基于FPGA的復(fù)指數(shù)轉(zhuǎn)換模塊

1、基于FPGA的復(fù)指數(shù)轉(zhuǎn)換模塊設(shè)計(jì)摘要：復(fù)指數(shù)運(yùn)算會(huì)運(yùn)用在許多通信數(shù)字處理領(lǐng)域中，例如ofdm系統(tǒng)的調(diào)制、加擾等。CORDIC算法是在許多角度計(jì)算方面有著廣泛應(yīng)用的經(jīng)典算法，本文通過考慮FPGA的結(jié)構(gòu)、精度局限和速度要求，采用流水線技術(shù)(pipeline)，在FPGA上用CORDIC算法實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)數(shù)處理。關(guān)鍵詞: 坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)數(shù)字計(jì)算; FPGA; 復(fù)指數(shù)1 引言FPGA以其靈活性和使用方便在現(xiàn)今的數(shù)字領(lǐng)域已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用。但FPGA實(shí)現(xiàn)數(shù)字系統(tǒng)也有其自身的局限性，其一是器件資源的門陣列規(guī)模的限制，其二是單元延遲限制。所以，這就需要設(shè)計(jì)者充分考慮器件的實(shí)際工作能力。復(fù)數(shù)的計(jì)算在數(shù)字領(lǐng)域尤其是數(shù)字通

2、信領(lǐng)域是一種應(yīng)用非常廣泛的計(jì)算，如果用傳統(tǒng)的除法器、乘法器等計(jì)算方法，需要占用大量的FPGA資源，這樣就不能滿足設(shè)計(jì)者的要求，需要設(shè)計(jì)者考慮其他的算法實(shí)現(xiàn)這種類型的計(jì)算。CORDIC算法在硬件電路的實(shí)現(xiàn)上只用到了加法器和移位器，這樣就大大節(jié)約了FPGA的資源，從而可以滿足設(shè)計(jì)者的要求。2 CORDIC算法簡(jiǎn)介CORDIC(CoordinateRotationDigital Computer)，又名：坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)數(shù)字計(jì)算，是J. Voider等人于1959年在設(shè)計(jì)美國(guó)航空導(dǎo)航控制系統(tǒng)的過程中提出來的一種算法。下面就簡(jiǎn)要地介紹一下CORDIC算法的基本數(shù)學(xué)思想。如圖1所示，將向量旋轉(zhuǎn)角，得到一個(gè)新的向

3、量，那么有： (1)式中R為圓周的半徑，為旋轉(zhuǎn)角度。寫成矩陣形式： (2)如果假設(shè)是由n個(gè)角度疊加而成的，那么根據(jù)式(2)得出每一步的疊加操作需要按照式(3)操作。 (3)利用式子(3)經(jīng)過n步疊加可以表示由向量旋轉(zhuǎn)到向量，如下表示： (4)由于計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算采用二進(jìn)制形式，所以我們選取，這樣選取方便了的計(jì)算，即，式（4）前面的可以去累積乘的極限即： 如果我們?cè)谠O(shè)計(jì)的系統(tǒng)中提前計(jì)算K，那么當(dāng)拋開K不算時(shí)，式(3)就可以表示成式(5)： (5)至此，我們可以得出結(jié)論，由向量，在先計(jì)算K的情況下，我們可以由式（5）逐步的計(jì)算旋轉(zhuǎn)角度后得出向量。計(jì)算的精度由n的大小決定,式(5)中的由每一步的具體情

4、況而定。3 CORDIC算法的復(fù)數(shù)計(jì)算應(yīng)用Y復(fù)指數(shù)可以表示為，由歐拉恒等式知，只要知道角度，就可以計(jì)算正余弦的值來表示這個(gè)復(fù)數(shù)。已知角度，如何求：、。這個(gè)問題我們可以轉(zhuǎn)換為利用CORDIC這種向量旋轉(zhuǎn)的思想進(jìn)行解析，建模如下（見圖2）：OX 圖2 向量旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)圖起始向量為，終止向量為，由經(jīng)過n步旋轉(zhuǎn)到，即可得到、。設(shè)：Zn表示經(jīng)過n步旋轉(zhuǎn)后，得到的結(jié)果與的差值，即：，通過這樣的假設(shè)，就可以得到： (6)將(5)和(6)式結(jié)合，就可以得到它的邏輯表述：計(jì)算所得的、即為所求的、。4 復(fù)指數(shù)轉(zhuǎn)換模塊的FPGA實(shí)現(xiàn)4.1 關(guān)鍵問題分析(1) 復(fù)數(shù)，其中。由下列變換關(guān)系 計(jì)算、時(shí)采用將轉(zhuǎn)換成銳角計(jì)算，然

