方向?qū)?shù)與梯度53740

1、第七節(jié)第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)二、梯度二、梯度一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出一塊長(zhǎng)方形的金屬板，受熱一塊長(zhǎng)方形的金屬板，受熱產(chǎn)生如圖溫度分布場(chǎng)產(chǎn)生如圖溫度分布場(chǎng). 設(shè)一個(gè)小蟲在板中逃生至某設(shè)一個(gè)小蟲在板中逃生至某問(wèn)該蟲應(yīng)沿什么方向爬行，問(wèn)該蟲應(yīng)沿什么方向爬行，才能最快到達(dá)涼快的地點(diǎn)？才能最快到達(dá)涼快的地點(diǎn)？處，處，問(wèn)題的問(wèn)題的實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)： 應(yīng)沿由熱變冷變化最劇烈的應(yīng)沿由熱變冷變化最劇烈的方向爬行方向爬行需要計(jì)算場(chǎng)中各點(diǎn)沿不同方向的溫度變化率，需要計(jì)算場(chǎng)中各點(diǎn)沿不同方向的溫度變化率，從而確定出溫度下降的最快方向從而確定出溫度下降的最快方向引入兩個(gè)概念：引入兩個(gè)概念

2、：方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)和和梯度梯度方向?qū)?shù)問(wèn)題方向?qū)?shù)問(wèn)題梯度問(wèn)題梯度問(wèn)題 討論函數(shù)討論函數(shù) 在一點(diǎn)在一點(diǎn)P沿某一方向的沿某一方向的變化率問(wèn)題變化率問(wèn)題),( yxfz 二、方向?qū)?shù)二、方向?qū)?shù)oyxl引射線引射線內(nèi)有定義，自點(diǎn)內(nèi)有定義，自點(diǎn)的某一鄰域的某一鄰域在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)lPPUyxPyxfz)(),(),( ,(,)( ).xlP xx yylPU P 設(shè)設(shè)軸軸正正向向到到射射線線 的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角為為并并設(shè)設(shè)為為上上的的另另一一點(diǎn)點(diǎn)且且PP xy |PP,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且當(dāng)當(dāng) 沿著沿著 趨于趨于 時(shí)時(shí)，P Pl ),(),(lim0yxfyyxxf

3、, z 考慮考慮是否存在？是否存在？oyxlPP xy.),(),(lim0 yxfyyxxflf 22(,)( , )()()f xx yyf x yPPxyPlPPl 定定義義函函數(shù)數(shù)的的增增量量與與兩兩點(diǎn)點(diǎn)間間的的距距離離之之比比值值，當(dāng)當(dāng)沿沿著著 趨趨于于時(shí)時(shí)，如如果果此此比比的的極極限限存存在在，則則稱稱這這極極限限為為函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)沿沿方方向向 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)記為記為oyxlPP .),(),(lim0 yxfyyxxflf 沿沿著著x軸軸負(fù)負(fù)向向、y軸軸負(fù)負(fù)向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)是是 yxff ,.1,0i .yf的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為0(,)( , )limff x

4、x yyf x yl x 0 xfxf 1 , 02 e同理同理,沿沿y軸正向軸正向的方向?qū)?shù)分別為的方向?qū)?shù)分別為xx 此時(shí)此時(shí)x 在點(diǎn)在點(diǎn)沿著沿著軸正向軸正向x若偏導(dǎo)若偏導(dǎo) 存在存在,則則),(yxfPxf.導(dǎo)數(shù)未必存在導(dǎo)數(shù)未必存在若方向?qū)?shù)存在，則偏若方向?qū)?shù)存在，則偏 220,0zxyOli 例例如如，在在處處沿沿方方向向的的 0 01fl ，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)， .0,0不存在不存在而偏導(dǎo)數(shù)而偏導(dǎo)數(shù)xz )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx .偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在沿沿任任意意方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)存存在在方向?qū)?shù)是單側(cè)極

5、限，而偏導(dǎo)數(shù)是雙側(cè)極限方向?qū)?shù)是單側(cè)極限，而偏導(dǎo)數(shù)是雙側(cè)極限.原因：原因：證明證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為由于函數(shù)可微，則增量可表示為)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 方向?qū)?shù)的存在及計(jì)算公式方向?qū)?shù)的存在及計(jì)算公式那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向l的方向?qū)?shù)都存在，的方向?qū)?shù)都存在，),(yxfz ),(yxP定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)可微分，可微分，且有且有 sincosyfxflf 為為 x軸到方向軸到方向l的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角其中其中計(jì)算公式計(jì)算公式 )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 故有方向?qū)?shù)故有方向?qū)?shù) ),(),(lim0yxf

