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文檔簡介

1、立體幾何的解題技巧立體幾何大題的解題技巧綜合提升 【命題分析】 高考中立體幾何命題特點:1. 線面位置關(guān)系突出平行和垂直, 將側(cè)重于垂直 關(guān)系 2. 空間“角”與“距離”的計算常在解答題中綜 合出現(xiàn) 3. 多面體及簡單多面體的概念、性質(zhì)多在選擇 題,填空題出現(xiàn) 4. 有關(guān)三棱柱、四棱柱、三棱錐的問題,特別是 與球有關(guān)的問題將是高考命題的熱點 此類題目分值一般在 17-22 分之間,題型一般 為 1 個選擇題, 1 個填空題, 1 個解答題 . 【考點分析】掌握兩條直線所成的角和距離的概 念,對于異面直線的距離, 只要求會計算已給出 公垂線時的距離 .掌握斜線在平面上的射影、直 線和平面所成的角

2、、直線和平面的距離的概念 掌握二面角、 二面角的平面角、 兩個平行平面間 的距離的概念 .高考考查的重難點 * 狀元總結(jié)】空間距離和角:六個距離”:1 兩點間距離 d . (xi X2)2 (yi y2)2 (zi Z2)2PQ* u2點P到線I的距離d二_ (Q是直線|上任 意一點,u為過點P的直線I法向量)PQ* u3兩異面直線的距離d 一 ( P、Q分別是兩直 u線上任意兩點U為兩直線公共法向量)4點P到平面的距離d 也(Q是平面上任意 U一點,U為平面法向量)5直線與平面的距離【同上】6平行平面間的距離【同上】“三個角度”:1異面直線角【0,-】cos =;【辨】直線傾斜角范圍【0,)

3、2線面角【0,-】sin = cogv,n)|黑或者解三角2Ml n|形3二面角【0, 1 cos 鴿 或者找垂直線,解三角形高中數(shù)學(xué) 源不論是求空間距離還是空間角,都要按照“- 作,二證,三算”的步驟來完成,即寓證明于運算之中, 正是本專題的一大特色求解空間距離和角的方法有兩種:一是利用傳 統(tǒng)的幾何方法,二是利用空間向量。其中,利用 空間向量 求空間距離和角的 套路與格式固 定,是解決立體幾何問題這套強有力的工具時, 使得高考題具有很強的套路性。【例題解析】考點1點到平面的距離求點到平面的距離就是求點到平面的垂線 段的長度,其關(guān)鍵在于確定點在平面內(nèi)的垂足, 當(dāng)然別忘了 轉(zhuǎn)化法與等體積法 的應(yīng)

4、用 典型例題 例1 (福建卷)如圖,正三棱柱ABC ABC!的所有棱長都為2,D為CG中點.(I)求證: AB,丄 平面 AiBD ;(H)求二面角A AD B的大小; (川)求點C到平面ABD的距離.考查目的:本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)高中數(shù)學(xué) 源系,二面角的大小,點到平面的距離等知識,考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.BiCi解:解法一:(I)取BC中點。,連結(jié)AO .QA ABC 為正三角形 , AO 丄 BC .Q正三棱柱 ABC A BG 中,平面 ABC丄平面BCAO丄 平面 BCCiBi .B連結(jié)BO,在正方形 BBiCiC 中,O, BC,CCi 的中點 ,BiO

5、 丄 BD,ABi 丄 BD .在正方形 ABBiA 中, ABi 丄 AB,ABi 丄 平面 A BD .AB平面ABD . A AD B的平面角.(U)設(shè)AB,與A B交于點G,在平面ABD中,作GF丄A D 于F,連結(jié)AF,由(I)得AF 丄 AD,/ AFG 為二面角 在厶AA D中,由等面積法可求得AF 4-5,又 QAG 2AB 2,sin / AFG5AG .2_i0AF 545所以二面角 A A D.4(川) Ai BD 中,BD A D-,5, A B 2- 2? Sa Abd : 6 ,Scd i .在正三棱柱中,A到平面BCCi Bi的距離為3 .設(shè)點C到平面Ai BD的

6、距離為d .高中數(shù)學(xué) 源由V BCDVc AlBD JS BCD g J33Sa A.BD31J3SA BCDSA AlBD點C到平面ABD的距離為2解法二:(I)取BC中點。,連結(jié)AOQ ABC 為正三角形,AO丄BCQ在正三棱柱 ABC ABG 中,平面 ABC丄 平面 BCC1 B1 ,BCCi B取BC中點Oi ,以O(shè)為原點,Ot, OO , 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,A(0,2,廳),A(0,0, 3),B (1,2,0)uuur-uuuur-AB,(1,2,3) , BD(210),BA (1,2, 3)uuur uuuuur uurQ AB1gBD22 0 0 ,AB BA1

