 的圓 O 上一點(diǎn)，P 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以形象地描述為“周而復(fù)始” 那么，點(diǎn) P 按怎樣的規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)？用什么樣的數(shù)學(xué)模型來(lái)刻畫(huà)呢？在提出了問(wèn)題以后，蘇教版教材并沒(méi)有直接給出問(wèn)題的答案，而是立即著手解決問(wèn)題立即對(duì)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)的分析引言接著說(shuō)：為了回答上述問(wèn)題，需要將點(diǎn) P 表示出來(lái)我們進(jìn)行如下思考：（1）如圖 2 和圖 3，以水平方向作參照方向，有序數(shù)對(duì)（r，） ， （r，l）都可以表示點(diǎn) P；（2）如圖 4，以水平線(xiàn)為 x 軸，圓心 O 為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，有

5、序數(shù)對(duì)（x，y）也可以表示點(diǎn) P在表示點(diǎn) P 的過(guò)程中，我們先后選用了角、弧長(zhǎng)和直角坐標(biāo)（2 2）提出中心問(wèn)題）提出中心問(wèn)題在對(duì)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)的分析以后，教材立即提出了本章的中心問(wèn)題： ，l，x，y 之間有著怎樣的內(nèi)在聯(lián)系？鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書(shū)配套教學(xué)軟件_教學(xué)論文問(wèn)題的提出，標(biāo)志著我們已經(jīng)取得了重要的階段性成果即發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有價(jià)值的問(wèn)題！這是統(tǒng)率全章的中心問(wèn)題！是任意角三角函數(shù)概念的生長(zhǎng)點(diǎn)解決這個(gè)問(wèn)題的思維活動(dòng)，不僅導(dǎo)致任意角三角函數(shù)概念的建立，而且構(gòu)成了整個(gè)教學(xué)的過(guò)程！ （3 3）發(fā)現(xiàn)和銳角三角函數(shù)的聯(lián)系）發(fā)現(xiàn)和銳角三角函數(shù)的聯(lián)系和人教（A）版教材不同，直到現(xiàn)在為止，蘇教版教材的正文（目錄、

6、標(biāo)題除外）中還沒(méi)有提到過(guò)“三角函數(shù)” ，更沒(méi)有把銳角三角函數(shù)當(dāng)成考察的對(duì)象，因?yàn)閷?duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們面臨的問(wèn)題是“怎樣建立刻畫(huà)周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型”？由于他們并不知道三角函數(shù)和周期性現(xiàn)象的聯(lián)系，因而不可能把三角函數(shù)納入他們的視野！更不可能去“復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)的定義”！這就是說(shuō)，銳角三角函數(shù)和當(dāng)前課題之間的聯(lián)系是應(yīng)該讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)的！這應(yīng)該是當(dāng)前建構(gòu)活動(dòng)中的又一個(gè)重要環(huán)節(jié)對(duì)此，教材是這樣處理的：蘇教版教材在第 1.2 節(jié)“任意角的三角函數(shù)”的節(jié)首語(yǔ)中重新提出了引言中提出的中心問(wèn)題：“用（r，）與用坐標(biāo)（x，y）均可表示圓周上點(diǎn) P，那么，這兩種表示有什么內(nèi)在聯(lián)系？確切地說(shuō)，用怎樣的數(shù)學(xué)模型刻畫(huà)(x

7、，y)與(r，)之間的關(guān)系？”為了解決這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生自然會(huì)在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出角的終邊，標(biāo)出坐標(biāo)，再讓繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)到第一象限時(shí)，學(xué)生們就可以發(fā)現(xiàn)：如果為銳角，則有 sin= ，cos= ，tan= 這樣就發(fā)現(xiàn)了我們要尋求的聯(lián)系！而它恰恰是銳角yrxryx三角函數(shù)提供的于是，銳角三角函數(shù)進(jìn)入了學(xué)生的視野！于是，教材順其自然地和學(xué)生一同回憶起銳角三角函數(shù)，并提出了新問(wèn)題（4 4）提出將銳角三角函數(shù)推廣的問(wèn)題）提出將銳角三角函數(shù)推廣的問(wèn)題于是，教材提出了“怎樣將銳角三角函數(shù)推廣到任意角？”這樣一個(gè)問(wèn)題！鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書(shū)配套教學(xué)軟件_教學(xué)論文由于上面的舗墊，學(xué)生順理成章地展開(kāi)了建構(gòu)任意角三角函