5、后在根據(jù)是第幾象限來確定、的正負(fù)。關(guān)系如表1： 表1第一象限（）第二象限（）第三象限（）第四象限（）-(2) 采用銳角的形式后，有，在fpga的實(shí)現(xiàn)中，角度我們采用比例縮放變換成。我們用16位二進(jìn)制數(shù)表示這個(gè)角度，最高兩位表示象限，其余14位表示相位值。0100100110000000第幾象限(2bit) 相位值(14bit)我們知道，用二進(jìn)制表示的小數(shù)點(diǎn)后第1為0，所以我們表示相位值時(shí)從小數(shù)點(diǎn)第2位開始表示，這樣可以提高表示精度。(3) 由前面規(guī)定我們選取，那么。Fpga實(shí)現(xiàn)中，我們采用13級(jí)迭代，我們可以得表2： 表2n實(shí)際角度相位值十六進(jìn)制表示145deg16'h2000226.

6、565deg16'h12E4314.036deg16'h09FB47.125deg16'h051153.576deg16'h051161.789deg16'h014570.895deg16'h00A280.447deg16'h005190.223deg16'h0028100.112deg16'h0014110.056deg16'h000A120.028deg16'h0005130.014deg16'h00024.2 復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)換模塊框圖圖3 復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)換模塊框圖4.3 端口定義說明端口類型描述clkinpu

7、t時(shí)鐘信號(hào)rst_ninput復(fù)位信號(hào)，低電平有效enainput使能信號(hào)phase_ininput輸入相位，高兩位表示在第幾象限，低14位表示相位角中pi的系數(shù)的第二位小數(shù)開始的數(shù)。sin_outoutput輸出正弦值cos_outoutput輸出余弦值epsoutput表示第i次旋轉(zhuǎn)后剩余未旋轉(zhuǎn)的角度p_flagoutput正余弦值輸出標(biāo)志4.4 模塊詳細(xì)流程圖5 仿真驗(yàn)證根據(jù)以上分析編寫cos_sin_value.v模塊代碼，見附件。然后建立向量波形文件cos_sin_value.vwf（見工程），根據(jù)要求在cos_sin_value.vwf文件中編輯激勵(lì)信號(hào)。仿真一：當(dāng)輸入相位角為30

8、°時(shí)，即，系數(shù)為1/6=0.0010101010101010，那么輸入的16位相位角phase_in = 0001_0101_0101_0101。仿真結(jié)果得：sin_out = 0011_1111_1111_1110，cos_out = 0110_1110_1101_1100仿真結(jié)果如下圖 圖5 仿真結(jié)果圖 表3 仿真結(jié)果分析理論值(第1位表示正負(fù))仿真結(jié)果誤差0100_0000_0000_0000(1/2=0.50)0011_1111_1111_1110(0.4999)-0.00010110_1110_1101_1001()0110_1110_1101_1100(0.86608)0

9、.00003仿真二：當(dāng)輸入相位角為135°時(shí)，即，變換成第一象限角為，系數(shù)為1/4=0.0100000000000，那么輸入的16位相位角phase_in = 0110_0000_0000_0000。仿真結(jié)果得：sin_out = 0101_1010_0000_0100，cos_out = 1010_0101_1111_1111仿真結(jié)果如下圖 圖6 仿真結(jié)果圖 表4 仿真結(jié)果分析理論值(第1位表示正負(fù))仿真結(jié)果誤差0101_1010_1000_0010() 0101_1010_0000_0100(0.7032)-0.00391010_0101_0111_1101()1010_0101