7、 4 3 0 ,uur uuuuur uurAR 丄 BD ,AR 丄 BAABi丄 平面 ABD(H)設(shè)平面AAD的法向量為n (x, y, z)uujrADuurAA (0,2,0)uur Q n 丄 ADuujrn 丄 AA1 y 0,x乙ujjrngAD 0, x y 3z 0, ujirngAA 0,2y 0,令z 1得門(.3,0,1)為平面A AD的一個法向量. 由(I)知ABi丄平面ABD ,AB1為平面AiBD的法向量.uuur- l lcos n , AB _ngAB_336 |n |gABi| 2/24二面角 A AD B的大小為arccos工4(皿)由(n) , ab:

8、為平面abd法向量,uuuuur_QBC ( 2,0,0), AB (1,2,.3). uuu uuur點c到平面 A BD2二| AB 1 |2 近 2小結(jié):本例中(皿)采用了兩種方法求點到平面 的距離.解法二采用了平面向量的計算方法,把 不易直接求的B點到平面AMBi的距離轉(zhuǎn)化為容易 求的點K到平面AMBi的距離的計算方法,這是數(shù) 學(xué)解題中常用的方法;解法一采用了等體積法, 這種方法可以避免復(fù)雜的幾何作圖,顯得更簡單 些,因此可優(yōu)先考慮使用這一種方法 考點2異面直線的距離 考查異目主面直線的距離的概念及其求法 考綱只要求掌握已給出公垂線段的異面直線的 距離.例2已知三棱錐S ABC ,底面

9、是邊長為4 2的正三 角形,棱SC的長為2,且垂直于底 面.E、D分別為BC、AB的中點,求CD 與SE間的距離.思路啟迪:由于異面直線 CD與SE的公垂線不 易尋找,所以設(shè)法將所求異面直線的距離,轉(zhuǎn)化 成求直線與平面的距離,再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成求點到 平面的距離解:如圖所示,取BD的中點F,連結(jié)EF,SF,CF,EF 為 BCD 的中位線, EF / CD, CD / 面 SEF ,CD到平面SEF的距離即為兩異面直線間的距離又 線面之間的距離可轉(zhuǎn)化為線CD上一點C 到平面SEF的距離,設(shè)其為h,由題意知,BC 42,D、E、F分別是AB、BC、BD的中點,CD 2 .6, EF =CD . 6,

10、 DF 2, SC 22Vs cef 1 1 EF DF SC 11 62 23 23 23在 Rt SCE 中,SE .SC2 CE22.3在 Rt SCF 中,SF、SC2 CF2.4 24 2.30又 EF . 6, S sef 3由于 Vc sef Vs cef S sef h,即 3 h 竽,解得333k 2.3h3故CD與SE間的距離為字.3小結(jié):通過本例我們可以看到求空間距離的過 程,就是一個不斷轉(zhuǎn)化的過程 考點3直線到平面的距離 偶爾會再加上平行平面間的距離,主要考查點 面、線面、面面距離間的轉(zhuǎn)化.例3.如圖,在棱長為2的正方體ACi中,G是aa 的中點,求BD到平面GBiDi

11、的距離.思路啟迪:把線面距離轉(zhuǎn)化為點面距離,i再用點 到平面距離的方法求解解:解法一 BD /平面AiBiCiGB1D1 ,G畠丄斗一J 上DM土人ABD上任意一點到平面GBiDi的距離皆為所求,以 下求點0平面GBiDi的距離,BiDi AG , BiDi AiA ,EB| Di 平面 A ACCi,又 BiDi 平面GBiDi平面AACCi GBiDi,兩個平面的交線是 OiG,作OH OiG于H ,則有OH平面GBiDi ,即OH是0點到平面GBiDi的距離.在OiOG中,1IllSoog 2Oia 2 2 2 2.2.6又 SoiOG 1 OH OiG 丄 73 OH 42, OH2

