2020屆高三文理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和》專題匯編(教師版)

1、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和專題一、相關(guān)知識(shí)點(diǎn)1 .等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.符號(hào)表示為an+i an= d(n C N , d為常數(shù)).a + b ，>，八，.,.、，>(2)等差中項(xiàng)：數(shù)列a, A, b成等差數(shù)列的充要條件是A = -2",其中A叫做a, b的等差中項(xiàng).2 .等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an= ai+(n 1)d.nfn 1 nfa + an X(2)前 n 項(xiàng)和公式：Sn=na1 +d ='3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an=am+ (

2、n-m)d(n, mCN*).(2)若an為等差數(shù)列，且 m + n=p+q,則 am+ an= ap+ aq(m, n, p, qCN).(3)若an是等差數(shù)列，公差為d,則ak, ak+m, ak+2m,(k, mCN)是公差為md的等差數(shù)列.(4)若an, bn是等差數(shù)列，則pan+qbn也是等差數(shù)列數(shù)列Sm, S2m-Sm, S3m&m,(m C N *)也是等差數(shù)列，公差為m2d.(6)S2n-1= (2n 1)an , S2n= n(a1+a2n) = n(an+an+1),遇見(jiàn)S奇，S偶時(shí)可分別運(yùn)用性質(zhì)及有關(guān)公 式求解.若an , bn均為等差數(shù)列且其前 n項(xiàng)和為Sn,

3、Tn,則普二等. bn l2n-1Sn , 一 一, 1(8)若an是等差數(shù)列，則)7也是等差數(shù)列，其首項(xiàng)與an首項(xiàng)相同，公差是an的公差的Ln JN(9)若等差數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n,則S奇an S2n= n(a1 + a2n)=n(an + an+1)； S 偶一$奇=門,=.S偶 an+1S n+ 1(10)若等差數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n+1,則 S2n+1 = (2n+1)an+1；”=一.S禺n二.等差數(shù)列的常用結(jié)論1 .等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值在等差數(shù)列an中，若a1>0, d<0,則Sn有最大值，即所有正項(xiàng)之和最大，若a1<0, d>0,則Sn有最小值，即

4、所有負(fù)項(xiàng)之和最小.2 .等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系：& = 2門2+12%.數(shù)列an是等差數(shù)列？ S=An2+Bn(A, B為常數(shù)).題型一等差數(shù)列基本量的運(yùn)算1 .已知等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和為27, ai0=8,則aoo等于解析：由等差數(shù)列性質(zhì)，知S9 = 9(a；a9)= 9212a5=9a5=27,得a5=3,而a1o= 8,因此公%.aio- a5差 d= 1, - aioo= a1o+ 90d = 98.10-52 .記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a4+a5=24, 4=48,則an的公差為(a1+3d+a+4d = 24,a4 + a5=24，解析：設(shè)等差數(shù)列a

5、n的公差為d,則由(得6X 5國(guó)=48，16a1+2-d = 48,22a1+7d = 24,即t解得d=4.2a1+5d=16,3 .記Sn為等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和，若3s3= &+a1=2,則a5 =A. 12B. 10C. 10D. 12解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由3s3=S2+S4,得；3X(31 2X(2 14X(4-1 3 3a1 + 一k d =2a + 一彳一權(quán) d+4a + 一一及 d,將 a = 2 代入上式，解得 d = - 3,故 a5=a+(51)d = 2+4X(3) = 10.4 .在等差數(shù)列an中，若前10項(xiàng)的和Sio=60,且a7=7,則a4=

6、10a1 + 45d= 60,a1 = 3，解析：法一：由題意得f解得2. a4=a1+3d=5.a1 + 6d = 7,d=、一- ,10(a1 + a1。法一:由等差數(shù)列的性質(zhì)有a + a0= a7+a4, ' S10 =2=60,a + a0= 12.又,27=7,a4 = 5.5,已知數(shù)列an滿足a=15,且3為+1 =3an2.若ak ak+1<0,則正整數(shù)k=解析：由 3%+1 = 3an2? a0+1a= 2? 斗是等差數(shù)列，則 an = ? 2n. 333 akak+1<0,停-2k造-乳<0, .45<k<47,又kC N+, . . k

