2005年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試第2題的探討

1、. 本文發(fā)表在中等數(shù)學(xué)2006.第5期10-132005年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試第2題的討論廣東深圳市育才中學(xué) 王 揚(yáng)518067本文對(duì)2005年的全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試第2題的解法及來歷作以討論，供感興趣的讀者參考。題目：設(shè)正數(shù)a、b、c、x、y、z滿足 ；，求函數(shù)的最小值。一幾種迷茫思路的分析這道題目初看起來比較平易，給人一種立即想到直接使用Cauchy不等式的通暢思路的驚喜，殊不知，這是一個(gè)極大的誤區(qū)，此題的難度和技巧正好在這里設(shè)置了較好的陷阱。思路一：由Cauchy不等式知到此，在u0的情況下，力圖使用函數(shù)的性質(zhì)無法得到最小值。思路二：考慮到題目的條件是6個(gè)變量的3個(gè)等量關(guān)系，于是，可根據(jù)

2、三個(gè)條件等式容易求出x、y、z用a、b、c表達(dá)的式子：因?yàn)閍、b、c；x、y、z都是正數(shù)，所以， 即以a、b、c為對(duì)應(yīng)邊可以構(gòu)成一個(gè)銳角ABC，令從而，結(jié)合Cauchy不等式有令 ,那么因?yàn)?， 到此，似乎成功的曙光就在眼前，立即想到在區(qū)間內(nèi)使用函數(shù)的性質(zhì)，但也無法得到最小值，而此時(shí)的最大值正好與題目的最小值由于函數(shù)的對(duì)稱性，可以猜測(cè)其最小值在A=B=C=600時(shí)到達(dá)吻合，實(shí)際上，這是一條無用的信息說明使用Cauchy不等式過當(dāng)！，它是答題人再次陷入不能自拔的困境。俗話說得好，失敗是成功之母，上面的思路也昭示我們，對(duì)原式不能直接使用Cauchy不等式，需要再對(duì)原式做更好的更有用的恒等變形，可能

3、是正確的途徑。二賽題的解答為證明本賽題，我們先證明如下一個(gè)引理。引理：在ABC 中，求證： 等號(hào)成立的條件是ABC為等邊三角形。證明：用向量方法證明如下設(shè)是平面上的單位向量，且成角為-A, 成角為-B, 成角為-C,那么， ,所以 注意到，在ABC 中有熟知的等式：.從而得證。有了上面的引理，此題的解答就容易多了，下面看此題的解法。解：同思路二得到，以a、b、c為對(duì)應(yīng)邊可以構(gòu)成一個(gè)銳角ABC， 令從而 等號(hào)成立的條件顯然是A=B=C=600時(shí)到達(dá)，最后一個(gè)不等式是根據(jù)引理而得到的。所以，的最小值為.顯然，在時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.三背景探究早在1994年，華東交大劉健先生就提出了如下猜測(cè)

4、命題：在ABC中，是否有： 后來，湖南師大附中黃軍華現(xiàn)為深圳中學(xué)老師先生在文1曾證明了這一猜測(cè)。請(qǐng)看證明：分兩種情況1當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí)，此時(shí)不妨設(shè)A900， 于是 ，所以 , 再據(jù) ，所以，即此種情況得證。2當(dāng)ABC為非鈍角三角形時(shí)，所以， 從而 即三角形為非鈍角三角形時(shí)結(jié)論也成立，綜上結(jié)論得證。比照之后的表達(dá)與今年的這道競賽加試第2題的解法，不難知道，今年的這道賽題無非是在的第2種情況的根底上增加了一個(gè)解方程組的程序并由此判斷ABC為銳角三角形罷了，即今年的這道加試題可以看作是由解方程組初中知識(shí)的要求，判斷三角形種類、與求最值高中知識(shí)的要求三個(gè)問題的簡單合成串聯(lián)。順便指出，的證明曾經(jīng)是上世紀(jì)1990年前后在文2等刊物上討論過幾年的一個(gè)結(jié)論。 四條件等式的幾何解釋比照條件等式 ；注意a、b、c、x、y、z為正數(shù)與ABC中的斜射影定理 以及余弦定理，可知，應(yīng)有從而，求解此題中的解方程組的環(huán)節(jié)就可以看作是余弦定理的默認(rèn)結(jié)果。另外，有了上邊的余弦定理構(gòu)造，解答中的構(gòu)造