理論力學自學全部教程

1、第一部分第一部分 靜力學靜力學第一部分第一部分 靜力學靜力學 引論引論 剛體靜力學剛體靜力學(statics of rigid bodies)研究研究剛剛體體(rigid body)在力系的作用下相對于慣性系靜止在力系的作用下相對于慣性系靜止的力學規(guī)律的力學規(guī)律。 (1) 力學模型力學模型剛體剛體 在力的作用下不變形的物體稱為剛體。剛體。 在實際生活中，完全不變形的物體并不存在，在實際生活中，完全不變形的物體并不存在，剛體不過是實際物體和構件的抽象和簡化。剛體不過是實際物體和構件的抽象和簡化。 吊車梁的變形吊車梁的變形 吊車梁在起吊重物時所產生的最大撓度 一般不超過梁的跨度的1/500 簡化的

2、條件除了要求物體的變形不大簡化的條件除了要求物體的變形不大之外，更重要的是這種變形對我們所研之外，更重要的是這種變形對我們所研究的問題的結果產生的影響要足夠小。究的問題的結果產生的影響要足夠小。 但在研究吊車梁的強度問題時，就不能這樣簡化了。 這種小變形對于兩端支承力的影響是微不足道的，因此在計算兩端的支承力時，吊車梁可在計算兩端的支承力時，吊車梁可簡化為剛體。簡化為剛體。(2) 力系力系 作 用 于 同 一 剛 體 的 一 組 力 稱 為 力 系力 系( system of forces) 。使剛體的原有運動狀態(tài)不發(fā)生改變的力系。F3F2F1F4MqABFAxFAyFB平衡力系平衡力系(fo

3、rce system of equilibrium)(3) 基本問題：基本問題： 物體的受力分析；物體的受力分析； 力系的等效替換及簡化；力系的等效替換及簡化； 力系的平衡條件及其應用。力系的平衡條件及其應用。 剛體在平衡力系的作用下并不一定處于靜止剛體在平衡力系的作用下并不一定處于靜止狀態(tài)，它也可能處于某種慣性運動狀態(tài)。狀態(tài)，它也可能處于某種慣性運動狀態(tài)。平衡條件平衡條件(equilibrium conditions) 平衡力系所要滿足的數(shù)學條件。1. 工程力學教程工程力學教程 () 范欽珊范欽珊 主編主編 高等教育出版社高等教育出版社（九五九五國家級重點教材）國家級重點教材）2.2. 理論

4、力學理論力學( (第三版第三版) ) 浙江大學理論力學教研室浙江大學理論力學教研室, ,高等教育出版高等教育出版社，社，19991999（面向（面向2121世紀課程教材）世紀課程教材） 參考書目參考書目1 靜力學基礎靜力學基礎1.2.3 力系等效原理力系等效原理 應用于變形體應用于變形體 1.1 力和力矩力和力矩 1.1.1 力的概念力的概念1.1.2 力對點的矩力對點的矩 1.1.3 力對軸的矩力對軸的矩1.2 力系等效原理力系等效原理1.2.1 力系的主矢和主矩力系的主矢和主矩1.2.2 力系等效原理力系等效原理1.3 力偶與力偶矩力偶與力偶矩1.4 物體的受力分析物體的受力分析 1.4.

5、1 約束與約束反力約束與約束反力1.4.2 物體的受力分析物體的受力分析 1 1 靜力學基礎靜力學基礎1.1 力和力矩力和力矩 1.1.1 力的概念力的概念 力是物體間的相互作用，作用結果使物體的力是物體間的相互作用，作用結果使物體的運動狀態(tài)發(fā)生改變，或使物體產生變形。運動狀態(tài)發(fā)生改變，或使物體產生變形。 對剛體而言，力的作用只改變其運動狀態(tài)。 力是矢量力是矢量 力的三要素力的三要素(three elements of a force) 兩個共點力的合成又滿足平行四邊形法則，因而力是定位矢量力是定位矢量(fixed vector) 。FCCABFAF1量度力的大小的單位,在國際單位制中用 牛頓

6、（N） 千牛頓（kN）力的作用線力的作用點力矢量的表示: F1、FA力矢量的模: F1、FA1FAF、 作用力和反作用力作用力和反作用力 力的另一重要性質是由牛頓第三定律牛頓第三定律(Newtons third law)所描述的作用力和反作用力之間的關系，即: 兩個物體之間的作用力與反作用力總是同時兩個物體之間的作用力與反作用力總是同時存在，且大小相等、方向相反、沿同一直線，存在，且大小相等、方向相反、沿同一直線，并分別作用在兩個不同的物體上。并分別作用在兩個不同的物體上。 F1F2 分布力分布力(distributed force) 與集中力與集中力(concentrated force)

7、分布力分布力 集中力集中力集中作用于物體上一點的力.表面力表面力(surface forces)(surface forces): :連續(xù)作用于物體的某一面積上的力.體積力體積力(body forces)(body forces): :連續(xù)作用于物體的某一體積內的力.ABCP 實際上要經(jīng)一個幾何點來傳遞作用力是不可能實際上要經(jīng)一個幾何點來傳遞作用力是不可能的，集中力只是作用于一個小區(qū)域上的分布力，的，集中力只是作用于一個小區(qū)域上的分布力，一切真實力都是分布力。一切真實力都是分布力。 集中力只是分布力在一定條件下的理想化模型。集中力只是分布力在一定條件下的理想化模型。能否進行這種簡化主要取決于我

8、們所研究的問題能否進行這種簡化主要取決于我們所研究的問題的性質。的性質。 力在坐標軸上的投影力在坐標軸上的投影 力在坐標軸上的投影是代數(shù)量，應特別注意力在坐標軸上的投影是代數(shù)量，應特別注意它的符號。它的符號。FFxiFyjFzkxyzFFFFijkcoscoscosxyzFFFFFFF iF jF k 二次投影法二次投影法 (second projection) cossin cossinsin sincosxxyyxyzFFFFFFFFFFxyxzy已知力F在各坐標軸上的投影，則可求得力F的大小和它相對于各軸的方向余弦，即222xyzFFFFcos( , )/cos( , )/cos( ,