7、= 23.6.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, a3=3, a5=5,則S7的值是a5 a37fa1 + a7解析：由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為 d4Ud= 1,故a4=a3+d=4,所以S7 = 5- 327X 2a4-=7X4=28.7 .數(shù)列2n1的前10項(xiàng)的和是fai aioX 10解析：二數(shù)列2n1是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，. &。=i2A一=100.8 .已知數(shù)列an中a=1, an+1 = an1,則a4等于解析：因?yàn)閍1 = 1, an+1 = an 1,所以數(shù)列an為等差數(shù)列，公差 d為一 1,所以 a4=a + 3d = 1 3= 2.9 .設(shè)等差數(shù)列an的

8、公差為d,且a1a2= 35,2a4a6= 7,則d=解析：- an是等差數(shù)歹U,2a4a6= a42d= a2= 7, ,a1a2= 35, 二總1= 5, ，d= a2a1 = 2.10 .已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且$5=50, Sw = 200,則a10+a11的值為J ，5X4. _Ss= 5a1 + -2-d= 50,解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由已知得a1+2d= 10,即 9+ 2d= 20,10X 9lSw=10a1 + d = 200,a1= 2,解得，a10+a1 = 2a + 19d = 80.d = 4.11 .設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若a3 =

9、5,且& , S5, G成等差數(shù)列，則數(shù)列為的通 項(xiàng)公式an=.解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,.匕3 = 5,且S1, S5, S7成等差數(shù)列，a1 + 2d = 5,a1= 1,解得 S. .an = 2n-1.a + 7a+ 21d=10a+ 20d,ld=2,12 .設(shè)an是等差數(shù)列，且a1=3, az+a5=36,則an的通項(xiàng)公式為 .解析：法一：設(shè)數(shù)列an的公差為 da2+a5=36,，(a1 + d)+(a1+4d)=36,，2a1 +5d=36.- a1 = 3, -.d= 6, -.an= 6n 3.法一:設(shè)數(shù)列an的公差為 d, 1 2+ a5= a1 + a6 =

10、 36, a1=3,，a6=33,，d= 5- = 6. a1 =3, -.an= 6n 3.13 .已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, a6+a18=54, Si9=437,則a2 018的值是解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由題意可知2ai + 22d = 54,4 = 5,1 解得 1所以 a2 018=5+2017X 2 = 4 039.19ai+ 171d = 437,d= 2,14 .已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a+a7= 8, a2=2,則數(shù)列an的公差d等于a1 + a7= 2a + 6d = 8,d = 3,解析：由題意知f解得f.a2=a1+d = 2.a1=5,15 .張丘建

11、算經(jīng)卷上第 22題為：“今有女善織，日益功疾.初日織五尺，今一月日織九 匹三丈. "其意思為今有一女子擅長(zhǎng)織布，且從第 2天起，每天比前一天多織相同量的布， 若第一天織5尺布，現(xiàn)在一個(gè)月（按30天計(jì)）共織390尺布.則該女子最后一天織布的尺數(shù) 為（）A. 18 B. 20 C. 21 D. 2530fa1 + a30)-2= 390,解析：C,用an表示第n天織布的尺數(shù)，由題意知，數(shù)列an是首項(xiàng)為5,項(xiàng)數(shù)為30的等差數(shù)列.所以30(5+ a30即一2= 390,解得 a30=21,故選 C.16 .設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a12=8, Sg= -9,則.a12=a+11d =

