線性代數(shù)復(fù)習(xí)總結(jié)

1、概念、性質(zhì)、定理、公式必須清楚，解法必須熟練，計算必須準(zhǔn)確A可逆r ( A)nA的列（行）向量線性無關(guān)A的特征值全不為 0Ax只有零解x，AxA0R n , Ax總有唯一解T是正定矩陣A AAEAp1 p2 pspi 是初等陣存在 階矩陣B,使得AB E或AB En注n叫做 n 維向量空間 . ：全體 n 維實向量構(gòu)成的集合RA不可逆r ( A)nA0的列（行）向量線性相關(guān)A0是 的特征值A(chǔ)Ax有非零解 , 其基礎(chǔ)解系即為關(guān)于0的特征向量AaE bAr (aEbA)n(aEbA) x有非零解注=- ba向量組等價矩陣等價 () 具有反身性、對稱性、傳遞性矩陣相似 (:)矩陣合同 (;) 關(guān)于

2、e1 , e2 ,en ：nn稱為 ?的標(biāo)準(zhǔn)基，?中的自然基，單位坐標(biāo)向量p教材 87 ； e1 , e2 ,en 線性無關(guān)； e1 , e2 , ,en 1； trE =n ；任意一個 n 維向量都可以用e1, e2 , en 線性表示 .a11a12La1n行列式的定義a21a22L a2n1( j1 j2L j n )DnMM( )a1 j1 a2 j2 L anj nMj1 j2 L jnan1an2Lann 行列式的計算：行列式按行（列）展開定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之

3、和等于零.AO=AAOOBOBA B若 A與 B 都是方陣（不必同階） , 則BOAA（拉普拉斯展開式）=( 1)mn A BBOBO上三角、下三角、主對角行列式等于主對角線上元素的乘積.a1 nOa1na2n 1a2n11n (n1)n 個元素的乘積的代數(shù)和）關(guān)于副對角線：（即：所有取自不同行不同列的( )2a1n a2n K an1NNan1Oan1O11L1x1x2Lxn范德蒙德行列式：x12x22Lxn2xix jMMM1 j inx1n 1x2n 1 Lxnn 1a11a12La1n矩陣的定義由 m n 個數(shù)排成的 m 行 n 列的表a21a22La2n稱為 mn 矩陣 . 記作：

4、A a或 AAijm nm nMMMam1am2LamnA11A21LAn1A*TA12A22LAn2， Aij 為A 中各個元素的代數(shù)余子式 .伴隨矩陣AijMMMA1nA2 nLAnn 逆矩陣的求法 :Aab1db主L 換位A11 ：A注副L 變號cdad bcca( AME)初等行變換( EMA 1)a11111a1a1a3a21a21a2a2a31a31a3a1 方陣的冪的性質(zhì)： Am AnAm n( Am )n( A) mn 設(shè) Am n , Bn s , A 的列向量為1, 2, n , B的列向量為1 , 2 , s ，b11b12Lb1s則 AB Cm s1 , 2, , nb

5、21b22Lb2sc1, c2 ,L , csA i ci， (i 1,2 ,L , s)MMMbn1bn 2Lbnsi為Axci的解A 1 ,2 , ,sA1,A 2, A sc1, c2 ,L, csc1 ,c2 ,L ,cs 可由 1, 2 , n 線性表示 . 即： C 的列向量能由A 的列向量線性表示，B 為系數(shù)矩陣 .同理： C 的行向量能由B 的行向量線性表示，AT 為系數(shù)矩陣 .a11a12L a1n1c1a11 1a122 La1n 2c1a21a22L a2 n2c2a21 1a22 2La2 n 2c2即：MMMMLLLMan1an2Lamnncmam1 1 am22La

6、mn 2cm 用對角矩陣左 乘一個矩陣 , 相當(dāng)于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的行向量；乘一個矩陣 , 相當(dāng)于用向量 .用對角矩陣右的對角線上的各元素依次乘此矩陣的列 兩個同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應(yīng)元素相乘.ABTC TAT 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣：DBTD TCA11B 1A 1A分塊矩陣的逆矩陣：BB 1BA 11A 1A1CB11A 1OA CA OO BOBC BB1CA1BA11B11A11B11nAn分塊對角陣相乘：A, BAB, A11A22B22AnA22B2222*BA*( 1)mn A BAA分塊對角陣的伴隨矩陣：AB*B( 1)mn B AB 矩陣方程的解法 (

