2011年北京高考數(shù)學(xué)答案解析(理科)

1、2011北京高考數(shù)學(xué)理科試卷分析題號(hào)章下內(nèi)谷分值高中所啟章中考分匯總1集合52復(fù)數(shù)5章節(jié)分值3極坐標(biāo)57大章函數(shù)204算法框圖5三角函數(shù)185平面幾何5數(shù)列186函數(shù)（分段函數(shù)）5立體幾何147三視圖5解析幾何148創(chuàng)新題（函數(shù)、畫圖法）5導(dǎo)數(shù)139解三角形5統(tǒng)計(jì)概率1310平面向量511數(shù)學(xué)通項(xiàng)、求和公式510小章集合512排列組合5復(fù)數(shù)513函數(shù)-數(shù)形結(jié)合5極坐標(biāo)514創(chuàng)新題（解析幾何、對(duì)稱性）5算法與框圖515三角函數(shù)（周期、最值）13平面幾何516立體幾何（垂直、線線角）14平面向量517統(tǒng)計(jì)（莖葉圖、方差、概率、期望）13三視圖518導(dǎo)數(shù)（單調(diào)性、最值）13排列組合519解析（橢圓、

2、韋達(dá)定理、最值）14線性規(guī)劃020創(chuàng)新題（數(shù)列、充分、必要條件）13不等式0說(shuō)明:2011北京理科卷考點(diǎn)全面，雖然“線性規(guī)劃"、"不等式”兩個(gè)小章未考到，但其中包 含的圖形處理技巧和最值思想，在第 13題函數(shù)題需要用到數(shù)形結(jié)合和19題解析幾何大題最 后的最值問(wèn)題中有所體現(xiàn)，所以今年的高考題考到了幾乎所有章節(jié)。對(duì)于學(xué)生而言，每個(gè)章 節(jié)都不能遺漏。考試難度和計(jì)算量總體上比平時(shí)的期中期末考試、一、二模更簡(jiǎn)單：1 .小題：前14道小題中，只有第8題和第14題需要多思考才能做對(duì)，方法很常規(guī)，并沒(méi) 有設(shè)置障礙。其他12個(gè)小題全是常規(guī)題型，非常容易得分，只要保證計(jì)算不錯(cuò)，中等基礎(chǔ)的 學(xué)生

3、能拿到12個(gè)題滿分。2 .大題：在后面的6個(gè)大題80分的考點(diǎn)中，前三個(gè)大題考的基礎(chǔ)題型，大部分考生不算錯(cuò) 的情況下能夠得滿分；從后三個(gè)大題才開(kāi)始設(shè)置難度，拉開(kāi)了學(xué)生層次。第一題：三角函數(shù)大題依然考的熱點(diǎn)考點(diǎn)，化簡(jiǎn)和求最值，學(xué)生基礎(chǔ)中等偏下水平 即可做對(duì)。第二題：立體幾何也是常見(jiàn)考點(diǎn)，垂直和角的問(wèn)題，今年沒(méi)有考二面角，考的線線角更簡(jiǎn)單，基礎(chǔ)弱的學(xué)生甚至可以用幾何向量法做出這三問(wèn)，順利拿到14分。第三題：是統(tǒng)計(jì)題，沒(méi)有像以前一樣設(shè)計(jì)難度，考點(diǎn)全部是基礎(chǔ)型，莖葉圖、期望 值、方差等在平時(shí)的小題考試中經(jīng)常出現(xiàn)，求的概率甚至可以用數(shù)數(shù)的方法做出來(lái)。從第四 題開(kāi)始，就要求中等以上基礎(chǔ)了。第四題：導(dǎo)數(shù)題一開(kāi)

4、始便求導(dǎo)，卻是個(gè)復(fù)合函數(shù)，學(xué)生平時(shí)練少了就會(huì)疏忽此處而 算錯(cuò)，此題就完全丟分。到求單調(diào)性和最值的部分就是常規(guī)方法，但第一問(wèn)就需要討論參數(shù)， 用畫表格，討論的方法能順利解出兩問(wèn)，計(jì)算沒(méi)有難度，中等偏上水平學(xué)生能拿到分。平時(shí) 學(xué)習(xí)只要求做到第一問(wèn)的學(xué)生可能在討論時(shí)會(huì)卡住，對(duì)于學(xué)習(xí)淺的同學(xué)第一問(wèn)的分?jǐn)?shù)也很難 拿到。第五題：解析幾何考的是橢圓，第一問(wèn)考基礎(chǔ)知識(shí)是送分題，一般學(xué)生都能拿到分。 第二問(wèn)考的是常規(guī)方法，只需要聯(lián)立方程，用韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)公式，最后求最值即可做出。 計(jì)算量一如既往是整份試卷中最大的一題，也是決定能否過(guò)140分的關(guān)鍵一題，讓很多學(xué)生畏懼，基礎(chǔ)好的學(xué)生勇于一試。但此題考得很正常，沒(méi)有