12、 8,解析：設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,由已知，得S9X8S9= 9a1+-d-d = - 9,a1= 3, 解得d = - 1.2.C 一- 16X 15 re. .S16=16X3+2 X(1)= 72.17 .已知在等差數(shù)列an中，a=1,a3 = 2a+1,a5=3a+2,若Sn=a +a2+ an,且 &= 66,則k的值為解析：二.在等差數(shù)列中，2a3=a1+a5,，2(2a+1)= 1 + 3a + 2,解得 a=1,即 a1=1, a3 = 3, a5= 5,公差 d= 1,. Sk=kx 1 +1 = 66,解得卜=11或卜=12(舍).-17 - / 17

13、a 118 .已知數(shù)列i"n"是等差數(shù)列，且 a3= 2, a9= 12,則a5=解析：法一：設(shè)數(shù)列，an遑公差為d的等差數(shù)列，; a3=2, a9=12, 'J W -6d= a9：-號(hào)=12 2=2, -d = 1，普=野+12d = 2.故 ai5= 30. 939 3 39153法二：由于數(shù)列片是等差數(shù)列，故2X,=粵+矍，即整=2X12 2=2,故ai5 = 30.n9315159319.在數(shù)列an中,若,1a1=1, a2 = 2an+1anan + 2（nC N*）,則該數(shù)列的通項(xiàng)為（1A. an=n B .an=n+ 1c2C. an=n n+2一一

14、 ，一，、211斛析：A , 由已知式 =+ an+1 an an+2.可得an+1anan+2an + 1a1公差,11 為后07=21 = 1的等差數(shù)歹u，所以工=n,即 an= 1ann20.九章算術(shù)是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問(wèn)題：“今有五人分五錢，令上二人各得多少錢?（“錢”是古代一種質(zhì)量單位），在這個(gè)問(wèn)題中，甲得所得與下三人等，問(wèn)各得幾何？”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列，問(wèn)五人5 A.o3解析：選C甲、乙、丙、丁、戊五人所得錢數(shù)依次設(shè)為成等差數(shù)列的a1，a2, a3, a4,a5,設(shè)公

15、差為d,，廠5由題息知a1 + a2 = a3+ a4+ a5= 2,52a + d=5，即( 玲5、3a1 +9d =2,解得d =16'38. 24故甲得0錢，故選C.3 1 一. r-1 .21 .已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S, a9=2a2+6, a2= 4,則數(shù)列 的刖10項(xiàng)和為（）11A.1210B. 7711C.10D.解析:選B ,設(shè)等差數(shù)列1an的公差為d,由a9=2a2+ 6及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得a1+ 5d= 12,又 a2= 4,，a1 = 2, d = 2, - Sn= n2+ n,111-=S1 n(n+ 1 ) n；1Y i1_ 1Y ,12.廣匕3廣

16、十a(chǎn) 二、；=1=也10 11 /11 11.22 .已知等差數(shù)列an各項(xiàng)均為正數(shù)，其前 n項(xiàng)和為Sn,若a1=1, VS3=a2,則as=解析：法一：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由題意得：'3+3d=1 + d,解得 d=2或 d= 1（舍去），所以 a8=1 + 7X2=15.法一:S3= a1 + a2+a3= 3a2,由；S3=a2 可得3a2= a2,解得a2= 3 或a2=0（舍去）,則 d=a2ai = 2,所以 a8= 1 + 7X 2=15.23.若 xw y,數(shù)歹U x, ai, a2, y 和 x, bi, b2,b3, y各自成等差數(shù)列，則史二a2b1 b2x-

17、y斛析：由題忌倚 a1一a2 = 一z , b1一b2=3所以ai a2 4b1 b2 324 .設(shè)an是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12,前三項(xiàng)的積為48,則它的首項(xiàng)是 . 解析：225 .數(shù)列an滿足+ 1(nCN+),數(shù)列bn滿足 bn = -,且 “+b2+ bg=45,則 an+1 ananb4b6()A.最大值為100B.最大值為 25C.為定值24D.最大值為50解析：C,由 =工+1(n C N+),得工=1, bn = 1,，bn+1bn= 1 , an + 1 anan+1 ananI，一一 _9X 8_則數(shù)列bn是公差為1的等差數(shù)列，: b1+b2+ - +b9=45, -