7、A0 ) ：設(shè)法化成 (I)AX B或 (II)XAB(I)的解法：構(gòu)造( AMB)初等行變換(EMX)(II) 的解法：將等式兩邊轉(zhuǎn)置化為 AT XT BT ，用(I) 的方法求出 X T ，再轉(zhuǎn)置得 X 零向量是任何向量的線性組合 , 零向量與任何同維實向量正交 .單個零向量線性相關(guān)；單個非零向量線性無關(guān).部分相關(guān) ,整體必相關(guān)；整體無關(guān), 部分必?zé)o關(guān) .（向量個數(shù)變動）原向量組無關(guān) , 接長向量組無關(guān)；接長向量組相關(guān), 原向量組相關(guān) .（向量維數(shù)變動）兩個向量線性相關(guān)對應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關(guān)p教材 114 .向量組1,2 ,n 中任一向量i (1 i n) 都是此向量

8、組的線性組合 .向量組1,2 ,n 線性相關(guān)向量組中至少有一個向量可由其余n1 個向量線性表示 .向量組1,2 , ,n 線性無關(guān)向量組中每一個向量i 都不能由其余n 1 個向量線性表示 .m 維列向量組1,2 ,n 線性相關(guān)r ( A)n；m 維列向量組1 ,2 ,n 線性無關(guān)r ( A)n .若1,2,n 線性無關(guān)，而 1 , 2 , n ,線性相關(guān) , 則可由 1, 2, n 線性表示 , 且表示法唯一 .矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的秩 . 行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù).行階梯形矩陣 可畫出一條階梯線，線的下方全為0；每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線

9、后面的第一個元素非零. 當(dāng)非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在列的其他元素都是0 時，稱為行最簡形矩陣? 矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩 , 且不改變列向量間的線性關(guān)系；矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩 , 且不改變行向量間的線性關(guān)系 .即：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩. 矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系：對 A 施行一次初等 行 變換得到的矩陣 , 等于用相應(yīng)的初等矩陣 左 乘 A ；對 A 施行一次初等 列 變換得到的矩陣 , 等于用相應(yīng)的初等矩陣 右 乘 A .矩陣的秩如果矩陣A 存在不為零的r階子式，且任意r1 階子式均為零，則稱矩陣A的秩為r . 記作 r ( A)r向量組的秩向量

10、組1 ,2,L,n 的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)，稱為這個向量組的秩. 記作r (1 ,2,L,n )矩陣等價A 經(jīng)過有限次初等變換化為B .記作： A %B向量組等價1,2 ,n 和1 ,2 ,n 可以相互線性表示.記作：1 , 2 ,n%1, 2 , n?矩陣 A與 B等價PAQ B ， P,Q 可逆r ( A)r ( B), A, B為同型矩陣A, B 作為向量組等價 , 即：秩相等的向量組不一定等價 .矩陣 A 與 B 作為向量組等價r (1 ,2 ,n ) r (1,2,n )r (1,2 ,n ,1 ,2 , ,n )矩陣 A與 B等價.?向量組1,2 ,s可由向量組1 ,2 ,n

11、線性表示AXB 有解r (1,2 ,n )= r (1 , 2 ,n , 1 , 2 , , s ) r ( 1 , 2 , , s ) r ( 1, 2 , , n ) .?向量組1,2 ,s可由向量組1 ,2 ,n 線性表示 , 且 s n，則1 ,2 ,s 線性相關(guān) .向量組1,2 ,s線性無關(guān) ,且可由1,2 , n 線性表示 , 則s n .?向量組1,2 ,s可由向量組1 ,2 ,n 線性表示 , 且 r ( 1 ,2 ,s )r (1 ,2 ,n ) , 則兩向量組等價；?任一向量組和它的極大無關(guān)組等價. 向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價.?向量組的極大無關(guān)組不唯一，但極大無關(guān)組所