12、2即BD到平面GBiDi的距離等于 竽.3解法二 BD /平面GBiDi ,BD上任意一點到平面GED,的距離皆為所求, 以下求點B平面GBiDi的距離.設(shè)點B到平面GBiDi的距離為h,將它視為三則丄 2 .2. 3. 6,2棱錐B GBiDi的高,VB GBiDi VDi GBBi ,由于 S GBiDih 46Vdi GBBi3 i 2 2 2 ,3 23 1即BD到平面GBiDi的距離等于 空.3小結(jié):當(dāng)直線與平面平行時,直線上的每一點到 平面的距離都相等,都是線面距離 所以求線面 距離關(guān)鍵是選準(zhǔn)恰當(dāng)?shù)狞c,轉(zhuǎn)化為點面距離 本 例解析一是根據(jù)選出的點直接作出距離;解析二 是等體積法求出點

13、面距離考點4異面直線所成的角【重難點】此類題目一般是按定義作出異面直線所成的角,然后通過解三角形來求角. 典型例題例4AB如圖,在 RtA AOB 中,斜邊6AB 4 . Rt AOC 可以通過 Rt AOB 以直線AO 為軸旋轉(zhuǎn)得到,且二面角B AO C的直 二面角.D是AB的中點.平面(I )求證:平面COD 平面AOB ;(II )求異面直線AO與CD所成角的大小. 思路啟迪:(II )的關(guān)鍵是通過平移把異面直線 轉(zhuǎn)化到一個三角形內(nèi).解:解法1 : ( I )由題意,CO AO , BO AO ,BOC是二面角B AO C是直二面角,CO BO,又 QAOI BO O ,CO平面AOB

14、,又CO平面COD . 平面 COD 平面 AOB .(| )作DE OB,垂足為E,連結(jié)CE (如圖),則DE / AO ,A:在 RtACOE 中,CO BO 2,OE 1BO 1,CDE是異面直線AO與CD所成的角.CE .CO20E25 .又 DE 1A0 . 3 2在 RfCDE 中,tanCDE Cf 異面直線A0與CD所成角的大小為arctanJl.3解法2: ( I)同解法1.(II )建立空間直角坐標(biāo)系O xyz,如圖,則0(0,0,0),A(0,0,2 一 3) ,C(2,0,0) ,D(01,3),uucuuur-OA (0,0,2 3) , CD (21,3),uuu

15、uuu-uuu uuurOAgCD6聯(lián)cos OA,CDuuu i i uuu?=尸 OAgCD/3gRV24異面直線AO與CD所成角的大小為arccos4小結(jié):求異面直線所成的角常常先作出所成角 的平面圖形,作法有:平移法:在異面直線中 的一條直線上選擇“特殊點”,作另一條直線的 平行線,如解析一,或利用中位線,如解析二; 補形法:把空間圖形補成熟悉的幾何體,其目 的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系, 如解析 三一般來說,平移法是最常用的,應(yīng)作為求異 面直線所成的角的首選方法同時要特別注意異 面直線所成的角的范圍:0,_.考點5直線和平面所成的角此類題主要考查直線與平面所成的角的作法、證明以

16、及計算.線面角在空間角中占有重要地位,是高考的???內(nèi)容.典型例題例5 (全國卷I理)四棱錐S ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,底面 ABCD . 已知 / ABC 45 , AB 2 , BC 2罷, SA SB 3 (I)證明 SA BC ;(U)求直線SD與平面SAB所成角的大小.考查目的:本小題主要考查直線與直線,直線與平面的位置關(guān)系,二面角的大小,點到平面的距離等知識,考查空 間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.解:解法一:(I)作SO丄BC,垂足為。,連結(jié)AO, 由側(cè)面SBC丄底面ABCD,得 SO丄 底面 ABCD 因為SA SB,所以AO BO,又/ ABC 45,故 A

17、OB為等腰直角三角形,AO丄BO,由三垂線定理,得(H)由(I)知B故 SA丄 AD,由 AD BC 2.2 , SA 、3 , AO 2,得SO 1 , SD 陌. SAB的面積 S *AB平SA2 1 AB J2 .連結(jié) DB,得 DAB 的面積 S2 1 ABgADsin 135o 2設(shè)D到平面SAB的距離為h,由于Vd sab Vs abd,得3hgSi 3SOgSa,解得h 2.設(shè)SD與平面SAB所成角為,則 sinh 222SD 、11所以,直線SD與平面SBC所成的我為arcsin_H .11解法二:(I)作SO丄BC ,垂足為O,連結(jié)AO,由側(cè)面SBC丄 底面ABCD,得SO丄