8、數(shù)的活動(dòng)（5 5）反思）反思我們構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型是否滿(mǎn)足對(duì)函數(shù)的要求？（6 6）命名）命名把建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為“任意角三角函數(shù)” ，簡(jiǎn)稱(chēng)“三角函數(shù)” 指出它和銳角三角函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系（用現(xiàn)代函數(shù)的觀點(diǎn)看銳角三角函數(shù)） （7 7）探究三角函數(shù)幾何意義）探究三角函數(shù)幾何意義（8 8）特別地，給出單位圓）特別地，給出單位圓“定義定義” 2.22.2人教（人教（A A）版教材的建構(gòu)路徑）版教材的建構(gòu)路徑為了更清晰地表達(dá)蘇教版教材的編寫(xiě)意圖和建構(gòu)路徑的特點(diǎn)，作為比較，我們僅對(duì)人教（A）版教材的建構(gòu)路徑作一概略的考察（1 1）直接告知學(xué)生）直接告知學(xué)生“三角函數(shù)是刻畫(huà)周期性變化三角函數(shù)是刻畫(huà)周期性變化”的數(shù)

9、學(xué)模型的數(shù)學(xué)模型和蘇教版的引言相似，人教（A）版的引言在一開(kāi)始也提出了和蘇教版引言中提出的問(wèn)題：現(xiàn)實(shí)世界中有許多運(yùn)動(dòng)變化都具有循環(huán)往復(fù)周而復(fù)始的現(xiàn)象，這種變化規(guī)律稱(chēng)為周期性如何用數(shù)學(xué)方法來(lái)刻畫(huà)這種變化規(guī)律呢？但是，人教（A）版教材并沒(méi)有像蘇教版那樣，帶領(lǐng)學(xué)生去解決這個(gè)問(wèn)題，而是直接給出了問(wèn)題的答案：“本章要學(xué)習(xí)的三角函數(shù)就是刻畫(huà)這種變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型 ”這樣一來(lái)，對(duì)周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)研究就被對(duì)“三角函數(shù)”的研究所取代！于是周期性現(xiàn)象退出了我們的視野，而“三角函數(shù)”成為研究的主題！接著引言又提出了本章的學(xué)習(xí)任務(wù)：三角函數(shù)到底是一種什么樣的函數(shù)？它具有哪些特有的性質(zhì)？在解決具有周期性變化規(guī)律的問(wèn)題中

10、到底能發(fā)揮哪些作用？下面我們就來(lái)研究這些問(wèn)題于是，三角函數(shù)是什么？銳角三角函數(shù)是怎樣定義的？就成為本章學(xué)習(xí)的初始問(wèn)題了！而怎樣把銳角三角函數(shù)“推廣”到任意角，自然成為本章的中心問(wèn)題！可是，三角函數(shù)為什么能刻畫(huà)“周期性現(xiàn)象”呢？這個(gè)更本原、更深刻的鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書(shū)配套教學(xué)軟件_教學(xué)論文問(wèn)題就被越過(guò)了！掩蓋了?。? 2）復(fù)習(xí)并）復(fù)習(xí)并“改造銳角三角函數(shù)改造銳角三角函數(shù)” 在復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)定義以后，教材提出了問(wèn)題：你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角三角函數(shù)嗎？開(kāi)始了三角函數(shù)概念的推廣工作（3 3）建立銳角三角函數(shù)的）建立銳角三角函數(shù)的“單位圓單位圓”定義定義（4 4）建立任意角三

