現(xiàn)代控制理論_東北大學(xué)_第二章_控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

1、2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述第二章第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 2.1 2.1 基本概念基本概念2 2.2 .2 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立狀態(tài)空間表達(dá)式的建立2.3 2.3 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)( (矩陣矩陣) ) 2.4 2.4 組合系統(tǒng)組合系統(tǒng) 2.5 (2.5 (非奇異非奇異) )線性變換線性變換2.6 2.6 離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.1 2.1 基本概念基本概念2.1.1 2.1.1 定義定義(1)(1)狀態(tài)：狀態(tài)：系統(tǒng)過(guò)去、現(xiàn)在和將來(lái)的狀況系統(tǒng)過(guò)去、現(xiàn)在和將來(lái)的狀況(2

2、)(2)狀態(tài)變量：狀態(tài)變量： 能夠完全表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的能夠完全表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的最小一組變量：最小一組變量： 00( ). t tx tx ta表示系統(tǒng)表示系統(tǒng) 時(shí)刻的狀態(tài)時(shí)刻的狀態(tài) 0t. b0tt tu0tt 當(dāng)當(dāng)時(shí)的輸入時(shí)的輸入給定，且上述給定，且上述時(shí)的行為時(shí)的行為 狀態(tài)確定時(shí)，狀態(tài)變量能完全確定系統(tǒng)狀態(tài)確定時(shí)，狀態(tài)變量能完全確定系統(tǒng)初始初始在在2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(5)(5)狀態(tài)方程：描述系統(tǒng)狀態(tài)與輸入之間關(guān)系狀態(tài)方程：描述系統(tǒng)狀態(tài)與輸入之間關(guān)系的、一階微分方程（組）：的、一階微分方程（組）：( )( )( )x tAx tBu t 11, , ,. n

3、TnxtL xtx txtL xt作為分量的向量，即作為分量的向量，即(3) (3) 狀態(tài)向量：以系統(tǒng)的狀態(tài)向量：以系統(tǒng)的 個(gè)獨(dú)立狀態(tài)變量個(gè)獨(dú)立狀態(tài)變量n為為 1,nxtxt (4) (4) 狀態(tài)空間狀態(tài)空間: : 以狀態(tài)變量以狀態(tài)變量 n維空間維空間。標(biāo)軸構(gòu)成的標(biāo)軸構(gòu)成的坐坐2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述( )( )( )y tCx tDu t輸出方程：描述系統(tǒng)輸出與狀態(tài)、輸入之間關(guān)輸出方程：描述系統(tǒng)輸出與狀態(tài)、輸入之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式：系的數(shù)學(xué)表達(dá)式：(6)(6)(7)(7)狀態(tài)空間表達(dá)式：狀態(tài)空間表達(dá)式： (5)+ (6). (5)+ (6).狀態(tài)變量的特點(diǎn)：狀態(tài)變量的

4、特點(diǎn)：(1)(1)獨(dú)立性：狀態(tài)變量之間線性獨(dú)立獨(dú)立性：狀態(tài)變量之間線性獨(dú)立. . (2) (2)多樣性：狀態(tài)變量的選取并不唯一，實(shí)多樣性：狀態(tài)變量的選取并不唯一，實(shí)際上存在無(wú)窮多種方案際上存在無(wú)窮多種方案. .(3)等價(jià)性：兩個(gè)狀態(tài)向量之間只差一個(gè)非奇異等價(jià)性：兩個(gè)狀態(tài)向量之間只差一個(gè)非奇異變換變換. .2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(4)(4)現(xiàn)實(shí)性：狀態(tài)變量通常取為涵義明確的物理量現(xiàn)實(shí)性：狀態(tài)變量通常取為涵義明確的物理量. .(5(5) )抽象性：狀態(tài)變量可以沒(méi)有直觀的物理意義抽象性：狀態(tài)變量可以沒(méi)有直觀的物理意義. .2.1.2 2.1.2 狀態(tài)空間表達(dá)式的一般形式：狀

5、態(tài)空間表達(dá)式的一般形式：(1)(1)線性系統(tǒng)線性系統(tǒng) x tA t x tB t u t y tC t x tD t u t,nxR,puRqyR2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 其中，其中，A A為系統(tǒng)矩陣，為系統(tǒng)矩陣，B B為控制矩陣，為控制矩陣，C C為輸出為輸出矩陣，矩陣，D D為直接傳遞矩陣。為直接傳遞矩陣。(2)(2)非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng), ,xf x u t, ,yg x u t2.1.3 2.1.3 狀態(tài)空間表達(dá)式的狀態(tài)變量圖狀態(tài)空間表達(dá)式的狀態(tài)變量圖2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述繪制步驟繪制步驟：（：（1 1）繪制積分器繪制積分器 （2 2）