18、 9b1+= 45,即 b=1,則 bn=1 + (n-1)x 1=n,則 b4b6=4X6=24.26 .設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an= 2n10(nC N+),則輻|+必2|+ |a 15| =.解析：由an = 2n 10(nC N+)知an是以8為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，又由 an=2n 10”得 n>5, ,當(dāng) nW5 時(shí),an<0,當(dāng) n>5 時(shí)，an>0 ,. |a”+博|+ |a15|= + a2 + a3+a4)+ (as+a6 + + a) = 20+ 110 = 130.27 .設(shè)數(shù)列an滿足：a1= 1, a?=3,且 2nan= (n1)an1

19、 + (n+1閉+1，則 a?。的值是. 解析：: 2nan= (n1)an+(n+1)an+1,，數(shù)列nan是以 a=1 為首項(xiàng)，2a2a1=5 為公差 的等差數(shù)列，一. 20a20= 1 +5X 19= 96,解得 a20 = 96= 24.20528 .已知等差數(shù)列an為遞增數(shù)列，其前 3項(xiàng)的和為一3,前3項(xiàng)的積為8.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn.解析：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d, d>0,等差數(shù)列an的前3項(xiàng)的和為一3,前3項(xiàng)的積為8,3ai + 3d = 3,ai = 2,ai = 4,f1 或fa“ai + d (ai + 2d / 8,d

20、= - 3d=3.,.d>0, .,.ai=-4, d=3,，an=3n7.(2) . an = 3n 7, - 1 = 3 7=4, -.Sn =n( 4 + 3n 7)n(3n 11)2=2.28.已知等差數(shù)列an的公差不為零，ai=25,且a1，an, ai3成等比數(shù)列.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求 ai + a4+a7+ a3n-2.解析：(1)設(shè)an的公差為d.由題意,得a2尸a1a13,2一一即(a+10d) =a1(a+12d).于是 d(2a1 + 25d)= 0.又 a=25,所以 d = 0(舍去)或 d= 2.故 an=-2n+27.(2)令 Sn= a1+ a

21、4+ a7 + + a3n2.由知a3n-2=6n+31,故a3n-2是首項(xiàng)為25,公差為一6的等差數(shù)列.n,.、 n2 .從而 Sn= 2(a1 + a3n 2) = 2( 6n+56)= 3n +28n.題型二等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用類型一等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)的應(yīng)用1 .在等差數(shù)列an中，a3+a7=37,則 a2+a4+a6+a8 =.解析： 依題意，得 a2+a4+a6+a8= (a2+a8) +(a4+%)= 2(a3+a7)= 74.2 .在等差數(shù)列an中，3(a3+a5)+2(a7+a1o+a13) = 24,則該數(shù)列前13項(xiàng)的和是.解析：263 .若數(shù)列an為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和

22、，且a=2a33,則Sg=.解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d, a1 = 2a33 = 2a1 + 4d 3, -.a5= a1+4d= 3, Sg=9a5 =27.4 .在等差數(shù)列an中，an a2 019為方程 x210x+16 = 0 的兩根，則 a2+a 010+a? 018=解析：因?yàn)閍1，a2 019為方程x210x+ 16= 0的兩根，所以a1+a2 019= 10.由等差數(shù)列的性質(zhì)a+a2 019、可知，a1 010=2=5, az+a2 018=a1+a2 019= 10,所以 a2+aI 010 + 22 018= 10+ 5= 15.5 .已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn

23、,且S6=39,則a3+a4 =解析：由等差數(shù)列an的性質(zhì)及其S6= 39,可得6(a1；a6)= 3(%+ a4) = 39,.則a3+ a4=13.6 .數(shù)列an滿足 2an= an-1 + an+(nn2),且 az+a4+a6=12,則 a3+a4+a5等于解析:數(shù)列an滿足2an=an-i + an+i(n>2),則數(shù)列an是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可 知，a3 + a4 + a5 = a2+ad+a6 = 12.7 .設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a?+a?+a2= 24,則S13 =上l 13 ai+ ai3解析：由 a2+ a7+ ai2= 24 得 3a7= 2

