柯西中值定理的證明及應(yīng)用

1、柯西中值定理的證明及應(yīng)用馬玉蓮（西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，甘肅，蘭州，730070）摘要：本文多角度介紹了柯西中值定理的證明方法和應(yīng)用, 其中證明方法有: 構(gòu)造輔助函數(shù)利用羅爾定理證明，利用反函數(shù)及拉格朗日中值定理證明, 利用閉區(qū)間套定理證明, 利用達(dá)布定理證明, 利用坐標(biāo)變換證明. 其應(yīng)用方面有：求極限、證明不等式、證明等式、證明單調(diào)性、證明函數(shù)有界、證明一致連續(xù)性、研究定點(diǎn)問(wèn)題、作為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、推導(dǎo)中值公式.關(guān)鍵詞：柯西中值定理; 證明; 應(yīng)用1.引言 微分中值定理是微分學(xué)中的重要定理，它包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西中值定理，而柯西中值定理較前兩者更具有一般性、代表性，其敘

2、述如下：柯西中值定理：設(shè)函數(shù)f(x),g(x)滿足(1) 在上都連續(xù);(2) 在內(nèi)都可導(dǎo);(3) 和不同時(shí)為零;(4) , 則存在，使得 . （1）本文從不同思路出發(fā)，展現(xiàn)了該定理的多種證明方法及若干應(yīng)用，以便其更好的被認(rèn)識(shí)、運(yùn)用. 2.柯西中值定理的證明2.1構(gòu)造輔助函數(shù)利用羅爾定理證明柯西中值定理羅爾定理 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)，且則至少存在一點(diǎn), 使得.證明 構(gòu)造輔助函數(shù)，易見(jiàn)在上滿足羅爾定理?xiàng)l件，故存在，使得, （2）因?yàn)椋ㄈ魹?則同時(shí)為0, 不符條件）故可將（2）式改寫(xiě)為(1)式. 便得所證. 2.2利用反函數(shù)及拉格朗日中值定理證明柯西中值定理討論 顯然，當(dāng)時(shí)， 式即為

3、拉格朗日公式， 所以拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情況. 但若換一個(gè)角度，將和看成平面上某條曲線的參數(shù)方程，即可以表示為： 易知在（或）上連續(xù), 在（或）上可導(dǎo)， 由拉格朗日中值定理的幾何意義，存在曲線上一點(diǎn)過(guò)該點(diǎn)的斜率等于曲線兩端連線的 斜率（如圖1所示）. 設(shè)對(duì)應(yīng)于 圖1， 則由參數(shù)形式函數(shù)的求導(dǎo)公式，有.所以，柯西中值定理也可以看成是拉格朗日中值定理的參數(shù)表達(dá)形式.證明 由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，以及在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)恒不為零，且不難證明，在上嚴(yán)格單調(diào)，不妨設(shè)嚴(yán)格單調(diào)增加.下證嚴(yán)格單調(diào)，只證在上嚴(yán)格單調(diào)遞增.取，規(guī)定由的連續(xù)性知那么,對(duì)上式求極限,又,得到，由的任意性知故在

4、上嚴(yán)格單調(diào)遞增. 同理可得在上嚴(yán)格單調(diào)遞減, 故單調(diào)性得證.記，由反函數(shù)存在定理和反函數(shù)導(dǎo)數(shù)存在定理，在上存在的反函數(shù)，在上連續(xù)，在可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)，并且在上也是嚴(yán)格單調(diào)增加的.考慮上的復(fù)合函數(shù)，由定理?xiàng)l件和以上討論，即知在上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，于是，存在，使得.由和的關(guān)系，在中一定存在一點(diǎn)，滿足，于是代入上式就得到了定理結(jié)論.2.3利用閉區(qū)間套定理證明柯西中值定理 定義 如果一列閉區(qū)間滿足條件（1） ;（2）,則稱這列區(qū)間形成一個(gè)閉區(qū)間套. 閉區(qū)間套定理 如果形成一個(gè)區(qū)間套，則存在惟一的實(shí)數(shù)屬于所有的閉區(qū)間，且. 引理1 設(shè)函數(shù)在上有定義，且在處可導(dǎo)，又為一閉區(qū)間套，且，則.引理2 設(shè)函數(shù)

5、在上連續(xù)，則存在且，使得.現(xiàn)在把引理2推廣為：引理3 設(shè)函數(shù)，在上連續(xù)，且是單射，則存在，且，使.下面證明柯西中值定理：證明 首先證明，當(dāng)且時(shí)，有.反設(shè)，由引理2，存在，且，使,從而. 在上再次應(yīng)用引理2有，存在，且，使，從而又有. 反復(fù)利用引理2，最終可得一個(gè)閉區(qū)間套，滿足，且，由閉區(qū)間套定理，存在，使,根據(jù)引理1得：, 這與條件相矛盾. 再根據(jù)引理3，存在，且，使,反復(fù)利用引理3，類似與前面的證明，可得閉區(qū)間套，滿足且.由閉區(qū)間套定理存在，使。再由引理1有:.即柯西中值定理成立.2.4利用達(dá)布定理證明柯西中值定理達(dá)布定理 在上連續(xù)且可導(dǎo)，（1）若，則有，使得.（2）設(shè)，則對(duì)介于與間的數(shù)有點(diǎn)

