2009年高考試題——數(shù)學理（四川卷）解析版(共18頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù) 學（理工農(nóng)醫(yī)科）第卷本試卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。參考公式：如果事件互斥，那么球的表面積公式 其中表示球的半徑如果事件相互獨立，那么 球的體積公式 其中表示球的半徑 一、選擇題：1.設(shè)集合則.【考點定位】本小題考查解含有絕對值的不等式、一元二次不等式，考查集合的運算，基礎(chǔ)題。解析：由題，故選擇C。解析2：由故，故選C.已知函數(shù)連續(xù)，則常數(shù)的值是. . . .w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考點定位】本小題考查函數(shù)的連續(xù)性，考查分段函數(shù)，基礎(chǔ)題。解

2、析：由題得，故選擇B。解析2：本題考查分段函數(shù)的連續(xù)性由，由函數(shù)的連續(xù)性在一點處的連續(xù)性的定義知，可得故選B.復數(shù)的值是. . . .【考點定位】本小題考查復數(shù)的運算，基礎(chǔ)題。解析：，故選擇A。4.已知函數(shù)，下面結(jié)論錯誤的是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A.函數(shù)的最小正周期為 B.函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)C.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱 D.函數(shù)是奇函數(shù)【考點定位】本小題考查誘導公式、三角函數(shù)的奇偶性、周期、單調(diào)性等，基礎(chǔ)題。（同文4）解析：由函數(shù)的可以得到函數(shù)是偶函數(shù)，所以選擇D5.如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，則下列結(jié)論正確的是. .平面 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C.

3、直線平面.【考點定位】本小題考查空間里的線線、線面關(guān)系，基礎(chǔ)題。（同文6）解：由三垂線定理，因AD與AB不相互垂直，排除A；作于，因面面ABCDEF，而AG在面ABCDEF上的射影在AB上，而AB與BC不相互垂直，故排除B；由，而EF是平面PAE的斜線，故排除C，故選擇D。解析2：設(shè)低面正六邊形邊長為，則，由平面可知，且，所以在中有直線與平面所成的角為，故應選D。6.已知為實數(shù)，且。則“”是“”的A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C充要條件 D. 既不充分也不必要條件【考點定位】本小題考查不等式的性質(zhì)、簡單邏輯，基礎(chǔ)題。（同文7）解析：推不出

4、；但，故選擇B。解析2：令，則；由可得，因為，則，所以。故“”是“”的必要而不充分條件。7.已知雙曲線的左右焦點分別為，其一條漸近線方程為，點在該雙曲線上，則=A. B. C .0 D. 4 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考點定位】本小題考查雙曲線的漸近線方程、雙曲線的定義，基礎(chǔ)題。（同文8）解析：由題知，故，故選擇C。解析2：根據(jù)雙曲線漸近線方程可求出雙曲線方程，則左、右焦點坐標分別為，再將點代入方程可求出，則可得，故選C。8.如圖，在半徑為3的球面上有三點，球心到平面的距離是，則兩點的球面距離是A. B. C. D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考點定位】本小題考

5、查球的截面圓性質(zhì)、球面距，基礎(chǔ)題。（同文9）解析：由知截面圓的半徑，故，所以兩點的球面距離為，故選擇B。解析2：過球心作平面的垂線交平面與，則在直線上，由于，所以，由為等腰直角三角形可得，所以為等邊三角形，則兩點的球面距離是。9.已知直線和直線，拋物線上一動點到直線和直線的距離之和的最小值是A.2 B.3 C. D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考點定位】本小題考查拋物線的定義、點到直線的距離，綜合題。解析：直線為拋物線的準線，由拋物線的定義知，P到的距離等于P到拋物線的焦點的距離，故本題化為在拋物線上找一個點使得到點和直線的距離之和最小，最小值為到直線的距離，即，故選擇A。解析

6、2：如下圖，由題意可知10.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸。銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元，該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸，那么該企業(yè)可獲得最大利潤是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. 12萬元 B. 20萬元 C. 25萬元 D. 27萬元w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考點定位】本小題考查簡單的線性規(guī)劃，基礎(chǔ)題。（同文10）解析：設(shè)甲、乙種兩種產(chǎn)品各需生產(chǎn)、噸，可使利潤最大，故本題即已知約束條件，求目標函數(shù)的最大值，可求出最優(yōu)解