24、4,即 a7= 8,Si3=2= 13a7= 13X8= 104.8 .等差數(shù)列an中，a3+a7=6,則an的前9項(xiàng)和等于解析：法一： 設(shè)等差數(shù)列的公差為 d,則a3 + a7=a+2d + a +6d=2a +8d=6,所以a1 +9X84d= 3.于是an的前 9 項(xiàng)和 S = 9a1+ 一2-d= 9(a1 +4d)=9X 3= 27.9 a+a9法一：由等差數(shù)列的性質(zhì)，得 aI+a9=a3+a7 = 6,所以數(shù)列an的前9項(xiàng)和S9=-2一;=9X6-2- = 27.9 .數(shù)列an滿足 2an= an-1 + an+1（nR2）,且 az+a4+a6=12,則 a3+a4+a5等于 解

25、析：數(shù)列an滿足2an=an1+an+1（n>2）,則數(shù)列 an是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a3 + a4 + a5= a2+ad+a6= 12.10 .等差數(shù)列an的公差為d（dw0）,且a3+a6+a1o + a13= 32,若am= 8,則m的值為 解析：由 23+ae+ao + a3 = 32 得 4a8= 32,即 a8 = 8.又dw0,所以等差數(shù)列an是單調(diào)數(shù)列，由 am = 8,知m=8.11 .設(shè)Sn為公差不為零的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S9=3a8,則S5等于解析：因?yàn)?$= a+a2+ a9= 9a5= 3a8,即 3a5= a8.又 S5 = a + a

26、2+ a5= 15a8,S1515a8所以嬴=二7=15.12 .等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若am=10, S2m 1=110,則m=解析：S2m 1 =(2m 1 + a2m 1 ) 2(2m 1 pm= 110,解得 m= 6.類型二：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)1.在項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列an中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為 165,所有偶數(shù)項(xiàng)的和為 150,則n等于（）A. 9B.10 c. 11D. 12解析：選B,二.等差數(shù)列有2n+ 1項(xiàng)，S奇=9±L但2土毀），s偶="a2； a2n）又 ai + a2n+i= a2+ a2n,S 禺ni50 i0 .”.，n i0.S

27、r n+i i65 ii2 .等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn 且 Sm-1=2, Sm=0, Sm+i = 3, m> 2, mCN*,則 m= 解析：, an是等差數(shù)列，Sm i =- 2 , Sm= 0 , - am = Sm Sm i = 2.又 Sm+1 = 3, . ami+1 = Sm +1 Sm = 3, .d = ami+i am = i.m(ai + am m(ai + 2)又 Sm=* 2= 0, .,.ai = -2, .-.am= 2 + (m 1)1= 2,，m=5.3 .設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=9, &=36,則a?+a8+a9等于

28、解析：由an是等差數(shù)列，得 S3, S6-S3, S9S6為等差數(shù)列.IP 2(S6 S3)= S3+ (S9 S6),得到 S9 S6=2S63Ss=45,即 a7+a8+a9=45.4已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和 若ai = 2 014,黑£ ；S黑 =6,則S2 019=-_-_ _解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得 色 池為等差數(shù)列. nS2 014S2 008 -.-. ,設(shè)其公差為d,則歹有j一屆6d= 6, - d = 1. 2 0 14 2 008故察防呼+ 2 018d=- 2 014+2 018=4, . S2019=8 076. 2 0 1915 .已知等差數(shù)列an

