微積分及其應(yīng)用第三章習(xí)題解答

1、1.（1）=14.03（2）2.（1）= =(2)(3) =(4)3. (1) =(2)(3) =(4) =4.(1) = =(2) =5.解：6（1）首先判斷函數(shù)的連續(xù)性時(shí)連續(xù)，時(shí)連續(xù)，在時(shí)，由于所以函數(shù)在處連續(xù)下面判斷可導(dǎo)性在處 = = =由于故函數(shù)在處可導(dǎo)（2） 函數(shù)在處不連續(xù)，從而在處不可導(dǎo)。(3) 由于 即所以函數(shù)在處連續(xù)。又由于 即所以函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)(4)由于所以函數(shù)在處連續(xù)又由于則所以在處不可導(dǎo)7解：時(shí) 時(shí)時(shí)所以在處可導(dǎo) 且 且8解：由于處連續(xù)故又由于在處可導(dǎo)故只需時(shí)，函數(shù)在處可導(dǎo)9解：由于 又由于在處連續(xù)，所以則10解：由于 則 故 在處的切線方程為在法線方程為11解：要

2、使只需 即 解得和則 在和處 拋物線 12解：在處由于為有界函數(shù)，則由于故13.證明： 在曲線上任取一點(diǎn)（），曲線在處的切線方程為令 解得 令 解得 所以，切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為由的任意性即證結(jié)論成立練習(xí)3.21.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 2.（1）.由于 所以 （2）. 由于 故 (3). 由于 故 3.4.(1)方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)解出得（2）方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)解出得（3）方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)解出（4）方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)解出得5.(1)方程兩邊取自然對數(shù)則（2）方程兩邊取自然對數(shù)上式兩邊關(guān)于求導(dǎo)則（3）方程兩邊取自然對數(shù)上式兩邊關(guān)于求導(dǎo)則（4）方程兩邊取自然對數(shù)上式兩邊關(guān)于求導(dǎo)則6.（1）由參變量方

3、程求導(dǎo)法則可得（2）（3）（4）7.解：在等式中令，則故由導(dǎo)數(shù)定義得：8.解：由于在處連續(xù)，則故又由于有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 則當(dāng)時(shí) 即聯(lián)立求解可得：9.對方程兩邊取自然對數(shù)得對上式兩邊關(guān)于求導(dǎo)解出，可得10.解：由于故11.解：由于又當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)在處故12.（1）（2）(3)(4)13.(1)設(shè)可導(dǎo)，且對上式兩邊關(guān)于求導(dǎo)，且由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得即可知為奇函數(shù)（2）不妨設(shè)可導(dǎo)，且為奇函數(shù)。則上式兩邊關(guān)于求導(dǎo)即則函數(shù)為偶函數(shù)（3）不妨設(shè)可導(dǎo)且周期為,則對任意的，有對上式兩邊關(guān)于求導(dǎo)，則則知仍為周期函數(shù)，且周期為。14.解：設(shè)圓的半徑為，則由于與都是時(shí)間的函數(shù)，且3.41.解：由于所以又由于則

4、故 2.（1）（2）（3）（4）（5）對兩邊關(guān)于求導(dǎo)解出則3.（1） （2） （3） （4） （5） （6）4.解：由則（1） 令，則（2） 令，（3） 令，（4） 令，5.解：（1）令，則當(dāng)很小時(shí)，由近似公式可得（2）解：令，則當(dāng)很小時(shí)，由近似公式可得6.解：由于 則7.解：令球的半徑為，體積為，則可知是的函數(shù)。，則由近似公式3.51.證明：由于在上連續(xù)，在內(nèi)處處存在，且。故在上滿足羅爾定理。則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得即解得證明：由于函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)處處存在，且。則令解得3.證明：由于和在上連續(xù)，且和在內(nèi)處處存在，且在內(nèi)恒不等于0.則在上滿足柯西中值定理，且令 解出 則滿足條件中的 4、解：

5、由于在、內(nèi)連續(xù)，且在區(qū)間、內(nèi)可導(dǎo)，且、，可見 在、內(nèi)滿足羅爾定理的條件，這由羅爾定理可知，在、內(nèi)至少存在一個(gè)，使得，則可知至少有三個(gè)根，又由于是三次方程，故只有三個(gè)根。 5（1）令 易見在上連續(xù)，且在內(nèi)可導(dǎo)，則由拉格朗日中值定理，存在.使得 又由于 ，則 即 6. 令，易見在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則由拉格朗日中值定理，存在，使得又由于，則即又由于，則即則6.（1）證明：令由于在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且在上由羅爾定理可得又由于故對任意的，即證。（2）令由于在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且對任意的=0又由于 故對任意的7.證明：令由題意 在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且則，由羅爾定理可得，在內(nèi)存在一點(diǎn)，使得故 方程至少有一根