18、平面ABCD . 因為SA SB,所以AO BO .Cz又/ABC 45o , AOB為等腰直角三角形,AO丄OB . 如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點,OA為x軸正向,建立直 坐標(biāo)系O xyz ,C(0,、2,0),S(0,0,1),SD62,0,1X,A0,所以SA丄BC .E匸7272門? E , ,0 ?2 2A( -2,0,0) , B(0,、. 2,0),uu-nr uunCB (0220), SAg:B(H)取ab中點連結(jié)SE,取SE中點G,連結(jié)OG ,,丄.442OG :身,SE 2 身,AB( Z 2。) SEcpG 0 ? ABgOG 0 ? OG與平面SAB內(nèi)兩條相交直線 SE ,

19、AB垂直.所以O(shè)G平面SAB , OG與DS的夾角記為,SD與平面 SAB所成的角記為,貝V與 互余.D(、.2,2 邁,0) , DS ( -.2,2 21)COSOGgDS 22OGgDS 11sin莎所以,直線SD與平面SAB所成的角為arcsin盤11小結(jié):求直線與平面所成的角時,應(yīng)注意的問題 是(1)先判斷直線和平面的位置關(guān)系;(2)當(dāng) 直線和平面斜交時,常用以下步驟:構(gòu)造一一 作出斜線與射影所成的角,證明論證作出 的角為所求的角,計算常用解三角形的方 法求角,結(jié)論一一點明直線和平面所成的角的 值.考點6二面角【重點】此類題主要是如何確定二面角的 平面角, 并將 二面角的平面角轉(zhuǎn)化為

20、 線線角 角形中進(jìn)行求解二面角是高考的熱丄 典型例題例6.(湖南卷)BAC P的大小.如圖,已知直角,A PQ ? B ? C ? CA CB, BAP 45。, 直線CA和平面 所成二面的角為30。.BC 丄 PQ命題目的:本題主要考查直線與平面垂直、二面 角等基本知識,考查空間想象能力、邏輯思維能 力和運算能力.過程指引:(I)在平面 內(nèi)過點C作CO丄PQ于點O , 連結(jié)OB .Q因為丄,I PQ,所以CO丄, 又因為CA CB,所以O(shè)A OB 而 BAO 45。,所以 ABO 45。,AOB從而 BO丄PQ,又 CO丄PQ , 所以PQ丄平面OBC 因為BC 平面OBC,故 PQ 丄 B

21、C .(II )解法一:由(I)知,BO丄PQ,又丄,I PQ ,BO ,所以BO丄.過點O作OH丄AC于點H 連結(jié)BH ,由三垂線定理知,BH 丄 AC .故BHO是二面角B AC P的平面角.由(I)知,CO丄,所以CAO是CA和平面 所成的 角,貝V CAO 30。,不妨設(shè) AC 2,貝 V AO、3 , OH AOsin 30。3 .7 7 2在 Rt OAB 中,ABO BAO 45。, 所以 BO AO .3 ,于是在只也BOH中,tan BHO j 2.2故二面角B AC P的大小為 arctan2 .解法二:由(I )知,OC丄OA , OC丄OB , OA丄OB,故 可以O(shè)為

22、原點,分別以直線OB, OA, OC為x軸,y軸, z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)因為CO丄a,所以CAO是CA和平面 所成的角,則CAO 30 .不妨設(shè) AC 2,則 AO, CO 1 . 在 RtOAB 中,ABO BAO 45,則相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是所以 BO AO 靈.IT ULU0(0,0,0), B(3,0,0), A(0, 3,0), C(0,0,1). 所以 AB( 3,、.3,0), Ac (O, 31).mgAC設(shè)S x, y, z是平面ABC的一個法向量,由nrgAB一 3x、3y 0,3y z 0取 x 1,得 ni (1,1,3).易知nu(1皿)是平面 的一個法向量

23、.設(shè)二面角BACP的平面角為,由圖可知,ir in門仆門?IT ui所以cos七空Im gr2 I V5 15故二面角B AC P的大小為arccos.5小結(jié):本題是一個無棱二面角的求解問題 解法 一是確定二面角的棱,進(jìn)而找出二面角的平面角 無棱二面角棱的確定有以下三種途徑: 由二面 角兩個面內(nèi)的兩條相交直線確定棱,由二面角 兩個平面內(nèi)的兩條平行直線找出棱,補形構(gòu)造 幾何體發(fā)現(xiàn)棱;解法二則是利用平面向量計算的 方法,這也是解決無棱二面角的一種常用方法, 即當(dāng)二面角的平面角不易作出時,可由平面向量 計算的方法求出二面角的大小【課后練習(xí)】如圖,在四棱錐P ABCD 中,PA 底面ABCD, DAB