29、的前n項(xiàng)和為Sn,且Si0=10, S20= 30,則&。=.解析：由題意知，Si0, S20 Sio, S30S20成等差數(shù)列.則 2(S20 Sio) = Sio + (S30 S20),即 40= 10+ (S30 30),解得 S3o= 60.6 .若等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足S4=4, &= 12,則&= 解析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得S2, S4-S2, &S4成等差數(shù)列，即2(S4-S2)=S2+S6-S4,因此 S2=0.7 .設(shè) Sn 是等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，Sio = 16, S100 Sgo = 24,則 Sioo=.解析：依題意

30、，S10 , S20 S10, S30 S20 ,，Si00 - S90依次成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列的公差為 d.又 Sio= 16, Si00 S90 = 24,因此 S100 S90= 24 = 16 + (10 1)d= 16+ 9d,解得 d=,9200. 八 10X910X因此 S100 = 10Sio+ 2 d = 10X16+ 28.在等差數(shù)列an中,ai=- 2 015,其前n項(xiàng)和為Sn,若工一啟=2,則S2 oi8=解析:設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=An2+Bn,則S= An+B,所以療產(chǎn)等差數(shù)列.因、,S12 S10一、, Sn-X"Si ai、,Sn n一&

31、quot;斗一為存一而=2,所以5的公差為1,又彳=1 = - 2 015,所以后j是以2 015為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以S覆=2 015+ 2 017X 1 = 2,所以S2 018=4 036.2 0189.等差數(shù)列an與bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn,若£=非（，則13而矯.a72aza1+a13ESa13）S133X13237斛析. = d Q=丁 = 07.b72b7b1+b13獲b1+b13）T132X13+1274 ,Sn 2n 3 一10.設(shè)等差數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn,右對(duì)任息自然數(shù) n都有一則I n 4n 3b+ b的值為a9,a3a9,

32、a3a9+a3a6解析:.an, bn為等差數(shù)列,+= + =一b5+b7b8 + b42b6 2b62b6b6SH+aHZaG_2* 11 3_19. ae_19T11=b1+b11=2b6=4x 11 3 = 41,上6=41.類型三：等差數(shù)列前 n項(xiàng)和的最值求等差數(shù)列前n項(xiàng)和S最值的2種方法(1)二次函數(shù)法：利用等差數(shù)列前 n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式 Sn = an2+bn,通過(guò)配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解.(2)通項(xiàng)變號(hào)法am> 0 ,a1>0, d<0時(shí)，滿足S的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；am+1 w 0amW 0,當(dāng)a1<0, d>0時(shí)，滿足5

33、的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm._am+1 > 01.已知等差數(shù)列an中，a1 = 11, a5=1,則an的前n項(xiàng)和Sn的最大值是 a5- a15- 1an>0,14-3n>0,由？an+1<011-3n<0,斛析：設(shè)數(shù)列an的公差為d,則d= 3,所以an = a1 + (n 1)d = 3n + 14,一11 一 一14解得wnw，即n = 4,所以an的前4項(xiàng)和最大,4X 3且 S4= 4X 11 + 2-X ( 3)= 26.2 .等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知ai=13, 83=811,當(dāng)&最大時(shí)，n的值是解析：法一：由83 = 811,

34、得a4+a5+aii= 0,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a7+a8= 0.根據(jù)首項(xiàng)等于13可推知這個(gè)數(shù)列遞減，從而得到a7>0, a8<0,故n=7時(shí)，8n最大.法二：由 83=811,可得 3a1+3d=11a+55d,把 a=13代入，得 d=- 2,故Sn=13nn(n1)= n2+14n.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，知當(dāng)n= 7時(shí)8n最大.法三：根據(jù)a1=13, 83=811,知這個(gè)數(shù)列的公差不等于零，且這個(gè)數(shù)列的和是先遞增后遞減.根據(jù)公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，以及二次函數(shù)圖像的對(duì)稱3+11性，可得只有當(dāng)n = 2= 7時(shí)，8n取得最大值.4 .等差數(shù)列an的前