6、畫(huà)出加法器和放大器畫(huà)出加法器和放大器 （3 3）用線連接各元件，并用箭頭用線連接各元件，并用箭頭 示出信號(hào)傳遞的方向。示出信號(hào)傳遞的方向。例例2.1.1 2.1.1 設(shè)一階系統(tǒng)狀態(tài)方程為設(shè)一階系統(tǒng)狀態(tài)方程為xaxbu則其狀態(tài)圖為則其狀態(tài)圖為2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1223312313632xxxxxxxxuyxx 例例2.1.2 2.1.2 設(shè)三階系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為設(shè)三階系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述則其狀態(tài)圖為則其狀態(tài)圖為2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2 2.2 .2 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立狀態(tài)空間表達(dá)式的建立2

7、.2.1.2.2.1.由物理機(jī)理直接建立狀態(tài)空間表達(dá)式：由物理機(jī)理直接建立狀態(tài)空間表達(dá)式：例例2.2.1 2.2.1 系統(tǒng)如圖所示系統(tǒng)如圖所示12, ,LCxixu選擇狀態(tài)變量：選擇狀態(tài)變量：2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2CLCdudiLuCRudtdt11()CLLdudiiuLCdtRdt整理得：整理得：1 211212()CLLudiiRRRudtL L RRL RR 112121CLcduRiudtC RRC RR2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述狀態(tài)方程為：狀態(tài)方程為：11212112121()CudxRRRxxdtL RRRR LL21121212

8、1dxRxxdtC RRC RR輸出方程為：輸出方程為：2Cyux2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 寫(xiě)成矩陣形式寫(xiě)成矩陣形式1211112122212121110()()R RRxxL RRL RRLuRxxC RRC RR1201xyx2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述例例2.2.2 2.2.2 系統(tǒng)如圖系統(tǒng)如圖uLRJRfuf2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 RLLReuuuudidi RLCdtdt機(jī)22 mddC iJfdtdt123, , xxxi取狀態(tài)變量取狀態(tài)變量: :2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述得：得：12223

9、3231;mexxfCxxxJJCRxxxuLLL 系統(tǒng)輸出方程為：系統(tǒng)輸出方程為：1yx2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述11223312301000010100Tmexxxf JCJxLuxCLR Lxxyxx寫(xiě)成矩陣形式的狀態(tài)空間表達(dá)式為：寫(xiě)成矩陣形式的狀態(tài)空間表達(dá)式為：2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.2.2 2.2.2 根據(jù)高階微分方程求狀態(tài)空間表達(dá)式根據(jù)高階微分方程求狀態(tài)空間表達(dá)式 12121.nnnnnya ya yaya yu (1) 0iut 的情形：的情形： a). 化為能控標(biāo)準(zhǔn)型化為能控標(biāo)準(zhǔn)型121nnxyxyxy取狀態(tài)變量：取狀態(tài)變量：2

10、005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述則有：則有：1223111211 nnnnnnxxxxxxxa xaxa xuyx 1 iix tyt即即2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 .x tAx tbu ty tcx t寫(xiě)成矩陣形式：寫(xiě)成矩陣形式：其中：其中：11010,001nnAaaa稱為友矩陣稱為友矩陣。2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述0, 10001bc 能控標(biāo)準(zhǔn)型能控標(biāo)準(zhǔn)型2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述12113212321323431311nnnnnnnnnnnnnnxya yayayayxya yayayxya yayxya

11、yxy取狀態(tài)變量：取狀態(tài)變量：b). 化為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型化為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述121112211 nnnnnnnnnnnxa xuxxaxxxa xxxa xyx 整理得：整理得：2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述11 2211 001100010nnnnxxaxxauxxa 則得能觀標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式：則得能觀標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式：12y001Tnxxx2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 12121120121 . nnnnnnnnnnya ya yaya yb ubub ub ub u (2) 0iut 的情形：的情形：

