1988年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

1、.1988年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試10月16日上午800930一選擇題本大題共5小題，每題有一個正確答案，選對得7分，選錯、不選或多項選擇均得0分：1設(shè)有三個函數(shù)，第一個是y=x，它的反函數(shù)是第二個函數(shù)，而第三個函數(shù)的圖象與第二個函數(shù)的圖象關(guān)于x+y=0對稱，那么，第三個函數(shù)是 Ay=x By=x Cy=1x Dy=1x 2原點在橢圓k2x2+y24kx+2ky+k21=0的內(nèi)部，那么參數(shù)k的取值范圍是 A|k|>1 B|k|1 C1<k<1 D0<|k|<1 3平面上有三個點集M，N，P： M=x，y| |x|+|y|<1， N=x，y| +<2

2、， P=x，y| |x+y|<1，|x|<1，|y|<1那么 AMPN BMNP CPNM DA、B、C都不成立 4三個平面、，每兩個之間的夾角都是，且=a，=b，=c假設(shè)有 命題甲：>； 命題乙：a、b、c相交于一點那么 A甲是乙的充分條件但不必要 B甲是乙的必要條件但不充分 C甲是乙的充分必要條件 DA、B、C都不對 5在坐標(biāo)平面上，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點，我們用I表示所有直線的集合，M表示恰好通過1個整點的集合，N表示不通過任何整點的直線的集合，P表示通過無窮多個整點的直線的集合那么表達式 MNP=I； NØ MØ PØ中，正確

3、的表達式的個數(shù)是 A1 B2 C3 D4 二填空題本大題共4小題，每題10分：1設(shè)xy，且兩數(shù)列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均為等差數(shù)列，那么= 2+22n+1的展開式中，x的整數(shù)次冪的各項系數(shù)之和為 3在ABC中，A=，CD、BE分別是AB、AC上的高，那么= 4甲乙兩隊各出7名隊員，按事先排好順序出場參加圍棋擂臺賽，雙方先由1號隊員比賽，負者被淘汰，勝者再與負方2號隊員比賽，直至一方隊員全部淘汰為止，另一方獲得成功，形成一種比賽過程那么所有可能出現(xiàn)的比賽過程的種數(shù)為 三15分長為，寬為1的矩形，以它的一條對角線所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，求得到的旋轉(zhuǎn)體的體積四15分

4、 復(fù)平面上動點Z1的軌跡方程為|Z1Z0|=|Z1|，Z0為定點，Z00，另一個動點Z滿足Z1Z=1，求點Z的軌跡，指出它在復(fù)平面上的形狀和位置五15分a、b為正實數(shù)，且+=1，試證：對每一個nN*， a+bnanbn22n2n+11988年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試題一數(shù)列an，其中a1=1，a2=2，an+2=試證：對一切nN*，an0二如圖，在ABC中，P、Q、R將其周長三等分，且P、Q在AB邊上，求證：>三在坐標(biāo)平面上，是否存在一個含有無窮多直線l1，l2，ln，的直線族，它滿足條件： 點1，1ln，n=1，2，3，； kn+1=anbn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分別是

5、ln在x軸和y軸上的截距，n=1，2，3，； knkn+10，n=1，2，3，并證明你的結(jié)論1988年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答一試題一選擇題本大題共5小題，每題有一個正確答案，選對得7分，選錯、不選或多項選擇均得0分：1設(shè)有三個函數(shù)，第一個是y=x，它的反函數(shù)是第二個函數(shù)，而第三個函數(shù)的圖象與第二個函數(shù)的圖象關(guān)于x+y=0對稱，那么，第三個函數(shù)是 Ay=x By=x Cy=1x Dy=1x 解：第二個函數(shù)是y=1x第三個函數(shù)是x=1y，即y=x選B2原點在橢圓k2x2+y24kx+2ky+k21=0的內(nèi)部，那么參數(shù)k的取值范圍是 A|k|>1 B|k|1 C1<k<1 D0<

6、;|k|<1 解：因是橢圓，故k0，以0，0代入方程，得k21<0，選D3平面上有三個點集M，N，P： M=x，y| |x|+|y|<1， N=x，y| +<2， P=x，y| |x+y|<1，|x|<1，|y|<1那么 AMPN BMNP CPNM DA、B、C都不成立 解：M表示以1，0，01，1，0，0，1為頂點的正方形內(nèi)部的點的集合不包括邊界；N表示焦點為，長軸為2的橢圓內(nèi)部的點的集合，P表示由x+y=±1，x=±1，y=±1圍成的六邊形內(nèi)部的點的集合應(yīng)選A4三個平面、，每兩個之間的夾角都是，且=a，=b，=c假設(shè)

7、有 命題甲：>； 命題乙：a、b、c相交于一點那么 A甲是乙的充分條件但不必要 B甲是乙的必要條件但不充分 C甲是乙的充分必要條件 DA、B、C都不對 解：a，b，c或平行，或交于一點但當(dāng)abc時，=當(dāng)它們交于一點時，<<選C5在坐標(biāo)平面上，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點，我們用I表示所有直線的集合，M表示恰好通過1個整點的集合，N表示不通過任何整點的直線的集合，P表示通過無窮多個整點的直線的集合那么表達式 MNP=I； NØ MØ PØ中，正確的表達式的個數(shù)是 A1 B2 C3 D4 解：均正確，選D二填空題本大題共4小題，每題10分：1設(shè)xy，