35、n項(xiàng)和為8n,已知as+a7=4, a6+a8=2,則當(dāng)8n取最大值時(shí)，n 的值是.解析：依題意得2a6=4,2a7= 2, a6= 2>0, a7= 1<0.又?jǐn)?shù)列 an是等差數(shù)列，所以在該數(shù)列中，前6項(xiàng)均為正數(shù)，自第 7項(xiàng)起以后各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，于是當(dāng)8n取最大彳1時(shí)，n=6.5 .等差數(shù)列an中，已知a5>0, a4+a7<0,則an的前n項(xiàng)和8n的最大值為()A. 87B. 86C. 85D. 84a4+ a7= a5+ a6< 0,a5>0,解析：C, - i.,工S的最大值為85.|a5>0,I a6< 0,6 .記8n為等差數(shù)列an的前

36、n項(xiàng)和，已知a1 = 7, 83=- 15.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求8n,并求8n的最小值.解析：(1)設(shè)an的公差為d,由題意得3a1+3d=15.又a1= 7,所以d= 2.所以an的通項(xiàng)公式為an= 2n 9.(2)法一：(二次函數(shù)法)由(1)得 &= n(a；an L n2-8n= (n- 4)216,所以當(dāng)n=4時(shí)，8n取得最小值，最小值為一16.法二：(通項(xiàng)變號(hào)法)n ai+ an2由(1)知 an=2n9,則 Sn='2一 = n 8n.由anW 0,Sn最??？ fan+1 > 0 ,2n- 9< 0,79*即f. n< 2,又nCN ,

37、，n=4,此時(shí)Sn的最小值為 S4=16.7 .已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, nCN ,滿足ai + a2=10, 85= 40.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=|13-an|,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解析：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由題意知，a1+a2=2a+d= 10,Ss= 5a3= 40,即 a3=8,所以 a+2d = 8,a1 = 4,所以 S所以 an=4+(n-1) 2= 2n+2.d=2,111 2n, n<5,(2)令 cn=13-an=11-2n, bn= |cn|= |112n|= f2n- 11, n>6,設(shè)數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和為Qn

38、,則Qn=n2+10n.當(dāng) nW5 時(shí)，Tn=b + bz+ bn=Qn = n +10n.當(dāng) n> 6 時(shí)，Tn = b1 + b2 + + bn= C1+ C2 + + C5 (C6+ C7 + + Cn) = Qn+ 2Q5=n2- 10n+2( 52+ 10X5)= n2 10n + 50.8 .已知等差數(shù)列an的前三項(xiàng)和為一3,前三項(xiàng)的積為8.(1)求等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若a2, a3, a1成等比數(shù)列,求數(shù)列島|的前n項(xiàng)和Tn.解析：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則a2 = a+d, a3=aI + 2d.3a1+3d = 3,a=2,a1 = 4,由題意得1解得

39、1或1a (a + d (a + 2d )= 8,d = 3d= 3.所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得，an= 2- 3(n-1) = - 3n+ 5或an= 4+ 3(n- 1) = 3n 7.故 an= 3n+5 或 an = 3n 7.(2)當(dāng)an= 3n+5時(shí)，a2, a3, a1分別為一1, 4,2,不成等比數(shù)列；當(dāng)an= 3n 7時(shí)，a2, a3, a1分別為一1,2, 4,成等比數(shù)列，滿足條件.3n+7, n=1, 2,故|an|=|3n7|=f記數(shù)列3n 7的前n項(xiàng)和為Sn,3n-7, n>3.則Sn =n( 4 )+ (3ni 7 j 3 2 11=2n -萬(wàn)北3 2 11當(dāng)

40、 nW 2 時(shí)，Tn= |a1|+ |a2|+ |an|= 一 (a+ a2+ +an)= 2門 + yn,3 2,112n +yn, n<2,3 2 112n -n+ 10, n>3.當(dāng) n> 3 時(shí),Tn =|a1|+ |a21 +|a3|+ |an| = (a1 + a2)+(a3+ a4+ + an)一 一 3 2 11= Sn2s2=2n -2-n+10,綜上知：Tn= 題型三等差數(shù)列的判定與證明等差數(shù)列的判定與證明方法與技巧方法解讀適合題型定義法對(duì)于數(shù)列an, anan 1(n2, nC N )為同一常數(shù)？ an是等差數(shù)列解答題中的證明問(wèn)題等差中項(xiàng)法2an 1 =