6、介于0與之間。（2）證明：令，易見、在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則由柯西中值定理可得，存在使得 即 整理可得，即證。8證明：由于，由題意可得：在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，則由羅爾定理，在內(nèi)至少存在，使得同理，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得讓在上應(yīng)用羅爾定理，則存在，使得，即證。9解：由于 不妨猜想下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立。當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立。當(dāng)n=k時(shí)，當(dāng)時(shí)=則證猜想成立。故 則 的n階邁克勞林展示為=習(xí)題3.6練習(xí)3.61. 求下列極限（1） ； （2）（為常數(shù)）； （3）； （4） ；（5）； （6） ；（7）； （8）；（9）； （10）.解(1) 從而(2) （3）(4) （

7、5）（6）(7) 由于則故有（8）(9) 由于 則故有 (10) （太難?。?. 求下列極限：（1） ； （2）;（3） ； （4）；（5）； （6） ； （7） ； （8） ；（9）； （10）.解（1） (2) （3） (4)(太難) (5) 由于 則 (6) (7) 由于 .(8) 由于則(9) 由于則(10) 3. 求下列極限（1）； （2） ；（3）； （4） ；（5）； （6）（）.解 (1) 由于且 則 (2) (3) (4) 其中 (5) 由于則(6) (太難) 4.驗(yàn)證下列極限存在，但不能用洛必達(dá)法則求出.（1） ； （2） .證明： 由于則但是(2) 但是5. 求下列極限：

8、（1） ；（2） ；（3） ； （4）解 (1) (2) (3) (4) 由于則6. 設(shè)二階可導(dǎo)，且，試求.解 ：習(xí)題3.71. （1）函數(shù)的定義域?yàn)椋罱獾糜盟鼈儼讯x域可分成三個(gè)區(qū)間： ,利用導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性表.-1300由此可看出，函數(shù)在和內(nèi)單調(diào)增加；在上單調(diào)減少.(2)函數(shù)的定義域?yàn)榱?，得用它把定義域可分成兩個(gè)區(qū)間： 利用導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性表.0 由此可看出，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加；在上單調(diào)減少.（3）函數(shù)的定義域?yàn)?，令解得用它把定義域可分成四個(gè)區(qū)間： 利用導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性表.000由此可見函數(shù)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加；在,上單調(diào)減少.(4) 函數(shù)的定義域?yàn)?，令解得用它把定義域可分成兩個(gè)區(qū)間： 利用導(dǎo)數(shù)判定

9、單調(diào)性表.000由此可見函數(shù)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加；在上單調(diào)減少.(5) 函數(shù)的定義域?yàn)?，令解得用它們把定義域可分成三個(gè)區(qū)間： ,利用導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性表.-2000由此可看出，函數(shù)在和內(nèi)單調(diào)增加；在上單調(diào)減少. (6) 函數(shù)的定義域?yàn)?，由?所以函數(shù)在上單調(diào)增加. 2. (1) 令由于時(shí)且則即（2）令由于時(shí)且則即 (3) 令由于且由于當(dāng)時(shí)則在時(shí)單調(diào)遞增，又由于則單調(diào)遞增又由于即有 （4）令由于則當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，即，則 （5）令由于再令由于在時(shí)則從而在時(shí)從而單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，有即 3. 證：令由于則在0,1上單調(diào)遞增. 又由于在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且則由介值定理可知存在，使得即知方程在(0,

10、1)內(nèi)有根，又有單調(diào)性可知有且只有一個(gè)根. 4.證：令由于則單調(diào)遞減. 又由于連續(xù)，可導(dǎo)，且則由介值定理可知方程在有根，又有單調(diào)性可知有且只有一個(gè)根. ？、5. 令由于則單調(diào)遞減. 6.當(dāng)時(shí)，令解得且即單調(diào)遞增，由于單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，從而單調(diào)遞增. 由此可知在單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減. 7. (1) 函數(shù)的定義域?yàn)?令得駐點(diǎn)以這些點(diǎn)把定義域分成三個(gè)部分，列表如下：2+00+極大值28極小值1 (2) 函數(shù)的定義域?yàn)?令得駐點(diǎn)以這些點(diǎn)把定義域分成四個(gè)部分，列表如下：+0+00+無極值極大值極小值0 (3) 函數(shù)的定義域?yàn)?令得駐點(diǎn)函數(shù)在時(shí)不可導(dǎo)，以這些點(diǎn)把定義域分成四個(gè)部分，列表如下：010+0不可