12、含向量個數(shù)唯一確定.?若兩個線性無關(guān)的向量組等價, 則它們包含的向量個數(shù)相等 .?設(shè) A 是 m n 矩陣 , 若 r ( A)m ， A 的行向量線性無關(guān)；若 r ( A)n ， A 的列向量線性無關(guān),即： 1,2 , n 線性無關(guān) . 矩陣的秩的性質(zhì)： 若 AOr ( A) 1若 AOr ( A)00r(Am n) min( m,n)r(A)r(T )r(T)例 15AAAp教材 101, r (kA)r ( A) 若 k0 若Am n , Bn s , 若 r ( AB)0r ( A)r (B)n的列向量全部是Ax的解B0 r ( AB) min r ( A),r ( B)若A可逆若B可

13、逆若 r ( Am n )r ( AB)r (B)r ( AB)即：可逆矩陣不影響矩陣的秩 .r (A)Ax只有零解nr ( AB) r ( B)；在矩陣乘法中有左消去律ABOBOAABACBC若 r (Bn s) nr ( AB)r (B)在矩陣乘法中有右消去律 .B若 ()與唯一的ErOErO等價標(biāo)準(zhǔn)型 .等價，稱為矩陣 的r ArAOOOOA r ( AB) r ( A)r ( B)max r ( A), r ( B) r ( A, B) r ( A)r ( B) p教材 70AOOA()()AC()( )rBBrAr BrOrAr BOOBn可由1 , 2 ,L , n 線性表示Ax有

14、解r ( A)r ( AM )nr ( A) r (AM )不可由1 , 2 ,L , n線性表示Ax無解r (A)r ( AM )r ( A)1 r ( AM )Ax有無窮多解其導(dǎo)出組有非零解注 ：Ax有無窮多解當(dāng)A為方陣時A 0表示法不唯一1 ,2 ,L , n 線性相關(guān)Ax0有非零解Ax有唯一組解當(dāng)A為方陣時A 0 克萊姆法則表示法唯一1,2 ,L , n線性無關(guān)Ax只有零解教材 72講義87Ax有唯一解其導(dǎo)出組只有零解線性方程組的矩陣式Ax向量式x11x22 Lxnna11a12La1 nx1b11 ja21a22L a2n, xx2b2j2 j, j1A,2, , nMMMMMMLa

15、m1am 2 L amnxnbmmjx1( 1 ,L ,x22n )Mxn矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：(AT)T矩陣可逆的性質(zhì)：(A1)1伴隨矩陣的性質(zhì)：( A )n若 r ( A)nr ( A )1若 r ( A) n 10若 r ( A)n 1A( AB)TBT AT(kA)TkATATA( AB)TATBT( A1 )T(AT) 1(AT )(A )TA(AB) 1B1A1(kA)1k 1 A 1A 11( AB) 1A 1B 1( A1 )k( Ak ) 1A kAn 2( AB)B A(kA)k n 1 AAn 1( AB)*A*B*1)( A )1A( Ak )( A ) kA AA( AAA

16、B ABkA k n AAkAkAA A A A E （無條件恒成立）ABAB(1)1 , 2是 Ax的解 ,12也是它的解(2)是 Ax的解 , 對任意 k, k 也是它的解齊次方程組(3)1,2 ,L,k是 Ax的解 , 對任意 k個常數(shù)1 ,L, k ,1 12 2k k也是它的解2 ,線性方程組解的性質(zhì)：(4)是 Ax的解 , 是其導(dǎo)出組 Ax的解 ,是 Ax的解(5)1, 2是 Ax的兩個解 ,1 2是其導(dǎo)出組 Ax的解(6 )2是 Ax的解 ,則1也是它的解12是其導(dǎo)出組 Ax的解(7)1,2 ,L,k是 Ax的解 ,則1 12 2k k也是 Ax的解12k11 12 2k k是

17、Ax0的解12k0 設(shè) A 為 mn 矩陣 , 若 r ( A)mr ( A)r ( AM )Ax一定有解，當(dāng) mn 時 ,一定不是唯一解方程個數(shù)未知數(shù)的個數(shù), 則該向量組線性相關(guān) .向量維數(shù)向量個數(shù)m 是 r ( A)和r (AM ) 的上限 .判斷 1,2,L,s 是 Ax的基礎(chǔ)解系的條件：1, 2,L ,s 線性無關(guān)；1, 2,L ,s 都是 Ax的解； s n r ( A)每個解向量中自由未知量的個數(shù). 一個齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不唯一. 若是 Ax的一個解，1,L,s 是 Ax的一個解1,L, s ,線性無關(guān) Ax與 Bx同解（ A, B 列向量個數(shù)相同） , 則： 它們的極大無關(guān)