24、 為直角,AB IICD,AD=CD=2AB, E、F 分另U 為PC、CD的中點.(I)試證:CD平面BEF;(口)設(shè) PA= k AB,且二面角 E-BD-C的平面 角大于30 ,求k的取值范圍.過程指引:方法一關(guān)鍵是用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄕ业剿?的空間距離和角;方法二關(guān)鍵是掌握利用空間向量求空間距離和 角的一般方法.【高考熱點】空間幾何體的表面積與體積(一)空間幾何體的 表面積1棱柱、棱錐的表面積:r 2各個面面積之和2圓柱的表面積3圓錐的表面積:S rl r24圓臺的表面積S rl r2 RlR2 5球的表面積S 4 R26扇形的面積S扇形 n360 |lr(其中l(wèi)表示弧長,r表 示半徑)注:

25、圓錐的側(cè)面展開圖的弧長等于地面圓的周長高中數(shù)學(xué) 源新夢想教育中心授課老師;沈(二)空間幾何體的體積1柱體的體積Vs底h2錐體的體積VS底 h3底3臺體的體積1V( S上, S上 S下S下)h34球體的體積V-R33【例題解析】考點8簡單多面體的有關(guān)概念及應(yīng)用,主要考 查多面體的概念、性質(zhì),主要以填空、選擇題為 主,通常結(jié)合多面體的定義、性質(zhì)進(jìn)行判斷 典型例題例12 .如圖(1),將邊長為1的正六邊形鐵皮 的六個角各切去一個全等的四邊形,再沿虛線折 起,做成一個無蓋的正六棱柱容器,當(dāng)這個正六 棱柱容器的底面邊長為時容積最大.思路啟迪設(shè)四邊形一邊 AD,然后寫出六棱柱 體積,利用均值不等式,求出體

26、積取最值時AD長度即可解答過程:如圖(2)設(shè)AD = a,易知/ ABC =60,且/ ABD = 30 AB = 3a .BD = 2a正六棱柱體積為 V .1 9V = 6 - (1 2a)2 sin60 .3a = -(1 2a)2 a2 2=9(12a)(12a)4a - (-)3883當(dāng)且僅當(dāng)1 - 2a=4aa=1時,體積最大,此時底面邊長為1-2a= 1-2X 1 = 2考點9簡單多面體的側(cè)面積及體積和球的計算 棱柱側(cè)面積轉(zhuǎn)化成求矩形或平行四邊形面積,棱 柱側(cè)面積轉(zhuǎn)化成求三角形的面積直棱柱體積V等于底面積與高的乘積.棱錐體積V等于3sh其中S是底面積,h是棱錐3的高例15.如圖,

27、在三棱柱 ABC A1B1C1中,AB =2a, BC = CA = AA1 = a,BAi在底面 ABC上的射影0在AC上 求AB與側(cè)面ACi所成角; 若0恰好是AC的中點,求此三棱柱的側(cè)面積思路啟迪找出AB與側(cè)面ACi所成角即是/ CAB ;三棱錐側(cè)面積轉(zhuǎn)化成三個側(cè)面面積之和,側(cè)面 BCCiBi是正方形,側(cè)面 ACCiAi和側(cè)面ABBiAi 是平行四邊形,分別求其面積即可 解答過程:點Ai在底面ABC的射影在AC 上, 平面ACCiAi丄平面ABC.在厶 ABC 中,由 BC = AC = a,AB = 2a. / ACB = 90,二 BC 丄 AC.- BC丄平面 ACCiAi.即Z

28、CAB為AB與側(cè)面ACi所成的角在RtABC 中,Z CAB = 45 . AB與側(cè)面ACi所成角是45 . T O 是 AC 中點,在 RtAAAiO 中, AAi = a,AO=丄 a.2- AOi3a.側(cè)面 ACCiAi 面積 Si= ac Aoi= -2a2.又BC丄平面ACCiAi ,BC丄CCi.又BBi = BC = a,二 側(cè)面BCCiBi是正方形, 面積S2 = a2.過O作OD丄AB于DAiO丄平面ABC ,AiD丄AB.在 Rt AOD 中,AO = 2a ,/ CAD = 45OD =赴4在 RtAAiOD 中,AiD= jOD2+AiO2=呢a)2+(a)242側(cè)面