6、yyxxf .sincos yfxf lf)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 兩邊同除以兩邊同除以,得到得到x y lcossin故故x軸到方向軸到方向l 的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角例例 1 1 求函數(shù)求函數(shù)yxez2 在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 1(P處沿從點(diǎn)處沿從點(diǎn))0 , 1(P 到點(diǎn)到點(diǎn))1, 2( Q的方向的方向?qū)?shù)的方向的方向?qū)?shù). 解解; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所求方向?qū)?shù)所求方向?qū)?shù))4sin(2)4cos( lz.22 1, 1 PQ方向方向l 即為即為4 解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxff

7、lf 由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx （1）最大值）最大值; （2）最小值；）最小值； （3）等于零？）等于零？ 22),(yxyxyxf 例例2 求函數(shù)求函數(shù) l在點(diǎn)在點(diǎn)(1,1)沿與沿與 x軸方向夾角為軸方向夾角為的方向射線的方向射線的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù).并問(wèn)在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有并問(wèn)在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有 sincos),4sin(2 故故（1）當(dāng)）當(dāng)4 時(shí)，時(shí)，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)達(dá)達(dá)到到最最大大值值2;（2）當(dāng)當(dāng)45 時(shí)時(shí)，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)達(dá)達(dá)到到最最小小值值2 ;（3）當(dāng)）當(dāng)43 和和47 時(shí)，時(shí)，方

8、向?qū)?shù)等于方向?qū)?shù)等于 0. sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf ,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 推廣推廣:三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義（ 其中其中222)()()(zyx ）),(zyxfu ),(zyxP對(duì)于三元函數(shù)對(duì)于三元函數(shù)它在空間一點(diǎn)它在空間一點(diǎn)沿著方向沿著方向l的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù) ，可定義為可定義為.coscoscos zfyfxflf ,cos x,cos y,cos z方向?qū)?shù)的計(jì)算公式方向?qū)?shù)的計(jì)算公式xyzlo 解解令令, 632),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF, 22

9、 PPzzF故故(,)xyznFFF (4,6, 2), ,142264222 n方向余弦為方向余弦為2122)86(1yxzu 求函數(shù)求函數(shù)n在此處沿方向在此處沿方向的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù).是曲面是曲面n632222 zyx)1 , 1 , 1(P例例3 設(shè)設(shè) 在點(diǎn)在點(diǎn)處的指向外側(cè)的法向量處的指向外側(cè)的法向量,142cos ,143cos .141cos ,142cos ,143cos .141cos 221,1,1668PPuxxzxy ;146 221,1,1868PPuyyzxy ;148 222(1,1,1)68PPxyuzz .14 PPzuyuxunu)coscoscos( .71

10、1 故故定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在平面區(qū)域在平面區(qū)域 D 內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)DyxP ),(，都可定出一個(gè)向量都可定出一個(gè)向量jyfixf ，這向量稱為函數(shù)，這向量稱為函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yxP的梯度，記為的梯度，記為 ),(yxgradfjyfixf .三、梯度三、梯度:?P問(wèn)問(wèn)題題函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)沿沿哪哪一一方方向向增增加加的的速速度度最最快快 sincosyfxflf sin,cos, yfxfeyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf 其中其中),(,eyxgradf 當(dāng)當(dāng)1),(cos(

11、eyxgradf時(shí)，時(shí)，lf 有有最最大大值值.由方向?qū)?shù)公式知由方向?qū)?shù)公式知jie sincos l設(shè)設(shè)是方向是方向 上的單位向量，上的單位向量，結(jié)論結(jié)論gradfgradf P22| ),(| yfxfyxgradf當(dāng)當(dāng)xf 不為零時(shí)，不為零時(shí)，xfyf tanx軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為方向?qū)?shù)的最大值而它的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為梯度的模為 l在幾何上在幾何上 表示一個(gè)曲面表示一個(gè)曲面),(yxfz 曲面被平面曲面

12、被平面 所截所截,得曲線得曲線cz ,),( czyxfz它在它在xoy面上投影方程：面上投影方程：oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高線等高線( , )f x yc 稱為稱為等值線等值線.等值線等值線幾何上，稱為等高線幾何上，稱為等高線.圖形及其等高線圖形圖形及其等高線圖形函數(shù)函數(shù)xyzsin 例如例如,( , )f x yc 等值線等值線上任一點(diǎn)處的一個(gè)法向量為上任一點(diǎn)處的一個(gè)法向量為),(yxffn fgrad 表明：梯度方向與等值線的一個(gè)法線方向相同，表明：梯度方向與等值線的一個(gè)法線方向相同，它的指向?yàn)閺臄?shù)值較低的等值線指向較高的等它的指向?yàn)閺臄?shù)值較低的等值線指向較