7、為，故，故選擇D。11.3位男生和3位女生共6位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【考點定位】本小題考查排列綜合問題，基礎(chǔ)題。解析：6位同學站成一排，3位女生中有且只有兩位女生相鄰的排法有種，其中男生甲站兩端的有，符合條件的排法故共有188解析2：由題意有,選B。 12.已知函數(shù)是定義在實數(shù)集上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)都有，則的值是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A.0 B. C.1 D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考點定位】本小題考查求抽象函數(shù)的函數(shù)值之賦值法

8、，綜合題。（同文12）解析：令，則；令，則由得，所以，故選擇A。2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù) 學（理科）第卷考生注意事項：請用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上書寫作答無效二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分把答案填在題中橫線上13.的展開式的常數(shù)項是 （用數(shù)字作答）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考點定位】本小題考查二項式展開式的特殊項，基礎(chǔ)題。（同文13）解析：由題知的通項為，令得，故常數(shù)項為。14.若與相交于A、B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是 w 【考點定位】本小題考查圓的標準方程、兩直線的位置關(guān)系

9、等知識，綜合題。解析：由題知，且，又，所以有，。15.如圖，已知正三棱柱的各條棱長都相等，是側(cè) 棱的中點，則異面直線所成的角的大小是 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考點定位】本小題考查異面直線的夾角，基礎(chǔ)題。解析：不妨設(shè)棱長為2，選擇基向量，則，故填寫。法2：取BC中點N，連結(jié)，則面，是在面上的射影，由幾何知識知，由三垂線定理得，故填寫。16設(shè)是已知平面上所有向量的集合，對于映射，記的象為。若映射滿足：對所有及任意實數(shù)都有，則稱為平面上的線性變換?，F(xiàn)有下列命題：設(shè)是平面上的線性變換，則 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 對設(shè)，則是平面上的線性變換；w.w.w.k.s.5.u

10、.c.o.m 若是平面上的單位向量，對設(shè)，則是平面上的線性變換；設(shè)是平面上的線性變換，若共線，則也共線。其中真命題是 （寫出所有真命題的序號）【考點定位】本小題考查新定義，創(chuàng)新題。解析：令，由題有，故正確；由題，即，故正確；由題，即，故不正確；由題，即也共線，故正確；三、解答題：本大題共6小題，共74分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17. （本小題滿分12分）在中，為銳角，角所對應的邊分別為，且（I）求的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II）若，求的值。本小題主要考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系，兩角和差的三角函數(shù)、二倍角公式、正弦定理等基礎(chǔ)知識及基本運算能力。解：（）、為銳角，

11、又， 6分（）由（）知,. 由正弦定理得，即， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ， ， 12分18. （本小題滿分12分）為振興旅游業(yè)，四川省2009年面向國內(nèi)發(fā)行總量為2000萬張的熊貓優(yōu)惠卡，向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡（簡稱金卡），向省內(nèi)人士發(fā)行的是熊貓銀卡（簡稱銀卡）。某旅游公司組織了一個有36名游客的旅游團到四川名勝旅游，其中是省外游客，其余是省內(nèi)游客。在省外游客中有持金卡，在省內(nèi)游客中有持銀卡。（I）在該團中隨機采訪3名游客，求恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率；（II）在該團的省內(nèi)游客中隨機采訪3名游客，設(shè)其中持銀卡人數(shù)為隨機變量，求的分布列及數(shù)學期望。本小題主要考察相

12、互獨立事件、互斥事件、隨機變量的分布列、數(shù)學期望等概率計算，考察運用概率只是解決實際問題的能力。 解：（）由題意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省內(nèi)游客有9人，其中6人持銀卡。設(shè)事件為“采訪該團3人中，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人”， 事件為“采訪該團3人中，1人持金卡，0人持銀卡”， 事件為“采訪該團3人中，1人持金卡，1人持銀卡”。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以在該團中隨機采訪3人，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率是。6分（）的可能取值為0，1，2，3 , ， 所以的分布列為0123 所以， 12分 19（本小題滿分12分）如圖，正方形所在平面與平面四邊形所