29、ABB iAi 面積 S3 = ABAD = - 2a , a = 8 7 2 Ta .三棱柱側(cè)面積S= Si + S2C+ S3= 2( 2+ 3+、7) a2.例16.等邊三角形ABC的邊長為4, M、N 分別為AB、AC的中點,沿MN將厶AMN折起,使得面AMN與面MNCB所成的二面角為30,則四棱錐A MNCB的體積為 ()A、3B、2 2D、3思路啟迪先找出二面角平面角,即/AKL ,再在 AKL中求出棱錐的高h(yuǎn),再利用V =Sh3 即可.解答過程:在平面圖中,過 A作AL丄BC, 交MN于K,交BC于L.則 AK 丄 MN , KL 丄 MN. / AKL = 30 .則四棱錐 A

30、 MNCB的高h(yuǎn)= AK sin30 =仝.2SMNCBKL = 3 ,3 .VA-MNCB =1-3.33.33T = 2.答案A【專題綜合訓(xùn)練】一、選擇題1如圖,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AB=1, D在BBi上,且BD=1,若AD與側(cè)面AAiCCi所成的角為 ,則 的值為()A. 3Carcta n 西42 直線a與平面成角,是平面內(nèi)與a異面的任意直線,則a與b所成的角()B.A. 最小值,最大值C.最小值,無最大值D.最小值,最大值-604.如圖, 均為2,BAD成直平行六面體 ABCD-AiBiddi的棱長無最小值,最大值-43.在一個45的二面角的一平面內(nèi)有一條直

31、線與 二面角的棱成45角,則此直線與二面角的另一平 面所成的角為()A. 30B. 45C.D. 9060,則對角線AiC與側(cè)面/DCCDC所IrA B的角的正弦值為(A.C.1222B.D.5已知在 abc中,AB=9, AC=15, bac 120,它 所在平面外一點P到abc三頂點的距離都是14,那么點P到平面ABC的距離為()A.13C. 9D. 7B. 116如圖,在棱長為 3的正方體ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分別是棱A1B1、A1D1的中點,則點BA B到平面AMN的距離是( )A. 9B. 3C.65D. 27將qmn 60,邊長MN=a的菱形MNPQ沿對 角線NQ

32、折成60的二面角,則MP與NQ間的距 離等于()A.仝aB. 3aC.a244D.-3a48 二面角 i的平面角為120,在內(nèi),AB 1于B, AB=2,在 內(nèi),cd i于 D, CD=3,BD = 1, M 是棱i上的一個動點,則AM +CM的最小值為()A. 25B. 22C.a/26D. 2 晶9空間四點A、B、C、D中,每兩點所連線段的 長都等于a,動點P在線段AB上,動點Q在線 段CD上,則P與Q的最短距離為()C.B. 厶2D.a3a2它的底面邊長與側(cè)棱長均10.在一個正四棱錐,,那么包裝紙的最小邊為a ,現(xiàn)有一張正方形包裝紙將其完全包?。ú?能裁剪紙,但可以折疊) 長應(yīng)為()A.

33、 ( 26)a B.、2 .6a2C. (1 、3)a1 -3D.11.已知長方體 ABCD-AiBiCiDi 中,AiA=AB=2, 若棱AB上存在點 的取值范圍是(A. 0,1D.0,2P,使Df pc ,則棱AD的長)B. 0, 21, 2C.12.將正方形ABCD沿對角線AC折起,使點D 在平面ABC夕卜,則DB與平面ABC所成的角一 定不等于( )30B.45C.60D. 901、填空題B1.女口圖,正方體ABCD-AiBiCiDi的棱長為1,E是AiBi的中點, 則下列四個命題: E到平面ABCiDi的距離是 ; 直線BC與平面ABCiDi所成角等于45 ; 空間四邊形ABCDi在

34、正方體六個面內(nèi)的射 影圍成面積最小值為i; BE與CDi所成的角為arcsin評2. 如圖,在四棱柱 ABCD-AiBiCDi中予是 AiCi/B/上的動點,E為CD上的動點,四邊形ABCD足 寸,體積Vpaaeb恒為定值(寫上你認(rèn)為正確的一個答案即可)3邊長為1的等邊三角形ABC中,沿BC邊高線AD折起,使得折后二面角B-AD-C為60 ,則點A到BC的距離為點D到平面ABC的距離為4 在水平橫梁上A、B兩點處 各掛長為50cm的細(xì)繩,AM、BN、AB的長度為 60cm,在MN處掛長為60cm的木條,MN平行于橫梁,木條的中點為O,若木條繞過O的鉛垂線旋轉(zhuǎn)60,則木條比原來 升高了5 多面體