9、)/xyzFFFFFFF iF jF k1.1.2 力對點的矩力對點的矩 力矩力矩(moment of a force)是用來量度力使物體產生轉動效應的概念。 力對點的矩的概念力對點的矩的概念 作用于剛體的力F對空間任意一點O的力矩力矩定義為() =OMFrF式中O點稱為矩心矩心(center of moment)，r為矩心O引向力F的作用點A的矢徑，即力對點的矩力對點的矩(moment of a force about a point)定義為矩心到矩心到該力作用點的矢徑與力矢的矢量積。該力作用點的矢徑與力矢的矢量積。 MO (F)通常被通常被看作為看作為一個一個定位矢量定位矢量，習慣，習慣上

10、總是將它的起點畫在矩心上總是將它的起點畫在矩心O處，但這并不處，但這并不意味著意味著O就是就是MO (F)的作用點。的作用點。MO(F)=rFFrAOhPlane determined by O and F力矩矢的三要素力矩矢的三要素 力矩矢的三要素為大小、方向和矩心。力矩矢的三要素為大小、方向和矩心。 MO (F)的大小即它的模 式中為r和F正方向間的夾角，h為矩心到力作用線的垂直距離，常稱為力臂力臂(moment arm)。MO (F)的方向垂直于r和F所確定的平面，指向由右手定則確定。( )sinOFrFhM Fr F=平面問題平面問題 平面問題中，由于矩心與力矢均在同一個特定的平面內，

11、力矩矢總是垂直于該平面，即力矩的方向不變，指向可用正、負號區(qū)別，故力矩由矢量變成了代數(shù)量代數(shù)量，且有OFhr()OMFhF 正負號通常規(guī)定為正負號通常規(guī)定為:+逆時針為正逆時針為正順時針為負順時針為負OFhMO(F) = Fh 平面問題平面問題 矢量表達式MO(Fxy)=(rxy Fxy) kzrxyFxyxyOkh 力對點的矩在坐標軸上的投影力對點的矩在坐標軸上的投影 力矩的單位在國際單位制(SI)中為牛頓米(Nm)或千牛頓米(kNm)。xyzFFFFijkxyzrijkFrxyzMO(F)Ojik()OMFrFxyzxyzFFFijk)()()zyxzyx(yFzFzFxFxFyFijk(

12、)()()OxzyOyxzOzyxM= yFzFM= zFxFM= xFyFFFF1.1.3 力對軸的矩力對軸的矩 力對軸的矩力對軸的矩(moment of a force about an axis)用來量度力對其所作用的剛體繞某固定軸轉動的效應。zF 矩軸矩軸 (axis of moment) OzzFFzFxy 力對軸的矩的概念力對軸的矩的概念 空間力對軸之矩歸結為平空間力對軸之矩歸結為平面上的力對點之矩。面上的力對點之矩。hO() =() =xzOxyyMMF hFF 作用于剛體的力F 對 z 軸的矩定義為 力對軸的矩是代力對軸的矩是代數(shù)量。數(shù)量。正負號的規(guī)正負號的規(guī)定是按右手定則與定

13、是按右手定則與z軸的指向一致時為軸的指向一致時為正，反之為負。正，反之為負。M z (F) 0 M z (F) 0 zz 當力的作用線與z軸平行(Fxy = 0)或相交(h=0)時，或概括起來講，當力與軸共面時當力與軸共面時，力對軸的矩等于零力對軸的矩等于零。力對軸之矩力對軸之矩 zOhFFzFxyrxyk矢量表達式( )=()=()xzyxxOyyMMFFrFk 力對點之矩與力對軸之矩的關系力對點之矩與力對軸之矩的關系 zxyr = r+ rzxyF = F+ F力F 對O點之矩MO(F)在 z 軸上的投影為： 首先將力的作用點的矢徑r和力F分解如下:()()OzMFrFk()()OzMFr

14、FkMO(F)在 z 軸上的投影MOz(F)FrxyzMO(F)OkMOz(F)FrrxyFxyxyzMO(F)Ozxyzxyrr + rFF + F()()OzMFrFk即有 則有MO(F)在 z 軸上的投影將上式右端展開，并注意到()()()zxy zzxyOMFrrFF+k+0zzrF()0 zxyrFk()0 xyzrFk()()OzMFrFk()xyxyrFk而另一方面力F 對z軸之矩可表示為 我們得到一個說明力對軸之矩與力對點之矩的關系的重要結論：力對任意軸之力對任意軸之矩等于該力對軸上任一點之力矩矢在該矩等于該力對軸上任一點之力矩矢在該軸上的投影。軸上的投影。因此( )=()=(

15、)xzyxxOyyMMFFrFk() =()zOzMMFF于是我們有力對坐標軸之矩的解析表達式： 式中x、y、z是力的作用點的坐標，F(xiàn)x、Fy、Fz分別是F在各坐標軸上的投影。( )( )( )( )( )( )xOxzyyOyxzzOzyxMMyFzFMMzFxFMMxFyFFFFFFFOAxyzF3a例例1.1 長方體的上、下底為正方形，邊長為 ，高為a，求圖中力F 對頂點O之矩。解解：設沿各坐標軸的基矢量為i、j、 k ，則F的作用點A的矢徑為 OAxyzFr3()a =ri + j力F在坐標軸上的投影為 = 0 xF32=sin=yFF F12=cos=zFF F故132()F+F =

16、jk因此()OMFrF33312200aaFFijk3()a =ri + j332()Fa ijk例例1.2 園柱的底半徑為r，高為2r，求圖中作用于B點的力F 對x、y、z軸以及OE軸之矩。 OAxyzBEeCDF解解：力F的作用點B的坐標為 0, 2x=r, y=z= r而666663,xyzFFFFFF OAxyzBEeCDF 于是F 對各坐標軸之矩分別為 根據(jù)( )( )( )( )( )( )xOxzyyOyxzzOzyxMMyFzFMMzFxFMMxFyFFFFFFF由此即有 0, 2x=r, y=z= r666663,xyzFFFFFF63Fr 066Fr66()( 2)OFrM