13、在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求證：；（II）設(shè)線段的中點為，在直線上是否存在一點，使得？若存在，請指出點的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由；（III）求二面角的大小。本小題主要考察平面與平面垂直、直線與平面垂直、直線與平面平行、二面角等基礎(chǔ)知識，考察空間想象能力、邏輯推理能力和數(shù)學探究意識，考察應用向量知識解決數(shù)學問題的能力。解法一：（）因為平面平面,平面，平面平面，所以平面所以.因為為等腰直角三角形， ，所以又因為，所以，即,所以平面。 4分 （）存在點,當為線段AE的中點時，PM平面 取BE的中點N，連接AN,MN，則MNPC 所以PMNC為平行四邊形，所以PMCN

14、因為CN在平面BCE內(nèi)，PM不在平面BCE內(nèi)， 所以PM平面BCE 8分 （）由EAAB,平面ABEF平面ABCD，易知，EA平面ABCD作FGAB,交BA的延長線于G，則FGEA。從而，F(xiàn)G平面ABCD作GHBD于G，連結(jié)FH，則由三垂線定理知，BDFH因此，AEF為二面角F-BD-A的平面角因為FA=FE, AEF=45°,所以AFE=90°，F(xiàn)AG=45°.設(shè)AB=1,則AE=1,AF=. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m FG=AF·sinFAG=在RtFGH中，GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,GH=BG·si

15、nGBH=·=在RtFGH中，tanFHG= = 故二面角F-BD-A的大小為arctan. 12分解法二:()因為ABE為等腰直角三角形,AB=AE,所以AEAB.又因為平面ABEF平面ABCD,AE平面ABEF,平面ABEF平面ABCD=AB,所以AE平面ABCD.所以AEAD.因此,AD,AB,AE兩兩垂直,以A為坐標原點,建立 如圖所示的直角坐標系A(chǔ)-xyz.設(shè)AB=1,則AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).因為FA=FE, AEF = 45°,所以AFE= 90°.從而，.所以

16、,.,.所以EFBE, EFBC.因為BE平面BCE,BCBE=B ,所以EF平面BCE. () M（0，0，）.P（1, ,0）.從而=（，）.于是所以PMFE，又EF平面BCE，直線PM不在平面BCE內(nèi)，故PM平面BCE. 8分() 設(shè)平面BDF的一個法向量為，并設(shè)=（x，y，z）=(1，1，0)， 即去y=1，則x=1，z=3，從=（0，0，3）取平面ABD的一個法向量為=（0，0，1）故二面角F-BD-A的大小為. 12分20（本小題滿分12分）已知橢圓的左右焦點分別為，離心率，右準線方程為。（I）求橢圓的標準方程；（II）過點的直線與該橢圓交于兩點，且，求直線的方程。本小題主要考查直

17、線、橢圓、平面向量等基礎(chǔ)知識，以及綜合運用數(shù)學知識解決問題及推理運算能力。 解：（）有條件有，解得。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 。 所以，所求橢圓的方程為。4分（）由（）知、。 若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=-1. 將x=-1代入橢圓方程得。 不妨設(shè)、， . ,與題設(shè)矛盾。 直線l的斜率存在。 設(shè)直線l的斜率為k，則直線的方程為y=k（x+1）。設(shè)、，聯(lián)立，消y得。由根與系數(shù)的關(guān)系知，從而，又，。 ?；喌媒獾?w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21. （本小題滿分12分）已知函數(shù)。（I）求函數(shù)的定義域，并判斷的單調(diào)性；（II）若（III）當（為自然對數(shù)的底數(shù)）時

18、，設(shè)，若函數(shù)的極值存在，求實數(shù)的取值范圍以及函數(shù)的極值。本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列的極限、導數(shù)應用等基礎(chǔ)知識、考查分類整合思想、推理和運算能力。解：（）由題意知當當當.（4分）（）因為由函數(shù)定義域知>0,因為n是正整數(shù)，故0<a<1.所以（）令 當m=0時，有實根，在點左右兩側(cè)均有故無極值 當時，有兩個實根當x變化時，、的變化情況如下表所示：+0-0+極大值極小值的極大值為，的極小值為 當時，在定義域內(nèi)有一個實根， 同上可得的極大值為綜上所述，時，函數(shù)有極值；當時的極大值為，的極小值為當時，的極大值為 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 22. （本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列的前項和為，對任意的正整數(shù)，都有成立，記。（I）求數(shù)列的通項公式；（II）記，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：對任意正整數(shù)都有；（III）設(shè)數(shù)列的前項和為。已知正實數(shù)滿足：對任意正整數(shù)恒成立，求的最小值。本小