5、任何難以理解之處，也沒(méi)有設(shè)置障 礙難住學(xué)生。只要平時(shí)不愿意放棄此題，跟著老師練習(xí)的學(xué)生，這個(gè)題可以做出來(lái)，并且拿 滿分。解析幾何功底好的學(xué)生能在 20分鐘之內(nèi)做出，功底一般的學(xué)生需要 30分鐘左右。解 析大題不愧是考查學(xué)生毅力、計(jì)算力、學(xué)習(xí)態(tài)度等綜合能力的一個(gè)好題型，能選拔出高分學(xué) 生。第六題：創(chuàng)新題，以數(shù)列為載體，其實(shí)考的數(shù)列專業(yè)知識(shí)很少?？梢哉f(shuō)，即使沒(méi)學(xué) 過(guò)數(shù)列這一章的學(xué)生，只要愿意試一下，耐心讀題，第一問(wèn)很容易拿下，送分題。第二問(wèn)需 要用到條件和命題知識(shí)，也很容易，中等水平學(xué)生能做出。只有第三問(wèn)不易理解，每次考試 中絕大多數(shù)學(xué)生都不會(huì)看第二、第三問(wèn)，少數(shù)學(xué)習(xí)好的學(xué)生做完第二問(wèn)，第三問(wèn)做出

6、來(lái)的鳳 毛麟角。這次高考第三問(wèn)只要仔細(xì)讀題，認(rèn)真思考，在時(shí)間充足的情況下有的同學(xué)也是能做 出來(lái)的。此題也是一個(gè)分開(kāi)層次的題型?？傮w而言，北京高考卷雖然相對(duì)于全國(guó)其他考卷偏簡(jiǎn)單，但對(duì)學(xué)生的要求并沒(méi)有降 低，基礎(chǔ)知識(shí)必須學(xué)好，計(jì)算必須練好，常規(guī)方法必須掌握牢固。重點(diǎn)放在基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí) 上，對(duì)學(xué)生打好基本功進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)非常有幫助。而且北京高考題將所有章節(jié)知識(shí)都覆蓋， 也有助于學(xué)生全面掌握知識(shí)。今后學(xué)生依然要在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)，打好基本功上大量付出。對(duì) 于導(dǎo)數(shù)、解析幾何等有難度的章節(jié)不能望而卻步，因?yàn)榭键c(diǎn)很常規(guī)，所以更應(yīng)該學(xué)好學(xué)透， 力求拿分。切不可好高警遠(yuǎn)，追求難題偏題，更不能偷懶不做練習(xí)，計(jì)算過(guò)不了關(guān)

7、，即使考 基礎(chǔ)也依然拿不到分?jǐn)?shù)。2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(理科)(北京卷)2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(理)(北京卷)本試卷共5頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)間長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷 上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題 目要求的一項(xiàng)。(1)已知集合P=x |x2W1 ,M= a.若PU M=P則a的取值范圍是(A) (-8,-1(B) 1, + OO) (C) -1 , 1(D) (-oo, -1 U1 , +OO)i 2(2)

8、復(fù)數(shù)=1 2i(A) i(B) -i(C) -i5 5(3)在極坐標(biāo)系中，圓p =-2sin 8的圓心的極坐標(biāo)系是(A) (1,2)(B)(1,-)(C) (1,0)(D)(1(4)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 s值為(A) -31(B) -121(C) 13(D) 2(E) 如圖，AD, AE, BC分別與圓O切于點(diǎn)D, E, F,延長(zhǎng)AF與圓。交于另一點(diǎn)G給出下列三個(gè)結(jié)論：q)AD+AE=AB+BC+CA AF AG=AD AE 4AFB MDG其中正確結(jié)論的序號(hào)是(B)(A)(D)(C)fM =占(6)根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工作組裝第x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間(單位：分鐘)為(A, C為常數(shù))。已知