17、Fik()xzyMyFzFF ()yxzMzFxFF ()zyxMxFyFF 設沿OE軸的單位矢為e，則有 因此力F 對OE軸之矩為66()( 2)OFrMFik55(2 )ejk()()OEOMFe MF3015F rOAxyzBEeCDF 力的概念力的概念 力學模型力學模型剛體剛體剛體靜力學研究的基本問題剛體靜力學研究的基本問題力是約束矢量力是約束矢量 力系力系的概念的概念 力在坐標軸上的投影力在坐標軸上的投影 引論引論 力對點的矩力對點的矩 力對點的矩的概念力對點的矩的概念 力對點的矩在坐標軸上的投影力對點的矩在坐標軸上的投影 力對軸的矩力對軸的矩 力對軸的矩的概念力對軸的矩的概念 力對

18、點之矩與力對軸之矩的關系力對點之矩與力對軸之矩的關系靜力學基礎靜力學基礎1.2 力系等效原理力系等效原理1.3 力偶與力偶矩力偶與力偶矩1.2 力系等效原理力系等效原理 1.2.1 力系的主矢和主矩力系的主矢和主矩 力系的主矢力系的主矢 稱為該力系的主矢量主矢量(principal vector)。FnF2F1Fi 作用于某剛體上的若干個力F1,F2,Fn構成空空間一般力系間一般力系(three dimensional force system)，通常表示為（F1,F2,Fn）。這n個力的矢量和1Rnii=FF 力系的主矢在坐標力系的主矢在坐標軸上的投影等于力軸上的投影等于力系中各力在相應軸系

19、中各力在相應軸上投影的代數(shù)和上投影的代數(shù)和 注意力系的主矢僅涉及力系中各力的大小和方向，而與其作用點無關，故力系的力系的主矢是一個自由矢量主矢是一個自由矢量(free vector)，而不是而不是一個力。一個力。RRRxixyiyzizFFFFFF 力系的主矩力系的主矩 空間一般力系（F1,F2,Fn）中各力對某點O的矩的矢量和 () =OOiiiMMFrF稱為該力系對于矩心力系對于矩心O的主矩的主矩(principal moment)，式中ri是由矩心O引向力Fi的作用點的矢徑。主矩主矩MO在以矩心O為原點的任意直角坐標系Oxyz上的投影表達式： 即即力系的主矩在通過矩心的任意軸上的投影等力

20、系的主矩在通過矩心的任意軸上的投影等于該力系中各力對同一軸的矩的代數(shù)和。于該力系中各力對同一軸的矩的代數(shù)和。()()()()()()OxOxxOyOyiiyOzOziiiziMMMMMMMMMFFFFFF 力系的主矩力系的主矩MO是位于矩心是位于矩心O處的處的定位矢量，定位矢量，與力系的主矢不同，主矩主矩與矩心的位置有關與矩心的位置有關。因此，說到“力力系的主矩系的主矩”時，一定要指明是對哪一點的主矩，否則就沒有意義。F3F2F1F4ABMA(Fi) MB(Fi)1.2.2 力系等效原理力系等效原理 在剛體靜力學中，如果兩個不同的力系對同一剛體產生同樣的作用，則稱此二力系互為等效等效力系力系(

21、equivalent force systems)。AqBL2L2ABL2L2P=qLFF顯然，等效力系的相互替換并不影響它們對剛等效力系的相互替換并不影響它們對剛體的作用。體的作用。與一個力系等效的力稱為該力系的合力合力(resultant force)，但并非任何一個力系都有合力并非任何一個力系都有合力。因為完全不受力作用的剛體其運動狀態(tài)是不會發(fā)生改變的，故平衡力系即是與平衡力系即是與零力系零力系(null force-system)等效的力系。等效的力系。 力系等效原理力系等效原理 兩個力系等效的充分必要條件是主矢兩個力系等效的充分必要條件是主矢量相等，以及對同一點的主矩相等。量相等，以

22、及對同一點的主矩相等。 力系等效原理力系等效原理(principle of equivalent force systems)實際上只是動量定理和動量矩定理的一個推論。但在講述動力學的這些定理之前，在剛體靜力學中我們也可以把它看成是一個基于經(jīng)驗事實的基本假設基本假設。 力系等效原理力系等效原理是剛體靜力學理論體系的基礎，無論在理論上還是在實際應用中都具有重要意義。 力系等效原理表明，力系對剛體的作用完全取決于它的主矢和主矩，因此主矢主矢和主矩主矩是力系的最重要的基本特征量。 力系等效原理的推論力系等效原理的推論 1. 平衡定理平衡定理 力系平衡的充分必要條件是該力系力系平衡的充分必要條件是該力

23、系的主矢及對于某一點的主矩同時等于零的主矢及對于某一點的主矩同時等于零,即即 i 0F()Oi 0MF2二力平衡定理二力平衡定理 剛體在兩個力的作用下處于平剛體在兩個力的作用下處于平衡的充分必要條件是此二力大小相等，方向相反衡的充分必要條件是此二力大小相等，方向相反且作用線重合。且作用線重合。2二力平衡定理二力平衡定理 剛體在兩個力的作用下處于平剛體在兩個力的作用下處于平衡的充分必要條件是此二力大小相等，方向相反衡的充分必要條件是此二力大小相等，方向相反且作用線重合。且作用線重合。F1F2 注意二力平注意二力平衡定理與牛頓衡定理與牛頓第三定律之間第三定律之間的區(qū)別。的區(qū)別。F1F24力的可傳性