12、001100221120111101. nnnnnbbastepbaabaaa計(jì)算：計(jì)算：2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1020130121120121.nnnnnnxyuxyuuxyuuuxyuuuu2 step定義狀態(tài)變量定義狀態(tài)變量: :2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述11122211010001nnnnnxxxxuxaaax12100100nxxyxuux寫(xiě)成矩陣形式的狀態(tài)空間表達(dá)式寫(xiě)成矩陣形式的狀態(tài)空間表達(dá)式3step2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.2.3. 2.2.3. 根據(jù)傳遞函數(shù)求狀態(tài)空間表達(dá)式：根據(jù)傳遞函數(shù)求狀態(tài)空間表達(dá)式

13、：(1) (1) 直接分解法直接分解法單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)： 1011111( )( )mmmmnnnnb sbsbsbY sg sU ssa sasa.mn 1110111nnnnnnnbsbsbg sbg sdsa sasa2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 111111nnnnnnnY sbsbsbg sU ssa sasa輸出為：輸出為： 11111(1)111nnnnnnnnbsb sb sY sU sasa sa s令：令： 1(1)1111nnnnE sU sasa sa s2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

14、 1212nnE sU sas E sas E sas E s 12(1)121nnnnY sbs E sb s E sb sE sb s E s則有：則有：12( ),( ),( )ns E ss E ssE s的的L L氏反變換，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間氏反變換，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為表達(dá)式為令：令：分別表示分別表示11, ，nnxxx2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述112211010000101nnnnxxxxuxaaax 11120.Tnnnybbbxxxb u2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述例例2.2.3 2.2.3 考慮系統(tǒng)考慮系統(tǒng)5863yyyyu試寫(xiě)出

15、其能控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式試寫(xiě)出其能控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式。122331231685xxxxxxxxuyx 則狀態(tài)空間表達(dá)式為：則狀態(tài)空間表達(dá)式為：選擇狀態(tài)變量：選擇狀態(tài)變量：123,xy xy xy2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(2) (2) 并聯(lián)分解法并聯(lián)分解法極點(diǎn)兩兩相異時(shí)極點(diǎn)兩兩相異時(shí) 12nN sg sN sD sspspsp1212nncccspspsp其中：其中： limiiispcsp g s令：令： 1iix su ssp2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 iiisx sp x su s則有：則有： iiix tp x tu t 11nniii

16、iiiicy su sc x ssp則有：則有： 1niiiy tc x t2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的矩陣式表達(dá)：系統(tǒng)的矩陣式表達(dá)：111222001001001nnnxpxxpxuxpx 1212nnxxybbbx2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.3 2.3 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)( (矩陣矩陣) )xAxbuycxdu(0)0,(0)0 xx:,:1,:1,: 1 1Annb ncqd2.3.1 SISO2.3.1 SISO系統(tǒng)系統(tǒng)取取L L氏變換得：氏變換得：1)( )( )( )( ) () ( )sx sAx sbu sy sc s IAbd

17、u s 2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1()( )()|c adj sIA bg sc sIAbddsIAA A的特征值即為系統(tǒng)的極點(diǎn)。的特征值即為系統(tǒng)的極點(diǎn)。2.3.2 MIMO2.3.2 MIMO系統(tǒng)系統(tǒng)xAxBuyCxDu其中：其中：:,:,:,:A nnB npC qnD qp2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1( )( )( )y sG su sC sIABD1111( )( )( )( )pqqpq pgsgsgsgs2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.4 2.4 組合系統(tǒng)組合系統(tǒng)2.4.1 2.4.1 并聯(lián)并聯(lián): :系統(tǒng)如圖，二子系

18、統(tǒng)并聯(lián)連接系統(tǒng)如圖，二子系統(tǒng)并聯(lián)連接系統(tǒng)1G1(s)系統(tǒng)2G2(s)Uy+2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述11 11 1111 11 1:xAxBuyC xDu22222222222:xA xB uyC xD u特點(diǎn)：特點(diǎn)：1212,uuu yyy2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1111222200 xAxBuxAxB 1 12212121212 TyC xC xDuD uCCxxDDu 1212y sy sysG sGsu s 12G sG sGs2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.4.2 2.4.2 反饋反饋系統(tǒng)如圖，二子系統(tǒng)并聯(lián)連接系統(tǒng)如圖

