有關(guān)功率譜分析的相關(guān)總結(jié)

1、有關(guān)功率譜分析的相關(guān)總結(jié)譜是個(gè)很不嚴(yán)格的東西，常常指信號(hào)的Fourier變換， 是一個(gè)時(shí)間平均（time average）概念 功率譜的概念是針對(duì)功率有限信號(hào)的（能量有限信號(hào)可用能量譜分析，能量有限的信號(hào)通常為能量信號(hào)，他們的傅里葉變換是收斂的），所表現(xiàn)的是單位頻帶內(nèi)信號(hào)功率隨頻率的變換情況。 保留頻譜的幅度信息， 但是丟掉了相位信息， 所以頻譜不同的信號(hào)其功率譜是可能 相同的。有兩個(gè)重要區(qū)別：1。功率譜是隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)平均概念，平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜是一個(gè)確定函數(shù)；而頻譜是隨機(jī)過程樣本的 Fourier 變換，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過程而言，頻譜也 是一個(gè)“隨機(jī)過程” 。（隨機(jī)過程有頻譜嗎？） （隨機(jī)的

2、頻域序列）2。功率概念和幅度概念的差別。 此外， 只能對(duì)寬平穩(wěn)的各態(tài)歷經(jīng)的二階矩過程談功率譜， 其存在性取決于二階矩是 否存在并且二階矩的 Fourier 變換收斂； 而頻譜的存在性僅僅取決于該隨機(jī)過程的該樣本的 Fourier 變換是否收斂。頻譜和功率譜的區(qū)別在于：（ 1）信號(hào)通常分為兩類：能量信號(hào)和功率信號(hào)；（ 2）一般來講，能量信號(hào)其傅氏變換收斂（即存在），而功率信號(hào)傅氏變換通常不收斂，當(dāng)然，若信號(hào)存在周期性，可引入特殊數(shù)學(xué)函數(shù)（Delta）表征傅氏變換的這種非收斂性；（3）信號(hào)是信息的搭載工具，而信息與隨機(jī)性緊密相關(guān)，所以實(shí)際信號(hào)多為隨機(jī)信號(hào)，這 類信號(hào)的特點(diǎn)是狀態(tài)隨機(jī)性隨時(shí)間無限延伸

3、， 能量無限。 換句話說， 隨機(jī)信號(hào)大多屬于功率 信號(hào)而非能量信號(hào)，它并不存在傅氏變換，亦即不存在頻譜；（4） 若撇開搭載信息的有用與否，隨機(jī)信號(hào)又稱隨機(jī)過程， 很多噪聲屬于特殊的隨機(jī)過程，它們的某些統(tǒng)計(jì)特性具有平穩(wěn)性，其均值和自相關(guān)函數(shù)具有平穩(wěn)性。對(duì)于這樣的隨機(jī)過程， 自相關(guān)函數(shù)蛻化為一維確定函數(shù)，前人證明該確定相關(guān)函數(shù)存在傅氏變換；（5）能量信號(hào)頻譜通常既含有幅度也含有相位信息；幅度譜的平方（二次量綱）又叫能量 譜，它描述了信號(hào)能量的頻域分布；功率信號(hào)的功率譜描述了信號(hào)功率隨頻率的分布特點(diǎn)， 也已證明，信號(hào)功率譜恰好是其自相關(guān)函數(shù)的傅氏變換；（6）實(shí)際中我們獲得的往往僅僅是信號(hào)的一段支撐，

4、此時(shí)即使信號(hào)為功率信號(hào)，截?cái)嘀?其傅氏變換收斂，但此變換結(jié)果嚴(yán)格來講不屬于任何“譜” ；（7）對(duì)于（ 6）中所述變換 若取其幅度平方，可作為信號(hào)功率譜的近似 ，是為經(jīng)典的“ 周期 圖法 ”；（8）FFT 是 DFT 的快速實(shí)現(xiàn)， DFT 是 DTFT 的頻域采樣， DTFT 是 FT 的頻域延拓。人們 不得已才利用DFT近似完成本屬于FT的任務(wù)。若僅提FFT,是非常不專業(yè)的。功率譜是個(gè)什么概念？它有單位嗎 ?隨機(jī)信號(hào)是時(shí)域無限信號(hào)， 不具備可積分條件， 因此不能直接進(jìn)行傅氏變換。 一般用具有統(tǒng) 計(jì)特性的功率譜來作為譜分析的依據(jù)。 功率譜與自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)傅氏變換對(duì)。 功率譜具有 單位頻率的平

5、均功率量綱。 所以標(biāo)準(zhǔn)叫法是功率譜密度。 通過功率譜密度函數(shù)， 可以看出隨 機(jī)信號(hào)的能量隨著頻率的分布情況。像白噪聲就是平行于 w 軸，在 w 軸上方的一條直線。 功率譜密度， 從名字分解來看就是說， 觀察對(duì)象是功率， 觀察域是譜域， 通常指頻域， 密度， 就是指觀察對(duì)象在觀察域上的分布情況。一般我們講的功率譜密度都是針對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過程 的，由于平穩(wěn)隨機(jī)過程的樣本函數(shù)一般不是絕對(duì)可積的， 因此不能直接對(duì)它進(jìn)行傅立葉分析。 可以有三種辦法來重新定義譜密度，來克服上述困難。一是用相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換來定義譜密度； 二是用 隨機(jī)過程的有限時(shí)間傅立葉變換來定義 譜密度；三是用平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜分解來定義譜