18、組相對應(yīng), 從而秩相等； 它們對應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性； 它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系. 兩個齊次線性線性方程組Ax與Bx同解A()().rrArBB 兩個非齊次線性方程組 Ax與 Bx都有解，并且同解AM()().rrArBBM 矩陣 Am n與 Bl n的行向量組等價齊次方程組 Ax與 Bx同解PA B （左乘可逆矩陣P ）； p教材 101矩陣 Am n與 Bl n的列向量組等價AQ B （右乘可逆矩陣Q ） . 關(guān)于公共解的三中處理辦法：把 (I) 與 (II)聯(lián)立起來求解；通過 (I) 與 (II)各自的通解，找出公共解；當(dāng) (I) 與 (II)都是齊次線性方程組時，設(shè)1 ,2 ,

19、 3是 (I) 的基礎(chǔ)解系 ,4 ,5 是(II)的基礎(chǔ)解系，則(I) 與(II) 有公共解基礎(chǔ)解系個數(shù)少的通解可由另一個方程組的基礎(chǔ)解系線性表示.即： r ( 1 , 2 , 3 )r ( 1 , 2 , 3 Mc1 4c2 5 )當(dāng) (I) 與 (II)都是非齊次線性方程組時，設(shè)1 c11 c2 2 是 (I)的通解，2c33 是 (II)的通解，兩方程組有公共解2c3 31可由 1,2 線性表示 .即： r ( 1 ,2 )r (1,2 M 2c3 31)設(shè) (I) 的通解已知，把該通解代入(II)中，找出 (I) 的通解中的任意常數(shù)所應(yīng)滿足(II)的關(guān)系式而求出公共解。標(biāo)準(zhǔn)正交基n 個

20、 n 維線性無關(guān)的向量, 兩兩正交 , 每個向量長度為1.TTnai bia1b1 a2b2 L anbn向量a1 , a2 ,L , an 與b1 , b2 ,L , bn 的內(nèi)積 ( , )i 1與正交(,)0. 記為：Tn向量a1 , a2 ,L , an( ,)ai2a12a22 L an2的長度i1是單位向量(,)1.即長度為 1的向量 . 內(nèi)積的性質(zhì)：正定性： (,)0,且 (,) 0對稱性： (,)( ,)雙線性： (,12 )(,1)(,2)( 12 , )(1,)(2,)(c,)c(,)(, c)A 的特征矩陣EA .A 的特征多項式EA() .( ) 是矩陣 A 的特征多項

21、式( A)OA 的特征方程EA0.Axx ( x為非零列向量 )Ax與 x線性相關(guān)ntrA ， tr A 稱為矩陣 A 的跡 .A1 2 Ln1i 上三角陣、下三角陣、對角陣的特征值就是主對角線上的n 各元素 . 若 A0 , 則0 為 A 的特征值 , 且 Ax的基礎(chǔ)解系即為屬于0 的線性無關(guān)的特征向量 .a1 r ( A)1A 一定可分解為A =a2b1 ,b2 ,L , bn、 A2(a1b1a2b2L anbn ) A , 從而 A 的特征值為：Man1tr Aa1b1a2b2Lanbn ,23Ln0p指南 358 .Tb1, b2 ,L ,bn為 A 各列的公比 . a1, a2 ,

22、L , an為 A 各行的公比，注 若 A 的全部特征值1 ,2 ,L,n ， f ( A) 是多項式 , 則 : 若 A 滿足 f ( A)OA 的任何一個特征值必滿足f (i )0 f ( A) 的全部特征值為f (1 ),f (2 ),L , f (n ) ； f ( A)f (1 ) f ( 2 )L f ( n ) . 初等矩陣的性質(zhì)：E(i , j )1Ei (k )kEi , j (k)1E (i , j )TE(i, j )Ei (k )TE i (k)Ei, j (k)TE j, i (k)E(i , j ) 1E(i , j )Ei (k ) 1Ei ( k1 )Ei, j