8、且兩數(shù)列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均為等差數(shù)列，那么= 解：a2a1=yx，b4b3=yx，Þ=2+22n+1的展開式中，x的整數(shù)次冪的各項系數(shù)之和為 解：+22n+122n+1=2C2xn+C23xn1+C25xn2+C22n+1令x=1，得所求系數(shù)和=32n+1+13在ABC中，A=，CD、BE分別是AB、AC上的高，那么= 解：AEDABC，=|cos|4甲乙兩隊各出7名隊員，按事先排好順序出場參加圍棋擂臺賽，雙方先由1號隊員比賽，負者被淘汰，勝者再與負方2號隊員比賽，直至一方隊員全部淘汰為止，另一方獲得成功，形成一種比賽過程那么所有可能出現(xiàn)的比賽

9、過程的種數(shù)為 解 畫1行14個格子，每個格子依次代表一場比賽，假如某場比賽某人輸了，就在相應(yīng)的格子中寫上他的順序號兩方的人各用一種顏色寫以示區(qū)別假如某一方7人都已失敗那么在后面的格子中依次填入另一方未出場的隊員的順序號于是每一種比賽結(jié)果都對應(yīng)一種填表方法，每一種填表方法對應(yīng)一種比賽結(jié)果這是一一對應(yīng)關(guān)系故所求方法數(shù)等于在14個格子中任選7個寫入某一方的號碼的方法數(shù)共有C種比賽方式三15分長為，寬為1的矩形，以它的一條對角線所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，求得到的旋轉(zhuǎn)體的體積解：過軸所在對角線BD中點O作MNBD交邊AD、BC于M、N，作AEBD于E，那么ABD旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體為兩個有公共底面的圓錐，底面半

10、徑AE=其體積V=2·=同樣，BCD旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積=其重疊部分也是兩個圓錐，由DOMDAB，DO=，OM=其體積=2··2·= 所求體積=2·=四15分 復(fù)平面上動點Z1的軌跡方程為|Z1Z0|=|Z1|，Z0為定點，Z00，另一個動點Z滿足Z1Z=1，求點Z的軌跡，指出它在復(fù)平面上的形狀和位置解：Z1=，故得|Z0|=|，即|ZZ0+1|=1|Z+|=|即以為圓心|為半徑的圓五15分a、b為正實數(shù)，且+=1試證：對每一個nN*， a+bnanbn22n2n+1證明：由得a+b=ab又a+b2， ab2，故a+b=ab4于是a+bk=ab

11、k22k又 ak+bk2=22k+1下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1° 當(dāng)n=1時，左=右=0左右成立 2° 設(shè)當(dāng)n=kk1，kN時結(jié)論成立，即a+bkakbk22k2k+1成立那么a+bk+1ak+1bk+1=a+ba+bkak+bka+b+abak1+bk1=a+ba+bkakbk+ abak1+bk1422k2k+1+42k=22k+142k+1+42k=22k+12k+1+1即命題對于n=k+1也成立故對于一切nN*，命題成立二試題一數(shù)列an，其中a1=1，a2=2，an+2=試證：對一切nN*，an01988年全國高中競賽試題分析：改證an0mod 4或an0mod 3

12、證明：由a1=1，a2=2，得a3=7，a4=29， a11，a22，a33mod 4設(shè)a3k21，a3k12，a3k3mod 4那么 a3k+15×33×2=91mod 4；a3k+213=22mod 4；a3k+35×23×1=73mod 4根據(jù)歸納原理知，對于一切nN，a3n21，a3n12，a3n3mod 4恒成立，故an0mod 4成立，從而an0又證：a11，a22mod 3設(shè)a2k11，a2k2mod 3成立，那么當(dāng)a2k1a2k為偶數(shù)時a2k+15×23×11mod 3，當(dāng)a2k1a2k為奇數(shù)時a2k+1211mod

13、3，總之a(chǎn)2k+11mod 3當(dāng)a2ka2k+1為偶數(shù)時a2k+25×13×22mod 3，當(dāng)a2ka2k+1為奇數(shù)時a2k+2122mod 3，總之，a2k+22mod 3于是an0mod 3故an0二如圖，在ABC中，P、Q、R將其周長三等分，且P、Q在AB邊上，求證：>證明：作ABC及PQR的高CN、RH設(shè)ABC的周長為1那么PQ=那么=·，但AB<，于是>，APABPQ<=， AR=AP>，AC<，故>，從而>三在坐標(biāo)平面上，是否存在一個含有無窮多直線l1，l2，ln，的直線族，它滿足條件： 點1，1ln，n

14、=1，2，3，； kn+1=anbn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分別是ln在x軸和y軸上的截距，n=1，2，3，； knkn+10，n=1，2，3，并證明你的結(jié)論證明：設(shè)an=bn0，即kn1=1，或an=bn=0，即kn=1，就有kn+1=0，此時an+1不存在，故kn±1現(xiàn)設(shè)kn0，1，那么y=knx1+1，得bn=1kn，an=1， kn+1=kn此時knkn+1=kn21 kn>1或kn<1從而k1>1或k1<1 當(dāng)k1>1時，由于0<<1，故k1>k2=k1>0，假設(shè)k2>1，那么又有k1>k2>k3>0，依此類推，知當(dāng)km>1時，有k1>k2>k3>>km>km+1>0，且0<<<<<1，km+1=km<km=km1<km1<<k1由于k1隨m的增大而線性減小，故必存在一個m值，m=m0，使k11，從而必存在一個m值m=m1m0，使k1，而1>k=k>0，此時k·k<0即此時不存在這樣的直線族 當(dāng)k1<1時，同樣有1<<0，得k1<k2=k1<0假設(shè)k2<1，又有k1<k2&l