彈性力學(xué)接觸問(wèn)題

1、兩彈性體之間的接觸壓力問(wèn)題兩彈性體之間的接觸壓力問(wèn)題 兩球體的接觸問(wèn)題 圓球與平面（或凹球面）的接觸 例題接接 觸觸 問(wèn)問(wèn) 題題 根據(jù)半空間體在邊界上受法向分布力中有關(guān)知識(shí)，可導(dǎo)出兩彈性體之間的接觸壓力以及由此所引起的應(yīng)力和變形，下面我們先對(duì)兩彈性球體進(jìn)行討論。 設(shè)兩個(gè)球體半徑分別為R1和R2,如圖。一.兩球體的接觸問(wèn)題 設(shè)開(kāi)始時(shí)兩球體不受壓力作用，它僅接觸于一點(diǎn)O，那么此時(shí)，在兩球體表面上取距公共法線距離為r的M1和M2兩點(diǎn)，與O點(diǎn)的切平面之間的距離z1和z2.則由幾何關(guān)系有：(R1z1)2+r2=R12 (R2z2)2+r2=R22得1212 Rrz2222 Rrz（a）當(dāng)M1,M2離O點(diǎn)

2、很近時(shí)，則z1R1, z2R2，上面兩式可化為：11212zRrz22222zRrz而M1、M2兩點(diǎn)之間的距離為：22121212212)2121(rRRRRRRrzz 當(dāng)兩球體沿接觸點(diǎn)的公共法線用力F 相壓時(shí)，在接觸點(diǎn)的附近，將產(chǎn)生局部變形而形成一個(gè)圓形的接觸面。由于接觸面邊界的半徑總是遠(yuǎn)小于R1、R2，所以可以采用關(guān)于半無(wú)限體的結(jié)果來(lái)討論這種局部變形。 現(xiàn)分別用w1和w2表示M1點(diǎn)沿z1方向的位移及M2點(diǎn)沿z2方向的位移（即相外的相對(duì)移動(dòng)）；(w1+w2)=z1+z2 設(shè)為圓心O1、O2因壓縮而相互接近的距離，如果M1與O1、M2與O2之間無(wú)相對(duì)移動(dòng)則M1與M2、之間接近的距離也為； 于是

3、M1點(diǎn)和M2點(diǎn)之間的距離減少為(w1+w2)，如果點(diǎn)M1、M2由于局部變形而成為接觸面內(nèi)的同一點(diǎn)M，則由幾何關(guān)系有：將式（a）代入，得w1+w2=r2 (b)其中，21212RRRR（c） 根據(jù)對(duì)稱性接觸面一定是以接觸點(diǎn)O為中心的圓?，F(xiàn)以圖中的圓表示接觸面，而M點(diǎn)表示下面的球體在接觸面上的一點(diǎn)（即變形以前的點(diǎn)M1），則按照彈性半空間受垂直壓力q的解答，該點(diǎn)的位移為：dd11211sqEw 其中1及E1為下面球體的彈性常數(shù)，而積分應(yīng)包括整個(gè)接觸面。對(duì)于上面的球體，也可以寫(xiě)出相似的表達(dá)式，于是：dd)(2121sqkkww （d）其中12111Ek22221Ek并由（d）式及(c)式得221dd)

4、(rsqkk（e） 到此，把問(wèn)題歸結(jié)為去尋求未知函數(shù)q（即要找出壓力的分布規(guī)律），使式（e）得到滿足。 根據(jù)Hertz的假設(shè)，如果在接觸面的邊界上作半圓球面，而用它在各個(gè)點(diǎn)的高度代表壓力q各該點(diǎn)處的大小。 例如弦mn上一點(diǎn)壓力的大小，可用過(guò)mn所作半圓的高度h來(lái)代表。 接觸圓內(nèi)任一點(diǎn)的壓力，應(yīng)等于半球面在該點(diǎn)的高度h和k=q0/a的乘積。由此，不難從圖可以看出， 令q0表示接觸圓中心O的壓力，則根據(jù)上述假定，應(yīng)有 q0=ka 由此得： k= q0/ak這個(gè)常數(shù)因子表示壓力分布的比例尺。A為弦mn上的半圓（用虛線表示）面的面積，即)sin(2222raAAaqshaqsq00ddAaqsq0d由

5、于)sin(2222raA代入后再代入式（e）202222021d)sin(22)(rraaqkk222021)2(4)(rraaqkk積分后得：，d221dd)(rsqkk有 要使此式對(duì)所有的r都成立，等號(hào)兩邊的常數(shù)項(xiàng)和r2的系數(shù)分別相等，于是有2)(0221aqkk4)(0221qkk 這樣，只要式（g）成立，Hertz所假定的接觸面上壓力分布是正確的。根據(jù)平衡條件，上述半球體的體積與的乘積應(yīng)等于總壓力F，即Faaq3032(g)222021)2(4)(rraaqkk由此的最大壓力（h）它等于平均壓力F/a2的一倍半。將式（c）和式（h）代入式（g），求解a及即得：由此并可求得最大接觸壓力

6、為；3221212120)(3)(42323RRkkFRRFaPq302/3aFq 31212121)(4)(3RRRRkkFa3121212212216)()(9RRRRkkF31212212)(23.1RRERRF31222122120)(388.0RRRRFEq312121)(11.1RRERFRa 在E1=E2=E及1= 2=0.3時(shí)，由上列各式得出工程實(shí)踐中廣泛采用的公式： 在求出接觸面間的壓力之后，可利用按照彈性半空間受垂直壓力q的解答導(dǎo)出的公式計(jì)算出兩球體中的應(yīng)力。 最大壓應(yīng)力發(fā)生在接觸面中心，值為q0； 最大剪應(yīng)力發(fā)生在公共法線上距接觸中心約為0.47a 處，其值為0.31 q

7、0； 最大拉應(yīng)力發(fā)生在接觸面的邊界上，其值為0.133 q0。二.圓球與平面（或凹球面）的接觸 利用上面關(guān)于兩彈性球體接觸時(shí)的有關(guān)結(jié)論，可得如下公式： 當(dāng)圓球與平面接觸時(shí)，將以上結(jié)果中的R1=R0,R2則得：3122212101143FEERa3122222121011169FEER3122212120301116EEFRqF30109. 1EFRa 3022231. 1REF32020388. 0RFEq 在E1=E2=E及1= 2=0.3時(shí)，F(xiàn) 當(dāng)圓球與凹球面接觸時(shí)，將以R1代替兩圓球接觸時(shí)公式中的R1，則可得：3122212112211143FEERRRRa312222212121121

8、1169FEERRRR3122221212211230116FEERRRRqF311221)(11.1RRERFRa在E1=E2=E及1= 2=0.3時(shí)，31212122)(23.1RRERRF31222121220)(383.0RRRRFEqF三 例題 直徑為10mm的鋼球與 a)直徑為100mm的鋼球； b)鋼平面； c)半徑為50mm的凹球面相接觸，其間的壓緊力P=10N，試球接觸圓的半徑a,兩球中心相對(duì)位移和最大接觸應(yīng)力q0 .(E=2.1105 N/mm2, =0.3）。解解:31212212)(23.1RRERRF31222122120)(388.0RRRRFEq312121)(11.1RRERFRaa)直徑為10mm的鋼球與直徑為100mm的鋼球；= 0.067 mm= 9.810-4 mm= 1080N/ mmF30109. 1EFRa 3022231. 1REF32020388. 0RFEq = 0.069 mm= 9.510-4 mm= 1010N/ mm(b)直徑為10mm的鋼