11、導(dǎo)+極小值0極大值極小值0 （4）函數(shù)的定義域?yàn)榱畹民v點(diǎn)以這些點(diǎn)把定義域分成兩個(gè)部分，列表如下： 00極小值0 (5)函數(shù)的定義域?yàn)榱畹民v點(diǎn)以這些點(diǎn)把定義域分成兩個(gè)部分，列表如下： +0極大值 (6) 函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?令得駐點(diǎn)以這些點(diǎn)把定義域分成三個(gè)部分，列表如下：020+0極小值0極大值 8. 由, 由于函數(shù)在和處均取得極值，則解得 又由于則從而函數(shù)在出取得極小值，在處取得極大值. 9.解：（1）在上連續(xù)，且，由得駐點(diǎn)，且，在上的最大值為3，最小值為0. （2）由可得，又，有最小值且無最大值. (3),即為單減函數(shù)，最小值為最大值為 （4）令得，又所以的最大值為最小值為.10.

12、解：設(shè)圓柱形的底半徑為，高為，由體積可得.則圓柱形的表面積， 由得又，底半徑時(shí)有極小值，即用料最省，此時(shí)，高11.解：設(shè)截掉的小正方形的邊長為，則，所得方盒的底邊長為，高為，則其體積為，由得駐點(diǎn)，且 ，所以，時(shí)體積有極大值即最大值為12.解：設(shè)圓柱形的底半徑為，則高為，制作這一容器的費(fèi)用則由得駐點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)容器有極小值即最小值，此時(shí)高為13.解：平均成本，則由可得駐點(diǎn)，且，產(chǎn)量時(shí)，有最小值，即平均成本最低.14.解：產(chǎn)量，收益，由得駐點(diǎn)，且，即時(shí)收益有極大值即最大值，且.15.解：牛仔褲的需求量，收益，成本，則利潤.由得駐點(diǎn)，且，即時(shí)利潤有極大值即最大值. 16.解：設(shè)分批進(jìn)貨，則手續(xù)費(fèi)與運(yùn)輸

13、費(fèi)為元，庫存費(fèi)為元，則總費(fèi)用為由0得，又取值為整數(shù)，時(shí)，時(shí)，？17.解：設(shè)稅收為每件元，則總稅收為于是利潤函數(shù)為，令得唯一駐點(diǎn)又所以就是利潤最大時(shí)的銷售量；將帶入得，令得，又，所以，時(shí)，總稅收額最大.18.解：略.19.解：，令得，且時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，時(shí)，有極值時(shí)，有極值20.解：21.解：（1），令得拐點(diǎn)：，,且在內(nèi)為凸函數(shù)，在內(nèi)為凹函數(shù).（2），對有即在內(nèi)，函數(shù)為凸的，且五拐點(diǎn).（3），因此，在內(nèi)，函數(shù)為凹的，且五拐點(diǎn).（4），令得且,則在內(nèi)，函數(shù)為凸的；在內(nèi)函數(shù)為凹的；在內(nèi)函數(shù)為凸的；在內(nèi)，函數(shù)為凹的；拐點(diǎn)為.（5）， 令得，且在內(nèi)函數(shù)為凸的，在內(nèi)

14、，函數(shù)為凹的，拐點(diǎn)為（6）令得且在內(nèi)函數(shù)為凸的，在內(nèi)，函數(shù)為凹的，拐點(diǎn)為22.解：證明：（1）令則曲線在內(nèi)是凹的，對，有，即（2）令時(shí)，即曲線是凹的，對有，即（3）令則時(shí)，曲線是凹的，即對,有，所以，即23.解：.由已知 ，即 即 即 聯(lián)立方程得24解： ，令得，此時(shí)，時(shí)，得拐點(diǎn)，此點(diǎn)處的切線斜率為，法線斜率為，法線方程為，法線過原點(diǎn)可得，即時(shí)，得拐點(diǎn)此點(diǎn)處的切線斜率為，法線斜率為，法線方程為，過原點(diǎn)得，即25.解：，由得即即得曲線的拐點(diǎn)為26.證明：，由可得，即解得，即得3個(gè)拐點(diǎn)，即，即三點(diǎn)在一直線上.27.解：（1）時(shí)，為鉛直漸近線，時(shí)，為水平漸近線； （2）時(shí)，為鉛直漸近線，時(shí)，為斜漸近