11、角函數(shù)的）建立任意角三角函數(shù)的“單位圓單位圓”定義定義2.32.3需要澄清的幾個(gè)問(wèn)題需要澄清的幾個(gè)問(wèn)題（1）銳角三角函數(shù)不是建構(gòu)活動(dòng)的基礎(chǔ)在蘇教版教材中，并沒(méi)有把銳角三角函數(shù)當(dāng)成建構(gòu)活動(dòng)的基礎(chǔ)，相反，我們把它的過(guò)早出現(xiàn)看成是對(duì)建構(gòu)活動(dòng)的干擾！因此，在教學(xué)中，我們要求教師出示的課題并不是“任意角三角函數(shù)” ，而是“刻畫(huà)周期性變化的數(shù)學(xué)模型” ，直到得到三角函數(shù)的定義后，才把課題“刻畫(huà)周期性變化的數(shù)學(xué)模型三角函數(shù)”完整地展示出來(lái)（2）建構(gòu)過(guò)程中，并沒(méi)有引導(dǎo)學(xué)生“建立函數(shù)意義上的銳角三角函數(shù)定義”文1說(shuō)：“學(xué)生建立起（x，y）與（r，）以后，蘇教版教材引導(dǎo)學(xué)生利用該模型建立起函數(shù)意義上的銳角的三角函

12、數(shù)定義” ，最終要建立起定義域?yàn)椋?，）上的三角函數(shù)定義表達(dá)式”其實(shí)教材并沒(méi)有這樣做，而且我們也感到2沒(méi)在必要這樣做！其實(shí)這里學(xué)生合乎邏輯的想法是很簡(jiǎn)單的：當(dāng) 是銳角時(shí)，學(xué)生利用銳角三角函數(shù)來(lái)表達(dá) 、x、y 的聯(lián)系，這時(shí)，在他們的眼中，銳角三角函數(shù)只是一個(gè)有用的工具，因此，他們希望在非銳角的情況下也有類(lèi)似的工具，于是他們開(kāi)始“建構(gòu)”它！可見(jiàn)學(xué)生是不會(huì)產(chǎn)生文1中提出的問(wèn)題的！我們認(rèn)為，正角角 0/6/4/3/22/33/45/6SIN01/2/22/231/23/221/20COS1/23/221/201/2-/22-/23-1TAN0/331331-/330鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書(shū)配套教學(xué)軟件_

13、教學(xué)論文是由于不自覺(jué)地以人教（A）版的建構(gòu)路徑來(lái)分析這里的思維活動(dòng)，才造成文1的誤解這正是受“銳角三角函數(shù)”干擾的結(jié)果！2.42.4兩種建構(gòu)路徑的比較兩種建構(gòu)路徑的比較文1在比較兩種教材時(shí)說(shuō)：“兩種定義的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)相同，但定義的過(guò)程是有區(qū)別的 ”我們認(rèn)為，這個(gè)結(jié)論是不準(zhǔn)確的！事實(shí)上，只要比較兩種教材的建構(gòu)路徑，我們就會(huì)看到，兩種教材不僅定義的過(guò)程有區(qū)別，而且它們的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)、呈現(xiàn)的方式、學(xué)習(xí)成果（建構(gòu)的對(duì)象） 、教材的定位以及由此設(shè)定的學(xué)習(xí)方式，都存在著重大的區(qū)別 （見(jiàn)下表）下面僅就 “學(xué)習(xí)成果” （建構(gòu)對(duì)象）和“學(xué)習(xí)狀態(tài)”作一說(shuō)明：（1 1）關(guān)于學(xué)習(xí)成果）關(guān)于學(xué)習(xí)成果應(yīng)該指出的是，盡

14、管從表面看，兩種建構(gòu)活動(dòng)都得到了同一成果任意角三角函數(shù)的定義，但是這一成果對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，意義卻是不同的！在蘇教版中，由于學(xué)生的建構(gòu)活動(dòng)一直是指向刻畫(huà)周期性變化的數(shù)學(xué)模型的，所以在經(jīng)過(guò)一番努力，最終得到了建構(gòu)的結(jié)果（三角函數(shù)）時(shí)，他們自然會(huì)把三角函數(shù)看成是刻畫(huà)周期性變化的數(shù)學(xué)模型，而“三角函數(shù)”只不過(guò)是為模型起的名稱(chēng)而已！可是，在人教（A）版的建構(gòu)活動(dòng)中就不同了！在這里，學(xué)生所做的一切都是為了“把銳角三角函數(shù)推廣到任意角” ，他們并沒(méi)有看到建構(gòu)活動(dòng)和“周期性”有任何關(guān)系因此，在他們的眼中，任意角三角函數(shù)就是任意角三角函數(shù)，人教（人教（A）版（推廣的路徑）版（推廣的路徑）蘇教版（建構(gòu)的路徑）蘇教版（