10、_1111_1111(-0.7031)-0.0040由上實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知：仿真結(jié)果與理論結(jié)果基本一致，誤差還是比較小的；如果想進(jìn)一步縮小誤差，可以增加迭代次數(shù)。附件:模塊名：cos_sin_value.v 模塊代碼：timescale 1ns / 100ps/ Company: / Engineer: / Create Date:17/01/2013 / Design Name: / Module Name: / Project Name: / Target Devices: / Tool versions: / Description: / Dependencies: / Revision: /

11、 Revision 0.01 - File Created/ Additional Comments: /module cos_sin_value(clk,rst_n,ena,phase_in,sin_out,cos_out, eps,puc_zc_cordic_flag);parameter DATA_WIDTH=16;/定義數(shù)據(jù)位寬為16parameter PIPELINE=16;/流水線級(jí)數(shù)為16input clk;input rst_n;input ena;input DATA_WIDTH-1:0 phase_in;/輸入相位output DATA_WIDTH-1:0 sin_out;

12、/輸出正弦值output DATA_WIDTH-1:0 cos_out;/輸出余弦值output DATA_WIDTH-1:0 eps;/表示第i次旋轉(zhuǎn)后剩余未旋轉(zhuǎn)的角度output puc_zc_cordic_flag;/正余弦值輸出標(biāo)志reg DATA_WIDTH-1:0 sin_out;reg DATA_WIDTH-1:0 cos_out;reg DATA_WIDTH-1:0 eps;reg puc_zc_cordic_flag;reg DATA_WIDTH-1:0 phase_in_reg;/輸入相位緩存/這里的相位表示是這樣的：最高位和次高位這兩位表示象限/（如00代表的第一象限，0

13、1代表的第二象限,10代表的第三象限，11代表的第四象限）/，剩下的低十四位代表相位值（這里一個(gè)單位代表的度數(shù)是90/16384=0.005493)/ 矩陣相乘中間寄存器變量，用于13次迭代計(jì)算reg DATA_WIDTH-1:0 x0,y0,z0;reg DATA_WIDTH-1:0 x1,y1,z1;reg DATA_WIDTH-1:0 x2,y2,z2;reg DATA_WIDTH-1:0 x3,y3,z3;reg DATA_WIDTH-1:0 x4,y4,z4;reg DATA_WIDTH-1:0 x5,y5,z5;reg DATA_WIDTH-1:0 x6,y6,z6;reg DAT

14、A_WIDTH-1:0 x7,y7,z7;reg DATA_WIDTH-1:0 x8,y8,z8;reg DATA_WIDTH-1:0 x9,y9,z9;reg DATA_WIDTH-1:0 x10,y10,z10;reg DATA_WIDTH-1:0 x11,y11,z11;reg DATA_WIDTH-1:0 x12,y12,z12;reg DATA_WIDTH-1:0 x13,y13,z13;reg 1:0 quadrantPIPELINE:0;/定義象限定義變量reg 3:0 count;/時(shí)鐘計(jì)數(shù)integer i;/整型變量always (posedge clk or negedg

15、e rst_n)/正余弦值輸出標(biāo)志控制（在使能信號(hào)拉高的第16個(gè)時(shí)鐘后）begin if(!rst_n) begincount<=4'b0000;puc_zc_cordic_flag<=1'b0; end else if(ena=1'b1)beginif(count=4'b1111)beginpuc_zc_cordic_flag<=1'b1;/正余弦值輸出標(biāo)志置1endelse beginpuc_zc_cordic_flag<=1'b0;count<=count+1'b1; endend else begin

16、puc_zc_cordic_flag<=1'bz;endendalways (posedge clk or negedge rst_n)begin if(!rst_n) phase_in_reg<=16'h0000; else if(ena=1'b1) begincase(phase_in15:14) 2'b00:phase_in_reg<=phase_in;/當(dāng)前輸入為第一象限的相位角 2'b01:phase_in_reg<=phase_in - 16'h4000; /-pi/2(當(dāng)前輸入為第二象限的相位角，故要減去pi

