【課件】人A版（2019）數(shù)學(xué)-必修第二冊(cè)-第六章平面向量及其應(yīng)用-§4.3第4課時(shí)余弦定理、正弦定理的應(yīng)用舉例-高度、角度問(wèn)題

1、第4課時(shí) 余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例-高度、角度問(wèn)題1.現(xiàn)實(shí)生活中現(xiàn)實(shí)生活中,人們是怎樣測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物人們是怎樣測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的的高度呢？又怎高度呢？又怎樣在水平飛行的飛機(jī)上測(cè)量飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨饶?？樣在水平飛行的飛機(jī)上測(cè)量飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨饶兀?.在實(shí)際的航海生活中在實(shí)際的航海生活中,人們?nèi)藗円惨矔?huì)遇到會(huì)遇到如下如下的問(wèn)題的問(wèn)題：在浩瀚的海面上如在浩瀚的海面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我們就來(lái)共同探討這今天我們就來(lái)共同探討這些些方面的問(wèn)題方面的問(wèn)題. .通過(guò)建立模型把實(shí)際生活中的角度、長(zhǎng)度、距

2、離問(wèn)題轉(zhuǎn)換成解三角形通過(guò)建立模型把實(shí)際生活中的角度、長(zhǎng)度、距離問(wèn)題轉(zhuǎn)換成解三角形問(wèn)題，然后利用正弦定理余弦定理解決問(wèn)題。問(wèn)題，然后利用正弦定理余弦定理解決問(wèn)題。1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)底部不可能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)底部不可到達(dá)的物體高度測(cè)量的問(wèn)題到達(dá)的物體高度測(cè)量的問(wèn)題.2.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)計(jì)算角度的實(shí)際問(wèn)題方法解決一些有關(guān)計(jì)算角度的實(shí)際問(wèn)題.3.分清仰角、俯角、方向角、分清仰角、俯角、方向角、方位角和視角等概念方位角和視角等概念.課標(biāo)要求課標(biāo)要求素養(yǎng)要求素養(yǎng)要求 探究

3、點(diǎn)探究點(diǎn)1 1 測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的的高度高度例例1 AB是底部是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度種測(cè)量建筑物高度AB的方法的方法.【解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵】如圖，求如圖，求AB長(zhǎng)的關(guān)長(zhǎng)的關(guān)鍵是先求鍵是先求AE，在，在 ACE中，如中，如能求出能求出C點(diǎn)到建筑物頂部點(diǎn)到建筑物頂部A的距離的距離CA，再測(cè)出由，再測(cè)出由C點(diǎn)觀察點(diǎn)觀察A的仰角，的仰角，就可以計(jì)算出就可以計(jì)算出AE的長(zhǎng)的長(zhǎng).【解析解析】選擇一條水平基線選擇一條水平基線HG，使，使H，G，B三點(diǎn)在同一條直線上三點(diǎn)在同一條直線上.

4、由在由在H,G兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A的仰角分別是的仰角分別是,CD=a，測(cè)角儀器的高是，測(cè)角儀器的高是h，那么，在那么，在ACD中，根據(jù)正弦定理可得中，根據(jù)正弦定理可得asinasinAC =AC =sin（sin（-）AB = AE+h = ACsinAB = AE+h = ACsin+h+hasinasinsinsin=+h.=+h.sin（sin（-）【變式練習(xí)變式練習(xí)】2A20nmileB307nmileC11nmile ?例 位于某海域 處的甲船獲釋，在其正東方向相距的 處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營(yíng)救，甲船立即前往營(yíng)救，同時(shí)把消息告知位于甲船南偏西，且與甲船相距的 處

5、的乙船，那么乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)的目標(biāo)方向線（由觀測(cè)點(diǎn)看目標(biāo)的視線）的方向是北偏東多少度（精確到 ）？需要航行的距離是多少海里（精確到）解：根據(jù)題意，畫(huà)出示意圖由余弦定理，得 20nmile20nmileB BA AC C307nmile7nmile222222cos12012072207()589224sinsin12020245 3sin12BCABACABACBCnmileCC 于是（）由正弦定理，得于是00C90C467624nmine.由于因此，乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船的方向是北偏東，大約需要航行【變式練習(xí)變式練習(xí)】 我艦在敵島我艦在敵島A A南偏西南偏西5050的方向上，且與敵島的方