15、建構(gòu)的路徑）學(xué)習(xí)起點(diǎn)復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)考察周期性運(yùn)動(dòng)（圓周運(yùn)動(dòng)）學(xué)習(xí)方式概念的同化：偏向于接受性學(xué)習(xí)概念的生成：偏向于發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)中心問(wèn)題任意角三角函數(shù)是什么？怎樣構(gòu)建刻畫(huà)周期性變化的數(shù)學(xué)模型？學(xué)習(xí)過(guò)程把銳角三角函數(shù)推廣到任意角依托圓周運(yùn)動(dòng)建構(gòu)新的數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)狀態(tài)操作性的、目的模糊的、被動(dòng)的清晰的、目的明確的、主動(dòng)的和可理解的學(xué)習(xí)成果三角函數(shù)刻畫(huà)周期性變化的數(shù)學(xué)模型鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書(shū)配套教學(xué)軟件_教學(xué)論文盡管教材（在引言中）曾經(jīng)告知學(xué)生“三角函數(shù)就是刻畫(huà)周期性變化的數(shù)學(xué)模型” ，但是，由于建構(gòu)活動(dòng)和周期性變化“脫鉤” ，所以要想讓學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，還需要做很多很多的事！ （2 2）關(guān)于學(xué)習(xí)

16、狀態(tài)）關(guān)于學(xué)習(xí)狀態(tài)通過(guò)對(duì)兩種教材建構(gòu)路徑的比較，我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在使用不同的教材時(shí)，往往會(huì)進(jìn)行相同的“操作” ，會(huì)面臨相同的問(wèn)題，但是由于問(wèn)題背景的不同，學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)和引發(fā)的思維活動(dòng)卻有很大的差異：例如，在本節(jié)課中學(xué)生都會(huì)“復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)” ，但是，在這樣做的時(shí)候，學(xué)生面臨的背景是有很大不同的人教（A）版教材是從討論銳角三角函數(shù)開(kāi)始的對(duì)這樣的安排，學(xué)生會(huì)問(wèn)：?jiǎn)枺簽槭裁匆懻撲J角三角函數(shù)呢？回答可能是“為了建立任意角的三角函數(shù)的概念” 問(wèn)：那么為什么要建立任意角的三角函數(shù)的概念呢？回答可能是因?yàn)槿我饨堑娜呛瘮?shù)正是“刻畫(huà)周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型” 問(wèn)：為什么任意角的三角函數(shù)可以刻畫(huà)周期性現(xiàn)象呢？這

17、就是學(xué)生無(wú)法回答的了！其實(shí)，這個(gè)問(wèn)題教師是可以回答的，他可能會(huì)說(shuō)：你們研究了三角函數(shù)的性質(zhì)就知道了但是，還有一個(gè)更尖銳的也是更重要的問(wèn)題等著他，這就是：研究周期性現(xiàn)象時(shí)，你怎么會(huì)想到“銳角三角函數(shù)”的？可能這是編者、教師和學(xué)生都無(wú)法回答的！這個(gè)問(wèn)題不僅學(xué)生現(xiàn)在不能回答，而且對(duì)大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)，可能一生都弄不明白！由此可見(jiàn)，在課堂上，盡管看起來(lái)學(xué)生確實(shí)是參與了建立三角函數(shù)概念的活動(dòng)，但是他們并不完全知道這些活動(dòng)的意義！所以我們說(shuō)，學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)是“操作性的、目的模糊的、被動(dòng)的”！ 與之比較，我們?cè)倏纯磳W(xué)習(xí)蘇教版教材的狀況在蘇教版中，復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)是學(xué)生“自發(fā)自覺(jué)”的行動(dòng)，請(qǐng)看下面的鳳凰高中數(shù)學(xué)教