24、定理力的可傳性定理 作用于剛體上某點的力可沿其作用線移至剛作用于剛體上某點的力可沿其作用線移至剛體內任一點而不改變該力對剛體的作用。體內任一點而不改變該力對剛體的作用。 于是,作用于剛體剛體的力由定位矢量變成了滑動滑動矢量矢量(sliding vector)。3加減平衡力系定理加減平衡力系定理 在作用于剛體的任一力系上加上或減去任意在作用于剛體的任一力系上加上或減去任意的平衡力系，并不改變原力系對剛體的作用。的平衡力系，并不改變原力系對剛體的作用。F3F4 FABCD思考題思考題根據(jù)力的可傳性定理,力F可沿其作用線移至 (1) 點A(2) 點A、B(3) 點A、B、C(4) 點A、B、C、D5

25、合力矩定理合力矩定理 若力系有合力，則合力對任一若力系有合力，則合力對任一點（或點（或軸軸）之矩等于力系中各力對同一點（或）之矩等于力系中各力對同一點（或軸軸）之矩的矢量和（或）之矩的矢量和（或代數(shù)和代數(shù)和）。）。MA(FR) = MA(Fi)Mz(FR) = Mz(Fi)AFRzFnF2F1FiAz合力矩定理的應用合力矩定理的應用FABCO已知: , AO=h, OC=r求:水平力F對C點之矩。MC(F)=Fr sin Fh cos FF1.3 力偶與力偶矩力偶與力偶矩F F FFF F 力偶的定義力偶的定義 兩個大小相等、兩個大小相等、作用線不重合的反作用線不重合的反向平行力組成的力向平行

26、力組成的力系 稱 為 力 偶系 稱 為 力 偶(couple)。 力偶中兩個力的作用線所確定的平面稱為 力 偶 的 作 用 面力 偶 的 作 用 面(acting plane of a couple)，二力作用線之間的垂直距離稱為力偶臂力偶臂(couple arm)。FFd Plane of the couple力偶的主矢和主矩力偶的主矢和主矩 力偶的主矢力偶的主矢 因為力偶（F，F(xiàn)）中F F,故FR = F+F= 0, 即力偶的主矢恒等于力偶的主矢恒等于零零。 力偶對任意點力偶對任意點O的主矩的主矩 力偶對任意點之主矩恒等于矢量積力偶對任意點之主矩恒等于矢量積 rF, ,而與矩心的位置無關而

27、與矩心的位置無關。 M( )()OOOM = MFMFOAOB= rFrF= rFOFFrABrOBrOA Plane of the couple()OAOB= rrF力偶矩矢量力偶矩矢量 力偶矩矢量力偶矩矢量(couple-vector)，用來量度力偶對剛體的作用效果，定義為 M = rF力偶矩矢的大小為力偶矩矢的大小為力偶矩矢的方向垂直于力偶的作用面，指力偶矩矢的方向垂直于力偶的作用面，指向按右手定則與力偶的轉向一致。向按右手定則與力偶的轉向一致。 力偶矩矢量是自由矢量力偶矩矢量是自由矢量,只有大小和方向只有大小和方向兩個要素。兩個要素。 sin( ,)FrFdMrFr F平面問題 由于力

28、偶的作用面總是與力系所在的平面重合，力偶矩由矢量變成代數(shù)量力偶矩由矢量變成代數(shù)量 正負號用來區(qū)別轉向，通常規(guī)定: 逆時針為正逆時針為正 順時針為負順時針為負+M =Fd力偶是最簡單的力系之一力偶是最簡單的力系之一 力偶中二力作用線不重合，根據(jù)二力平衡定理，它們不可能組成一個平衡力系； 因為力偶的主矢量FR = 0，它也不可能進一步簡化為一個力，否則FR 0，與力偶的定義相矛盾。 因此，與單個的力類似，力偶也是力偶也是最簡單的力系之一最簡單的力系之一。力偶等效變換的性質力偶等效變換的性質 1.力偶可在其作用面內任意轉動和移動； 2.力偶的作用面可任意平行移動； 3.只要保持力偶矩大小不變，可任意

29、同時 改變 力偶中力的大小和力偶臂的長短。 作用于剛體的力偶等效替換的條件是作用于剛體的力偶等效替換的條件是其力偶矩矢量保持不變其力偶矩矢量保持不變。 例例1 長方體由兩個邊長為a的正方體組成，如圖所示，試求力偶(F，F(xiàn))的力偶矩矢量M。xyzFrFxyzFrF解：解： 故333=, =, = 333xyzFFFFFF3()3FFijk 設由F的作用點至F 的作用點的矢徑為r, 則有 因此 xyzFrF()arik33()FaMrF=i + k例例2 正方體的邊長為a，大小均為P的6個力作用于正方體的棱邊上，如圖所示。試求該力系的主矢及對O點的主矩。 xyzF1F5OF6F3F2F4解解：注意

30、到原力系由同向平行力系(F1F4)和力偶(F5,F6)組成。力系(F1F4)的主矢為： F1F4的作用點相對于O點的矢徑分別為:r1r2r3xyzF1F5OF6F3F2F4(1)R4PFk1ari2()arij3arj40r 故 力偶(F5,F6)的主矢為零,力偶矩矢為: 因此原力系的主矢及對O點的主矩為:r1r2r3xyzF1F5OF6F3F2F42()Pa ij4411(1)()OiiiOiiMMFrF(2)()PaMjk(1)RR4PFFk(1)(2)(2)OOPaMMMijk力系的主矢和主矩力系的主矢和主矩力系等效原理力系等效原理力系等效原理的推論力系等效原理的推論 力偶力偶及及力偶矩

31、矢力偶矩矢力偶的主矢和主矩力偶的主矢和主矩力偶是最簡單的力系之一力偶是最簡單的力系之一力偶等效變換的性質力偶等效變換的性質靜力學基礎靜力學基礎1.4 物體的受力分析物體的受力分析(一一) 約束與約束反力的概念約束與約束反力的概念 1.4.1 約束與約束反力約束與約束反力1.4 物體的受力分析物體的受力分析自由體自由體(free body)非自由體非自由體(constrained body) 限制物體運動的條件，或者更直觀地說，對物體運動施加限制的周圍物體稱為約束約束(constraint)。 約束施于被約束物體 的 力 稱 為 約 束 力約 束 力(constraint force)。約束力是