23、 (k ) 1Ei, j (k )E(i , j )*E(i , j )Ei (k )*kEi ( k1 )Ei, j (k)*E i, j (k) 設(shè) f (x)am xmam 1xm 1La1 xa0 ，對 n 階矩陣 A 規(guī)定： f ( A)am Amam 1 Am 1La1 Aa0 E 為 A 的一個多項式 .kAkaA bEabAT是 的特征值則:A1分別有特征值1.A,AA12L 322AmmAkAkaAbEabA 11的特征向量 . x是 A關(guān)于 的特征向量 ,則 x也是關(guān)于A12L 3AA22Amm A2 , Am 的特征向量不一定是A 的特征向量 . A 與 AT 有相同的特

24、征值，但特征向量不一定相同.A與B相似P 1APB（ P 為可逆矩陣）記為： A: BA與 B正交相似P 1APB（ P 為正交矩陣）A 可以相似對角化A 與對角陣相似 .記為： A:（稱是 A 的相似標(biāo)準(zhǔn)形） A 可相似對角化nr ( iE A) kiki 為 i 的重數(shù)A 恰有 n 個線性無關(guān)的特征向量 . 這時 , P 為 A 的特征向量拼成的矩陣， P 1AP 為對角陣 , 主對角線上的元素為A 的特征值 . 設(shè) i 為對應(yīng)于i 的線性無關(guān)的特征向量 ,則有：1A ( 1, 2 ,L , n ) ( A 1, A 2 ,L , A n ) ( 1 1 , 2 2 ,L ,n n ) (

25、 1 , 2 ,L , n )2.O14424431442443nPP144424443注0 為 A 的重的特征值時，A 可相似對角化i 的重數(shù) n r ( A)Ax基礎(chǔ)解系的個數(shù) . ：當(dāng) i 若 n 階矩陣 A 有 n 個互異的特征值A(chǔ) 可相似對角化 . 若 A 可相似對角化 , 則其非零特征值的個數(shù)（重根重復(fù)計算）r ( A) .g ( 1 ) 若A:Ak = Pk P1 ， g( A)Pg( )P 1 Pg(2 )1POg( n ) 相似矩陣的性質(zhì)：EAEB , 從而 A, B 有相同的特征值 , 但特征向量不一定相同 .注0 的特征向量 , P1x 是B 關(guān)于0 的特征向量 . x

26、是 A 關(guān)于 tr Atr B AB從而 A, B 同時可逆或不可逆 r ( A) r ( B) AT: BT；A1: B1（若 A, B 均可逆）； A* :B* Ak: Bk（ k 為整數(shù)）； f ( A) :f (B) ， f ( A)f (B),AB:A: BC: DDC注 前四個都是必要條件. 數(shù)量矩陣只與自己相似. 實對稱矩陣的性質(zhì)： 特征值全是實數(shù), 特征向量是實向量； 不同特征值對應(yīng)的特征向量必定正交；注 ：對于普通方陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；一定有 n 個線性無關(guān)的特征向量.若 A 有重的特征值 , 該特征值 i 的重數(shù) = n r ( i E A) ；必可用正交

27、矩陣相似對角化，即：任一實二次型可經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形；與對角矩陣合同，即：任一實二次型可經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形；兩個實對稱矩陣相似有相同的特征值.正交矩陣AAT EA 為正交矩陣A 的 n 個行（列）向量構(gòu)成? n 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基. 正交矩陣的性質(zhì)：ATA 1 ；AATATAE； 正交陣的行列式等于1 或 -1 ； A 是正交陣 , 則 AT ， A 1 也是正交陣； 兩個正交陣之積仍是正交陣；A 的行（列）向量都是單位正交向量組.f ( x1 , x2,L , xn ) xTnnaij a ji ，即 A 為對稱矩陣， x( x1 , x2 ,L , xn )T二次型Axaij xi xji 1j 1A與B合同CTAC B.記作：A ; B（ A, B為實對稱矩陣 ,C為可逆矩陣 ）正慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中正項項數(shù)p負(fù)慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中負(fù)項項數(shù)r p符號差2 pr (r 為二次型的秩 ) 兩個矩陣合同它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù)他們的秩與正慣性指數(shù)分別相等. 兩個矩陣合同的充分條件是：A : B 兩個矩陣合同的必要條件是：r