6、密度。 （對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程）三種定義方式 對(duì)應(yīng)于不同的用處， 首先第一種方式前提是平穩(wěn)隨機(jī)過程不包含周期分量并且均值為零， 這 樣才能保證相關(guān)函數(shù)在時(shí)差趨向于無窮時(shí)衰減， 光靠相關(guān)函數(shù)解決不了許多問題， 要求太嚴(yán) 格了； 對(duì)于第二種方式， 雖然一個(gè) 平穩(wěn)隨機(jī)過程 在無限時(shí)間上不能進(jìn)行傅立葉變換， 但是對(duì) 于有限區(qū)間， 傅立葉變換總是存在 的，可以先架構(gòu)有限時(shí)間區(qū)間上的變換， 在對(duì)時(shí)間區(qū)間取 極限， 這個(gè)定義方式就是當(dāng)前快速傅立葉變換（ FFT ）估計(jì)譜密度的依據(jù)；第三種方式是根 據(jù)維納的廣義諧和分析理論： Generalized harmonic analysis, Acta Math, 55

7、（1930）,117-258, 利用 傅立葉 -斯蒂吉斯積分，對(duì)均方連續(xù)的零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程進(jìn)行重構(gòu)，在依靠正交性來建立 的。另外，對(duì)于非平穩(wěn)隨機(jī)過程，也有三種譜密度建立方法。 。功率譜密度的單位是 G 的平方 /頻率。就是就是函數(shù)幅值的均方根值與頻率之比。是對(duì)隨機(jī)振動(dòng)進(jìn)行分析的重要參數(shù)。 功率譜密度的國際單位是什么 ?如果是加速度功率譜密度，加速度的單位是m/s2,那么，加速度功率譜密度的單位就是（m/s2）A2/H z,而Hz的單位是1/s,經(jīng)過換算得到加速度功率譜密度的單位是口幔怡鋁.同理，如果是位移功率譜密度，它的單位就是mH*s,如果是彎矩功率譜密度，單位就是（N*m）A2*s位移功

8、率譜mA2*s 速度功率譜 mA2/s 加速度功率譜 mA2/sA3在北理版信號(hào)與系統(tǒng)中， 信號(hào)可以分成能量信號(hào)與功率信號(hào)， 非周期能量信號(hào)具有能量譜密 度，是傅立葉變換的平方， 功率信號(hào)具有功率譜密度， 其與自相關(guān)函數(shù)是一對(duì)傅立葉變換對(duì)， 等于傅立葉變換的平方 /區(qū)間長(zhǎng)度。不能混淆。能量信號(hào)是沒有功率譜的。胡廣書老師的書上找到這么一段話， “隨機(jī)信號(hào)在時(shí)間上是無限的，在樣本上也是無窮多， 因此隨機(jī)信號(hào)的能量是無限的， 它應(yīng)是功率信號(hào)。 功率信號(hào)不滿足付里葉變換的絕對(duì)可積的 條件， 因此其付里葉變換是不存在的。 如確定性的正弦函數(shù)的付里葉變換是不存在 ，只有引 入了沖激函數(shù)才求得其付里葉變換。

9、 因此，對(duì)隨機(jī)信號(hào)的頻譜分析，不再簡(jiǎn)單的是頻譜，而 是功率譜。” 周期信號(hào)是功率信號(hào)， 但是周期信號(hào)可能是確定性信號(hào)， 也可能是隨機(jī)信號(hào)， 但是周期信號(hào) 是存在功率譜密度的。對(duì)于持續(xù)時(shí)間無限長(zhǎng)的隨機(jī)信號(hào)來說，也是存在功率譜密度的。一般來講， 對(duì)于隨機(jī)信號(hào)，由于持續(xù)期時(shí)間無限長(zhǎng)，不滿足絕對(duì)可積與能量可積的條件，因 此不存在傅立葉變換，所以我們只能研究其功率譜，因?yàn)闃颖竞瘮?shù)的功率畢竟是有限哦。對(duì)于確定性信號(hào)而言，里面存在能量信號(hào)，是沒有功率譜密度的，也存在功率信號(hào)，是有功率譜密度的。所以信號(hào)的頻譜與是否是確定性信號(hào)沒有必然聯(lián)系。以下論點(diǎn)來源于研學(xué)論壇，我認(rèn)為都存在一點(diǎn)問題，主要是表述上不是很準(zhǔn)確！

