趣味數(shù)學問題和課堂探究性學習

1、趣味數(shù)學問題和課堂探究性學習 ,隨著課題研究的深入,我深深意識到:教育的最終目的是培養(yǎng)國家、民族和社會所需要的人才,而傳統(tǒng)的教模式和學習模式所培養(yǎng)出來的受教育者確實與現(xiàn)代人才觀有諸多不相適應之處,因此改革勢在必行。探究性學習是指以培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和實踐能力為宗旨,以充分體現(xiàn)學生的主體性、主動性、參與性為前提,以個人或團體(小組)探究活動為主要形式的一種發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題,從而獲得科學、人文等多方面知識及能力的學習方式。由此,我們不難看出:第一,探究性學習是圍繞問題展開的,以問題探究為中心,但又不等同與我們所熟知的問題解決的學習方式。前者是以問題為導向,通過提出問題,促使學習者卷入學習

2、;通過引導學生探究問題,促使學生開展經(jīng)濟主動的學習活動。而后者側(cè)重于以思考為內(nèi)涵,以問題目標為定向的心理活動或心理過程,前者比后者具有更大的綜合性、獨立性和開放性; 第二,探究性學習的效果和是否能順暢地實施很大程度上受問題的提出影響:問題能否吸引學生的興趣,使之主動、積極參與探究;問題是否有深入探究的余地以滿足不同水平學生的需要;問題是否有一定的價值,使學生能獲得一般性的結(jié)論或方法,以刺激學生熱愛探究學習方式。對數(shù)學學科而言,這一點顯得尤為重要。受學科特點的影響,數(shù)學問題的提出(或發(fā)現(xiàn))本身就多少帶有一些思維上的要求,不如其他學科那樣有較濃厚的人文氣息或是可以立即付諸實驗操作,因此數(shù)學探究性學

3、習特別是在有一定教學任務的數(shù)學課堂上進行探究性學習,其最大的難處就在于該提出一個什么樣的問題,既要在學生看來/有意思0,又要有助于課堂教學目標。筆者在教學實踐過程中,嘗試在數(shù)學課堂上將趣味數(shù)學和探究性學習相結(jié)合的方式,即從與課堂教學內(nèi)容相關的趣味數(shù)學問題切入,引導學生圍繞問題進行探究學習。試驗收到了較好的效果,因而在此提出,與大家交流、商榷。 一、趣味數(shù)學問題的特征與數(shù)學探究學習的契合 (一)趣味數(shù)學問題的通俗性和趣味性引發(fā)學生探究的興趣趣味數(shù)學問題一般說來不同于數(shù)學課本上的知識問題,它的來源主要有三個方面:¹在自然界、現(xiàn)實生活或生產(chǎn)實踐中發(fā)現(xiàn)(可能是有趣的現(xiàn)象,也可能是需要解決的問

4、題),如鸚鵡螺外殼上的螺線、美國國會大廳與拋物線焦點、天平稱物問題等;º在過去數(shù)學研究歷史中發(fā)現(xiàn)(或提出)的問題,如畢達哥拉斯定理的證明、七橋問題(即一筆畫)等;»在民間傳說中蘊涵著的數(shù)學問題,如龜兔賽跑的問題、棋盤與麥粒的問題等;¼一些思辯問題中蘊涵著的數(shù)學問題,如數(shù)理悖論等;½業(yè)余娛樂生活中蘊涵著的數(shù)學問題,如:數(shù)學魔術、數(shù)學謎語等。因此數(shù)學趣味問題具有比常規(guī)問題更強的趣味性,這些取材于學生曾經(jīng)有所耳聞的或是具有新鮮感的事例(故事)首先可以引起學生的興趣,使主動積極的探究成為可能。 (二)趣味數(shù)學問題的層次性與開放性保護了學生的探究熱情很多趣味數(shù)學問

5、題的解決方法具有層次性,有較大的引深余地。不同水平的愛好者可以進行不同程度的探究。如廈門市特級教師任勇設計了一堂關于鋪砌問題(即鑲嵌問題)的探究性數(shù)學活動課,就設計了六個不同的層次:¹探究一種原始砌塊的多種鋪砌法;º探究多種原始砌塊的各種鋪砌法;»學會用數(shù)學方法,研究新的數(shù)學現(xiàn)實問題;¼從/直砌塊0到/曲砌塊0的創(chuàng)新探索;½由/二維鋪砌0類比研究/三維鋪砌0;¾鋪砌的/藝術化0探索、構建(見任勇5任勇與中學數(shù)學學習指導6一書,國際文化出版公司, 2003)。設計者廣闊、深刻的思維和藝術般的設計讓我們深深嘆服之余,我們也可以看到趣味數(shù)學