9、工人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30分鐘，組裝第A件產(chǎn)品用時(shí)15分鐘，那 么C和A的值分別是(A) 75, 25(B) 75, 16(C) 60, 25(D) 60, 16(7)某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個(gè)面的面積中，最大的是|視導(dǎo) 網(wǎng)外1以M科.青(A) 8(B)6.2(C)10(D)8 2(8)設(shè) A(00 B(4,0), C(t+4,4), D(t,4)(t R).記 N(t)為平行四邊形 ABC吶部(不含邊界)的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，則函數(shù)N(t)的值域?yàn)?A) 9,10,11(B) 9,10,12(Q 9,11,12(D) 10,11,12第二部分(非選擇題

10、共110分)二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。(9)在 MBC 中 o 若 b=5, / B = 土，tanA=2，貝U sinA=; a=。4(10)已知向量 a=(打，1), b= (0, -1), c= (k, J3)。若 a-2b 與 c 共線，貝 Uk=o1一一一(11)在等比數(shù)列an中，a1=- , a4=-4 ,則公比q= 2a1|+|a2|+.+|an =(12)用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有 個(gè)。(用數(shù)字作答)2.一. x 2(13)已知函數(shù)f(x)=，x,若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則數(shù)k(x-1)3,x ： 2

11、的取值范圍是(14)曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1 (-1 , 0)和F?2 (1, 0)的距離的積等于常數(shù)2( >1) 的點(diǎn)的軌跡.給出下列三個(gè)結(jié)論：曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；若點(diǎn)P在曲線C上，則4 F1PF2的面積大于-a2 。2其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是 -三、解答題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。(15)(本小題共13分)已知函數(shù) f (x) =4cosxsin(x + 三)1。6(I )求f(x)的最小正周期：(n)求f(x)在區(qū)間土，工上的最大值和最小值。一 6 4(16)(本小題共14分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA _L平面

12、ABCD，底面ABCD是菱形，AB = 2/BAD=60 .(I)求證：BD_L平面PAC;(H)若PA = AB,求PB與AC所成角的余弦值；(m)當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，求PA的長(zhǎng).(17)本小題共13分以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個(gè)四名同學(xué)的植樹(shù)棵樹(shù)。乙 組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法確認(rèn)，在圖中以X表示。乙組990*81110(I)如果X=8，求乙組同學(xué)植樹(shù)棵樹(shù)的平均數(shù)和方差;(II)如果X=9,分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹(shù)總棵樹(shù)Y的分布列和數(shù)學(xué)期望。、1 2_ 2_ 2(注：方差 s?=-|(為X )+(x2 x ) +| +(xn x )I ,其中 x

13、 為 x1 , x2, xn 的平均n .數(shù))(18)(本小題共13分)x已知函數(shù) f (x) =(x-k)2ek。(I )求f (x)的單調(diào)區(qū)問(wèn)；1(H )右對(duì)于任息的x = (0, +oc),都有f (x) < -,求k的取值沱圍e(19)(本小題共14分)2已知橢圓G :上+ y2 =1.過(guò)點(diǎn)(m,0 )作圓x2 + y2 =1的切線I交橢圓G于A, B兩點(diǎn). 4(I)求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；(II )將AB表示為m的函數(shù)，并求AB的最大值.(20)(本小題共13分)若數(shù)列An =a1,a2，,an(n22)滿足an+ -a1 =1(k =1,2，n-1),數(shù)列An為E數(shù)列，記

14、S(An)=a1 a2 an.(I )寫出一個(gè)滿足 a =as =0 ,且S(As)0的E數(shù)列A ；(11)若&=12, n=2000,證明：E數(shù)列An是遞增數(shù)列的充要條件是an =2011;(m)對(duì)任意給定的整數(shù)n (n>2),是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列入，使得S(A )=0?如果存在，寫出一個(gè)滿足條件的 E數(shù)列An；如果不存在，說(shuō)明理由第7頁(yè)2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理科）（北京卷）學(xué)而思悟依 2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）（北京卷）參考答案學(xué)而患集團(tuán)教研中心高中理科部唐成梁-這至蓑二本大於共后小也、寫小程f分*

15、共40分.在生小題給出的四個(gè)普生近中、只存一次是符 合壁巨要求的.題號(hào)1X34568答案CABDADCCLE解析】c.F=H> 1| 尸UM=F = M =尸 00父一1, 1. ,【解析】九i-2 1+ 211 + 2 廠 1 + 5一、3【解析】B.法1戶=-2樂(lè)也9= p =2#sin 曰 = 冊(cè) +） =-2/二圓心直角坐標(biāo)為q, -1）,極坐標(biāo)為，-色k 2/法?二圓心板坐標(biāo)為'l,-,2 j，圓的直建為2,圓心極角為-上2第9頁(yè)【解析】D.t ： 口 T1T2 T3-4；3 $ 2 f T f 3 f 3 .321解析】A.正殖，BC=B + FC=BD + CEi正