10、（當(dāng)能量有頻譜是信號(hào)的傅立葉變換。它描述了信號(hào)在各個(gè)頻率上的分布大小。頻譜的平方 限，平均功率為 0 時(shí)稱為能量譜 ）描述了信號(hào)能量在各個(gè)頻率上的分布大小。功率譜是針對(duì)隨機(jī)信號(hào)而言， 是隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)的離散傅立葉變換 （注意自相關(guān)函數(shù) 是確定性序列，離散信號(hào)本身是不存在離散傅立葉變換的） 。它描述了隨機(jī)信號(hào)的功率在各 個(gè)頻率上的分布大小，而不是能量分布大小。但不同的是， 信號(hào)的頻譜是復(fù)數(shù)，而隨機(jī)信號(hào)的功率譜也可以對(duì)數(shù)據(jù)計(jì)算過程中， 都是通過樣本數(shù)據(jù)的快速傅立葉變換來計(jì)算。 包含幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)， 重復(fù)計(jì)算時(shí)的結(jié)果基本相同。進(jìn)行FFT，但必須計(jì)算模值的平方，因?yàn)楣β首V是實(shí)數(shù)。而且換一組樣

11、本后，計(jì)算的結(jié)果略 有不同， 因?yàn)殡S機(jī)信號(hào)的樣本取值不同。 要得到真實(shí)的功率譜必須進(jìn)行多次平均， 次數(shù)越多 越好。功率譜可以從兩方面來定義， 一個(gè)是樓主說的自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換， 另一個(gè)是時(shí)域信號(hào) 傅氏變換模平方然后除以時(shí)間長(zhǎng)度。 第一種定義就是常說的維納辛欽定理， 而第二種其實(shí)從 能量譜密度來的。根據(jù) parseval 定理，信號(hào)傅氏變換模平方被定義為能量譜，即單位頻率范 圍內(nèi)包含的信號(hào)能量。自然，能量跟功率有一個(gè)時(shí)間平均的關(guān)系，所以，能量譜密度在時(shí)間上平均就得到了功率譜。 （這種說法不準(zhǔn)確）直接法：直接法又稱周期圖法，它是把隨機(jī)序列x(n)的N個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)視為一能量有限的序列，直接計(jì)算x(

12、n)的離散傅立葉變換，得X(k)，然后再取其幅值的平方，并除以 N，作為序列x(n)真實(shí)功率譜的估計(jì)。Matlab 代碼：clear;Fs=1000; %采樣頻率n=0:1/Fs:1;%產(chǎn)生含有噪聲的序列xn=cos(2*pi*40* n)+3*cos(2*pi*100* n)+ra ndn (size( n);win dow=boxcar(le ngth(x n); %矩形窗nfft=1024;Pxx,f=periodogram(x n,wi ndow, nfft,Fs); %直接法plot(f,10*log10(Pxx);100-10-20-30-40-500501001502002503

13、00350400450500改進(jìn)的直接法：對(duì)于直接法的功率譜估計(jì)，當(dāng)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N太大時(shí)，譜曲線起伏加劇，若N太小，譜的分辨率又不好，因此需要改進(jìn)。1. Bartlett 法Bartlett平均周期圖的方法是將N點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列x(n)分段求周期圖再平均。Matlab 代碼：clear;Fs=1000;n=0:1/Fs:1;xn=cos(2*pi*40* n)+3*cos(2*pi*100* n)+ra ndn (size( n); nfft=1024;win dow=boxcar(le ngth( n); %矩形窗noverlap=0; %數(shù)據(jù)無重疊p=0.9; %置信概率Pxx,Pxxc=psd

14、(x n,n fft,Fs,w indow,no verlap,p);in dex=0:rou nd( nfft/2-1);k=in dex*Fs/nfft;plot_Pxx=10*log10(Pxx(i ndex+1); plot_Pxxc=10*log10(Pxxc(i ndex+1);figure(1)plot(k,plot_Pxx);pause;figure(2)plot(k,plot_Pxx plot_Pxx-plot_Pxxc plot_Pxx+plot_Pxxc);4030X: 99.61Y: 30.99-30200501001502002503003504004505002.

15、Welch 法Welch法對(duì)Bartlett法進(jìn)行了兩方面的修正，一是選擇適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)w(n)，并再周期圖計(jì)算前直接加進(jìn)去，加窗的優(yōu)點(diǎn)是無論什么樣的窗函數(shù)均可使譜估計(jì)非負(fù)。二是在分段時(shí)，可使各段之間有重疊，這樣會(huì)使方差減小。Matlab 代碼: clear;Fs=1000;n=0:1/Fs:1;xn=cos(2*pi*40* n)+3*cos(2*pi*100* n)+ra ndn (size( n); nfft=1024;window=boxcar(100); % 矩形窗window 1= hamming(1OO); % 漢明窗window2=blackman(100); %blackman 窗 noverlap=20; %數(shù)據(jù)無重疊range='half; %頻率間隔為0 Fs/2，只計(jì)算一半的頻率 Pxx,f=pwelch(x n, wi ndow, no verlap, nfft,Fs,ra nge); Pxx1,f=pwelch(x n,wi ndowl, no verlap, nfft,Fs,ra nge); Pxx2,f=pwelch(x n,win dow2,