32、一種接觸力。約束力是一種接觸力。約束力約束力(constraint force)主動力主動力(applied force) 載荷載荷(load)靜力學中力的分類:約束的基本類型剛體靜力學的典型問題 約束的基本類型約束的基本類型 1. 柔索柔索 工程中的繩索、鏈條、皮帶等物體可簡化為柔索柔索(flexible cable)。理想化的柔索不可伸長，不計自重，且完全不能抵抗彎曲。MFTFT柔索的約束力是沿繩向的拉力柔索的約束力是沿繩向的拉力。2. 光滑接觸面光滑接觸面 nnFN 光滑接觸面的約束光滑接觸面的約束力沿接觸處的公法線力沿接觸處的公法線方向，作用于接觸點，方向，作用于接觸點，且為壓力。且為

33、壓力。 若兩物體的接觸面上摩擦力很小而可忽略不計時，就可簡化為光滑接觸面光滑接觸面(smooth surface)。光滑接觸面約束光滑接觸面約束FCFBFAFGABC 用圓柱銷釘將兩個零件連接在一起，并假設接觸面是光滑的，這樣構成的約束稱為光滑圓柱鉸鏈光滑圓柱鉸鏈(smooth cylindrical pin)，簡稱鉸鏈鉸鏈。 被連接的構件可繞銷釘軸作相對轉動，但相對移動則被限制。 3光滑圓柱鉸鏈光滑圓柱鉸鏈 光滑圓柱鉸鏈的約束力是一個大小和方向都未知的二維矢量FN 。 在受力分析時，為了方便起見，我們常常用兩個大小未知的正交分力正交分力Fx和和Fy來表示它。FNFyFx光滑圓柱鉸鏈在圖中的表

34、示光滑圓柱鉸鏈在圖中的表示AFAyFAxAyFAxF鉸鉸鉸鉸 當光滑圓柱鉸鏈連接的兩個構件之一與地面或機架固接則構成固定鉸鏈支座固定鉸鏈支座(fixed support of pin joint)。4固定鉸鏈支座固定鉸鏈支座 AA 固定鉸鏈支座在圖中的表示固定鉸鏈支座在圖中的表示FAyFAx5. 光滑球形鉸鏈光滑球形鉸鏈 固連于構件的小球嵌入另一構件上的球窩內，若接觸面的磨擦可以忽略不計，即構成光滑球形光滑球形鉸鏈鉸鏈(smooth ball and socket joint)，簡稱球鉸球鉸。球窩球窩小球小球光滑球形鉸鏈光滑球形鉸鏈 球窩球窩小球小球FNFxFyFz 與鉸鏈相似，球鉸提供的約束

35、力是一個過球心，大小和方向都未知的三維空間矢量FN ，常用三個大小未知的正交分力Fx、Fy和Fz來表示它。 zyx盆骨與股骨之間的球鉸連接盆骨與股骨之間的球鉸連接球鉸支座在圖中的表示球鉸支座在圖中的表示AAAFAzFAyFAx6. 可動鉸鏈支座可動鉸鏈支座 在鉸鏈支座與支承面之間裝上輥軸，就構成可動鉸可動鉸鏈支座鏈支座或輥輥軸鉸鏈支座軸鉸鏈支座(roller support of pin joint)。 可動鉸鏈支座的反力FN過鉸鏈中心且垂直于支承面。 FAAAFAFA7. 鏈桿鏈桿(二力桿二力桿)ABAFBFAB 兩端用光滑鉸鏈與其它構件連接且中間不受力的剛性輕桿（自重可忽略不計）稱為鏈桿鏈

36、桿。 由于鏈桿為二由于鏈桿為二力桿，根據(jù)二力力桿，根據(jù)二力平衡定理，鏈桿平衡定理，鏈桿的約束力必然沿的約束力必然沿其兩端鉸鏈中心其兩端鉸鏈中心的連線的連線。 FA8固定端固定端 物體的一部分固嵌于另一物體的約束稱為固固定端約束定端約束(fixed end support)。 固定端約束的特點是既限制物體的移動又限制物體的轉動。 工程結構中的固定端約束工程結構中的固定端約束槽鋼懸臂梁槽鋼懸臂梁焊縫焊縫 在外載荷的作用下,受固定端約束的物體既不能移動也不能轉動,因此平面固定端約平面固定端約束的約束反力束的約束反力,可用兩個正交分力和一個力可用兩個正交分力和一個力偶矩表示偶矩表示。 AMAAFAyF

37、Ax空間固定端約束空間固定端約束FAzFAxFAyMAzMAxMAy 約束的基本類型約束的基本類型 柔索柔索光滑接觸面光滑接觸面光滑圓柱鉸鏈光滑圓柱鉸鏈固定鉸鏈支座固定鉸鏈支座光滑球形鉸鏈光滑球形鉸鏈可動鉸鏈支座可動鉸鏈支座鏈桿鏈桿(二力桿二力桿)固定端固定端 約束與約束反力的概念約束與約束反力的概念 靜力學基礎靜力學基礎1.4 物體的受力分析物體的受力分析(二二) 分離體和受力圖分離體和受力圖 被選取作為研究對象，并已解除約束的物體被選取作為研究對象，并已解除約束的物體稱為稱為分離體分離體(isolated body)。 當研究對象包括幾個物體時，解除約束是指解除周圍物體對它們的全部約束，但