15、線；（3）時(shí)，為鉛直漸近線，由 為斜漸近線；（4）時(shí)，為水平漸近線， 時(shí)，為鉛直漸近線.28.略.29略.練習(xí)3.81. 求下列函數(shù)的邊際函數(shù)（1） ； （2） .解 (1) 函數(shù)的邊際函數(shù)為(2) 函數(shù)的邊際函數(shù)為2.設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品個(gè)單位的總成本為：，求當(dāng)時(shí)的總成本、平均成本及邊際成本，并解釋邊際成本的經(jīng)濟(jì)意義.解 總成本平均成本邊際成本邊際成本的經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)產(chǎn)量為10 個(gè)單位時(shí)，再增加一個(gè)單位，成本將增加5個(gè)單位.3. 某商品的價(jià)格關(guān)于需求量的函數(shù)為，求：（1）總收益函數(shù)、平均收益函數(shù)和邊際收益函數(shù)；（2）當(dāng)個(gè)單位時(shí)的總收益、平均收益和邊際收益.解：(1) 收益函數(shù) 平均收益函數(shù)為 邊際收

16、益函數(shù) (2) 當(dāng)個(gè)單位時(shí)的總收益、平均收益和邊際收益分別為： 4. 設(shè)巧克力糖每周的需求量（單位：公斤）是價(jià)格（單位：元）的函數(shù)求當(dāng)元）時(shí)，巧克力糖的邊際需求量，并說明其經(jīng)濟(jì)意義. 解：由于，其經(jīng)濟(jì)意義為：巧克力糖的價(jià)格由原來的10元在增加1元，則需求量將減少0.432公斤. 5. 某企業(yè)的總利潤函數(shù)為，其中表示總利潤，單位：元，表示每月的產(chǎn)量，單位：噸，試確定每月生產(chǎn)20噸，25噸，35噸的邊際利潤，并作出經(jīng)濟(jì)解釋. 解：由于邊際利潤函數(shù)為每月生產(chǎn)20噸，25噸，35噸的邊際利潤分別為經(jīng)濟(jì)解釋為：當(dāng)產(chǎn)量為每月20噸時(shí)，再增加1噸，利潤將增加50元；當(dāng)產(chǎn)量為每月25噸時(shí)，再增加1噸，利潤不變

17、；當(dāng)產(chǎn)量為每月35噸時(shí)，再增加1噸，利潤將減少100元. 6. 設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)和收入函數(shù)分別為，其中表示產(chǎn)品的產(chǎn)量，求：（1）邊際成本函數(shù)，邊際收入函數(shù)、邊際利潤函數(shù)；（2）已生產(chǎn)并銷售25個(gè)單位產(chǎn)品，第26個(gè)單位產(chǎn)品會(huì)有多少利潤？ 解： (1) 邊際成本函數(shù)，邊際收入函數(shù)邊際利潤函數(shù) (2) 已生產(chǎn)并銷售25個(gè)單位產(chǎn)品，第26個(gè)單位產(chǎn)品會(huì)利潤為145個(gè)單位. 7. 求下列函數(shù)的彈性函數(shù)： （1） ；（2） ； (1)彈性函數(shù)為(2) 彈性函數(shù)為 8. 設(shè)供給函數(shù)為：求供給彈性函數(shù)及時(shí)的供給彈性，并說明的經(jīng)濟(jì)意義. 解：供給彈性函數(shù)時(shí)的供給彈性其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)價(jià)格時(shí)，若價(jià)格上漲（或下跌）1

18、則供給量將增加（或減少）約3.3. 9. 設(shè)某商品的需求函數(shù)為. 求需求的價(jià)格彈性函數(shù)； 求時(shí)的需求的價(jià)格彈性，并說明其經(jīng)濟(jì)意義. 解：（1）需求的價(jià)格彈性函數(shù) (2) 表示當(dāng)價(jià)格時(shí)，若價(jià)格上漲（或下跌）1則需求量將減少（或增加）0.6；表示當(dāng)價(jià)格時(shí)，若價(jià)格上漲（或下跌）1則需求量將減少（或增加）1；表示當(dāng)價(jià)格時(shí)，若價(jià)格上漲（或下跌）1則需求量將減少（或增加）1.2； 10.設(shè)某城市化纖布的恩格爾函數(shù)為：（單位：米/人季）問：當(dāng)人均每季收人為多少時(shí)，需求收入彈性大于1？ 解： 11.設(shè)某商品的需求函數(shù)為 ，試求：（1）需求的價(jià)格彈性函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)的需求的價(jià)格彈性，并說明其意義；（3）當(dāng)時(shí)，若價(jià)格上漲1%，其總收益是增加還是減少？將變化百分之幾 解：(1) 需求的價(jià)格彈性函數(shù) (2) 當(dāng)時(shí)的需求的價(jià)格彈性其經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)價(jià)格時(shí)，若價(jià)格上漲（或下跌）1%，則需求量將減少（或增加）0.6