18、學(xué)參考書(shū)配套教學(xué)軟件_教學(xué)論文分析：?jiǎn)枺簽槭裁匆獜?fù)習(xí)銳角三角函數(shù)呢？是因?yàn)槔盟梢詭椭覀兘ⅲ▁, y）與（r,）的眹系問(wèn)：你是怎么知道它會(huì)幫助我們建立（x, y）與（r,）的眹系的呢？因?yàn)?，在銳角時(shí)，我們利用它已經(jīng)建立了（x, y）與（r,）間的聯(lián)系！問(wèn)：可是，你是怎么想到要研究（x, y）與（r,）間的聯(lián)系的呢？它有什么用？ 這是因?yàn)橛茫╮,） （x, y）都可以表示圓周上的點(diǎn)問(wèn)：為什么要表示圓周上的點(diǎn)呢？這是為了刻畫(huà)圓周上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)：為什么要刻畫(huà)圓周上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)呢？這是因?yàn)樗侵芷诂F(xiàn)象的“一個(gè)簡(jiǎn)單又基本的例子”問(wèn)：為什么要研究周期現(xiàn)象呢？因?yàn)槲覀兊娜蝿?wù)就是要“建構(gòu)刻畫(huà)周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模

19、型 ”可以看出，由于蘇教版教材展示了建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的思維過(guò)程，學(xué)生自始至終地參與了建構(gòu)的活動(dòng)，理解每一歩“操作”的意義，了解毎一個(gè)問(wèn)題的背景，知道問(wèn)題是怎樣被提出來(lái)的，因此，學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)是“清晰的、目的明確的、主動(dòng)的和可理解的”！這正是我們追求的結(jié)果！3 3教材的編寫(xiě)意圖和定位教材的編寫(xiě)意圖和定位3.13.1關(guān)于教材定位關(guān)于教材定位通過(guò)上面的比較和分析可以看出，盡管兩種教材都是講的“三角函數(shù)” ，可是它們的定位卻是不同的實(shí)際上，這在比較兩種教材的引言時(shí)，就可以看到了！根據(jù)我們的分析，人教（A）版教材的定位應(yīng)該是“認(rèn)識(shí)和研究描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型：三角函數(shù)” ，設(shè)定的學(xué)習(xí)起點(diǎn)是：三角函數(shù)是什

20、么？相應(yīng)的學(xué)習(xí)方式是接受性學(xué)習(xí)！蘇教版教材是把對(duì)周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)（分析）研究看成教學(xué)的起點(diǎn)的，教鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書(shū)配套教學(xué)軟件_教學(xué)論文材的定位是“展示對(duì)周期現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的過(guò)程” ，而從周期性現(xiàn)象的原型中，抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型就成為這個(gè)過(guò)程的第一階段！因而相應(yīng)地，它設(shè)定的學(xué)習(xí)方式是發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)！相信明白了這些，就可以理解這兩種教材為什么在建構(gòu)路徑和呈現(xiàn)方式上會(huì)具有那么大的差別了！3.23.2蘇教版教材的編寫(xiě)意圖蘇教版教材的編寫(xiě)意圖蘇教版教材的定位是由它的編寫(xiě)思想（意圖）決定的蘇教版教材的編寫(xiě)意圖可以概括為一句話(huà)，即：提供一個(gè)“數(shù)學(xué)地研究現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)范例！”具體地，它表達(dá)下面幾個(gè)層面的意

21、思：1把（任意角）三角函數(shù)看成是刻畫(huà)周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)看待三角函數(shù)，把本章教學(xué)看成是函數(shù)學(xué)習(xí)的后續(xù)和深化2要展示并讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)地研究的全過(guò)程，即：提出問(wèn)題建構(gòu)數(shù)學(xué)模型研究數(shù)學(xué)模型應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的過(guò)程特別是，要讓學(xué)生經(jīng)歷從周期性運(yùn)動(dòng)的原型，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)抽象，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過(guò)程3要突出三角函數(shù)是刻畫(huà)周期性變化的數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)，突出周期性不僅在概念的建構(gòu)過(guò)程中，而且在研究模型的性質(zhì)時(shí)（如：誘導(dǎo)公式的研究、三角函數(shù)的圖象的學(xué)習(xí)等等）都要突出周期性的作用，并把這些研究活動(dòng)看成是建構(gòu)模型的有機(jī)部分4采用“建構(gòu)的思路” ，引人任意角三角函數(shù)概念5所有這一切，都體現(xiàn)了我們的價(jià)值觀它表明我