38、不包括這些物體相互之間的聯(lián)系。 1.4.2 物體的受力分析物體的受力分析選取適當?shù)难芯繉ο筮x取適當?shù)难芯繉ο蠼獬s束解除約束畫受力圖畫受力圖 畫有分離體及其所受的全部主動力和約畫有分離體及其所受的全部主動力和約束力的圖稱為束力的圖稱為受力圖受力圖(free-body diagram)。 內力和外力內力和外力 當選取由幾個物體所組成的系統(tǒng)作為研究對象時，系統(tǒng)內部的物體之間的相互作用力稱為內力內力(internal force)，系統(tǒng)之外的物體對系統(tǒng)內部的物體的作用力稱為外力外力(external force)。 顯然，內力和外力的區(qū)分是相對的，完全取決于研究對象的選擇。 在作受力圖時不必畫出內力

39、。在作受力圖時不必畫出內力。 對研究對象進行受力分析看似簡單，但它卻是研究力學問題的關鍵步驟之一。只有準確地掌握了基本概念，才有可能正確地進行受力分析。對此，初學者一定要予以足夠的重視。例例1 圖示結構為一提升重物的懸臂梁，試畫出（圖示結構為一提升重物的懸臂梁，試畫出（1）AB梁和（梁和（2）整體的受力圖。）整體的受力圖。解：解： 整體的整體的 受力圖受力圖 AB梁的梁的 受力圖受力圖BAFGFTqFAxFAyMAFBxFBy注意注意: 不要將線荷載q簡化為一個集中力。 A為平面固定端約束，B為光滑園柱鉸鏈，應分別按其約束的特征畫出約束力。 正交分力FAx、FAy和FBx、FBy的指向，以及力

40、偶矩MA的轉向可以任意假定。今后如果某個計算值為負，則表明它的實際方向與假定方向相反。但應注意，這種假定在同一問題中的幾個不同的受力圖中必須是一致的。畫受力圖的步驟如下：畫受力圖的步驟如下： (1) 根據(jù)問題的要求選取研究對根據(jù)問題的要求選取研究對象，畫出分離體簡圖。象，畫出分離體簡圖。 (2) 畫出分離體所受的全部主動畫出分離體所受的全部主動力，一般不要對已知載荷進行靜力等力，一般不要對已知載荷進行靜力等效替換。效替換。 (3) 在分離體上每一解除約束的在分離體上每一解除約束的地方，根據(jù)約束的類型逐一畫出約束地方，根據(jù)約束的類型逐一畫出約束力。力。 例例2 三鉸拱結構簡圖如圖所示，不計拱的自

41、重。試分別三鉸拱結構簡圖如圖所示，不計拱的自重。試分別 作出（作出（1）右半拱、（）右半拱、（2）左半拱和（）左半拱和（3）整體的受力圖。）整體的受力圖。 ABCPBC解：解： （1）右半拱的受）右半拱的受力圖。力圖。FCyFCxFByFBx?BCFCFBABCPFAxFAyCF（2）左半拱的受力圖）左半拱的受力圖。 CF 是是FC 的反作用的反作用力。力。ABCPFBFAxFAy（3）整體的受力圖）整體的受力圖1。 鉸鏈鉸鏈 C 處處的內力不要的內力不要畫出。畫出。三力平衡匯交定理三力平衡匯交定理：剛體受不平行三力作用而平：剛體受不平行三力作用而平衡時，此三力的作用線必匯交于一點衡時，此三力

42、的作用線必匯交于一點 . .A三力平衡匯交三力平衡匯交定理是剛體受定理是剛體受不平行三力作不平行三力作用而平衡的必用而平衡的必要條件要條件, ,可用可用于確定未知約于確定未知約束力的方向。束力的方向。F1F3F2ABCPFBFA（4）整體的受力圖）整體的受力圖2 三力平衡匯交定理三力平衡匯交定理的應用。的應用。 E注意注意: : 要正確判斷二力桿和二力構件。 作用力和反作用力要配對。 內力不要畫出。 有時也可用三力平衡匯交定理來確定未知約束反力的方向。FWABCD例例3 結構如圖示，試畫出（結構如圖示，試畫出（1）AB桿和（桿和（2）整體）整體的受力圖。的受力圖。解：解：（1）桿）桿AB的受力

43、圖的受力圖 FWABCFWABCFAxFAyFBxFByFAyFBy?桿桿AB的受力圖的受力圖 1 1FWABCDFAxFAyFB桿桿AB的受力圖的受力圖 2 2FWABCDFBFAFWABCD（2）整體受力圖）整體受力圖 1 1FDFAxFAy整體受力圖整體受力圖 2 2FWABCDFDFAMABCDE例例4 結構如圖示，試畫出（結構如圖示，試畫出（1）AB桿和（桿和（2）整體）整體的受力圖。的受力圖。MABDMABDFAxFAyFDxFDyFDFA?解：解：（1）桿）桿AB的受力圖的受力圖 桿桿AB的受力圖的受力圖 1 1MABDCEFAxFAyFD桿桿AB的受力圖的受力圖 2 2MABD

44、FDFA力偶只能與力偶平衡力偶只能與力偶平衡 （2）整體受力圖）整體受力圖 1 1MABCDEFAxFAyFE整體受力圖整體受力圖 2 2MABCDEFEFA例例5 5 組合梁如圖所示，試分別作出梁組合梁如圖所示，試分別作出梁AB、BC和整體的和整體的受力圖。受力圖。 ABCqDFP解：解： 梁梁 AB 的受力圖的受力圖 FAFDFBBCq梁梁 BC 的受力圖的受力圖 qABDFPFBFC?解：解： 梁梁 AB 的受力圖的受力圖 FAxFAyFDFBBCqFC梁梁 BC 的受力圖的受力圖 qABDFPFB?解：解： 梁梁 AB 的受力圖的受力圖 FAxFAyFDFBxFByBxFByFBCqF

45、C梁梁 BC 的受力圖的受力圖 qABDFP整體的受力圖整體的受力圖 FAxFAyFDFCABCqDFP物體受力分析課堂練習物體受力分析課堂練習1 試分別作出AC, DEBH, DE,以及BH的受力圖。PABCDEH受力圖受力圖APDEHCBPDECHEBABC?受力圖受力圖BABCPDEHCBPDECHEB物體受力分析課堂練習物體受力分析課堂練習2ABCDEQ 試分別作出AB, CE(加滑 輪), CE,以及整體的受力圖。受力圖受力圖ABADDCEQDCE?ABCDEQ?受力圖受力圖BDCEQBADDCEABCDEQ 物體的受力分析物體的受力分析 分離體和受力圖分離體和受力圖 內力和外力內力