17、/2) 2'b10:phase_in_reg<=phase_in - 16'h8000; /-pi(當(dāng)前輸入為第三象限的相位角，故要減去pi) 2'b11:phase_in_reg<=phase_in - 16'hC000; /-3pi/2(當(dāng)前輸入為第四象限的相位角，故要減去3pi/2) default:;endcase endelsebeginphase_in_reg<=16'h0000;endendalways (posedge clk or negedge rst_n)begin if(!rst_n) begin x0<=

18、16'h0000; y0<=16'h0000; z0<=16'h0000; end else if(ena=1'b1)begin/m=1，旋轉(zhuǎn)模式(這種模式可以用來計(jì)算一個(gè)輸入角的正弦值和余弦值)/x0=k,模校正因子的值/y0=0/z0=phase_inx0 <= 16'h4DBA;/define aggregate constant Xi=1/P=1/1.6467=0.60725(Xi=27*P=16'h4DBA)y0 <= 16'h0000; z0 <= phase_in_reg; end else b

19、eginx0<=16'hzzzz;y0<=16'hzzzz;z0<=16'hzzzz;endend/level_1(第一級(jí)迭代)always (posedge clk or negedge rst_n)begin if(!rst_n) begin x1<=16'h0000; y1<=16'h0000; z1<=16'h0000; end elseif(ena=1'b1)begin if(z015=1'b0)/當(dāng)前的相位值是正的begin x1 <= x0 - y0; y1 <= y0

20、 + x0; z1 <= z0 - 16'h2000; /45degend else/當(dāng)前的相位值是負(fù)的begin x1 <= x0 + y0; y1 <= y0 - x0; z1 <= z0 + 16'h2000; /45degend end else beginx1<=16'hzzzz;y1<=16'hzzzz;z1<=16'hzzzz;endend/level_2(第二級(jí)迭代)always (posedge clk or negedge rst_n)begin if(!rst_n) begin x2<

21、=16'h0000; y2<=16'h0000; z2<=16'h0000; end elseif(ena=1'b1)begin if(z115=1'b0)/當(dāng)前的相位值是正的begin x2 <= x1 - y1DATA_WIDTH-1,y1DATA_WIDTH-2:1;/y1向右移一位且最高位不變 y2 <= y1 + x1DATA_WIDTH-1,x1DATA_WIDTH-2:1;/x1向右移一位且最高位不變 z2 <= z1 - 16'h12E4; /26.565degend else/當(dāng)前的相位值是負(fù)的be

22、gin x2 <= x1 + y1DATA_WIDTH-1,y1DATA_WIDTH-2:1; y2 <= y1 - x1DATA_WIDTH-1,x1DATA_WIDTH-2:1; z2 <= z1 + 16'h12E4; /26.565degendend else beginx2<=16'hzzzz;y2<=16'hzzzz;z2<=16'hzzzz;endend/level_3(第三級(jí)迭代)always (posedge clk or negedge rst_n)begin if(!rst_n) begin x3<

23、=16'h0000; y3<=16'h0000; z3<=16'h0000; end elseif(ena=1'b1)begin if(z215=1'b0)begin x3 <= x2 - 2y2DATA_WIDTH-1,y2DATA_WIDTH-2:2; y3 <= y2 + 2x2DATA_WIDTH-1,x2DATA_WIDTH-2:2; z3 <= z2 - 16'h09FB; /14.036degend elsebegin x3 <= x2 + 2y2DATA_WIDTH-1,y2DATA_WIDTH

24、-2:2; y3 <= y2 - 2x2DATA_WIDTH-1,x2DATA_WIDTH-2:2; z3 <= z2 + 16'h09FB; /14.036degend endelse beginx3<=16'hzzzz;y3<=16'hzzzz;z3<=16'hzzzz;endend /level_4(第四級(jí)迭代)always (posedge clk or negedge rst_n)begin if(!rst_n) begin x4<=16'h0000; y4<=16'h0000; z4<=

25、16'h0000; end elseif(ena=1'b1)begin if(z315=1'b0)begin x4 <= x3 - 3y3DATA_WIDTH-1,y3DATA_WIDTH-2:3; y4 <= y3 + 3x3DATA_WIDTH-1,x3DATA_WIDTH-2:3; z4 <= z3 - 16'h0511; /7.125degend elsebegin x4 <= x3 + 3y3DATA_WIDTH-1,y3DATA_WIDTH-2:3; y4 <= y3 - 3x3DATA_WIDTH-1,x3DATA_W