22、們看重的不僅是作為一種數(shù)學(xué)模型的三角函數(shù)的應(yīng)用價(jià)值，而且看重建構(gòu)活動(dòng)的價(jià)值，包括蘊(yùn)含于活動(dòng)中的思想、方法、思維、過(guò)程的價(jià)值，即數(shù)學(xué)活動(dòng)本身的價(jià)值3.33.3 兩種不同的建構(gòu)思路兩種不同的建構(gòu)思路一般地說(shuō)，任意角三角函數(shù)的概念的建構(gòu)有兩種基本的思路，即：推廣思路與建構(gòu)思路所謂推廣的思路是由銳角三角函數(shù)出發(fā)，將其推廣到任意角，從而建立起任意角三角函數(shù)概念的思路所謂建構(gòu)思路，是從現(xiàn)實(shí)世界的周期現(xiàn)象中選取鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書(shū)配套教學(xué)軟件_教學(xué)論文原型，通過(guò)數(shù)學(xué)抽象，建構(gòu)起刻畫(huà)周期性變化的數(shù)學(xué)模型的思路，即通常所說(shuō)的建模，蘇教版教材采用的就是這種思路推廣的思路，這也是傳統(tǒng)教學(xué)中經(jīng)常采用的思路，人教（A

23、）版教材采用的這是這種思路在教學(xué)中教師往往不自覺(jué)地就會(huì)走上這條思路實(shí)際上，在教學(xué)中，學(xué)生只要看到學(xué)習(xí)的課題是任意角三角函數(shù)就會(huì)聯(lián)想到銳角三角函數(shù)，認(rèn)定任意角三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)的推廣，而走到這條路上來(lái)因此，看起來(lái)這是很自然的思路我們之所以拒絕采用這個(gè)思路，除了它和我們的編寫(xiě)意圖直接沖突以外，還出于教學(xué)方面的考慮：在推廣的思路中，教師實(shí)際上是把“任意角三角函數(shù)是什么？”當(dāng)成教學(xué)的起點(diǎn)的，它對(duì)應(yīng)的初始問(wèn)題就是：怎樣把銳角三角函數(shù)推廣到任意角？現(xiàn)在我們看看，面對(duì)著這個(gè)問(wèn)題學(xué)生會(huì)產(chǎn)生什么樣的思維活動(dòng)？因?yàn)闆](méi)有更多的信息，所以學(xué)生只能從字面上去尋求“任意角三角函數(shù)”的意義！他可能想到， “任意角三角函數(shù)”可能是一種“函數(shù)” ，因而它應(yīng)該有“定義域”和“對(duì)應(yīng)關(guān)系” ；它可能是一種刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，可是具體地，它是怎么樣的數(shù)學(xué)模型呢？學(xué)生就無(wú)法回答了！當(dāng)然，學(xué)生還可能想到，這種數(shù)學(xué)模型可能和銳角三角函數(shù)有關(guān)，很可能是后者的推廣于是學(xué)生可能會(huì)回憶銳角三角函數(shù)的意義，并力求將其“推廣”！可是由于學(xué)生不知道推廣的目的，就無(wú)法確定推廣的方向，于是學(xué)生的建構(gòu)活動(dòng)只能到此為止，再也無(wú)法繼續(xù)進(jìn)行下去了！造成上述現(xiàn)象的原因一方面在于學(xué)生掌握的信息太少，特別是建構(gòu)的目標(biāo)不清晰對(duì)學(xué)生而言， “任意角三角函數(shù)”只是一個(gè)數(shù)學(xué)模型的名稱(chēng)