46、和外力 三力平衡匯交定理三力平衡匯交定理 物體的受力分析的物體的受力分析的步驟和注意事項步驟和注意事項力系的簡化力系的簡化2 力系的簡化力系的簡化 尋求一個已知力系的更簡單的等效力系，稱為力系的簡化力系的簡化(reduction of force systems)。 力系的簡化是靜力學研究的基本問題之一。力系的簡化是靜力學研究的基本問題之一。 本章的主要內容包括: 匯交力系與力偶系的簡化匯交力系與力偶系的簡化 空間任意力系的簡化空間任意力系的簡化 平行力系的簡化平行力系的簡化 平行力系中心和重心平行力系中心和重心2.1 匯交力系與力偶系的簡化匯交力系與力偶系的簡化2.1.1 匯交力系的簡化匯交

47、力系的簡化 各力作用線匯交于一點的力系稱為匯交力系匯交力系(concurrent force system)。 匯交匯交力系的簡化力系的簡化 幾何法幾何法 匯交力系（F1,F2,Fn）簡化的結果為一通過通過匯交點的合力匯交點的合力,合力矢等于原力系的主矢合力矢等于原力系的主矢:R1nii=FF幾何法即是用多邊形法則多邊形法則求這個合力矢。 力的多邊形法則力的多邊形法則 FR =Fi FR =FiFnF1+ F2F1F2 匯交匯交力系的簡化力系的簡化 解析法解析法 上述結果稱為合力投影定理合力投影定理, 即合力在任一即合力在任一軸上的投影等于各分力在同一軸上的投影的代軸上的投影等于各分力在同一軸

48、上的投影的代數(shù)和。數(shù)和。R1nxixi=FFR1nyiyi=FFR1nzizi=FF1Rnii=FFRRR1()nxyzixiyizi=FFFFFFijkijk2.1.2 力偶系的簡化力偶系的簡化 任意力偶系（M1,M2,Mn）的簡化結果為一合力偶合力偶,其合力偶矩等于其合力偶矩等于1nii=MM 全部由力偶組成的力系稱為力偶系力偶系(system of couples) 簡化的方法也有類似的幾何法和解析法。簡化的方法也有類似的幾何法和解析法。 作用在剛體上的力作用在剛體上的力FA 可以平行移動到剛可以平行移動到剛體上任一指定點體上任一指定點O，但必須附加一力偶，其，但必須附加一力偶，其力偶矩

49、等于原力力偶矩等于原力FA 對指定點對指定點O之矩之矩MO(FA)。2.2 任意力系的簡化任意力系的簡化2.2.1 力線平移定理力線平移定理 FAAOMFOFA= MO(FA)rOA= rOA FAAOFArOAAOFOMFO = FAM = MO(FA) = rOA FA 力線平移定理的證明力線平移定理的證明 注意一下上述定理的逆過程，注意一下上述定理的逆過程，即可發(fā)現(xiàn)當一個力和一個力偶即可發(fā)現(xiàn)當一個力和一個力偶矩相互垂直時矩相互垂直時, 即即FM時時,它們它們也可以合成為一個力。也可以合成為一個力。 2.2.2 任意力系向一點簡化任意力系向一點簡化F1F2F3FnOFiMiFiFiFi =

50、 FiMi = MO(Fi) 空間任意力系向空間任意力系向一點簡化得到一個一點簡化得到一個匯交力系和一個力匯交力系和一個力偶系。偶系。任意力系任意力系向簡化中心O簡化匯交力系匯交力系力偶系力偶系+RiiFFF合力:作用于簡化中心O+合力偶:原力系對O的主矩()OOiMMFAFAAMAFAyFAxAMA 應用應用固定端約束的約束反固定端約束的約束反力力 任意力系任意力系向向A點簡化點簡化FA和和MA平面固定端約束平面固定端約束空間固定空間固定端約束端約束FAzFAxFAyMAzMAxMAyAFAMA2.2.3 平面任意力系的簡化結果平面任意力系的簡化結果 平面任意力系（F1,F2,Fn）向一點簡

51、化后得到 由此可得平面任意力系簡化結果的以下四種情況:R()iOOiOMM=FFF力 作用于 點力偶 由此可得平面任意力系簡化結果的以下四種情況:(1) 簡化為一合力，其合力矢FR = F R ，合力作用線通過簡化中心O。這時原力系等價于一個匯交于簡化中心O的匯交力系。 R,00OMF(2) 簡化為一合力偶，其力偶矩M = MO ，且與簡化中心的選擇無關，即原力系等價于一個力偶系。R= ,00OM FOFRdOMOFRR()OOMMF(3) 簡化為一合力，其合力矢FR = FR，但合力作用線不通過簡化中心O。 R,00OMF (4) 原力系為一平衡力系。 R,00OMF 2.3 平面平行力系的

52、簡化平面平行力系的簡化 各力的作用線相互平行的平面力系稱為平面平行平面平行力系力系。平行力系是工程中最常見的力系之一 。 平面平行平面平行力系的簡化力系的簡化 OyxFi向O點簡化后得到: 可進一步簡化為一個合力，其合力矢FR = FR= Fi 合力FR的作用點C稱為平行力系中心平行力系中心(center of parallel forces)。下面來確定它的位置。FRC()OORiiMM=FFF 平行平行力系中心力系中心 OyxFiFRC(xC,yC)(xi,yi) 由合力矩定理可得同理可得R()()OiOMMFFRCiiF xFxCiiixFxFCiiiyF yF 主矢不等于零的平行力系中

