數(shù)理方程總結(jié)完整終極版(共13頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上拉普拉斯算子：四種方法:分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數(shù)法定解問題：初始條件.邊界條件.其他波動方程的初始條件:熱傳導(dǎo)方程的初始條件初始時刻的溫度分布 :泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件：不含初始條件，只含邊界條件條件波動方程的邊界條件:(1)固定端：對于兩端固定的弦的橫振動，其為：或：(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用.(3) 彈性支承端：在x=a端受到彈性系數(shù)為k 的彈簧的支承。定解問題的分類和檢驗：(1) 初始問題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題；(2) 邊值問題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題；(3) 混合問題：既有初

2、始條件，也有邊界條件的定解問題。 解的存在性：定解問題是否有解； 解的唯一性：是否只有一解； 解的穩(wěn)定性：定解條件有微小變動時，解是否有相應(yīng)的微小變動。分離變量法：基本思想：首先求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的特解，然后由疊加原理作出這些解的線性組合，最后由其余的定解條件確定疊加系數(shù)。把偏微分方程化為常微分方程來處理，使問題簡單化。適用范圍：波動問題、熱傳導(dǎo)問題、穩(wěn)定場問題等分離變量法步驟：一有界弦的自由振動二有限長桿上的熱傳導(dǎo)三拉普拉斯方程的定解問題常用本征方程齊次邊界條件非齊次方程的求解思路用分解原理得出對應(yīng)的齊次問題。解出齊次問題。求出任意非齊次特解。疊加成非齊次解。行波法：1.基本

3、思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解條件確定特解。這一思想與常微分方程的解法是一樣的。2.關(guān)鍵步驟：通過變量變換，將波動方程化為便于積分的齊次二階偏微分方程。3.適用范圍：無界域內(nèi)波動方程，等一維波動方程的達朗貝爾公式解的性質(zhì)：1.只有初始位移時，代表以速度a 沿x 軸正向傳播的波。代表以速度a 沿x 軸負(fù)向傳播的波。2.只有初始速度時：假使初始速度在區(qū)間上是常數(shù)，而在此區(qū)間外恒等于0 3 積分變換法求解問題的步驟1.對方程的兩邊做積分變換將偏微分方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠?.對定解條件做相應(yīng)的積分變換，導(dǎo)出新方程的定解條件3.對常微分方程，求原定解條件下解的變換式4,對解的變換式相應(yīng)的逆變換，得

4、到原定解問題的解拉普拉斯方程的格林函數(shù)法：拉普拉斯方程邊值問題的提法：1 第一邊值問題（狄氏問題）2 第二邊值問題（牛曼問題）3 內(nèi)問題與外問題4 調(diào)和函數(shù)：具有二階偏導(dǎo)數(shù)并且滿足拉普拉斯方程的連續(xù)函數(shù)-格林公式及其結(jié)論調(diào)和函數(shù)的積分表達式1.拉普拉斯方程的基本解調(diào)和函數(shù)在區(qū)域內(nèi)任一點的值可以通過積分表達式用這個函數(shù)在區(qū)域邊界上的值和邊界上的法向?qū)?shù)來表示。2 牛曼內(nèi)問題有解的必要條件取3 平均值公式4 拉普拉斯方程解的唯一性問題；狄氏問題的解唯一確定，牛曼問題的解除了相差一常數(shù)外也是唯一確定的。純點源產(chǎn)生的場（不計初始條件和邊界條件的影響自由空間的格林函數(shù)對泊松問題對拉普拉斯問題區(qū)域的格林函數(shù)和狄氏問題的解電象法求格林函數(shù)在區(qū)域外找出區(qū)域內(nèi)一點關(guān)于邊界的象點，在這兩個點放置適當(dāng)?shù)碾姾桑@兩個電荷產(chǎn)生的電位在曲面邊界上相互抵消。這兩個電荷在區(qū)域中形成的電位就是所要求的格林函數(shù)。半空間的格林函數(shù)格林函數(shù)的性質(zhì): 1 、格林函數(shù)在除去M= M0一點外處處滿足拉普拉斯方程。當(dāng)M趨于 M0時,2 、在邊界上格林函數(shù)恒等于零3 、在區(qū)域內(nèi)，下面