13、高的等梯度的模就等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的梯度的模就等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù).0nnf gradffn oyx2),(cyxf1),(cyxfPncyxf),(21ccc =grad ( , )f x y值線，值線，問(wèn)題：?jiǎn)栴}：上山時(shí)，如何選擇最快的方向？上山時(shí)，如何選擇最快的方向？計(jì)算方法課程中的一種計(jì)算策略：計(jì)算方法課程中的一種計(jì)算策略：“瞎子下山法瞎子下山法” 三元函數(shù)三元函數(shù)),(zyxfu 在空間區(qū)域在空間區(qū)域 G 內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)GzyxP ),(，都可定義一個(gè)向量都可定義一個(gè)向量(梯度梯度).),(kzfjyfix

14、fzyxgradf 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)解解 由梯度計(jì)算公式得由梯度計(jì)算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu grad(23)(42)60,fxiyjzk令令則在則在)0 ,21,23(0 P處梯度為處梯度為. 0yxzyxu2332222 )2 , 1 , 1 (例例4 求

15、函數(shù)求函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)處的梯度，并問(wèn)在何處梯度為零？處的梯度，并問(wèn)在何處梯度為零？一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)（注意方向?qū)?shù)與一般所說(shuō)偏導(dǎo)數(shù)的（注意方向?qū)?shù)與一般所說(shuō)偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別區(qū)別）小結(jié)小結(jié).),(),(lim0 yxfyyxxflf 1.定義定義2.計(jì)算公式計(jì)算公式 sincosyfxflf .coscoscos zfyfxflf 二、梯度二、梯度 （注意梯度是一個(gè)（注意梯度是一個(gè)向量向量）grad ( , )f x y jyfixf 定義定義22| ),(| yfxfyxgradfxfyf tan方向：方向：x軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切模模：三、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系三、方向?qū)?shù)與

16、梯度的關(guān)系方向方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,模模為方向?qū)?shù)的最大值為方向?qū)?shù)的最大值.梯度：梯度： sincosyfxflf ,cos| ),(| yxgradf 其中其中,( , )gradf x y l ( , ).f x y某某點(diǎn)點(diǎn)梯梯度度的的方方向向就就是是函函數(shù)數(shù)在在這這點(diǎn)點(diǎn)增增長(zhǎng)長(zhǎng)最最快快的的方方向向思考題思考題問(wèn)函數(shù)在某點(diǎn)處沿什么方向的方向?qū)?shù)最大？問(wèn)函數(shù)在某點(diǎn)處沿什么方向的方向?qū)?shù)最大？2(1, 1,2).uxy zP求函數(shù)在點(diǎn)處方向?qū)?shù)的最大值答：梯度方向答：梯度方向答：答：21grad222 Pzyxffff作作 業(yè)業(yè)P.51 習(xí)題習(xí)題8-7

17、1; 4; 7; 8; 10.一、一、 填空題填空題: :1 1、 函數(shù)函數(shù)22yxz 在點(diǎn)在點(diǎn))2 , 1(處沿從點(diǎn)處沿從點(diǎn))2 , 1(到點(diǎn)到點(diǎn) )32 , 2( 的方向的方向?qū)?shù)為的方向的方向?qū)?shù)為_._.2 2、 設(shè)設(shè)xyzyxzyxf 22232),(zyx623 , , 則則 )0 , 0 , 0(gradf_._.3 3、 已知場(chǎng)已知場(chǎng),),(222222czbyaxzyxu 沿沿則則u場(chǎng)的梯度場(chǎng)的梯度方向的方向?qū)?shù)是方向的方向?qū)?shù)是_._.4 4、 稱向量場(chǎng)稱向量場(chǎng)a為有勢(shì)場(chǎng)為有勢(shì)場(chǎng), ,是指向量是指向量a與某個(gè)函數(shù)與某個(gè)函數(shù) ),(zyxu的梯度有關(guān)系的梯度有關(guān)系_._.練練 習(xí)習(xí) 題題三三、 設(shè)設(shè)vu,都都是是zyx,的的函函數(shù)數(shù), ,vu,的的各各偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在且且連連續(xù)續(xù), ,證證明明: :ugradvvgraduuvgrad )(四四、 求求222222czbyaxu 在在點(diǎn)點(diǎn)),(000zyxM處處沿沿點(diǎn)點(diǎn)的的向向徑徑0r的的方方向