26、IDTH-2:3; z4 <= z3 + 16'h0511; /7.125degendendelse beginx4<=16'hzzzz;y4<=16'hzzzz;z4<=16'hzzzz;endend /level_5(第五級(jí)迭代)always (posedge clk or negedge rst_n)begin if(!rst_n) begin x5<=16'h0000; y5<=16'h0000; z5<=16'h0000; end elseif(ena=1'b1)begin if

27、(z415=1'b0)begin x5 <= x4 - 4y4DATA_WIDTH-1,y4DATA_WIDTH-2:4; y5 <= y4 + 4x4DATA_WIDTH-1,x4DATA_WIDTH-2:4; z5 <= z4 - 16'h028B; /3.576degend elsebegin x5 <= x4 + 4y4DATA_WIDTH-1,y4DATA_WIDTH-2:4; y5 <= y4 - 4x4DATA_WIDTH-1,x4DATA_WIDTH-2:4; z5 <= z4 + 16'h028B; /3.576de

28、gend end else beginx5<=16'hzzzz;y5<=16'hzzzz;z5<=16'hzzzz;endend /level_6(第六級(jí)迭代)always (posedge clk or negedge rst_n)begin if(!rst_n) begin x6<=16'h0000; y6<=16'h0000; z6<=16'h0000; end elseif(ena=1'b1)begin if(z515=1'b0)begin x6 <= x5 - 5y5DATA_W

29、IDTH-1,y5DATA_WIDTH-2:5; y6 <= y5 + 5x5DATA_WIDTH-1,x5DATA_WIDTH-2:5; z6 <= z5 - 16'h0145; /1.789degend elsebegin x6 <= x5 + 5y5DATA_WIDTH-1,y5DATA_WIDTH-2:5; y6 <= y5 - 5x5DATA_WIDTH-1,x5DATA_WIDTH-2:5; z6 <= z5 + 16'h0145; /1.789degend end else beginx6<=16'hzzzz;y6<

30、;=16'hzzzz;z6<=16'hzzzz;end end /level_7(第七級(jí)迭代)always (posedge clk or negedge rst_n)begin if(!rst_n) begin x7<=16'h0000; y7<=16'h0000; z7<=16'h0000; end elseif(ena=1'b1)begin if(z615=1'b0)begin x7 <= x6 - 6y6DATA_WIDTH-1,y6DATA_WIDTH-2:6; y7 <= y6 + 6x6D

31、ATA_WIDTH-1,x6DATA_WIDTH-2:6; z7 <= z6 - 16'h00A2; /0.895degend elsebegin x7 <= x6 + 6y6DATA_WIDTH-1,y6DATA_WIDTH-2:6; y7 <= y6 - 6x6DATA_WIDTH-1,x6DATA_WIDTH-2:6; z7 <= z6 + 16'h00A2; /0.895degend end else beginx7<=16'hzzzz;y7<=16'hzzzz;z7<=16'hzzzz;endend /

32、level_8(第八級(jí)迭代)always (posedge clk or negedge rst_n)begin if(!rst_n) begin x8<=16'h0000; y8<=16'h0000; z8<=16'h0000; end elseif(ena=1'b1)begin if(z715=1'b0)begin x8 <= x7 - 7y7DATA_WIDTH-1,y7DATA_WIDTH-2:7; y8 <= y7 + 7x7DATA_WIDTH-1,x7DATA_WIDTH-2:7; z8 <= z7 -

33、16'h0051; /0.447degend elsebegin x8 <= x7 + 7y7DATA_WIDTH-1,y7DATA_WIDTH-2:7; y8 <= y7 - 7x7DATA_WIDTH-1,x7DATA_WIDTH-2:7; z8 <= z7 + 16'h0051; /0.447degend end else beginx8<=16'hzzzz;y8<=16'hzzzz;z8<=16'hzzzz;endend /level_9(第九級(jí)迭代)always (posedge clk or negedge