16、現(xiàn)，用葡hAD -AD AS錯(cuò)誤，若MFRsuDG,則迫H"，旬?，松口演Q.這身M，加=加矛盾. AG AD6.t解析】D.當(dāng)才WH時(shí)/單減，I'妾工時(shí)”力慢為常數(shù)，放= 30,= 15,解儂=劍，j4=16 .1解析】C.該四面體如圖所示，其中比=OD = 3；岫_L而 m AB = 4.于是 4c=", BD = 5,，工=6, Sk =8, Sk =6點(diǎn)，Ul = 10.i解析】c.在平面直角塵標(biāo)系中畫出平行四邊形/BCD,其中月位于原點(diǎn)，8位于x正半軸;設(shè)了=無(wú)(無(wú)=1, 2, 3)與月D邊的交點(diǎn)為力，與BC邊的交點(diǎn)為8 ；四邊形的8內(nèi)部(不包括辿界)的整

17、點(diǎn)都在線段月8上；V 日8 | =幽1=4，線段月8上的整點(diǎn)有3個(gè)或4個(gè)，所以3x3WN(0W3x4 = 12.不難求得點(diǎn) j4(g, 1,4(. 2)，A (日,3)，當(dāng)，不是整數(shù)時(shí)，4,幺，總都不是整點(diǎn)，M0 = 12；當(dāng)f為4匕型整數(shù)時(shí)，月，月，月均為整點(diǎn)，N(f) = 9 i好f為4力+2寸】整數(shù)叱q, / , /中只有/是整N(f)=ll：當(dāng)，為4匕+1或4力+3型整數(shù)時(shí)，力，力，力都不是整點(diǎn)，N(f) = 12.(以上表述中n為整數(shù))上面J種情形涵羞了 f的所有可弓電值，所以N(f)的值域是9, 11, 12,如圖所示，故選C.二.饃空器：本大豆共6小度.經(jīng)小運(yùn)5分.共30分.題號(hào)

18、91011121314答案|有； 2M1-2； 2 - 2149.【解析】沔：2Mtan/=2 n sin/=$；由正弦定理：a = 一一sinj4= 54 j = 2次 sixi5。510.【解析】1.a - 2b = yfi 9 31 > 與 c=lt, gl 共線，解得尢=1 .11.【解析】-2；2a =aq nq =.8nq = -2； a = -(-2) , |a | = 2 "；2k l+k |+ |a |= 2 -；12.【解析】14.法1-個(gè)：三個(gè)3的四位數(shù)有個(gè)f兩個(gè);兩個(gè)3的四位財(cái)C, =6個(gè)'三個(gè);一個(gè)3的四位數(shù) 有4個(gè).合計(jì)14個(gè).法2所有只由2

19、和？蛆成的四位數(shù)有2個(gè)，其中不滿足要求的有2個(gè)全由二或3如成的四位毅）， 合計(jì)14個(gè)13.解析】1）.了（垃在（-8, 2上取值從-8單增利b在2, +向 上取值從1單減塞向于M由于（力的圖 聚和直線廠應(yīng)有兩個(gè)交，.口兌（1.14.【解析】時(shí)于，若e過(guò)原點(diǎn)則向何|。河卜口，但氏n pf|py|=i矛盾，物鏘得葉于，對(duì)于C上任一點(diǎn)巴 其關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為0由于F和尸也關(guān)于原點(diǎn)好稱,故 ©Fg|FF|, ©F| = |PF|,于是|pH| |0即=|FW| |四卜日，故。點(diǎn)也在C上，正硝（事 雯上可以更進(jìn)一步證明U關(guān)于Z崢j 3畸是對(duì)稱的）對(duì)于，直注使用£角彩面積公

20、式南；邑 PF-PF£FPF：y正端22三、解答瑟，本大霞共6小鼠.共處0分.15.【解析】 /（） = 4cosxsirL x + j-1.i =4 cos san+cosjt -1匕 & J=2-sntAca5 x + 2cos a-1-道蚯力 2, +CQf 2Jr-2cos-siii2x + 2siitcos2x66= 2sin+/. /a）的羲小正周期為兀.（?）當(dāng) xe - - J時(shí)，2x + ?6 466 3置2工+?=三即算=F附，率到最大值16 262x + -=- x = -f/（»取到最小值-1.666s的最大值和最小值分別是2和7.16.解析