6、向上，且與敵島A A相距相距1212海里的海里的B B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島A A沿北偏西沿北偏西1010的方向以的方向以1010海里海里/ /小時(shí)的速度航行問(wèn)我艦小時(shí)的速度航行問(wèn)我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用需以多大速度、沿什么方向航行才能用2 2小時(shí)追小時(shí)追上敵艦？上敵艦？( (精確到精確到1 1）【解析解析】如圖，在如圖，在ABCABC中，由余弦中，由余弦定理得：定理得：ACB4040505010102222222222BC = AC +AB -2ABBC = AC +AB -2ABACACcoscosBACBAC1 1 = 20 +12 -2 = 20 +12 -

7、2 12122020 （- ）- ）2 2 =784， =784，所所以以BC = 28.BC = 28.所以我艦的追擊速度為所以我艦的追擊速度為1414海里海里/ /小時(shí)小時(shí). .ABCACBCsinBsinAACsinA5 3si3850 -3812nBBC14B.又在中，由正弦定理得：，故，所故航行的方向?yàn)楸逼珫|以 答：答：我艦需以我艦需以14海里海里/小時(shí)的速度，沿北偏東小時(shí)的速度，沿北偏東12方向航行才能用方向航行才能用2小時(shí)追上敵艦小時(shí)追上敵艦.C C B B 7 75.3.5 m長(zhǎng)的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端在離堤長(zhǎng)的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端在離堤足足1.2 m的地面上，另一端

8、在沿堤上的地面上，另一端在沿堤上2.8 m的地方，的地方，求堤對(duì)地面的傾斜角求堤對(duì)地面的傾斜角. (精確到精確到0.01）鈍鈍鈍鈍為為【解解析析】222222 -. .由由余余弦弦定定理理得得，1.2 +2.8 -3.51.2 +2.8 -3.5cos（cos（180180 -） = =221.21.22.82.8 -0.442. -0.442.所所以以 棒 棒、石石堤堤及及地地面面構(gòu)構(gòu)成成一一角角三三角角形形，其其角角大大小小1 1coscos=0.442，=0.442，所所以以 6 680803.773.77答：答：堤對(duì)地面的傾斜角堤對(duì)地面的傾斜角為為63.7763.77. .6.如圖是曲

9、柄連桿機(jī)構(gòu)的示意圖，當(dāng)曲柄如圖是曲柄連桿機(jī)構(gòu)的示意圖，當(dāng)曲柄CB繞繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，通過(guò)連點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，通過(guò)連桿桿AB的傳遞，活塞作直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)曲柄在的傳遞，活塞作直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)曲柄在CB0位置時(shí)，曲柄和位置時(shí)，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點(diǎn)連桿成一條直線，連桿的端點(diǎn)A在在A0處，設(shè)連桿處，設(shè)連桿AB長(zhǎng)為長(zhǎng)為340mm，曲，曲柄柄CB長(zhǎng)為長(zhǎng)為85mm，曲柄自，曲柄自CB0按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)80，求活塞移動(dòng)的，求活塞移動(dòng)的距離（即連桿的端點(diǎn)距離（即連桿的端點(diǎn)A移動(dòng)的距離移動(dòng)的距離AA0）（精確到）（精確到1mm）.【解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵】此題可轉(zhuǎn)化為此題可轉(zhuǎn)化為“已知在已知在ABCAB

10、C中，中，BCBC85 mm85 mm，ABAB340 mm340 mm，ACBACB8080，求，求AAAA0 0 ” 【解析解析】如圖如圖, ,在在ABCABC中，由中，由正弦定理可得：正弦定理可得：為為為為銳銳 0.2462.0.2462.因因BC AB,所BC AB,所以以BAC角BAC角，所所以以BAC14BAC141515BCsinACBBCsinACBsinBAC =sinBAC =ABAB8585sin80sin80 = =340340， - （- （BAC+ABAC+A所所以以CB）CB） 8585B =18B =1845450.0.又由正弦定理：又由正弦定理：00340 sin85sin8034544.3 BsinBsinA =A =ABABC CsinsinACBACB= =（mmmm）. .A A（340+85340+85）-344-344A=A C-ACA=A C-AC= =（AB+BCAB+BC） - -. .A A3 3= =C C80.780.7（mmmm）答：答：活塞移動(dòng)的距離約為活塞移動(dòng)的距離約為81 mm 余弦定理、正弦余弦定理、正弦 定理應(yīng)用舉例定理應(yīng)用舉例核心知識(shí)核心知識(shí)方法總結(jié)方法總結(jié)易錯(cuò)提醒易錯(cuò)提醒核心素養(yǎng)核心素養(yǎng)有關(guān)概念實(shí)際應(yīng)用解決實(shí)際測(cè)量中的角度問(wèn)題時(shí)(1)找準(zhǔn)觀測(cè)點(diǎn)以及參照物,根據(jù)“上北下南,