34、 rst_n)begin if(!rst_n) begin x9<=16'h0000; y9<=16'h0000; z9<=16'h0000; end elseif(ena=1'b1)begin if(z815=1'b0)begin x9 <= x8 - 8y8DATA_WIDTH-1,y8DATA_WIDTH-2:8; y9 <= y8 + 8x8DATA_WIDTH-1,x8DATA_WIDTH-2:8; z9 <= z8 - 16'h0028; /0.223degend elsebegin x9 <

35、= x8 + 8y8DATA_WIDTH-1,y8DATA_WIDTH-2:8; y9 <= y8 - 8x8DATA_WIDTH-1,x8DATA_WIDTH-2:8; z9 <= z8 + 16'h0028; /0.223degend end else beginx9<=16'hzzzz;y9<=16'hzzzz;z9<=16'hzzzz;endend /level_10(第十級(jí)迭代)always (posedge clk or negedge rst_n)begin if(!rst_n) begin x10<=16

36、9;h0000; y10<=16'h0000; z10<=16'h0000; end elseif(ena=1'b1)begin if(z915=1'b0)begin x10 <= x9 - 9y9DATA_WIDTH-1,y9DATA_WIDTH-2:9; y10 <= y9 + 9x9DATA_WIDTH-1,x9DATA_WIDTH-2:9; z10 <= z9 - 16'h0014; /0.112degend elsebegin x10 <= x9 + 9y9DATA_WIDTH-1,y9DATA_WIDTH-

37、2:9; y10 <= y9 - 9x9DATA_WIDTH-1,x9DATA_WIDTH-2:9; z10 <= z9 + 16'h0014; /0.112degendend else beginx10<=16'hzzzz;y10<=16'hzzzz;z10<=16'hzzzz;endend /level_11(第十一級(jí)迭代)always (posedge clk or negedge rst_n)begin if(!rst_n) begin x11<=16'h0000; y11<=16'h0000;

38、z11<=16'h0000; end elseif(ena=1'b1)begin if(z1015=1'b0)begin x11 <= x10 - 10y10DATA_WIDTH-1,y10DATA_WIDTH-2:10; y11 <= y10 + 10x10DATA_WIDTH-1,x10DATA_WIDTH-2:10; z11 <= z10 - 16'h000A; /0.056degend elsebegin x11 <= x10 + 10y10DATA_WIDTH-1,y10DATA_WIDTH-2:10; y11 <=

39、 y10 - 10x10DATA_WIDTH-1,x10DATA_WIDTH-2:10; z11 <= z10 + 16'h000A; /0.056degendend else beginx11<=16'hzzzz;y11<=16'hzzzz;z11<=16'hzzzz;endend /level_12(第十二級(jí)迭代)always (posedge clk or negedge rst_n)begin if(!rst_n) begin x12<=16'h0000; y12<=16'h0000; z12<=

40、16'h0000; end else if(ena=1'b1)begin if(z1115=1'b0)begin x12 <= x11 - 11y10DATA_WIDTH-1,y11DATA_WIDTH-2:11; y12 <= y11 + 11x10DATA_WIDTH-1,x11DATA_WIDTH-2:11; z12 <= z11 - 16'h0005; /0.028degend elsebegin x12 <= x11 + 11y10DATA_WIDTH-1,y11DATA_WIDTH-2:11; y12 <= y11 -

41、11x10DATA_WIDTH-1,x11DATA_WIDTH-2:11; z12 <= z11 + 16'h0005; /0.028degend endelse beginx12<=16'hzzzz;y12<=16'hzzzz;z12<=16'hzzzz;endend /level_13(第十三級(jí)迭代)always (posedge clk or negedge rst_n)begin if(!rst_n) begin x13<=16'h0000; y13<=16'h0000; z13<=16'h0000; end else if(ena=1'b1)begin if(z1215=1'b0)begin x13 <= x12 - 12y10DATA_WIDTH-1,y12DATA_WIDTH-2:12; y13 <= y12 + 12x10DATA_WIDTH-1,x12DATA_WIDTH-2:12; z13 <= z12 - 16&#