6、介于與之間，且.根據(jù)拉格朗日中值定理，我們易知有下列命題成立：命題 設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，對(duì)，有，則在上嚴(yán)格單調(diào)增加（減少）.下面證明柯西中值定理：證明 構(gòu)造輔助函數(shù),顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且. 現(xiàn)要證明存在，使.假設(shè)對(duì)一切，則由達(dá)布定理易知，要么，要么，當(dāng)時(shí)則由命題易知在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)，從而在上嚴(yán)格單調(diào)增（因在上連續(xù)）. 從而與定理中的條件矛盾，當(dāng)時(shí)同樣可推出矛盾故有，即成立.2.5利用坐標(biāo)變換證明柯西中值定理微分中值定理證明的難點(diǎn)在于構(gòu)造輔助函數(shù)，而下列證明不通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)，利用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換來(lái)證明柯西中值定理.證明 構(gòu)造參數(shù)方程 ，, （3）L yMAB由定理?xiàng)l件知，方程（3）的圖像是平面上一條

7、連續(xù)且光滑的曲線，曲線的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，. 圖2.坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換圖由圖2所示，AB與軸正向夾角為，旋轉(zhuǎn)軸使平行于，曲線在軸上的投影區(qū)間為，則曲線上任意一點(diǎn)M在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為,而，所以曲線L在新坐標(biāo)系下是參數(shù)方程： （4）顯然，對(duì)于任意，均存在.設(shè) ，則方程（4） 在上滿足羅爾定理?xiàng)l件，故存在，使得且有，即存在，使得,所以有,即存在使得定理成立.3.柯西中值定理的應(yīng)用3.1求極限 求 .解 由柯西中值定理，得,即,有，故,因，故.3.2證明不等式 試證 若，都是可微函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，.證明 令，則.而,有,由于為任意小正數(shù)，令，有.3.3證明等式試證 若，則，其中在與之間.證明 由于，則不

8、在與之間，令，則，在與所限定的區(qū)間上滿足柯西中值定理，故,整理得.3.4證明單調(diào)性 設(shè)，在上單調(diào)增加，證明：在上單調(diào)增加.證明 由柯西中值定理，得， ，又因在上單調(diào)增加，故，有，即，則，即.故在上單調(diào)增加.3.5證明函數(shù)有界設(shè)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，已知函數(shù)在上有界，證明函數(shù)在上也有界.證明 設(shè),.首先對(duì)函數(shù)，應(yīng)用柯西中值定理，可以證明它是有界的： ,其中. 進(jìn)一步，對(duì)函數(shù)，也有 .3.6證明一致連續(xù)性 設(shè)在上可導(dǎo)，且存在且有限，試證在上一致連續(xù).證明 只要證存在，設(shè)則存在，有,有, ,由柯西中值定理,其中在與之間，因此,由存在且有極限知，對(duì)于, 有,于是有,其中在與之間，由柯西收斂原理知，存在且

9、有限，令 易知在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，故在上一致連續(xù)，從而在上一致連續(xù)，即在上一致連續(xù).3.7研究定點(diǎn)問(wèn)題設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，. 試證存在，使.證明 設(shè)，由知，在上滿足柯西中值定理，故至少存在使,即,又在上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件按，故至少存在，使,由上知，存在，使.3.8作為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系設(shè)在上連續(xù)可導(dǎo)，且，證明 .證明 因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以在上有界，剩下只要證明與上都有界. 以為例進(jìn)行證明，的情況類似可證.設(shè)為任意數(shù). 則由柯西中值定理有： ， （5）其中右端 , （6）因有界，由（5）、（6）知亦有界.3.9推導(dǎo)中值公式設(shè)在內(nèi)二次可微，試證：存在在之間，使 ， （7）成立（此即展開(kāi)到一次冪

10、Taylor公式）.證明 只證的情況（的情況類似可證，的情況顯然）.（7）式可改寫(xiě)成 , （8）為了證明（8），只要令，則，,由于，兩次應(yīng)用柯西中值定理，則 ,其中，即有.4結(jié)語(yǔ)本文用幾種方法證明了柯西中值定理，并探討了幾種常見(jiàn)的應(yīng)用. 證明方法可分為分析方法和幾何方法，分析方法有構(gòu)造輔助函數(shù)，利用反函數(shù)，借助實(shí)數(shù)完備性定理和有關(guān)連續(xù)函數(shù)的定理. 幾何方法是坐標(biāo)變換. 在應(yīng)用方面包括求極限、證明不等式、證明等式、證明單調(diào)性、證明函數(shù)有界、證明一致連續(xù)性、研究定點(diǎn)問(wèn)題、作為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、推導(dǎo)中值公式等.The Proof and Applicating of Cauchy Mean-valu

11、e TheoremMa Yu-lian(College of Mathematics and Information Science, Northwest Normal University,Lanzhou 730070,China)Abstract:This paper introduces the proof and application of Cauchy mean-value theorem from many angles. The methods of proof include: Roll theorem, Lagrange theorem, closed interval s

12、uit theorem, Darbou theorem and changing the direction of coordinate system; The applications contend: solving the problem of limitation, proving inequality, proving monotonicity, proving unanimously successive, proving the function have border, proving unanimously successive, researching the problem of fixed point,being the relationship between function and derivative,and demonstrating the mean-value formula.Key words:Cauchy mean-value theorem; proof; application參考文獻(xiàn)1 陳紀(jì)修，於崇華，金路，數(shù)學(xué)分析（上）M. 第二版北京：高等教育出版社.20042 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上）M.第三版 北京：高等教育出