6、問題的魅力,在逐層深入的探究過程中,不僅可以照顧到學生的個體差異,而且吸引了學生自始至終能參與其中,很好地保護了學生的探究熱情,不知不覺中實現(xiàn)了探究性學習的最終目的:一般性方法的獲得和探究能力的提升以及自我的應用與創(chuàng)造。同樣,許多趣味數(shù)學問題的解決策略或是結(jié)論具有開放性,給了學生靈活而自由寬闊的探究空間,使探究學習的過程成為一種不斷探索不斷收獲的過程,容易滿足學生的成功體驗。填數(shù)(或填運算符號)的問題就是最典型的例子,如:在式子/1 2 3 4 5 6 7 8 9=1000中填入加號、減號或乘號,使等式成立。該問題就有多種方法。象這樣的問題往往會使學生產(chǎn)生極大的熱情,而且在問題解決之后有意猶未

7、盡的感覺。 (三)趣味數(shù)學問題解決的技巧性提升學生探究的水平趣味數(shù)學問題務求簡捷。要簡捷就要用巧法,巧法會使人驚訝不已,引人深入探究,引人突破常規(guī)思維和定勢思維,從而提升學生的探究水平。我們常常看到,在數(shù)學課堂上教師提出一些探究性的問題,有的太簡單,絕大多數(shù)學生都一目了然,討論和探究成了一種形式;有的又太難,只有極少數(shù)數(shù)學水平較高的學生可以進行思考和探究,討論和合作探究無法進行,不管是哪種情況都會使探究性學習形同虛設,更不能提高學生的探究能力了。而趣味數(shù)學問題的解決策略通常巧而不難,對于數(shù)學學習成績不佳的學生而言,也可以進行思考和嘗試,而當其結(jié)果揭示之后,又常常讓人恍然大悟,并從中得到啟發(fā),為

8、今后的突破思維、增強思維的靈活性和敏捷性起很大的作用。筆者在課堂上舉了上面填運算符號的例子,能想出/1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 89 = 1000的學生不少,但大多數(shù)學生都無法想出其他的方法,稍后一位平時不起眼的學生寫出了式子/123 + 45 - 67 + 8 - 9 =1000,這種突破了常規(guī)的思維策略引起大家的一陣佩服,很快的,有許多學生寫出了其他的解答,比如/123 -45 - 67 + 89 = 1000。這說明后來者已經(jīng)受到啟發(fā)并運用上了,可以樂觀地設想,學生長期進行這樣的探究性學習,他們的思維品質(zhì)將得到很好的提升,因此他們的問題解決能力和探究能力就將得

9、到提高。 (四)趣味數(shù)學問題解決的大眾性增強了學生合作探究的能力二十世紀初,英國數(shù)學家、數(shù)學教育家L.霍格本寫了第一本趣味數(shù)學著作5大眾數(shù)學6。他在該書第一版的序言中說明,希望本書能讓數(shù)學更生動有趣,讓數(shù)學能成為更多人的喜愛,讓更多人參與數(shù)學活動中來。每一個趣味數(shù)學問題的提出,都會引起一大批的人投入討論、研究,在研究過程中進行最廣泛地交流,從而把問題往縱、深推進。最有意思的如對幻方的研究,已經(jīng)吸引了世界上無數(shù)的數(shù)學愛好者和數(shù)學家們的眼球,許多國家還有專門的幻方研究協(xié)會和網(wǎng)站,每天在網(wǎng)站上都有很多人在交流、在共同關注研究的最新成果。筆者在所任教的學校曾經(jīng)設計過一次為期兩天的趣味數(shù)學游園活動,面對