53、各力繞其各自的作主矢不等于零的平行力系中各力繞其各自的作用點同時轉過一個相同的角度時，平行力系中心用點同時轉過一個相同的角度時，平行力系中心的位置不變的位置不變。這個結論與我們的日常經(jīng)驗是吻合的。平行力系中心C的坐標公式： 公式適用于任何主矢公式適用于任何主矢不等零的平行力系，式不等零的平行力系，式中各力的投影和作用點中各力的投影和作用點的坐標均為代數(shù)量，使的坐標均為代數(shù)量，使用時應注意正負號。用時應注意正負號。 CiiiCiiiCiiixFxFyF yFzFzF 平行平行分布載荷分布載荷 平行分布載荷平行分布載荷是指平行分布的表面力或體積力，通常是一個連續(xù)分布的同向平行力系，在工程中極為常見

54、。 某些平行分布載荷可以簡化為沿直線分布的平行力，稱為線載荷線載荷。 作用于懸臂梁的載荷分布于狹長的梁頂表面，且受力關于梁的縱向對稱面對稱，故可簡化為梁縱向對稱面內的線載荷。q 線載荷的大小以某處單位長度上所受的力來表示，稱為線載荷在該處的集度集度(intensity)。常用q表示，單位為N/m或kN/m。 線載荷是平行力系的特殊情況，可用平行力線載荷是平行力系的特殊情況，可用平行力系的簡化理論來求它的合力。系的簡化理論來求它的合力。qlQl/2矩形均布載荷Q = qlqlQl/3三角形分布載荷Q = ql/2 重心與形心重心與形心 作用在地球表面附近的物體各質元上的重力可近似看成一平行力系,

55、此平行力系中心就稱為物體的重心重心(center of gravity)。求物體重心的坐標可直接應用平行力系中心的坐標公式,即式中( xi yi zi )是第 i 個質元的坐標,Pi是它的重量。 重心坐標公式 均質物體的重心位置只取決于其體積和形狀, 與物體的幾何中心重合,也稱為形心形心(centroid of a volume)。形心坐標的計算公式為式中 V 是整個物體的體積。CiiiCiiiCiiixPxPyP yPzPzP;VVVcccxdvydvzdvxyzVVV例例1 求如圖所示的平面圖形的形心。 2aa2aaxay解解：(1) 分割法分割法 將圖形分割成三個部分。各個部分的面積和形

56、心坐標分別為:S1=3a2 x1=3a/2 y1=7a/2S2=2a2 x2=a/2 y2=2aS3=3a2 x3=3a/2 y3=a/22aa2aaxay(2) 負面積法負面積法 將圖形補足成一規(guī)則的矩形。S1=12a2 x1=3a/2 y1=2a 再挖去補充的部分,其面積和形心坐標分別為:5 /42CiiiCiiixS xSayS ySaS2=4a2 x2=2a y2=2a兩種方法求出的結果相同。1 122121122125 /42CCS xS xxaSSS yS yyaSS2aa2aaxay例例2 如圖所示，求作用于懸臂梁AB的線分布荷載對A點 的矩。 解解： ABLq2q1Q1Q2 2

57、 12122231(+ 2)6ALMQQL qqL 匯交力系與力偶系的簡化匯交力系與力偶系的簡化 力線平移定理力線平移定理空間任意力系向一點簡化空間任意力系向一點簡化平面任意力系的簡化結果平面任意力系的簡化結果平行力系的簡化平行力系的簡化平行力系中心和重心平行力系中心和重心力系的平衡力系的平衡(一一)3 力系的平衡力系的平衡3.3 考慮摩擦時的平衡問題考慮摩擦時的平衡問題3.2.2 靜定與超靜定問題靜定與超靜定問題3.2.3 物系平衡問題應用舉例物系平衡問題應用舉例3.2 物系平衡物系平衡 靜定與超靜定問題靜定與超靜定問題 3.2.1 物系平衡物系平衡3.1 力系的平衡方程力系的平衡方程3.1

58、.1 空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程3.1.3 力系平衡方程的應用力系平衡方程的應用3.1.2 平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程3.1 力系的平衡方程力系的平衡方程3.1.1 空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程3 力系的平衡力系的平衡空間任意力系平衡的充分必要條件 Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0 Mx (Fi ) = 0 My (Fi ) = 0 Mz (Fi ) = 0 空間任意力系的平衡方程平衡方程FR = Fi = 0 MO = MO(Fi ) = 03.1.2 平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程 平面力系平面力系(system o

59、f coplanar forces)是指各力的是指各力的作用線共面的力系作用線共面的力系,可視為空間力系的特殊情況,在靜力學中占有特別重要的地位。1. 平面任意力系平衡方程的基本形式平面任意力系平衡方程的基本形式 設力系中各力位于xy平面內,則有 Fx = 0 Fy = 0 MO (Fi ) = 0 上述方程也稱為平衡方程的基本形式基本形式,式中坐標系和矩心均可任意選取。2. 平面任意力系平衡方程的等價形式平面任意力系平衡方程的等價形式 二力矩形式二力矩形式 Fx = 0 MA (Fi ) = 0 MB (Fi ) = 0 其中其中AB 不垂不垂直于直于x 軸軸xABFxAB 三力矩形式三力矩

60、形式其中其中A、B、C不共線不共線 MA (Fi ) = 0 MB (Fi ) = 0 MC (Fi ) = 0ABCFABC 平面特殊力系的平衡方程平面特殊力系的平衡方程 匯交力系匯交力系 Fx = 0 Fy = 0 力偶系力偶系 Mi = 0 平行力系平行力系 各力平行于各力平行于 Oy 軸軸 基本形式基本形式二力矩形式二力矩形式 Fy = 0 MO (Fi ) = 0 MA (Fi ) = 0 MB (Fi ) = 0AB 不平行于不平行于Oy 軸軸3.1.3 力系平衡方程的應用力系平衡方程的應用 平衡方程主要用于解決以下三方面的問題:1.求未知約束反力求未知約束反力;2.求平衡位置求平