21、：襁”是菱形，二即面/BH, A PAlBDiV PAfAC-At JED，面融 C.法1 設(shè)jC與左0的交點(diǎn)為。，如因所示，以。/為，軸，0U為 了軸，方向?yàn)楣ぽS源向建立空間近角塵標(biāo)系的喀;因?yàn)镻A=AB = 2t H44FD是正三角影，-,.B 1, 01 0） f A10» -護(hù), 0） r P10» r 2），2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(理科)(北京卷)PB = (1,小，-2|，而直線/C的方向向量可以取3=(0, 1, 0)；設(shè)陽(yáng)與火C所成角為8,貝第ii頁(yè)/.陽(yáng)與nC所成角的余弦值為 顯. 4設(shè)月4 長(zhǎng)為雙比 >0),則 P0,-后，次

22、CiO, 0|> 8(1,0, 0)，D(-l, 0, 0)； CP = |0, -2也,m I， CB = il,-蘇，Ol，CD =1-1,-8，Ol;設(shè)面PBC的法向量為-=(x , j , z ),面PDC的法向量為» = (x , y 9 z )i由p巴-2物=。可得外n CB = x -出j =0I S m /由忙變-2折皆=。可將Mt, 士，外n CD =-x -6y =0k S 次 J由于面 P8CJ_fi?PDC,故即T.T = -l + L+& = 0,解得：m = 瓜3 mI H4的長(zhǎng)為4.法2如圖，作矩形。*8,連結(jié)P£、PB,則陽(yáng)與4

23、7所戌的角即/陽(yáng)E文 PB =4PA +AB =2。，BE=OA = #，F(xiàn)E=3FA +AE =qPA + OB =/A cosZPB5= = PR 4;二面角與一產(chǎn)C-d與£一產(chǎn)C-d相等，二二面向B-PC-d的大小為45。V 8在平面EC上的射影為O,二過(guò)。作OHLPC于H,連結(jié)8H,則有4陽(yáng)。為二面角8-PC-5的平面向 于是/即0=45。，OHOBV LOCHLPCA.OH _ PA . 1 PA ='9 a 廣= AC 忑 JpA +12,解得% = #.17.【解析】當(dāng)N = 8時(shí),平均數(shù)為8+8+9 + 10 35 =44方差為、0.75 +0.75 +0.2

24、5 +1.25 1 = . 416當(dāng)N = 9時(shí)，設(shè)甲中隨機(jī)選取的同學(xué)植樹(shù)棵數(shù)為一 乙中修機(jī)選取的同學(xué)植樹(shù)棵數(shù)為中，的分布為：P(=9) = P( =11) = L 24。=17) = P( =9) P()7 = ®) = b ?(r =lS) = Pt = 9)84p(r =19)=P(f =9) P(J7 = 10) + P(J = 11) P(J7=8) = -J4?(?=20) = ?C =11)=?) = -； ?a = 21)=P=li) P(j? = W) = i.43二F的分布列為Yris1-20二P1L£工114448= 1x17 + 1x13+1x19+

25、1x20 + 1x21 = 158444 g【解析】CD/«) = ("號(hào) 工 +我,-與k/c 當(dāng)無(wú)口時(shí)，了3 在(孫-頗和( +8)上單增,在(-3 號(hào)上單減:當(dāng)斤口時(shí)，在(70,電和(T, +8)上單減，在(人-用上學(xué)增工若無(wú)。，在國(guó)，的上單減，在伊，十3)上單幅，工72時(shí)北工)中加 所以(工)式L不可能，慎成立； e若氏口，/3在學(xué)-©上單增,在(-%+沔上單減，所以f(x)的景大值為了(-司M - F e/(,)=L慢成立只需要蟲(chóng)wL,即4上wi,即k七oee e2)，而幽取值葩國(guó)是-J，19.【解析】焦點(diǎn)坐標(biāo)為此百，01，需心率 2依題毒，切線斜率不可

26、能為。，故可設(shè)M線方程為步=1-梏二由圓心到切線的能離為h可將；/L“即用3 +3 m 1; +f(fy = x- mX ,消去/可得；(f +4)+2fm+(m 4) -0了+二1于是& = 4fn-4(f +4)(?n -4) = 16f -Ifim + 64 = 4Sj由新長(zhǎng)公式可得：加卜屈(帆償£%等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)網(wǎng)=4時(shí)成立.20.【解析】A ： 0, 1, 2, 1, 0或0, 1, 0, 1, 0均滿足要求.必要性：若a 遞增，則"+-a | = + -=1, lWfcWn-1；于是a 為公差為1的等差數(shù)1，a =a +1999 = 2011：牧必要性成立;充分性：若處=2011,則：a -a = 1999；而 a -a