19、，二子系統(tǒng)并聯(lián)連接系統(tǒng)1G1(s)系統(tǒng)2G2(s)Uyy1u2y2U1_2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述11 11 1111 1:xAxBuyC x222222222:xA xB uyC x特點(diǎn)：特點(diǎn)：1212,yyu uuy(1) (1) 動(dòng)態(tài)反饋動(dòng)態(tài)反饋2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述111211221220 xABCxBuxB CAx1120TyCxx 11112112 y sy sG s u sG su sysG s u sG s Gs y s 1121.G sIG s GsG s傳遞矩陣：傳遞矩陣：2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 11

20、21G sIG s GsG s(2) (2) 靜態(tài)反饋靜態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為：閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為：()()xAxB uHyABHC xBuyC x閉環(huán)系統(tǒng)傳遞矩陣為：閉環(huán)系統(tǒng)傳遞矩陣為： 111G S IHG s2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.5 (2.5 (非奇異非奇異) )線性變換線性變換xAxBuyCxDuxPx2.5.1 2.5.1 狀態(tài)向量的線性變換狀態(tài)向量的線性變換考慮系統(tǒng)：考慮系統(tǒng)：取線性非奇異變換取線性非奇異變換：, ,矩陣矩陣P P非奇異非奇異PxAPxBuyCPxDu2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述11.xP APxP Buy

21、CPxDuxAxBuyCxDu11, , .AP APDDCCPBP B整理得：整理得：其中：其中：2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述例例2.5.1 2.5.1 考慮系統(tǒng)考慮系統(tǒng)1122010231xxuxx 1260 xyx1231220,xPxP取變換：取變換：16220P2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間表達(dá)式變?yōu)椋籂顟B(tài)空間表達(dá)式變?yōu)椋?1022130 xP APxP Buxu 12312206 00 3yxx2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.5.2 2.5.2 對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型為 階陣維滿則稱 為陣為義對(duì)應(yīng)AnnAA:令矩。若

22、和向量足 ,矩的特征根定，而 的特征向量。1, ,對(duì)統(tǒng)陣個(gè)兩兩則線變換將統(tǒng)為對(duì)標(biāo)nxPxxAxBuAxAxBLun定理:于系， 若矩具有 相異的特征根，系化角 準(zhǔn)存在 性非型奇異。， 2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1100nAP AP1,1,證設(shè)， 為 對(duì)應(yīng)則niiPpppin明：特征根所的特征向量。 有：2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述11111, , ,nnnnnAPApApppppPA1:.AP AP2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述充要條件：充要條件：n n 階系統(tǒng)矩陣階系統(tǒng)矩陣 A A 有有n n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。特征

23、向量?；瘜?duì)角標(biāo)準(zhǔn)型的步驟：化對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型的步驟：113:.nstepAP AP1: step求取系統(tǒng)矩陣求取系統(tǒng)矩陣A的的 n個(gè)特征根個(gè)特征根1,n和對(duì)應(yīng)的特征向量和對(duì)應(yīng)的特征向量1,.npp1,nPpp2:step令令 2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述解：解：1)1) 求系統(tǒng)特征根求系統(tǒng)特征根例例2.5.2 2.5.2 將下系統(tǒng)化為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型將下系統(tǒng)化為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型211101020213xxu 211010(2 (1)(1)0021IA）1232,1,1 2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2)2)求特征向量求特征向量112131011003000210vvv 21

24、3121213103020vvvvv1100v 對(duì)對(duì)12，由由得得11()0IA v2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2101v 122232111002000200vvv 1222322222000vvvvv對(duì)對(duì)21，由由得得22()0IA v2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述132333311000000220vvv 1323332333300vvvvv3011v對(duì)對(duì)31， 由由得得33()0IA v2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述123110 ,001011Pv v v，1111011010P3) 3) 新的狀態(tài)方程為：新的狀態(tài)方程為：1120

25、0201050012xP APxP Buxu P ：構(gòu)成狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣構(gòu)成狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.5.3 2.5.3 若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型1()2,jjiiiiIA vvjn ，11111A1()0nIA重特征根重特征根A設(shè)矩陣設(shè)矩陣具有具有n滿足滿足是是11v1所對(duì)應(yīng)的特征向量。若所對(duì)應(yīng)的特征向量。若ji變換化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。變換化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型?？赏ㄟ^(guò)可通過(guò)ji則則稱為廣義特征向量。矩陣稱為廣義特征向量。矩陣A線性線性2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 113:.1kstepAP APJ 求約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的步驟：求約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的步驟：11:.1=0,=-,2iistepIAIAik 求解求解 122:,.，kstepP 令令 2005-11-5第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.6 2.6 離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式 11011()(1)(1)(