10、上百個難易程度不一的趣味數(shù)學問題,與平時課堂上的反映相比,學生所表現(xiàn)出來的熱情讓人大吃一驚,活動期間,整個校園里處處可見學生幾個一群地討論、甚至是爭論數(shù)學問題。這就是趣味數(shù)學問題解決的大眾性的體現(xiàn)。首先,趣味問題的通俗性讓每個學生都可以就某個問題/來兩句0,而不會有數(shù)學成績好、差的顧慮,這為大眾探究奠定了很好的基礎;其次探究過程中他們互相啟發(fā)、互相質(zhì)疑可以推動問題的解決向正確的方向行進,從而刺激了他們合作探究的欲望。而相比之下,常規(guī)數(shù)學思維問題的解決,到了最后,總是會成為少數(shù)優(yōu)秀生的事情。趣味數(shù)學問題解決的大眾性可以極大地培養(yǎng)學生平等民主的意識,建立友愛、融洽的人際關系,并提高合作探究的能力。

11、二十一世紀的今天,科學研究的主要方式已經(jīng)從個體研究轉(zhuǎn)為集體研究,許多科技成果都是集體研究的產(chǎn)物。對學生來說,在合作探究中獲得的體驗將對他們今后的工作和社會生活產(chǎn)生積極的影響。 二、課堂探究性學習中趣味數(shù)學問題的設置雖然趣味數(shù)學發(fā)展到今天,已經(jīng)成為數(shù)學的一個重要的分支,趣味數(shù)學問題也隨處可見,但是做為課堂探究性學習的中心問題,要提出的趣味數(shù)學問題必須經(jīng)過精心的設計或是再加工,至少必須具備以下兩個條件: (一)與課堂教學內(nèi)容相關課堂探究的趣味問題決不能偏離課堂教學內(nèi)容,否則就失去了課堂探究的意義。問題必須與課堂教學內(nèi)容有密切的關系,能為課堂教學目標服務,這樣的探究既自然又有助于營造良好的課堂教學氛

12、圍,豐富了教學內(nèi)容,為數(shù)學課堂教學注入活力。 (二)問題解決的難易適中,既不會一目了然,失去探究的必要,也不會變成個別思維品質(zhì)優(yōu)秀的學生的專利,失去探究的樂趣。實際上,只要我們有心發(fā)現(xiàn)和積累,在趣味數(shù)學的海洋中還是可以找到不少與我們教材內(nèi)容相關的問題,稍做加工后,就可以使之成為很好的課堂探究問題。筆者在教學實踐中就做過許多嘗試,如:講勾股定理的證明時,引入畢達哥拉斯定理(即勾股定理)的多種證明方法問題;講勾股定理和直角三角形三角函數(shù)時,引入地毯拼接魔術解密(見筆者參與編寫的5中學探究性教學案例6);將多邊形的內(nèi)角和與外角和時,引入鑲嵌問題;講不等式性質(zhì)和應用時,引入天平稱物問題;講相似三角形時

13、,引入雪花曲線(分形)問題;講圖形的幾何變換時,引入桌布的切、拼問題;講極限時,引入著名的詭辯論/阿溪里追龜0問題;講機會和概時,引入街邊賭博轉(zhuǎn)盤揭密;講對稱圖形時,引入必勝策略問題)在長方形桌上 第1期林祥華:趣味數(shù)學問題和課堂探究性學習擺放硬幣的必勝策略(即兩人依次在長方形桌上擺放硬幣,先無處可放的人輸,探究該游戲的必勝策略),這些問題的課堂探究不僅促進了數(shù)學課堂教學,提高了教學效率,而且也讓學生受益匪淺。此外,問題要有一定的引深空間,使水平較高的學生可以在課余繼續(xù)探究。 三、教師在課堂趣味數(shù)學問題探究中的指導基于趣味數(shù)學問題不同于一般數(shù)學問題的特征,在課堂探究學習過程中,教師進

14、行的指導也應遵循不同的策略和原則。 (一)教育者應當首先改變自己的觀念,讓真正意義的探究性學習走進課堂對多數(shù)數(shù)學教師而言,由于課堂上要講授的內(nèi)容較多,常常為了趕進度、趕時間,只好盡量縮短學生自主思考的時間。至于空出一些時間讓學生自主探究,有時候甚至是一種奢侈。這也是長期以來,有些學生不喜歡上數(shù)學課的原因之一,也是數(shù)學教師常常覺得/吃力不討好0、感到苦惱的原因。長期的教學實踐已經(jīng)告訴我們每一位教育者,被動接受學習的后果是非常嚴重的:我們的教學效率大打折扣,師生都容易產(chǎn)生疲倦感,學生的自主學習能力受到影響,當然也影響他們今后的發(fā)展。所以,我們本著教育者的責任感,首先必須改變自己的觀念,并努力將這種