41、 an+an 2(n>3, nC N*)成立？ an是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法an=pn+q(p, q為常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù) n都成立？ an是等差數(shù)列選擇、填空題定中的判問(wèn)題前n項(xiàng)和公式法驗(yàn)證Sn= An2+ Bn(A, B是常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù) n都成立? an是等差數(shù)列1.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且an= -2n+1,則數(shù)列向前11項(xiàng)和為解析：為=2n+1, 數(shù)列an是以一1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列,n-1 + (- 2n+ 1 J.Sn22-n2,一 n,，數(shù)列n nr r. Sn遑以一1為首項(xiàng)，1為公差的11X 102x(-1) = -66.S等差數(shù)列，數(shù)列一的前11項(xiàng)和為11

42、X( 1)+2,已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S2=2, 0= 6.求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和Sn；(2)是否存在正整數(shù) n,使Sn, Sn+2 + 2n, Sn+3成等差數(shù)列？若存在，求出 n；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.2a1+d = 2，g = 4,解析：(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,則s 3乂2：3ai + -2-d = - 6,d = - 6, , n(nT ), r c 2* *an= 4 6(n 1) = 10 6n)Sn= nai+2 d=7n 3n .(2)由(1)知由+ Sn+ 3= 7n 3n2+ 7(n +3)-3(n+ 3)2= -6n2-4n-6,2(Sn+2+2

43、n)= 2(- 3n2 5n+ 2+2n) = 6n2-6n + 4,若存在正整數(shù)n使得Sn, Sn+2+2n, Sn+3成等差數(shù)列，則6n24n 6=6n26n+ 4,解得 n = 5,存在n = 5,使Sn, Sn+2+2n, Sn+3成等差數(shù)列.3.已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且 a1，a2(a1<a2)分別為方程x2-6x+5= 0的兩個(gè)實(shí)根.(1)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn；SK,(2)在(1)中，設(shè)bn=nq7C，求證：當(dāng)c= 2時(shí)，數(shù)列bn是等差數(shù)列.解析：(1) - a1, a2(a1<a2)分別為方程x2 6x+ 5=0的兩個(gè)實(shí)根，. 31= 1, a2=5,，等差數(shù)列

44、an的公差為4,.'Sn= n吟“422一n.、r ,1 ,(2)證明：當(dāng)c= 2時(shí),Sn2n2 nbn=-= 2n,n+c n-2. bn+1- bn=2(n+ 1)-2n=2, b1=2.數(shù)列bn是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.4.已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為a, 4, 3a,前n項(xiàng)和為Sn,且&= 110.(1)求a及k的值；Sn(2)已知數(shù)列bn滿足bn= n ,證明數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求其前n項(xiàng)和Tn解析：(1)設(shè)該等差數(shù)列為an,則a1 = a, a2=4, a3=3a,由已知有 a+3a= 8,得 a1 = a=2,公差 d=4 2=2,k(k- 1)所以 Sk= ka1 +2 d=2k+k(k-1)22X2=k2 + k.由 Sk= 110,得 k2+k-110=0,解得 k=l0 或 k= 11(舍去)，故 a=2, k= 10.n(2+ 2n)(2)由(1)得 Sn=-2Sn,= n(n+1),則 bn= = n+1,故 bn+i bn=(n+ 2) (n + 1) = 1 ,即數(shù)列bn是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列，所以n(2+n+1) n(n+3)Tn=25 .已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, a=1, anW0,anan+1=?<n1,其中入為常數(shù).(1)證明：an+2 an=%(2)是否存在 )使得a