35、上,位于同一條棱兩端的頂點稱為相 鄰的.如圖正方體的一個頂點 A在 平面內(nèi). 其余頂點在的同側(cè),正方體上與頂點A相 鄰的三個頂點到 的距離分別是1、2和4. P 是正方體其余四個頂點中的一個,則P到平號)6.如圖,棱長為1m的正方體密封容器的三個 面上有三個銹蝕的小孔(不計小孔直徑) 01、 02、03它們分別是所在面的中心如果恰當(dāng)放置 容器,容器存水的最大容積是m3.三、解答題1. 在正三棱柱 ABC A1B1C1中,底面邊長為a,D為BC為中點,M在BB1上,且BM= 3B1M,又 CM 丄AC1;3(1) 求證:CM 丄 C1D;(2) 求AA1的長.B高中數(shù)學(xué)新夢想教育中心授課老師;沈

36、源2. 如圖,在四棱錐 P-ABCD中,底面是矩形且 AD=2,AB=PA= 42,PA丄底面 ABCD , E是AD的中點,F(xiàn)在PC上.(1) 求F在何處時,EF丄平面PBC ;(2) 在(1)的條件下,EF是不是PC與AD的公 垂線段.若是,求出公垂線段的長度;若不是, 說明理由;(3) 在(1)的條件下,求直線BD與平面BEF所 成的角.3. 如圖,四棱錐 SABCD的底面是邊長為1 的正方形,SD垂直于底面ABCD,SB= 3.(1) 求證 BC SC;(2) 求面ASD與面BSC所成二面角的大??;(3) 設(shè)棱SA的中點為M,求異面直線DM 與SB所成角的大小./高中數(shù)學(xué) 源4. 在直

37、角梯形 ABCD 中,D= BAD=90 ,AD=DC= 1AB=a,(如圖一)將厶ADC沿AC折起,使D到d .記面ACd為, 面ABC為.面BCd為.(1)若二面角 AC 為直二面角(如圖二), 求二面角 BC 的大小;(2)若二面角 AC 為60 (如圖三),求 三棱錐d ABC的體積.DD1高中數(shù)學(xué) 源5如圖,已知正方形 ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=2,AF 的中點.(1) 求證AM/平面BDE ;(2) 求二面角A DF B的(3) 試在線段AC上確定一點P,使得PF與BC所成的角是60 .【參考答案】.選擇題1. D 提示:AD在面ACC1A1上的射影應(yīng)在 AC

38、 與AiCi中點的連線上,令射影為 E,則/ EAD 為所求的角在 Rt EAD 中,DE , AD . 2. sin EAD 匹 26.2AD V24EAD arcs in2. B 提示:由最小角定理知,最小角為,又異面直線所成角的范圍為0,-,最大角為-.2 1 23. A 提示:由最小角定理知,此直線與另一面 所成的角應(yīng)小于等于它與交線所成的角,故排除C、D,又此二面角為45,則此直線與另一平 面所成的角只能小于它與交線所成的角,故選A.4. D 提示:由題意,Ai在面DCCiDi上的射影應(yīng)在CiDi延長線E上,且DiE = 1,則/ AiCE 為所求角,在 Rt AAiC 中,I 22

39、ACAAi AC4, Ai E. 3, sin AQEAiEAiC5. D 提示:由P到厶ABC三個頂點的距離都是 i4,知P在底面ABC的射影是厶ABC的外心, 所以PO為所求.由余弦定理得:BC=2i.由2RBCsin i20孕i43得外接圓半徑為7淪,即OB任,32在 Rt POB 中,POPB2 BO2 7.6. D提示:由題圖得113AMNVN AMB ._ h S AMNS AMB3323SAMB2.2SAMN2 S AMN7. B提示:連結(jié)MP、NQ交于O,由四邊形MNPQ是菱形得MP丄NQ于0,將MNQ折起 后易得M0丄QN, 0P丄QN,所以/ MOP=60, 且QN丄面M0