15、改變滲透到數(shù)學課堂中去。哪怕是從一周上一節(jié)真正意義上的探究課開始,哪怕從一個學期上一節(jié)真正意義上的趣味數(shù)學探究課開始,相信它會讓我們(教師和學生)都對數(shù)學課堂有嶄新的認識,并將吸引我們繼續(xù)嘗試和推廣。 (二)靈活設置問題情境,使課堂流暢而富有趣味趣味問題的出現(xiàn)應該與課堂的教學有很好的切入點,不能突兀,否則就有/為探究而探究0的嫌疑,也會影響整堂課的流暢性,難免有些煞風景,使本來很有意思的趣味問題也變的索然無味。因此問題情景的創(chuàng)設是很重要的,如:在講多邊形內(nèi)角和與外角和一課中,引入鑲嵌問題時的情境創(chuàng)設就很有技巧:如果在課堂教學內(nèi)容的講授基本完成之后,讓學生直接探究多邊形能不能鑲嵌的原因是什么,學

16、生可能一時之間無從下手,把它當成一個很難的問題,無法產(chǎn)生興趣;而如果課前一周布置學生觀察家里或公共建筑中地板磚的鋪設,并采集信息,在課堂上進行交流,然后提出問題:/是否看到過正五邊形鋪設的地磚,為什么?0由此引導學生探究與三角形和四邊形相比,正五邊形不能鑲嵌的原因,從而進一步尋找多邊形鑲嵌的規(guī)律)隨著問題情境逐步推進,學生始終會保持探究的欲望。 (三)運用激勵機制,營造積極、主動的探究氛圍探究性學習必須建立在學生的主動性的基礎上。有的學生可能乍一聽趣味問題很有興趣,但當需要動腦尋找策略時,不免疏懶下來,或是湊在其他同學那兒人云亦云或是干脆作壁上觀。這不僅對他們自身的數(shù)學學習不利,也會影響其他同

17、學的探究熱情。因此教師必須在學生的探究過程中,努力營造積極、主動的探究氛圍,注意觀察學生的反映,對學生的任何一點探究所得都要加以鼓勵和肯定,哪怕發(fā)現(xiàn)了錯誤,也應在肯定之后委婉地加以指導,對沒有信心或不愿動腦參與的學生不指責批評,而是耐心幫助,并采取一定的激勵機制。如一些小小的獎品。筆者在任教的班級里有一個慣例,將在探究過程中表現(xiàn)積極的學生的名字寫在黑板上作為嘉獎,效果不錯。 (四)適時適當?shù)狞c撥,分層加以指導雖然探究性學習的主體是學生,但學生畢竟受到知識和思維發(fā)展水平的限制,特別有的趣味數(shù)學問題看似簡單,其實解決策略并不簡單,如果沒有教師的適時適當?shù)闹笇?他們對問題的探究可能會出現(xiàn)困難甚至偏離

18、問題解決的方向而止步不前,就無法取得探究的成功。因此教師作為教學活動的促進者,應該做到:¹在探究的不同階段、不同層次上給學生不同的引導。如有的學生在探究過程中遇到很難突破的障礙,就需要教師促使學生更廣泛更充分地交流各自的研究所得,以期產(chǎn)生思維碰撞得到新的啟發(fā)或是加以適當?shù)狞c撥使他們走出困境;º對于數(shù)學探究能力和探究水平較高的學生可以引導他們將問題引深,鼓勵他們通過探究更多的成果;»引導學生對探究過程和探究所得進行總結(jié)。有了教師的指導,課堂探究才可能順利流暢而不拖沓冗長。 (五)充分重視趣味數(shù)學問題探究的過程課堂探究由于受到課時長度的限制,有的可能還受到學生現(xiàn)有知識水平的限制,不一定都能在預定時間內(nèi)完成,因此教師在引導學生進行探究性學習的過程中,應該正確對待過程與結(jié)果。課堂上對探究過程的調(diào)控應根據(jù)時間和授課內(nèi)容進行,不一定都要求全面、深刻,而一味縮短學生的探究時間,使探究變成/走過場0。1.備課時應根據(jù)教學內(nèi)容和教學目標確定探究問題、探究目標(特別是對該問題探究的深度和廣度);2.課堂上關注學生探究過程的如何使用探究方法或解決問題的方法、如何進行合作交流等;3.