40、P,過0作0H丄MP,所以0H 丄QN,從而0H為異面直線MP、QN的公垂線, 經(jīng)計算得0H 3 a.48. C 提示:把半平面展到半平面 內(nèi),此時,連結(jié)AC與棱的交點為M,這時AM +CM取最小值等于 AC. (AM+CM)min= 1 (2 3)226.9. B提示:P、Q的最短距離即為異面直線AB 與CD間的距離,當(dāng)P為AB的中點,Q為CD 的中點時符合題意.10. B提示:將正棱錐展開,設(shè)正方形邊長為m, 則,2m a 3a, m211. A 提示:D,p PC, DP PC,在長方形ABCD中 AB邊存在P,作dp pc,又因為AB =2,由對稱 性可知,P為AB的中點時,AD最大為

41、1,ad 0,1 故選A.12. D 提示:若BD與平面ABC所成的角為90, 則平面ABD平面ABC,取AC的中點O,則BD AC,DO AC 且BO=DO, BD與BO不垂直,故BD與平面ABC 所成的角一定不等于90.高中數(shù)學(xué) 源填空題1 提示:對于,由Ve ABC1Vs ABE得S ABCiS ABE,S ABES ABC1錯.對于連CB1交BC1于0,則0為C在面ABC1D1上的射影,CB0 45為所成的線面角,正確.作圖易知正 確,對于連A1B,則ABE為所成的角,解ABE得 前A1BE晉,正確.2. AB II CD 提示:Vpaeb 1 hp S abe,要使體積為3定值,則S

42、abe為定值,與E點位置無關(guān),則 AB II CD彳.-,評 提示:作DE BC與E,易知AD平面BCD, 從而 AE BC , BDC 60 又由 BD DC , 得DE ,又 AD ,42AE DE2 AD2于,由可解的點到平面的距離為1510 .4.10cm 提示:MO = NO=30cm,過 O 作mn與 旋轉(zhuǎn)前的MN平行且相等,所以旋轉(zhuǎn)后AB與平 面MON的距離為502 302 40 ,故升高了高中數(shù)學(xué) 源50-40=10cm.5 .6.|三、解答題1.( 1)證明:在正三棱柱ABC AiBiCi中,D 為BC中點,貝IAD丄面BCCiBi,從而AD丄 MC又 CM丄ACi,則MC和

43、平 面ADC i內(nèi)兩相交直線 AD , ACi均 垂直MC丄面ADC i,于是MCDCi.(2)解:在矩形BBiCiC中,由CM丄DCi 知厶 DCCiBMC,設(shè) BBi=h,則 BM=h4ia ih:a=2: h,求得h 2a從而所求AAi= 2a2解:(I )以A為坐標(biāo)原點,以射線 AD、AB、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,貝U p(0, 0,2),A(0, 0,0),B(0,2,0),C(2,2 , 0), D(2, 0, 0), E(1, 0, 0) F在PC上,可令pf亦設(shè)F(x, y, z)BC 20,0 ,PC 2, .2, .2 ,EF x 1,y,z EF 丄

44、平面 PBC,二 EF ?PC 0 且 EF ?BC 0,又PF PC , 可得1,x 1y z 故F為PC的中點.(n )由(I )可知:EF 丄 PC, 且 EF 丄 BC 即 EF 丄ADEF是PC與AD的公垂線段,其長為網(wǎng)=1(川)由(I )可知PC 2, 2 2即為平面BEF的一個法向量而BD 2, 2 0設(shè)BD與平面BEF所成角B ,則:sin 0=cos BD?PC bd ?pc bd|? pc 6 0 =arcsin曽.故BD與平面 BEF所成角為3arcs in 才L圖23. (1)證法一:如圖, 底面ABCD是正方形, 二 BC 丄 DC .& SD丄底面 ABCD , D

45、C是SC在平面 上的射影,由三垂線定理得BC丄SC.證法二:如圖1,底面ABCD是正方形,BC丄DC . SD丄底面 ABCD ,SD丄BC,又DC n SD=D, BC丄平面SDC,BC丄SC.(2) 解:如圖2,過點S作直線iad, i在面ASD 上,底面 ABCD為正方形,iADBc, I在面BSC 上,i為面ASD與面BSC的交線.I SD AD,BC SC, I SD,I SC,/ CSD為面ASD與面BSC所成二面角的平面 角.T BD= 2, SB= 3, SAD=1 二 csd 45(3) 解 1:如圖 2,T SD=AD=1 , / SDA=90 , SDA是等腰直角三角形.又 M是斜邊SA 的中點, DM 丄 SA. I BA 丄 AD , BA 丄 SD, AD n SD=D , BA丄面ASD ,SA是SB在面ASD上的射影.由 三垂線定理得DM丄SB.異面直線DM與SB所成的角為90 .解2:如圖3

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